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高三一轮总复习文科数学课件:-直线与圆、圆与圆的位置关系 ppt8_图文

时间:

2019高三一轮总复习
数 学(文)
提高效率 ·创造未来 ·铸就辉煌

必修部分
第八章 解析几何
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系

缘分让我们相遇,缘分让我们在一起

1



考情分析 1



3 考点疑难突破



基础自主梳理 2

航 4 课时跟踪检测

缘分让我们相遇,缘分让我们在一起

2

1

考情分析

缘分让我们相遇,缘分让我们在一起

3

考点分布

考纲要求

考点 频率

命题趋势

直线与圆 1.能根据给定直线、

直线与圆,圆与圆的

的位置 圆的方程判断直线

位置关系,一直是

关系及 与圆的位置关系;

高考的热点,主要

应用

能根据给定两个圆

考查:

的方程判断圆与圆

(1)方程中含有参数的

的位置关系.

5年35 直线与圆的位置关

圆与圆的 2.能用直线和圆的方 考 系的判断.

方程关

程解决一些简单的 缘分让我们相遇,缘分让我们在一起

(2)利用4 相切或相交的

问题.

2

基础自主梳理

缘分让我们相遇,缘分让我们在一起

5

「基础知识填一填」 1.直线与圆的位置关系 设圆 C:(x-a)2+(y-b)2=r2,直线 l:Ax+By+C=0,圆心 C(a,b)到直线 l 的 距离为 d,由??????Axx-+aB?2y++?Cy-=b0?2=r2, 消去 y(或 x),得到关于 x(或 y)的一元二次方程, 其判别式为 Δ.

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6

方法 几何法 代数法
位置关系

相交

d<r Δ>0

相切

d=r Δ=0

相离

d>r Δ<0

缘分让我们相遇,缘分让我们在一起

7

2.圆与圆的位置关系 设两个圆的半径分别为 R,r,R>r,圆心距为 d,则两圆的位置关系可用下表来 表示:

位置关 系
几何特 征
代数特

外离 外切 相交 内切 内含

d>R

R-r<

d=R+r

d=R-r d<R-r

+r

d<R+r

无实

一组实 两组实数 一组实数 缘分让我们相遇,缘分让我们在一起

8

无实数解

注意:在利用判别式 Δ 判断两圆的位置关系时,Δ>0 是两圆相交的充要条件, 而 Δ=0 是两圆外切(内切)的必要不充分条件,Δ<0 是两圆外离(内含)的必要不充分 条件.

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「应用提示研一研」
1.圆的切线方程问题 (1)已知圆 O 的方程为 x2+y2=r2(r>0)和点 M(x0,y0): ①若点 M 在⊙O 上,则过点 M 的切线方程为 x0x+y0y=r2; ②若点 M 在⊙O 外,则直线 x0x+y0y=r2 与⊙O 的位置关系是相交; ③若点 M 在⊙O 内,则直线 x0x+y0y=r2 与⊙O 的位置关系是相离. (2)过圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 外一点 M(x0,y0)引切线,切点为 T,切线长公式为 |MT|= x20+y02+Dx0+Ey0+F. (3)弦心距公式 直线截圆所得的弦长为 2a,圆的半径为 r,弦心距为 d,则弦心距公式为 d=
r2-a2.

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10

2.已知 P 在圆 C(半径为 r)外,则过点 P 的切线长为 l= |PC|2-r2. 3.若两圆 C1,C2 相交,则两圆方程作差消去二次项得到的方程就是公共弦所在 直线的方程. 4.两圆公共弦的垂直平分线为两圆圆心连线. 5.易错提醒 (1)对于圆的切线问题,尤其是圆外一点引圆的切线,易忽视切线斜率 k 不存在的 情形. (2)两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形.

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「基础小题练一练」

1.(2017 届衡水中学月考)若直线 ax+by=1 与圆 x2+y2=1 相交,则 P(a,b)与

圆 x2+y2=1 的关系为( )

A.在圆上

B.在圆外

C.在圆内

D.以上都有可能

解析:|a×0+a2b+×b02-1|<1,∴a2+b2>1,∴P(a,b)在圆外.

答案:B

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2.(2018 届银川模拟)已知圆 C1:x2+y2=4,圆 C2:x2+y2+6x-8y+16=0,则

圆 C1 和圆 C2 的位置关系是( ) A.相离

B.外切

C.相交

D.内切

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解析:圆 C1:x2+y2=4,圆心为(0,0),半径 r1=2, 圆 C2:x2+y2+6x-8y+16=0,即(x+3)2+(y-4)2=9,圆心为 C2(-3,4),半径 r2=3, 两圆的圆心距 d= 9+16=5=2+3, 所以两个圆外切. 答案:B

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3.直线 l:3x-y-6=0 与圆 x2+y2-2x-4y=0 相交于 A,B 两点,则|AB|= ________.

解析:由 x2+y2-2x-4y=0,得(x-1)2+(y-2)2=5, 所以该圆的圆心坐标为(1,2),半径 r= 5, 又圆心(1,2)到直线 3x-y-6=0 的距离为 d= |33-2+2?--61|?2= 210,由????|A2B|????2=r2- d2,得|AB|2=4????5-52????=10,即|AB|= 10.

答案: 10

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4.若直线 x-y+1=0 与圆(x-a)2+y2=2 有公共点,则实数 a 的取值范围为 ________.
解析:由题意可得,圆的圆心为(a,0),半径为 2, ∴ |a1-2+0?+-11|?2≤ 2,即|a+1|≤2,解得-3≤a≤1.

答案:[-3,1]

5.若圆 x2+y2=1 与圆(x+4)2+(y-a)2=25 相切,则常数 a=________.

答案:±2 5或 0

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3

考点疑难突破

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直线与圆的位置关系

[题 组 训 练]

1.圆(x-1)2+(y+2)2=6 与直线 2x+y-5=0 的位置关系是( )

A.相切

B.相交但直线不过圆心

C.相交过圆心

D.相离

解析:由题意知圆心(1,-2)到直线 2x+y-5=0 的距离 d=|2×12-2+21-2 5|= 5<

6且 2×1+(-2)-5≠0,所以直线与圆相交但不过圆心.

答案:B

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2.(2017 届聊城模拟)圆(x-3)2+(y-3)2=9 上到直线 3x+4y-11=0 的距离等于

1 的点的个数为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

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解析:因为圆心到直线的距离为|9+152-11|=2,又因为圆的半径为 3,所以直线 与圆相交,由数形结合知,圆上到直线的距离为 1 的点有 3 个.

答案:C

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3.圆 x2+y2=1 与直线 y=kx+2 没有公共点的充要条件是________.

解析:解法一:将直线方程代入圆的方程,得(k2+1)x2+4kx+3=0,直线与圆没 有公共点的充要条件是 Δ=16k2-12(k2+1)<0,解得 k∈(- 3, 3).
解法二:圆心(0,0)到直线 y=kx+2 的距离 d= k22+1,直线与圆没有公共点的充 要条件是 d>1,
即 k22+1>1,解得 k∈(- 3, 3).

答案:k∈(- 3, 3)

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判断直线与圆的位置关系一般有两种方法 (1)几何法:圆心到直线的距离与圆半径比较大小,即可判断直线与圆的位置关 系.这种方法的特点是计算量较小. (2)代数法:将直线方程与圆方程联立方程组,再将二次方程组转化为一元二次 方程,该方程解的情况即对应直线与圆的位置关系.这种方法具有一般性,适合于判 断直线与圆锥曲线的位置关系,但是计算量较大,能用几何法,尽量不用代数法.

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切线、弦长问题
[考 向 锁 定] 与圆有关的切线及弦长问题,是近年来高考的一个热点. 常见的命题角度有 (1)求圆的切线方程(切线长); (2)求弦长; (3)由弦长及切线问题求参数.

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[多 维 视 角] 角度一 求圆的切线方程(切线长)

(2018 届丹东模拟)若点 P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在

点 P 处的切线方程是( ) A.x+2y-5=0 C.2x+y-4=0

B.x-2y+3=0 D.2x-y=0

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【解析】 由题意可得 OP 和切线垂直,故切线的斜率为2--10=-12, 1-0
故切线的方程为 y-2=-12(x-1),即 x+2y-5=0.
【答案】 A

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角度二 求弦长

(2018 届深圳模拟)直线 l:kx+y+4=0(k∈R)是圆 C:x2+y2+4x-4y +6=0 的一条对称轴,过点 A(0,k)作斜率为 1 的直线 m,则直线 m 被圆 C 所截得的 弦长为( )

2 A. 2 C. 6

B. 2 D.2 6

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【解析】 圆 C:x2+y2+4x-4y+6=0 可化为(x+2)2+(y-2)2=2,

故圆心 C(-2,2),半径 r= 2, 由题意可得,直线 l:kx+y+4=0 经过圆心(-2,2).

故有-2k+2+4=0,所以 k=3, 点 A(0,3).

直线 m:y=x+3,圆心到直线的距离

d=|-2-22+3|=

1, 2

所以直线 m 被圆 C 所截得的弦长为 2 【答案】 C

2-21= 6.

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角度三 由弦长及切线问题求参数

(2018 届襄阳模拟)已知圆 x2+y2-4x-6y+9=0 与直线 y=kx+3 相交

于 A,B 两点,若|AB|≥2 3,则 k 的取值范围是( )

A.????-34,0???? C.[- 3, 3 ]

B.????-

33,

3?? 3 ??

D.????-32,0????

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【解析】 圆 x2+y2-4x-6y+9=0 即(x-2)2+(y-3)2=4,

当|AB|=2 3时,

圆心(2,3)到直线 y=kx+3 的距离

d=|2k-k23++13|= r2-????|A2B|????2= 4-3=1,

故当|AB|≥2 3时,d=|2k-k23++13|≤1,

解得-

33≤k≤

3 3.

【答案】 B

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1.圆的切线方程的 2 种求法 (1)代数法:设切线方程为 y-y0=k(x-x0),与圆的方程组成方程组,消元后得到 一个一元二次方程,然后令判别式 Δ=0 进而求得 k. (2)几何法:设切线方程为 y-y0=k(x-x0),利用点到直线的距离公式表示出圆心 到切线的距离 d,然后令 d=r,进而求出 k. 提醒:若点 M(x0,y0)在圆 x2+y2=r2 上,则过 M 点的圆的切线方程为 x0x+y0y =r2.

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2.弦长的 2 种求法 (1)代数法:将直线和圆的方程联立方程组,消元后得到一个一元二次方程.在 判别式 Δ>0 的前提下,利用根与系数的关系,根据弦长公式求弦长. (2)几何法:若弦心距为 d,圆的半径长为 r,则弦长 l=2 r2-d2.

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[自 主 演 练]

1.(2017 届湖南四地联考)若圆 C:x2+y2+2x-4y+3=0 关于直线 2ax+by+6

=0 对称,过点(a,b)作圆的切线,则切线长的最小值是( )

A.2

B.3

C.4

D.6

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32

解析:圆 C 的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=2,所以圆心为点(-1,2),半径为 2. 因为圆 C 关于直线 2ax+by+6=0 对称,所以圆心 C 在直线 2ax+by+6=0 上,所以 -2a+2b+6=0,即 b=a-3,点(a,b)到圆心的距离
d= ?a+1?2+?b-2?2= ?a+1?2+?a-3-2?2= 2a2-8a+26= 2?a-2?2+18. 所以当 a=2 时,d 取最小值 18=3 2,此时切线长最小,为 ?3 2?2-? 2?2= 16= 4,故选 C.
答案:C

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2.(2017 届山西三地五校联考)过原点且与直线 6x- 3y+1=0 平行的直线 l 被 圆 x2+(y- 3)2=7 所截得的弦长为________.
解析:由题意可得 l 的方程为 2x-y=0,∵圆心(0, 3)到 l 的距离 d= 33=1, ∴所求弦长 l=2 R2-d2=2 7-1=2 6.
答案:2 6

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3.(2017 届江苏滨海中学月考)若 PQ 是⊙O:x2+y2=9 的一条弦,PQ 的中点是 点 E(1,2),则直线 PQ 的方程是________.
解析:由题意可知 OE⊥PQ.因为 kOE=21- -00=2,所以 kPQ=-21,所以直线 PQ 的方程为 y-2=-21(x-1),整理得 x+2y-5=0.
答案:x+2y-5=0

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35

圆与圆的位置关系

[典 例 导 引]

(1)圆 x2+y2-2x=0 与 x2+y2+4y=0 的位置关系是( )

A.相离

B.外切

C.相交

D.内切

(2)已知圆 C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0 与圆 C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=

0,若圆 C1 和圆 C2 相外切,则实数 m=________.

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36

【解析】 (1)x2+y2-2x=0 化为(x-1)2+y2=1,圆心为(1,0),半径为 1;x2+y2 +4y=0 化为 x2+(y+2)2=4,
圆心为(0,-2),半径为 2,圆心距为 5,而 2-1< 5<2+1. 所以两圆相交.

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(2)两圆的标准方程为(x-m)2+(y+2)2=9. (x+1)2+(y-m)2=4,圆心分别为 C1(m,-2),C2(-1,m),半径分别为 3,2. ∵圆 C1 与圆 C2 外切, ∴ ?m+1?2+?-2-m?2=5, 解得 m=-5 或 m=2. 【答案】 (1)C (2)-5 或 2

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(1)判断两圆位置关系的方法: 常用几何法,即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系,一般不用代数 法. (2)两圆公共弦长的求法: 两圆公共弦长,在其中一圆中,由弦心距 d,半弦长为2l ,半径 r 所在线段构成 直角三角形,利用勾股定理求解.

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[自 主 演 练]

1.圆 x2+y2=2 与圆(x-1)2+(y-1)2=8 的位置关系是( )

A.内切

B.外切

C.相交

D.相离

解析:两圆的圆心分别为(0,0),(1,1),半径分别为 2,2 2,两圆的圆心距为 2, 易得两圆内切,故选 A.

答案:A

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2.(2017 届山西太原模拟)若圆 C1:x2+y2=1 与圆 C2:x2+y2-6x-8y+m=0 外切,则 m=( )

A.21 C.9

B.19 D.-11

解析:圆 C1 的圆心为 C1(0,0),半径 r1=1,因为圆 C2 的方程可化为(x-3)2+(y -4)2=25-m,所以圆 C2 的圆心为 C2(3,4).半径 r2= 25-m(m<25).从而|C1C2|=
32+42=5.由两圆外切得|C1C2|=r1+r2,即 1+ 25-m=5,解得 m=9,故选 C.

答案:C

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3.若圆 x2+y2=4 与圆 x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦长为 2 3,则 a= ________.
解析:方程 x2+y2+2ay-6=0 与 x2+y2=4. 两式相减得 2ay=2,则 y=1a. 由已知条件 22-? 3?2=a1,即 a=1. 答案:1

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