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第六届第七届全国周培源大学生力学竞赛试题及答案

时间:2011-03-03


第六届全国周培源大学生力学竞赛试题
出题学校:清华大学 满分:120 分 时间:3 小时

一、声东击西的射击手(30 分) 声东击西的射击手(

射击的最高境界,不仅是指哪打哪,还要知道往哪儿指。欢迎来到这个与众不同的射击场。在这里, 共有 10 个小球 Pi(号码从 0 到 9) ,你需要把某个小球放在圆弧的适当位置上,然后静止释放小球即 可。

假设系统在同一竖直平面内(如图所示) ,不考虑摩擦。圆弧 AB 的半径为 R,B 点与地面的高度为 H 。均质细杆 CD 的质量为 M ,长为 L=0.5H ,悬挂点 C 与 B 处于同一水平位置,BC 距离为 S 。小球 Pi 质量均为 m,不计半径,小球 iP 与 CD 杆或地面碰撞的恢复因数均为 ei ,且满足

。 (1)为使小球 1 P 击中杆上 D 点,试确定静止释放时的 θ ,距离 S 有何限制? (2) 假设某小球击中 CD 杆上的 E 点, 为使 E 点尽可能远离 D 点, 试确定该小球的号码及静止释放时的 θ , 此时 CE 的距离是多少? (3)假设某小球击中 CD 杆上的 E 点,为使悬挂点 C 处的冲量尽可能小,试确定该小球的号码及静止释放 时的 θ ,此时 CE 的距离是多少?冲量有多大?

二、骄傲自满的大力士(35 分) 骄傲自满的大力士(

有位大力士总是自命不凡,他夫人决定找机会教训他一下。正好附近足球场的球门坏了一半,剩下的 半边球门如图:立柱 OA 垂直固定于水平地面上,沿 x 轴方向,高为 H =2.4m ,横梁 AB 平行于地面,沿 z 轴负方向,长为 L=H 。立柱和横梁均为实心圆柱,直径均为 D = 0.06m 。夫人经过计算后想出了主意: 和丈夫比赛,看谁能把球门拉倒。比赛规则是:通过系在横梁 B 端中点的绳索,只能用静力拉球门;绳索 上有且只有 B 点系在与地面固定的物体上。绳索的重量不计,长度不限。球门不计自重,采用第三强度理 论,材料的屈服应力 σS =57MPa 。

大力士认为自己肯定不会输,因为他知道两人鞋底与地面摩擦系数都是 μ =0.5 ,自己重量为 G1 = 700N ,夫人重量为 G2 = 700N。为了显示自己的大度,他允许夫人享受一点点优惠条件。于是夫人以 B 在 地面的投影 C 为圆心,在地面上画了一个半径 R =0.8m 的圆圈, 要求丈夫身体在地面的投影不能进该圆 圈,但她自己不受限制。大力士认为这么个小圆圈没什么了不起,就同意了。 大力士抽签先上场,他决定 让绳索与 xy 平面平行,但绳索与地面的夹角 θ 不知多大为好,于是他在不同的角度试了多次,尽管每次 都用了最大力气,但是球门居然纹丝不动,也看不出有明显的变形。而夫人上场后一用力就把球门拉倒 了……

(1)当大力士让绳索与地面成 θ 角度,绳索中的拉力最大为多大?该最大拉力与大力士拉绳的姿势有无 关系? (2)当大力士让绳索与地面成 θ 角度,球门中最危险点的坐标值是多少? (3)在限制条件下,θ 角为多少时大力士最接近把球门拉倒?夫人可能采用什么方式把球门拉倒?

三、顾此失彼的挑战者(30 分) 顾此失彼的挑战者(

魔术正式开始前,魔术师邀请观众上台了解道具,并体验如何让水晶球在板上平衡,有位观众自告奋 勇要挑战魔术师的问题。

魔术师首先介绍道具 (如图所示) : 两个透明的水晶圆球 O1 和 O2 ; 一个滚轴 D;一个透明的水 晶平板 AB,A 端水平固定在墙中,不考虑自重时 AB 板与水平面平行。在表演时,滚轴 D 可以根据需要安 装在 AB 板的任意位置,且 A 与 D 总在同一高度。假设水晶板是均质等截面板,长度为 l,单位长度重量 为 q,弯曲刚度为 EI 。两均质水晶圆球的半径均为 r,重量均为 P=ql 。

假设表演中板的挠度和转角都是小量,球与板之间有滑动摩擦,但不考虑球与板的接触变形和滚动摩 擦。观众发现,水晶板由于自重而微微弯曲,如果不安装滚轴 D,水晶球在板上可以摆放的任意位置都不 能平衡。

魔术师的问题如下: (1)如果把滚轴 D 安装在 AB 板的 B 处,此时 AB 板由于自重所导致的最大挠度在何处? (2) 如果把滚轴 D 安装在 AB 板之间的某处, 有可能使水晶球 O1 在板上静止,且球与板的接触点 恰好是 B 点。 如果不需要具体计算, 如何说明滚轴 D 是更靠近 A 点还是更靠近 B 点?定性画出此时 AB 板挠度的示意图。 (3)如果把滚轴 D 安装在 AB 板的中点,能否让水晶球 O1 在 AD 之间某位置平衡,接触点为 C1;同 时让水晶球 O2 在 DB 之间某位置平衡,接触点为 C2。观众试着摆弄了很久,总是顾此失彼,最终也没有成 功。如果你认为本问题有解, AC1 和 AC2 的水平距离是多少?如果没有解,如何证明?

四、技高一筹的魔术师(25 分) 技高一筹的魔术师(

魔术正式开始,仍用上一题中的道具(板和球的具体参数见第三题) 。 魔术师首先撤去了滚轴 D, 观众看到两个水晶球在板上任意位置静止释放,都会从板的 B 端掉下去。但是细心的观众发现,即使两水 晶球放在板的相同位置,掉下去所需时间却明显不同。 魔术师解释说,虽然两水晶球的尺寸和重量完全相同,但有一个水晶球的表面涂了透明的新型材料, 很光滑。说完在后落下的水晶球 O1 表面贴上了小纸片以示区别(假设小纸片的尺寸和重量相对水晶球均 是小量) 。 只见魔术师对两个水晶球吹了吹, 声称已经把魔力注入其中, 然后小心地把贴有纸片的 O1 球

静止放在板上(接触点为 B 点) ,同时让纸片远离接触位置,松手后水晶球 O1 竟然真的可以一直稳稳地 停留在板上 B 点。 在观众的掌声中,魔术师撤走了 O1 球,把 O2 球拿了起来。 “这个水晶球不太听话,我的魔力只能 管 1 分钟。 ”魔术师说完把 O2 球转了转,然后更加小心地把 O2 球也放在板上(接触点为 B 点) 。观 众发现,O2 球在 B 点停留了大约 1 分钟,然后在没有外界干扰的情况下突然从板上 B 端掉了下来…… (1)根据题目叙述,试判断哪个水晶球涂了新型材料? (2)水晶球 O1 可在 B 点一直稳稳地停留,简要叙述其原理,分析其中所涉及的关键参数,以及各参 数应满足的必要条件或关系。 (3)水晶球 O2 只能在 B 点停留很短的时间,简要叙述其原理,分析其中所涉及的关键参数,以及各 参数应满足的必要条件或关系。 注:第四题解答中所用的参数都应在第三、第四题中提及过。

第六届全国周培源大学生力学竞赛试题参考答案
清华大学航天航空学院 高云峰 一、声东击西的射击手(30 分)

二、骄傲自满的大力士(35 分)

(1)

;大力士拉绳的姿势不影响绳中最大拉力的大小。

(2)危险点坐标 (3)大力士在 0 θ = 时最接近拉坏球门: σ1 -σ2 =56.0Mpa ;夫人进入圆圈内, θ =90 °时可以 有 σ1 -σ3= 57.9MPa . 三、顾此失彼的挑战者(30 分)

(1)最大挠度处: (2)滚轴 D 更靠近 B 点;挠度示意图如下:

(3)解不存在,证明见解题过程。 四、技高一筹的魔术师(25 分) (1)水晶球 O2 涂了新型材料。

(2)关键参数:

;纸片重量

(3)关键参数:

;初始角速度

第七届全国周培源大学生力学竞赛试题 出题学校:西北工业大学 满分:120 分 时间:3 小时

一、小球在高脚玻璃杯中的运动(20 分) 小球在高脚玻璃杯中的运动

一半球形高脚玻璃杯, 半径 r =5cm, 其质量 m1=0.3 kg, 杯底座半径 R =5 cm,厚度不计,杯脚 高度 h =10 cm。如果有一个质量 1 . 0 2 = m kg 的光滑小球自杯子的边缘由静止释放后沿杯的内侧滑下, 小球的半径忽略不计。 已知杯子底座与水平面之间的静摩擦因数 fs = 0.5。 试分析小球在运动过程中: (1) 高脚玻璃杯会不会滑动; (2)高脚玻璃杯会不会侧倾(即一侧翘起) 。

二、杂耍圆环(40 分) 杂耍圆环

1.杂技演员将一个刚性圆环沿水平地面滚出,起始圆环一跳一跳地向前滚动,随后不离开地面向前滚动, 为什么?

2.杂技演员拿出一个匀质圆环,沿粗糙的水平地面向前抛出,不久圆环又自动返回到演员跟前。设圆环与 地面接触瞬时圆环中心 O 点的速度大小为 v0 ,圆环的角速度为 ω0 ,圆环半径为 r,质量为 m,圆环与 地面间的静摩擦因数为 s f ,不计滚动摩阻,试问: (1)圆环能自己滚回来的条件是什么?

(2)圆环开始向回滚动直到无滑动地滚动,在此运动过程中,圆环所走过的距离是多少? (3)当圆环在水平地面上无滑动地滚动时,其中心的速度大小为 v1,圆环平面保持在铅垂平面内。试分

析圆环碰到高为

的无弹性台阶后, 能不脱离接触地爬上该台阶所应满足的条件。

3.演员又用细铁棍推动题 2 中匀质圆环在水平地面上匀速纯滚动,假设圆环保持在铅垂平面内滚动,如图 所示。又知铁棍与圆环之间的静摩擦因数为 ft ,圆环与地面间的滚动摩阻系数为 δ 。试求为使铁棍的 推力(铁棍对圆环的作用力)最小,圆环上与铁棍的接触点的位置。

三、趣味单杠(30 分) 趣味单杠

单杠运动是奥运会、世界体操锦标赛、世界杯体操比赛中男子体操比赛项目之一。单杠是体操比赛中最具 观赏性的项目, 也是观众最喜欢的运动, 在学校和健身场所拥有众多的爱好者, 小李和小张就是其中之一。 一天,他们准备在单杠上进行大回环比赛。假设单杠的横杆和立柱均为直径 D=28mm 的钢杆,弹性模量 E=200GPa,许用应力[σ]=160MPa,横杆长 L=2.4m,立柱高 H=2.6m。立柱与地面、横杆与立柱之间均为固 定联结。假设两人旋转到单杠所在平面内时的惯性载荷均为 F=1000N,不计人的自重。

1. 试分析两人同步旋转到单杠所在平面内时,结构中的最大应力。 2. 若两人相差 180°旋转到单杠所在平面内, 对结构中的最大应力有什么影响。 3. 为提高结构承载能力,有人提出在单杠距地面 0.6m 处增加一个直径 20mm 的拉杆。试定性分析该杆对 上述两种情况的影响。

四、跳板跳水(30 分) 跳板跳水

举世瞩目的第 29 届北京奥林匹克运动会上,具有“梦之队”之称的中国跳水队获得了跳水比赛 8 枚金牌 中的 7 枚, 囊括了 3m 跳板跳水的 4 枚金牌。 Duraflex 的 Maxiflex Model B 跳水板是奥林匹克跳水比 赛和国际级跳水比赛唯一指定使用的产品, 它的具体尺寸如图所示, 其中横截面尺寸为 b=0.5m, h= 0.05m, 跳板的弹性模量 E=70GPa ,比重 γ= 25kN/m , a=3.2m , l=m 1.6 。运动员从跳板上上跃至距地面最 高点后落至跳板端点 C, 再从跳板上弹起至空中完成动作后落水。若运动员体重 G=700N ,最大弹跳高度 H= 0.6m ,取 g =9.8m/s 。 1. 根据所学知识,建立相应的力学分析模型。 2. 为保证运动员落水安全,运动员从空中落入水中时,在跳板所在平面处,运动员质心距跳板 C 端最小 距离 s 应大于 0.5m。 试求运动员从跳板上跃时所需最小水平速度(假设水平方向为匀速运动)? 3. 不计跳板质量,将运动员视为刚体时,运动员冲击跳板时,跳板中的最大动应力为多少? 4. 如运动员为弹性体,定性说明在冲击时跳板中的最大动应力增大还是减小? 5. 如考虑跳板质量,试计算跳板中的最大动应力。
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第七届全国周培源大学生力学竞赛试题参考答案

一、小球在高脚玻璃杯中的运动(20 分) 小球在高脚玻璃杯中的运动

当小球自杯子的边缘由静止释放后沿杯子的内侧滑下到与铅垂方向夹角 (一侧翘起) 。

时,高脚玻璃杯侧倾

二、杂耍圆环(40 分) 杂耍圆环

1. 圆环不是匀质的,质心不在圆环的中心。开始滚动角速度大,圆环一跳一跳地向前滚动;随后角速度减 小,所以圆环不离开地面向前滚动。

2.(1)圆环自己滚回的条件为:

方向如图所示。

(2)距离:

(3)圆环能不脱离接触地爬上台阶所应满足的条件为 :

3. 当接触点 A 与圆环中心 C 的连线与铅垂线间的夹角

时, 推力 F 取最小值。

三、趣味单杠(30 分) 趣味单杠

(1)结构中的最大应力

(2)结构中的最大应力 (3)在结构中增加拉杆后, (2)中为反对称结构,在对称面上只有反对称内力,故 AB 杆轴力为零,无 影响; (1)中为对称结构,在对称面上只有对称内力,故 AB 杆轴力不为零,有影响。

四、跳板跳水(30 分) 跳板跳水

(1)根据跳板的受力情况,可以将其简化为下图所示外伸梁。

(2)最小水平速度为

(3)跳板的最大动应力为 (4)如运动员为弹性体,冲击时跳板中的最大动应力将减小。

(5)跳板的最大动应力为


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