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江西省赣州中学2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含答案

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赣 州 中 学 2014 ~ 2015 学 年 度 第 一 学 期 期 中 考 试

高一数学试卷
命题人:龚海院 审题人:陈北生

2014.11.13

说明:考试时间为 120 分钟,总分为 150 分,请考生用 0.5 毫米的黑色签字笔作答.
[]

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.设集合 A= x 1 ? x ? 2 ,B= x x ? a ,若 A ? B,则 a 的取值范围是( A. a a ? 2
x

?

?

?

?

B. a a ? 1

?

?

?



?
x

C. a a ? 1

?

?

D. a a ? 2

?

?

2.设 f(x)=3 + 3x-8,用二分法求方程 3 + 3x-8=0 在 x∈(1,2)内近似解的过程中得 f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根落在区间( ) A. (1.25,1.5) B. (1,1.25) C. (1.5,2) D.不能确定 3.设集合 A 和 B 都是坐标平面上的点集,{(x,y)|x∈R,y∈R},映射 f:A→B 使集合 A 中的元素(x,y)映射成集合 B 中的元素(x+y,x-y) ,则在映射 f 下,象(2,1) 的原象是( ) 3 1 3 1 A. (3,1) B. ( , ) C. ( ,- ) D. (1,3) 2 2 2 2

? x ? 2( x ? ?1) 2 4.函数 f(x)= ? ? x (?1 ? x ? 2) ,若 f(x0)=3,则 x0 的值是( ?2 x( x ? 2) ?
A.1 B. ? 3 3 C. ,1 2 D. 3 ) 5.已知 m ? log 2 3 ? log 3 4 ? log 4 5 ? log 5 6 ,则 m 是在(



A. (1, 2) B. (2,3) C. (3, 4) 6.已知函数 y=loga(3a-1)的值恒为正数,则 a 的取值范围是(

D. (4,5) )

7.已知函数 y=x2 的值域是[1,4],则其定义域不可能是( A. [1,2]

1 A. a ? 3

1 2 B. ? a ? 3 3

C. a ? 1

1 2 D. ? a ? 或a ? 1 3 3


3 1? B. [? ,2] C. [ ?2,?1] D. [ ?2,?1] ? ? 2
1 5
0.3

1? 8.设 a ? log 1 5 , b ? 3 , c ? ? ? ? ,则有( ?5? 3



A. a ? b ? c B. a ? c ? b C. c ? a ? b D. c ? b ? a - 9.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)和偶函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=ax-a x+2(a>0, 且 a≠1) .若 g(x)=a,则 f(a)=( ) A. 15 B.

15 2

C. 15 4

D. 3

10. 已知函数 f ? x ? 是 R 上的增函数, A (0, -1) , B (3, 1) 是其图象上的两点, 那么 f ? x ? 1? ? 1 的解集的补集是( A. (-1,2) ) B. (1,4) C. (??, ?1) ? (4, ??) D. (??,?1] ? [2,??)

11.已知函数 f ( x) ? x ? 4 ? 系中,函数 g ( x) ? ( )

9 ( x ? ?1) ,当 x=a 时, f ( x) 取得最小值,则在直角坐标 x ?1
的大致图象为

1 a

x ?1

12.关于 x 的方程 (x2 ? 1)2 ? | x2 ? 1 | ?k ? 0 ,给出下列四个命题; ①存在实数 k,使得方程恰有 2 个不同的实根 ②存在实数 k,使得方程恰有 4 个不同的实根 ③存在实数 k,使得方程恰有 5 个不同的实根 ④存在实数 k,使得方程恰有 8 个不同的实根 其中假命题的个数是( A.0 B.1 二、填空题(5×4=20 分)
2 3

) C.2 D.3

13.求值 8 ? (log 3 18 ? log 3 2) 2 ? lg 2 ? lg 5 =



?1? 14.函数 y= ? ? ?3?
15. 设 f ( x) ? lg

x2 ?2 x

的值域是

1 ? 2x ? 4x a , 且当 x∈ (-∞, 1] 时( f x) 有意义, 则实数 a 的取值范围是 3

.

16.给出下列说法:① 幂函数的图象一定不过第四象限;② 奇函数图象一定过坐标原点;③已 知函数 y ? f ( x ? 1) 的定义域为 [1, 2] ,则函数 y ? f (2 x) 的定义域为 [2,3] ;④ 定义在 R 上的函数 f ( x) 对任意两个不等实数 a、b,总有 是增函数;⑤f ( x) ? 正确的有

f (a ) ? f (b) ? 0 成立,则 f ( x) 在 R 上 a ?b

1 的单调减区间是 (??, 0) x

(0, ??) ;



三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 17.记函数 f(x)= 2 ?

x?3 的定义域为 A, g(x)=lg[(x-a-1) (2a-x)](a<1) 的 x ?1

定义域为 B. (1)求 A; (2)若 B ? A, 求实数 a 的取值范围.

18.已知: f ? x ? ? ln ?1 ? x ? ? ln ?1 ? x ? . (1)求 f (0) ; (2)判断此函数的奇偶性; (3)若 f ?a ? ? ln 2 ,求 a 的值.

19.已知函数 f(x)=3x,且 f(a)=2,g(x)=3ax-4x. (1)求 g(x)的解析式; (2)当 x∈[-2,1]时,求 g(x)的值域.

20.某租赁公司拥有汽车 100 辆.当每辆车的月租金为 3000 元时,可全部租出.若每辆车 的月租金每增加 50 元,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费 150 元,未租出的车每辆每月需要维护费 50 元. (1)当每辆车的月租金定为 3600 元时,能租出多少辆车? (2)当每辆车的月租金定为多少元时, 租赁公司的月收益最大,最大月收益是多少?

21.已知函数 f ( x) ? 3ax ? 2bx ? c(a ? 0), a ? b ? c ? 0 ,且 f (0) f (1) ? 0 .
2

(1)求证:方程 3ax 2 ? 2bx ? c ? 0 有两个不等实根;

(2)求证: 求证: ?2?

b ? ?1 ; a

(3)设方程的两根为 x1 , x2 ,求证

3 2 3 . ? x1 ? x2 ? 3 3

22 .对于在 ? a, b ? 上有意义的两个函数 f ( x) 与 g ( x) ,如果对任意的 x ? [a,, b] ,均有

| f ( x) ? g ( x) |? 1 ,则称 f ( x) 与 g ( x) 在 ? a, b ? 上是接近的,否则称 f ( x) 与 g ( x) 在

? a, b ?

上 是 非 接 近 的 . 现 在 有 两 个 函 数

f ( x) ? log t ( x ? 3t ) 与

g ( x) ? log t (
(1)若 t ?

1 )(t ? 0且t ? 1) ,现给定区间 [t ? 2, t ? 3] . x ?t

1 ,判断 f ( x) 与 g ( x) 是否在给定区间上接近; 2 (2)若 f ( x) 与 g ( x) 在给定区间 [t ? 2, t ? 3] 上都有意义,求 t 的取值范围;
(3)讨论 f ( x) 与 g ( x) 在给定区间 [t ? 2, t ? 3] 上是否是接近的.

2014 ~ 2015 学 年 度 第 一 学 期 高 一 数 学 期 中 答 案
一、AABDB, DBBCD BA 二、13. 9 14. (0,3] 15. (-

3 ,+∞) 4

16. ①④

三、17.解: (1)2-

x?3 x ?1 ≥0, 得 ≥0, x<-1 或 x≥1 即 A=(-∞,-1)∪[1,+ ∞) x ?1 x ?1

(2) 由(x-a-1) (2a-x)>0, 得(x-a-1) (x-2a)<0.∵a<1,∴a+1>2a, ∴B=(2a,a+1). ∵B ? A, ∴2a≥1 或 a+1≤-1, 即 a≥ ∴

1 或 a≤-2, 而 a<1, 2

1 1 ≤a<1 或 a≤-2, 故当 B ? A 时, 实数 a 的取值范围是:(-∞,-2]∪[ ,1) 2 2 18. (1)因为 f ? x ? ? ln ?1 ? x ? ? ln ?1 ? x ? 所以 f (0) = ln(1 ? 0) ? ln(1 ? 0) ? 0 ? 0 ? 0 (2)由 1 ? x ? 0 ,且 1 ? x ? 0 知 ? 1 ? x ? 1 所以此函数的定义域为: (-1,1) 又 f (? x) ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x) ? ?(ln(1 ? x) ? ln(1 ? x)) ? ? f ( x)
由上可知此函数为奇函数. (3)由 f ?a ? ? ln 2 知 ln ?1 ? a ? ? ln ?1 ? a ? ? ln

?1 ? a ? 1且

19.解 (1)由 f(a)=2 得 3a=2,a=log32,∴g(x)=(3a)x-4x=(3log32)x-4x =2x-4x=-(2x)2+2x. ∴g(x)=-(2x)2+2x. 1 2 1 1 t- ? + , (2)设 2x=t,∵x∈[-2,1],∴ ≤t≤2. g(t)=-t2+t=-? ? 2? 4 4 1 1 1 ? 由 g(t)在 t∈? ?4,2?上的图象可得,当 t=2,即 x=-1 时,g(x)有最大值4; 1? 当 t=2,即 x=1 时,g(x)有最小值-2. 故 g(x)的值域是? ?-2,4?. 20.解: (1)当每辆车的月租金定为 3600 元时, 未租出的车为 所以租出了 88 辆车; (2)设每辆车的月租金定为 x 元,则租赁公司的月收益为 x ? 3000 ? x ? 3000 ? f ? x ? ? ?100 ? ? 50 ,整理得 ?? x ? 150 ? ? 50 ? 50 ?

1? a ?2 1? a

1? a ? ln 2 得 1? a
1 3

解得 a ?

1 3

所以 a 的值为:

3600 ? 3000 ? 12 辆, 50

所以当 {x | 1 ? x ? 2或x ? k} 时, f ? x ? 最大,其最大值为 f ?4050 ? ? 307050 答: 当每辆车的月租金定为 4050 元时, 租赁公司的月收益最大, 最大月收益是 307050 元. 21.∵ a ? b ? c ? 0, ∴ c ? ? a ? b ,∴ f ( x) ? 3ax ? 2bx ? a ? b
2

(1) ? ? 4b 2 ? 12a (a ? b) ? 4(b 2 ? 3ab ? 3a 2 ) ? 4 ?(b ?

? ?

3a 2 3 2 ? ) ? a ??0 2 4 ?

∴方程有两个不等实根; (2)∴ f (0) ? ? a ? b, f (1) ? 2a ? b,? f (0) f (1) ? (? a ? b)(2a ? b) ? 0 .

b b b ? a ? 0,? ( ? 1)( ? 2) ? 0,? ?2 ? ? ?1 . a a a 2b a?b 2 (3)由题意知, x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? ? ,? x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 3a 3a

?

4 b2 4 b 4 4 b 3 2 1 b ? ? ? ( ? ) ? ,? ?2 ? ? ?1 2 9a 3a 3 9 a 2 3 a ? 3 2? 2 ?1 4 ? x1 ? x2 ? ? , ?,? x1 ? x2 ? ? , ? ? ?3 9 ? ? 3 3?

22.解: (1)当 t ?

1 3 1 1 时, f ( x) ? g ( x) ? log 1 [( x ? )( x ? )] ? log 1 [( x ? 1) 2 ? ] 2 2 2 2 2 4 1 5 7 令 h( x) ? log 1 [( x ? 1) 2 ? ] ,当 x ? [ , ] 时, h( x) ? [log 1 6, ?1] 2 2 4 2 2 即 | f ( x) ? g ( x) |? 1 , f ( x) 与 g ( x) 是否在给定区间上是非接近的. ……4 分 (2)由题意知, t ? 0 且 t ? 1 , t ? 2 ? 3t ? 0 , t ? 2 ? t ? 0 …………4 分 ?0 ? t ? 1


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