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河南省郑州市2015届高考数学二模试卷(理科)

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河南省郑州市 2015 届高考数学二模试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个符合题目要求. 1. (5 分)设 i 是虚数单位,复数 z= A.1 B. ,则|z|=() C.
2

D.2

2. (5 分)集合 U={0,1,2,3,4},A={1,2},B={x∈Z|x ﹣5x+4<0},则?U(A∪B)=() A.{0,1,3,4} B.{1,2,3} C.{0,4} D.{0} 3. (5 分)已知甲、乙两组数据如茎叶图所示,若它们的中位数相同,平均数也相同,则图中 的 m、n 的比值 =()

A.1

B.

C.

D.

4. (5 分)某校开设 A 类选修课 2 门,B 类选修课 3 门,一位同学从中选 3 门.若要求两类课 程中各至少选一门,则不同的选法共有() A.3 种 B. 6 种 C. 9 种 D.18 种 5. (5 分)如图,y=f(x)是可导函数,直线 L:y=kx+2 是曲线 y=f(x)在 x=3 处的切线, 令 g(x)=xf(x) ,g′(x)是 g(x)的导函数,则 g′(3)=()

A.﹣1

B. 0

C. 2

D.4

6. (5 分)有四个关于三角函数的命题: p1:sinx=siny?x+y=π 或 x=y; p2:?x∈R,sin
2

+cos

2

=1;

p3:x,y∈R,cos(x﹣y)=cosx﹣cosy;

p4:?x∈, 其中真命题是() A.p1,p2

=cosx.

B.p2,p3

C.p1,p4

D.p2,p4

7. (5 分)若实数 x、y 满足

且 z=2x+y 的最小值为 4,则实数 b 的值为()

A.1

B. 2

C.

D.3

8. (5 分)如图所示是一个几何体的三视图,则这个几何体外接球的表面积为()

A.8π

B.16π

C.32π

D.64π

9. (5 分)已知函数 f(x)=

函数 g(x)=f(x)﹣2x 恰有三个不同的零点,

则实数 a 的取值范围是() A. C. 10. (5 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 sin(B+A)+sin(B﹣ A)=2sin2A,且 c= A. ,C= B. ,则△ ABC 的面积是() C. D. 或

11. (5 分)如图,矩形 ABCD 中,AB=2AD,E 为边 AB 的中点,将△ ADE 沿直线 DE 翻折 成△ A1DE,若 M 为线段 A1C 的中点,则在△ ADE 翻折过程中,下面四个命题中不正确的是 ()

A.|BM|是定值 B. 点 M 在某个球面上运动

C. 存在某个位置,使 DE⊥A1C D.存在某个位置,使 MB∥平面 A1DE

12. (5 分)已知双曲线



=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是 F1,F2,过 F2 的直线

交双曲线的右支于 P,Q 两点,若|PF1|=|F1F2|,且 3|PF2|=2|QF2|,则该双曲线的离心率为() A. B. C. 2 D.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)已知点 A(﹣1,1) 、B(0,3) 、C(3,4) ,则向量
2



方向上的投影为.

14. (5 分)已知实数 m 是 2 和 8 的等比中项,则抛物线 y=mx 的焦点坐标为. 15. (5 分)执行如图所示的程序框图,输出的 S 值是.

16. (5 分)已知偶函数 y=f(x)对于任意的 x∈ (3)f(0)< (4)f( )< f(﹣ f( ) )

三、解答题(共 8 小题,满分 70 分) 17. (12 分)已知等差数列{an}的各项均为正数,a1=1,且 a3,a4+ ,a11 成等比数列. (Ⅰ)求 an 的通项公式; (Ⅱ)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

18. (12 分) 如图, 在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, 四边形 AA1C1C 是边长为 2 的菱形, 平面 ABC⊥ 平面 AA1C1C,∠A1AC=60°,∠BCA=90°. (Ⅰ)求证:A1B⊥AC1; (Ⅱ)已知点 E 是 AB 的中点,BC=AC,求直线 EC1 与平面 ABB1A1 所成的角的正弦值.

19. (12 分)某商场每天(开始营业时)以每件 150 元的价格购入 A 商品若干件(A 商品在商 场的保鲜时间为 10 小时,该商场的营业时间也恰好为 10 小时) ,并开始以每件 300 元的价格 出售,若前 6 小时内所购进的商品没有售完,则商店对没卖出的 A 商品以每件 100 元的价格 低价处理完毕(根据经验,4 小时内完全能够把 A 商品低价处理完毕,且处理完后,当天不再 购进 A 商品) . 该商场统计了 100 天 A 商品在每天的前 6 小时内的销售量, 制成如下表格 (注: 视频率为概率) . (其中 x+y=70) 前 6 小时内的销售量 t(单位:件) 4 5 6 频数 30 x y (Ⅰ)若某该商场共购入 6 件该商品,在前 6 个小时中售出 4 件.若这些产品被 6 名不同的 顾客购买,现从这 6 名顾客中随机选 2 人进行回访,则恰好一个是以 300 元价格购买的顾客, 另一个以 100 元价格购买的顾客的概率是多少? (Ⅱ)若商场每天在购进 5 件 A 商品时所获得的平均利润最大,求 x 的取值范围.

20. (12 分) 设椭圆 C: +

=1 (a>b>0) , F1、 F2 为左右焦点, B 为短轴端点, 且S

=4,

离心率为

,O 为坐标原点.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 C 恒有两个交点 M、N, 且满足| + |=| ﹣ |?若存在,求出该圆的方程,若不存在,说明理由.

21. (12 分)已知函数 f(x)=ax+ln(x﹣1) ,其中 a 为常数. (Ⅰ)试讨论 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若 a= 时,存在 x 使得不等式|f(x)|﹣ ≤ 成立,求 b 的取值范围.

22. (10 分)如图,已知圆 O 是△ ABC 的外接圆,AB=BC,AD 是 BC 边上的高,AE 是圆 O 的直径.过点 C 作圆 O 的切线交 BA 的延长线于点 F.

(Ⅰ)求证:AC?BC=AD?AE; (Ⅱ)若 AF=2,CF=2 ,求 AE 的长.

23.在直角坐标系 xOy 中,曲线 M 的参数方程为

(α

为参数) ,若以直角坐标系中的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 N 的 极坐标方程为 ρsin(θ+ )= t(t 为参数) .

(Ⅰ)求曲线 M 和 N 的直角坐标方程; (Ⅱ)若曲线 N 与曲线 M 有公共点,求 t 的取值范围. 24.已知函数 f(x)=|3x+2|. (Ⅰ)解不等式 f(x)<4﹣|x﹣1|; (Ⅱ)已知 m+n=1(m,n>0) ,若|x﹣a|﹣f(x)≤ + (a>0)恒成立,求实数 a 的取值范围.

河南省郑州市 2015 届高考数学二模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个符合题目要求. 1. (5 分)设 i 是虚数单位,复数 z= A.1 B. ,则|z|=() C. D.2

考点: 复数求模. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出. 解答: 解:∵z= = =i(1﹣i)=i+1,

则|z|= . 故选:B. 点评: 本题考查了复数的运算法则、模的计算公式,考查了计算能力,属于基础题.

2. (5 分)集合 U={0,1,2,3,4},A={1,2},B={x∈Z|x ﹣5x+4<0},则?U(A∪B)=() A.{0,1,3,4} B.{1,2,3} C.{0,4} D.{0} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 求出集合 B 中不等式的解集,找出解集中的整数解确定出 B,求出 A 与 B 的并集, 找出全集中不属于并集的元素,即可求出所求 解答: 解:集合 B 中的不等式 x ﹣5x+4<0, 变形得: (x﹣1) (x﹣4)<0, 解得:1<x<4, ∴B={2,3}, ∵A={1,2}, ∴A∪B={1,2,3}, ∵集合 U={0,1,2,3,4}, ∴?∪(A∪B)={0,4}. 故选:C. 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关 键. 3. (5 分)已知甲、乙两组数据如茎叶图所示,若它们的中位数相同,平均数也相同,则图中 的 m、n 的比值 =()
2

2

A.1

B.

C.

D.

考点: 茎叶图. 专题: 概率与统计. 分析: 根据茎叶图,利用中位数相等,求出 m 的值,再利用平均数相等,求出 n 的值即可. 解答: 解:根据茎叶图,得; 乙的中位数是 33, ∴甲的中位数也是 33,即 m=3; 甲的平均数是 乙的平均数是 ∴n=8; ∴ = . 故选:D. 点评: 本题考查了中位数与平均数的计算问题,是基础题目. = (27+39+33)=33, = =33,

4. (5 分)某校开设 A 类选修课 2 门,B 类选修课 3 门,一位同学从中选 3 门.若要求两类课 程中各至少选一门,则不同的选法共有() A.3 种 B. 6 种 C. 9 种 D.18 种 考点: 计数原理的应用. 专题: 排列组合. 分析: 两类课程中各至少选一门,包含两种情况:A 类选修课选 1 门,B 类选修课选 2 门; A 类选修课选 2 门,B 类选修课选 1 门,写出组合数,根据分类计数原理得到结果 1 2 解答: 解:可分以下 2 种情况:①A 类选修课选 1 门,B 类选修课选 2 门,有 C2 C3 种不 同的选法; ②A 类选修课选 2 门,B 类选修课选 1 门,有 C2 C3 种不同的选法. 1 2 2 1 ∴根据分类计数原理知不同的选法共有 C2 C3 +C2 C3 =6+3=9 种. 故要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有 9 种. 故选:C 点评: 本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想,属于基础题. 5. (5 分)如图,y=f(x)是可导函数,直线 L:y=kx+2 是曲线 y=f(x)在 x=3 处的切线, 令 g(x)=xf(x) ,g′(x)是 g(x)的导函数,则 g′(3)=()
2 1

A.﹣1

B. 0

C. 2

D.4

考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 先从图中求出切线过的点,再求出直线 L 的方程,利用导数在切点处的导数值为切 线的斜率,最后结合导数的概念求出 g′(3)的值. 解答: 解:∵直线 L:y=kx+2 是曲线 y=f(x)在 x=3 处的切线, ∴f(3)=1, 又点(3,1)在直线 L 上, ∴3k+2=1,从而 k= ∴f′(3)=k= , ,

∵g(x)=xf(x) , ∴g′(x)=f(x)+xf′(x) 则 g′(3)=f(3)+3f′(3) =1+3×( )

=0, 故选:B. 点评: 本题考查导数的几何意义,曲线在切点处的导数值为曲线的切线的斜率. 6. (5 分)有四个关于三角函数的命题: p1:sinx=siny?x+y=π 或 x=y; p2:?x∈R,sin
2

+cos

2

=1;

p3:x,y∈R,cos(x﹣y)=cosx﹣cosy; p4:?x∈, 其中真命题是() A.p1,p2 B.p2,p3 C.p1,p4 D.p2,p4 =cosx.

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 三角函数的求值;简易逻辑. 分析: 根据三角函数的定义及周期性,可判断 p1;根据同角三角函数基本关系的平方关系, 可判断 p2;根据两角差的余弦公式,可判断 p3;根据二倍解的余弦公式,及根式的运算性质, 可判断 p4. 解答: 解:p1:若 sinx=siny?x+y=π+2kπ 或 x=y+2kπ,k∈Z,故错误; p2:根据同角三角函数基本关系的平方关系,可得:?x∈R,sin
2

+cos

2

=1,故正确;

p3:x,y∈R,cos(x﹣y)=cosxcosy+sinxsiny,与 cosx﹣cosy 不一定相等,故错误; p4:?x∈, = =|cosx|=cosx,故正确.

故选:D. 点评: 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用,全(特)称命题,三角函数,属于基 础题.

7. (5 分)若实数 x、y 满足

且 z=2x+y 的最小值为 4,则实数 b 的值为()

A.1

B. 2

C.

D.3

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对于的平面区域,根据 z=2x+y 的最小值为 4,利用数形结合即可得到 结论. 解答: 解:作出不等式组对于的平面区域如图: ∵z=2x+y 的最小值为 4,即 2x+y=4, 且 y=﹣2x+z,则直线 y=﹣2x+z 的截距最小时,z 也取得最小值, 则不等式组对应的平面区域在直线 y=﹣2x+z 的上方,



; ,解得



即 A(1,2) , 此时 A 也在直线 y=﹣x+b 上, 即 2=﹣1+b, 解得 b=3, 故选:D

点评: 本题主要考查线性规划的应用, 利用 z 的几何意义, 利用数形结合是解决本题的关键. 8. (5 分)如图所示是一个几何体的三视图,则这个几何体外接球的表面积为()

A.8π

B.16π

C.32π

D.64π

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由已知中的三视图可得,该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥,其外接球,与 以俯视图为底面,以 4 为高的直三棱柱的外接球相同,进而可得该几何体外接球的表面积. 解答: 解:由已知中的三视图可得,该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥, 其外接球,与以俯视图为底面,以 4 为高的直三棱柱的外接球相同, 如图所示:

由底面底边长为 4,高为 2,故底面为等腰直角三角形, 可得底面外接圆的半径为:r=2, 由棱柱高为 4,可得球心距为 2, 故外接球半径为:R=
2

=2



故外接球的表面积 S=4πR =32π, 故选:C 点评: 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积,解决本题的关键是得到该几何体的 形状.

9. (5 分)已知函数 f(x)= 则实数 a 的取值范围是() A. C. 所以 (Ⅱ)因为 bn= ; =

函数 g(x)=f(x)﹣2x 恰有三个不同的零点,

=

, = .

所以数列{bn}的前 n 项和 Tn=

点评: 本题考查数列的通项公式及求前 n 项和,解题时要认真审题,仔细解答,采用裂项 相消法是解题的关键,属中档题. 18. (12 分) 如图, 在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, 四边形 AA1C1C 是边长为 2 的菱形, 平面 ABC⊥ 平面 AA1C1C,∠A1AC=60°,∠BCA=90°. (Ⅰ)求证:A1B⊥AC1; (Ⅱ)已知点 E 是 AB 的中点,BC=AC,求直线 EC1 与平面 ABB1A1 所成的角的正弦值.

考点: 直线与平面所成的角;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)首先利用面面垂直转化成线面垂直,进一步得出线线垂直. (Ⅱ)根据两两垂直的关系,建立空间直角坐标系,求出平面的法向量,进一步利用向量的夹 角余弦公式求出线面的夹角的正弦值. 解答: (Ⅰ)证明:取 AC 的中点 O,连接 A1O, 由于平面 ABC⊥平面 AA1C1C,A1O⊥AC, 所以:A1O⊥平面 ABC, 所以:A1O⊥BC, 又 BC⊥AC, 所以:BC⊥平面 A1BC 所以:A1B⊥AC1. (Ⅱ)以 O 为坐标原点建立空间直角坐标系 O﹣xyz, A(0,﹣1,0) ,B(2,1,0) ,C(0,1,0) ,C1(0,2, 则: , ,

) ,

设 =(x,y,z)是平面 ABB1A1 的法向量, 所以: ,

求得: 由 E(1,0,0) 求得:





直线 EC1 与平面 ABB1A1 所成的角的正弦值 sinθ=cos = .

点评: 本题考查的知识要点:线面垂直与面面垂直与线线垂直之间的转化,空间直角坐标 系,法向量的应用,线面的夹角的应用,主要考查学生的空间想象能力. 19. (12 分)某商场每天(开始营业时)以每件 150 元的价格购入 A 商品若干件(A 商品在商 场的保鲜时间为 10 小时,该商场的营业时间也恰好为 10 小时) ,并开始以每件 300 元的价格 出售,若前 6 小时内所购进的商品没有售完,则商店对没卖出的 A 商品以每件 100 元的价格 低价处理完毕(根据经验,4 小时内完全能够把 A 商品低价处理完毕,且处理完后,当天不再 购进 A 商品) . 该商场统计了 100 天 A 商品在每天的前 6 小时内的销售量, 制成如下表格 (注: 视频率为概率) . (其中 x+y=70) 前 6 小时内的销售量 t(单位:件) 4 5 6 频数 30 x y (Ⅰ)若某该商场共购入 6 件该商品,在前 6 个小时中售出 4 件.若这些产品被 6 名不同的 顾客购买,现从这 6 名顾客中随机选 2 人进行回访,则恰好一个是以 300 元价格购买的顾客, 另一个以 100 元价格购买的顾客的概率是多少? (Ⅱ)若商场每天在购进 5 件 A 商品时所获得的平均利润最大,求 x 的取值范围. 考点: 古典概型及其概率计算公式;离散型随机变量的期望与方差. 专题: 概率与统计. 分析: (1)根据排列组合,可以求出总的事件的个数和满足条件的基本事件的个数,根据 概率公式计算即可; (2)设销售 A 商品获得利润为 X,则商店每天购进的 A 商品的件数取值可能为 4 件,5 件, 6 件,分别求出其利润,根据题意列出不等式解得即可. 解答: 解: (1)恰好一个是以 300 元价格购买的顾客,另一个以 100 元价格购买的顾客的 概率是 A,则 P(A)= = ;

(2)设销售 A 商品获得利润为 X, (单位,元) ,以题意,视频率为概率,为追求更多的利润, 则商店每天购进的 A 商品的件数取值可能为 4 件,5 件,6 件, 当购进 A 商品 4 件时,EX=150×4=600, 当购进 A 商品 5 件时,EX=(150×4﹣50)×0.3+150×5×0.7=690,

当购进 A 商品 6 件时,EX=(150×4﹣2×50)×0.3+(150×5﹣50)×

+150×6×

=780﹣

2x, 由题意 780﹣2x≤690,解得 x≥45,又知 x≤100﹣30=70, * 所以 x 的取值范围为.x∈N . 点评: 本题考查了古典概型概率问题,以及数学期望的问题,属于中档题.

20. (12 分) 设椭圆 C: +

=1 (a>b>0) , F1、 F2 为左右焦点, B 为短轴端点, 且S

=4,

离心率为

,O 为坐标原点.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 C 恒有两个交点 M、N, 且满足| + |=| ﹣ |?若存在,求出该圆的方程,若不存在,说明理由.

考点: 椭圆的简单性质;椭圆的标准方程. 专题: 计算题;圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (Ⅰ)由题意可得方程 = ?2c?b=4,e= = ,且 a =b +c ;从而联立解出
2 2 2

椭圆 C 的方程为

+

=1;
2 2 2

(Ⅱ)假设存在圆心在原点的圆 x +y =r ,使得该圆的任意一条切线与椭圆 C 恒有两个交点 M、N,则可得 ? =0;再设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,当切线斜率存在时,设该圆的切

线的方程为 y=kx+m,

联立方程组

可得 x1+x2=﹣

,x1x2=

;y1y2=(kx1+m) (kx2+m)

=k x1x2+km(x1+x2)+m = 得 m≥ 或 m≤﹣

2

2

;从而再由 x1x2+y1y2=0 可得 3m ﹣8k ﹣8=0,从而可解
2 2

2

2

;从而解出所求圆的方程为 x +y = ;再验证当切线的斜率不存在时

也成立即可. 解答: 解: (Ⅰ)∵椭圆 C: 由题意可得, = ?2c?b=4,e= = ,且 a =b +c ;
2 2 2

+

=1(a>b>0) ,

联立解得,



故椭圆 C 的方程为

+

=1;
2 2 2

(Ⅱ)假设存在圆心在原点的圆 x +y =r , 使得该圆的任意一条切线与椭圆 C 恒有两个交点 M、N, ∵| ∴ + ? |=| =0; ﹣ |,

设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) , 当切线斜率存在时,设该圆的切线的方程为 y=kx+m,

解方程组
2 2

得,
2

(1+2k )x +4kmx+2m ﹣8=0, 2 2 2 2 2 则△ =(4km) ﹣4(1+2k ) (2m ﹣8)=8(8k ﹣m +4)>0; 2 2 即 8k ﹣m +4>0; ∴x1+x2=﹣ ,x1x2= ;

y1y2=(kx1+m) (kx2+m)=k x1x2+km(x1+x2)+m =

2

2



要使

?

=0,

故 x1x2+y1y2=0; 即
2

+
2

=0;

所以 3m ﹣8k ﹣8=0, 2 2 2 所以 3m ﹣8≥0 且 8k ﹣m +4>0; 解得 m≥ 或 m≤﹣ ;

因为直线 y=kx+m 为圆心在原点的圆的一条切线, 所以圆的半径为 r= 故 r= ; ,r =
2

=

= ;

即所求圆的方程为 x +y = ; 此时圆的切线 y=kx+m 都满足 m≥ 或 m≤﹣ ;

2

2

而当切线的斜率不存在时切线为 x=± ,± 满足 ? ) ; =0,
2 2

与椭圆

+

=1 的两个交点为 (

, ±

) , (﹣

综上所述,存在圆心在原点的圆 x +y = 满足条件. 点评: 本题考查了圆锥曲线的应用,化简很复杂,应用到了根与系数的关系以简化运算, 属于难题. 21. (12 分)已知函数 f(x)=ax+ln(x﹣1) ,其中 a 为常数. (Ⅰ)试讨论 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若 a= 时,存在 x 使得不等式|f(x)|﹣ ≤ 成立,求 b 的取值范围.

考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)先求函数 f(x)的定义域及 f′(x)= 况考虑即可; (Ⅱ)由(I)可得 f(x)max= +ln(e﹣1)<0,令 ,所以原不等式成立只需 ,求出 g(x)的 ﹣ ,再分 a≥0 时、a<0 时两种情

单调区间,从而可得 g(x)max=g(e)= ≤ ,解之即可.

解答: 解: (Ⅰ)由已知易得函数 f(x)的定义域为:{x|x>1}, f′(x)=a+ = ,

当 a≥0 时,f′(x)>0 在定义域内恒成立,f(x)的单调递增区间为(1,+∞) , 当 a<0 时,由 f′(x)=0 得 x=1﹣ 当 x∈(1,1﹣ )时,f′(x)>0, 当 x∈(1﹣ ,+∞)时,f′(x)<0, f(x)的单调递增区间为(1,1﹣ ) ,递减区间为(1﹣ ,+∞) ; ,

(Ⅱ)由(I)知当 a= 所以 f(x)max=f(e)= 所以|f(x)|≥﹣f(e)=

时,f(x)的单调增区间为(1,e) ,减区间为(e,+∞) , +ln(e﹣1)<0, 恒成立,当 x=e 时取等号.



,则



当 1<x<e 时,g(x)>0;当 x>e 时,g(x)<0, 从而 g(x)在区间(1,e)上单调递增,在区间(e,+∞)上单调递减, 所以 g(x)max=g(e)= , ≤ , 成立,

所以,存在 x 使得不等式|f(x)|﹣ 只需 即:b≥ ﹣ ﹣2ln(e﹣1) . ≤

点评: 本题主要考查函数的单调性及与不等式的综合,比较复杂的函数的单调性,一般用 导数来研究, 将其转化为函数方程不等式综合问题解决, 研究不等式时一定要先确定函数的单 调性才能求解. 22. (10 分)如图,已知圆 O 是△ ABC 的外接圆,AB=BC,AD 是 BC 边上的高,AE 是圆 O 的直径.过点 C 作圆 O 的切线交 BA 的延长线于点 F. (Ⅰ)求证:AC?BC=AD?AE; (Ⅱ)若 AF=2,CF=2 ,求 AE 的长.

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 推理和证明. 分析: (I) 如图所示, 连接 BE. 由于 AE 是⊙O 的直径, 可得∠ABE=90°. 利用∠E 与∠ACB 都是 所对的圆周角,可得∠E=∠ACB.进而得到△ ABE∽△ADC,即可得到.
2

(II) 利用切割线定理可得 CF =AF?BF, 可得 BF. 再利用△ AFC∽△CFB, 可得 AF: FC=AC: BC,进而根据 sin∠ACD=sin∠AEB,AE= 解答: 证明: (I)如图所示,连接 BE. ∵AE 是⊙O 的直径,∴∠ABE=90°. ,即可得出答案.

又∠E 与∠ACB 都是

所对的圆周角,

∴∠E=∠ACB. ∵AD⊥BC,∠ADC=90°. ∴△ABE∽△ADC, ∴AB:AD=AE:AC, ∴AB?AC=AD?AE. 又 AB=BC, ∴BC?AC=AD?AE. 解: (II)∵CF 是⊙O 的切线, 2 ∴CF =AF?BF, ∵AF=2,CF=2 , 2 ∴(2 ) =2BF,解得 BF=4. ∴AB=BF﹣AF=2. ∵∠ACF=∠FBC,∠CFB=∠AFC, ∴△AFC∽△CFB, ∴AF:FC=AC:BC, ∴AC= = . , =sin∠AEB, =

∴cos∠ACD= ∴sin∠ACD= ∴AE=

点评: 本题考查了圆的性质、三角形相似、切割线定理,属于中档题.

23.在直角坐标系 xOy 中,曲线 M 的参数方程为

(α

为参数) ,若以直角坐标系中的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 N 的 极坐标方程为 ρsin(θ+ )= t(t 为参数) .

(Ⅰ)求曲线 M 和 N 的直角坐标方程; (Ⅱ)若曲线 N 与曲线 M 有公共点,求 t 的取值范围. 考点: 参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程.

专题: 坐标系和参数方程. 分析: (1)平方得 x =2cos α ,代入第二个式子化简得出 ρsinθ+ρcosθ=t,根据 y=ρsinθ,x=ρcosθ,化简得出 x+y=t. (2)t=5,并且向左下方平行运动直到相切之前总有公共点,相切时仍只有一个公共点,联立 利用判别式问题求解. 解答: 解: (1)由 x=
2 2 2

,得 x =2cos α )= t,

2

2



所以曲线 M 可化为 y=x ﹣1,x∈,由 ρsin( 得 ρsinθ ρcosθ= t,

所以 ρsinθ+ρcosθ=t, 所以 N 可化为 x+y=t, (2)若曲线 N 与曲线 M 有公共点,则当直线 N 过点(2,3)时,满足要求, 此时 t=5,并且向左下方平行运动直到相切之前总有公共点,相切时仍只有一个公共点, 联立 得 x +x﹣1﹣t=0,
2

△ =1+4(1+t)=0,解得 t=

,综上可得 t 的取值范围

≤t≤5.

点评: 本题考查了参数方程的与普通方程的转化问题,曲线的公共点问题,利用方程有解 问题,转化为判别式求解,思路简单,属于中档题. 24.已知函数 f(x)=|3x+2|. (Ⅰ)解不等式 f(x)<4﹣|x﹣1|; (Ⅱ)已知 m+n=1(m,n>0) ,若|x﹣a|﹣f(x)≤ + (a>0)恒成立,求实数 a 的取值范围.

考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组,求出每个不等式组的 解集,再取并集,即得所求. (Ⅱ)由条件利用基本不等式求得 + ≥4,结合题意可得|x﹣a|﹣|3x+2|≤4 恒成立.令 g(x) =|x﹣a|﹣|3x+2|,利用单调性求得它的最大值,再由此最大值小于或等于 4,求得 a 的范围. 解答: 解: (Ⅰ)不等式 f(x)<4﹣|x﹣1|,即|3x+2|+|x﹣1|<4, ∴ ①,或 ②,或 ③.

解①求得﹣ <x<﹣ ,解②求得﹣ ≤x< ,解③求得 x∈?. 综上可得,不等式的解集为(﹣ , ) .

(Ⅱ)已知 m+n=1(m,n>0) ,∴ + =(m+n) ( + )=2+ + ≥2+2=4,当且仅当 m=n= 时, 取等号. 再根据|x﹣a|﹣f(x)≤ + (a>0)恒成立,可得|x﹣a|﹣f(x)≤4,即|x﹣a|﹣|3x+2|≤4.

设g (x) =|x﹣a|﹣|3x+2|=

, 故函数 g (x) 的最大值为 g (﹣ ) = +a,

再由 +a≤4,求得 0<a≤



点评: 本题主要考查绝对值不等式的解法,函数的恒成立问题,基本不等式的应用,体现 了转化、分类讨论的数学思想,属于中档题.


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