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2014参数方程高考真题

时间:2015-04-28


参数与参数方程
1. [2014· 广东卷] (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中, 曲线 C1 与 C2 的方程分别为 2ρcos2 θ =sin θ 与 ρcos θ =1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面 直角坐标系,则曲线 C1 与 C2 交点的直角坐标为________.

2.[2014· 湖南卷] 在平面直角坐标系中,曲线 ________.

?x=2+ 22t, C :? (t 2 ?y=1+ 2 t

为参数)的普通方程为

?x=1- 22t, 3.[2014· 江苏卷] 在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为? (t 为参 2 ?y=2+ 2 t
数),直线 l 与抛物线 y2=4x 相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.

4.将圆 x2+y2=1 上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得曲线 C. (1)写出 C 的参数方程; (2)设直线 l:2x+y-2=0 与 C 的交点为 P1,P2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极 轴建立极坐标系,求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程.

5.[2014· 新课标全国卷Ⅱ]在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建 π 立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程为ρ =2cos θ ,θ∈?0, ?. 2? ? (1)求 C 的参数方程; (2)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l:y= 3x+2 垂直,根据(1)中你得到的参 数方程,确定 D 的坐标.

6.[2014· 全国新课标卷Ⅰ] 选修 4-4:坐标系与参数方程
? ?x=2+t, x2 y2 已知曲线 C: + =1,直线 l:? (t 为参数). 4 9 ?y=2-2t ?

(1)写出曲线 C 的参数方程、直线 l 的普通方程; (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线, 交 l 于点 A, 求|PA|的最大值与最小值. 1. [2014· 广东卷] (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中, 曲线 C1 与 C2 的方程分别为 2ρcos2 θ =sin θ 与 ρcos θ =1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面 直角坐标系,则曲线 C1 与 C2 交点的直角坐标为________.

[解析] 本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化以及曲线交点坐标的求解. 曲线 C1 的直角坐标方程是 2x2=y,曲线 C2 的直角坐标是 x=1.联立方程 C1 与 C2 得
?2x2=y, ?y=2, ? ? ? 解得? 所以交点的直角坐标是(1,2). ?x=1, ?x=1, ? ?

2.[2014· 湖南卷] 在平面直角坐标系中,曲线

?x=2+ 22t, C :? (t 2 ?y=1+ 2 t

为参数)的普通方程为

________.[解析] 依题意,消去参数可得 x-2=y-1,即 x-y-1=0. 3. [2014· 江苏卷] C.[选修 44:坐标系与参数方程]在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l

?x=1- 22t, 的参数方程为? (t 为参数),直线 l 与抛物线 y =4x 相交于 A,B 两点,求线段 2 ?y=2+ 2 t
2

AB 的长.

?x=1- 22t, 2 2 解:将直线 l 的参数方程? 代入抛物线方程 y =4x,得?2+ t? =4?1- t?, 2 ? 2 ? ? ? 2 ?y=2+ 2 t
2
2

解得 t1=0,t2=-8 2, 所以 AB=|t1-t2|=8 2. 4.[2014· 辽宁卷] 选修 44:坐标系与参数方程 2 2 将圆 x +y =1 上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得曲线 C. (1)写出 C 的参数方程; (2)设直线 l:2x+y-2=0 与 C 的交点为 P1,P2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极 轴建立极坐标系,求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程.
?x=x1, ? 2 解:(1)设(x1,y1)为圆上的点,经变换为 C 上的点(x,y),依题意,得? 由 x1 +y 2 1=1 ?y=2y1. ? 2 ? ?x=cos t, y ?2 2 y ? 得 x2+? = 1 ,即曲线 C 的方程为 x + = 1. 故 C 的参数方程为 (t 为参数). ?2? 4 ?y=2sin t ? y2 ? ?x=1, ? ?x=0, ?x2+ 4 =1, ? (2)由? 解得? 或? ?y=0 ?y=2. ? ? ? ?2x+y-2=0, 1 ? 1 不妨设 P1(1,0),P2(0,2),则线段 P1P2 的中点坐标为? ?2,1?,所求直线斜率 k=2,于 1 1 x- ?,即 2x-4y=-3, 是所求直线方程为 y-1= ? 2? 2? 化为极坐标方程,得 2 ρcos θ -4ρsin θ =-3, 3 即 ρ= . 4sin θ -2cos θ 5.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 选修 44:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的

π 极坐标方程为ρ =2cos θ ,θ∈?0, ?. 2? ? (1)求 C 的参数方程; (2)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l:y= 3x+2 垂直,根据(1)中你得到的参 数方程,确定 D 的坐标. 解:(1)C 的普通方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1). 可得 C 的参数方程为
? ?x=1+cos t, ? (t 为参数,0≤t≤π ). ?y=sin t, ?

(2)设 D(1+cos t,sin t).由(1)知 C 是以 G(1,0)为圆心,1 为半径的上半圆.因为 C 在 π 点 D 处的切线与 l 垂直,所以直线 GD 与 l 的斜率相同,tan t= 3,t= . 3 π π 3 3 故 D 的直角坐标为?1+cos ,sin ?,即? , ?. 3 3? ? ?2 2 ? 6.[2014· 全国新课标卷Ⅰ] 选修 4-4:坐标系与参数方程
? ?x=2+t, x2 y2 已知曲线 C: + =1,直线 l:? (t 为参数). 4 9 ?y=2-2t ?

(1)写出曲线 C 的参数方程、直线 l 的普通方程; (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线,交 l 于点 A,求|PA|的最大值与最 小值.
?x=2cos θ , ? 解:(1)曲线 C 的参数方程为? (θ 为参数),直线 l 的普通方程为 2x+y-6=0. ?y=3sin θ ?

(2)曲线 C 上任意一点 P(2cos θ , 3sin θ )到直线 l 的距离 d= 则|PA|= d 2 5 = |5sin(θ+α)-6|, 5 sin 30°

5 |4cos θ +3sin θ -6|, 5

4 其中 α 为锐角,且 tan α = . 3 当 sin(θ+α)=-1 时,|PA|取得最大值, 22 5 最大值为 . 5 2 5 当 sin(θ+α)=1 时,|PA|取得最小值,最小值为 . 5


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