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2017版高考数学专题11算法、复数、推理与证明91复数理

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【步步高】 (江苏专用)2017 版高考数学 专题 11 算法、复数、推理 与证明 91 复数 理 训练目标 (1)熟记复数的有关概念; (2)掌握复数代数形式的四则运算;(3)理解并能简单 应用复数的几何意义. (1)复数及其相关概念的应用;(2)复数的计算; (3)复数的模与共轭复数的求解 与应用;(4)复数的几何意义的应用. (1)正确理解复数的有关概念,会利用复数相等列方程;(2)复数除法的运算是 难点,应重点掌握;(3)复数的模的问题常与两点间的距离相联系. 训练题型 解题策略 1.已知 t∈R,i 为虚数单位,复数 z1=3+4i,z2=t+i,且 z1z2 是实数,则 t=________. 2.(2015·安徽屯溪一中月考)若复数 z 满足(1+ 3i)z=2 3i(i 是虚数单位),则 z 在复平 面内对应的点在第________象限. 3 4 π 3.若 z=sin θ - +(cos θ - )i 是纯虚数,则 tan(θ - )=________. 5 5 4 4.(2015·山东日照一中阶段检测)已知 a,b∈R,i 是虚数单位,若 a-i 与 2+bi 互为共 轭复数,则(a+bi) =________. 1+ai 5.设 i 是虚数单位,复数 为纯虚数,则实数 a 的值为________. 3-i 6.已知复数 z=a+bi(a,b∈R),且 a+b=1,现有如下三个结论: ①z 可能为实数; ②z 不可能为纯虚数; ③若 z 的共轭复数为 z ,则 z· z =a +b . 2 2 2 其中正确结论的个数为________. 7. (2015·苏北三市高三第二次调研考试)已知 i 是虚数单位, 实数 a, b 满足(3+4i)(a+bi) =10i,则 3a-4b 的值是________. 8.(2015·江苏阜宁中学调研)若复数 z=i+i 2 016 10 ,则 z + 的模等于________. z 9.(2015·河南洛阳中学第一次统考)已知 i 为虚数单位,复数 z1=3-ai,z2=1+2i,若 对应的点在复平面内的第四象限,则实数 a 的取值范围为________________. 3+i 10.若复数 z 满足 z+i= (i 为虚数单位),则|z|=______. i 11.下列命题中正确的是________. ①已知 a,b∈R,则“a=b”是“(a-b)+(a+b)i 为纯虚数”的充要条件; z1 z2 1 1 ②当 z 是非零实数时,|z+ |≥2 恒成立; z ③复数 z=(1-i) 的实部和虚部都是-2; ④设 z 的共轭复数为 z ,若 z+ z =4,z· z =8,则 3 z =-i. z → → 12.已知复数 z=1-i 在复平面内对应的向量为 O Z ,把OZ按逆时针方向旋转 θ 得到一个新 → → 向量OZ1.若OZ1对应一个纯虚数 z1,则当 θ 取最小正角时,z1=________. 13. 若复数 z1= 3 2 2 +(10-a )i, z2= +(2a-5)i,z 1 +z2 是实数, 则实数 a=________. a+5 1-a 14.已知 i 是虚数单位,C 是全体复数构成的集合,若映射 f:C→R 满足对任意的 z1,z2∈C, 以及任意的 λ ∈R,都有 f(λ z1+(1-λ )z2)=λ f(z1)+(1-λ )f(z2),则称映射 f 具有性 质 P,给出如下映射: ①f1:C→R,f1(z)=x-y,z=x+yi(x,y∈R); ②f2:C→R,f2(z)=x -y,z=x+yi(x,y∈R); ③f3:C→R,f3(z)=2x+y,z=x+yi(x,y∈R). 其中具有性质 P 的映射为________.(写出所有满足条件的映射的序号) 2 2 答案解析 3 1.- 4 2.一 解析 由(1+ 3i)z=2 3i,得 z= 2 3i 1+ 3i = 2 3 + 3 - 3 - 3 3 3 = + i, 2 2 3 3 ∴z 在复平面内对应的点的坐标为( , ),是第一象限的点. 2 2 3.-7 3 解析 由题意得 sin θ - =0, 5 4 且 cos θ - ≠0, 5 3 所以 tan θ =- , 4 π 所以 tan(θ - )= 4 4.3+4i 解析 ∵a-i 与 2+bi 互为共轭复数,∴a=2,b=1. ∴(a+bi) =(2+i) =3+4i. 5.3 1+ai 解析 因为 = 3-i 3-a ? ? 10 =0, 所以? 1+3a ? 10 ≠0, ? 6.2 解析 当 b=0 时,a=1,此时 z=1 为实数,故①正确; 3 2 2 π 3 - -1 4 4 = π 3 1+tan θ tan 1+ - 4 4 tan θ -tan =-7. +a 10 + = 3-a 1+3a + i 是纯虚数, 10 10 解得 a=3. 当 a=0 时,b=1,此时 z=i 为纯虚数,故②错误; z · z =(a+bi)(a-bi)=a2+b2,故③正确. 7.0 解析 ∵(3+4i)(a+bi)=10i, ∴(3a-4b)+(4a+3b)i=10i, ? ?3a-4b=0, 即? ? ?4a+3b=10, ∴3a-4b=0. 8.6 2 解析 z=i+i 2 016 =1+i, z =1-i, 10 10 1-i ∴ z + =1-i+ =1-i+10× =6-6i, z 1+i 2 其模为 6 2. 3 9.(-6, ) 2 解析 z1 3-ai = = z2 1+2i -a + - - 3-2a 6+a = - i, 5 5 因为 对应的点在复平面内的第四象限, ?3-2a>0, ? 所以? ? ?6+a>0, z1 z2 3 解得-6<a< . 2 10. 17 11.②③ 解析

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