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2.4.1-1抛物线及其标准方程(1)

时间:2016-12-03


椭圆、双曲线的第二定义: 平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离 的比是常数e的点的轨迹, 当0<e <1时, 是椭圆, 当e>1时, 是双曲线. 当e=1时, 它是什么曲线? l l l M M
M F F

复习:

F

?

0< e < 1

e> 1

e=1

2.4.1抛物线及其标准方程 l N (1)
一、定义
平面内与一个定点F和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 定点F叫做抛物线的焦点。 定直线l 叫做抛物线的准线。

M

· · F

| MF | 即: 若 | MN | ? 1, 则点M的轨迹是抛物线。

二、标准方程
如何建立直角坐标系?

设定点F到直线l的距离为p(p>0)
方案一: 以l 为y 轴, 过点F垂直于l的直线为x轴建立直角坐标系。 设动点M(x,y), 定点F(p,0), 则由抛物线的定义得: |MF|=|MN|,
2 - ? x ? p? ? y ? x ? y =2px p (p>0)
2 2

y
N

l
p

M(x,y)

O

· · F(p,0)x
y

2

方案二: 以定点F为原点, 过F垂直于l的直线为x轴,建立直角坐标系 动点M(x,y), 定点F(0,0), l的方程为: x=-p 则由抛物线的定义得 |MF|=|MN|,

l
N p

M (x,y)

x ? y =|x+p| ? y =2px+p (p>0)
2 2

2

2

二、标准方程
如何建立直角坐标系?
x =- p

· x · F (0,0)

方案三: 如图,建立直角坐标系:

l
N

y
M(x,y)

设︱KF︱= p (p>0) p p 则 F ( , 0 ) , l: x ? ? 2 2 设点M的坐标为(x,y),
由定义可知,|MF|=|MN|

p
K O p x?? 2

· · F

p ( ,0 ) 2

x

p p 2 2 (x ? ) ? y ? | x ? | 2 2

化简得

2 y

= 2px(p>0)

二、标准方程
如何建立直角坐标系?

M(x,y) 其中p为正常数,它的几何意义是 N 焦点到准线的距离(焦准距) p x p p O K F ( ,0 ) 焦点坐标是 ( ,0) 2 p 2 x?? 2 2 p (p>0) 方案二: 2 y =2 px + p 准线方程是 x ? ? 2 通过比较,方案3得出的方程的形式简单

方案三: 方案一:

y =2px-p (p>0)

2

2

l

y

· ·

化简得

2 y

= 2px(p>0)

叫做抛物线的 标准方程

二、标准方程
如何建立直角坐标系?

l
N

y
M(x,y)

p
K O p x?? 2

· · F

p ( ,0 ) 2

x

M p N ( ? , 0 ) 焦点坐标是 2 叫做抛物线的 2 2px(p>0) 标准方程 y = p p (? , 0)F o x 准线方程是 x ? 2 p 2 x?

y2 = -2px (p>0) ………标准方程

y l

· ·

2

x2 = 2py (p>0)
p 焦点坐标是 ( 0, ) 2 p 准线方程是 y ? ? 2 p 焦点坐标是 ( 0,? ) 2 p 准线方程是 y ? 2

………标准方程 l

y
p F(0, ) 2

M

p y?? 2
p y? 2

· ·
O

x

N
y

x2 = -2py (p>0) ………标准方程
o

N l
p M F ( 0, ? ) 2

··

x

由于在坐标系的位置不同,抛物线的方程也不同,有四种不同情况:


y
?


F
x


2









线

O

y ? 2p x

p F ( , 0) 2
p F ( ? , 0) 2
p F ( 0, ) 2

p x?? 2

y
?

FO

x

y ? ?2 p x
2

y
?

p x? 2
p y?? 2

F

O

x
l
l

x ? 2p y
2

y
O
?

x

F

x ? ?2 p y
2

p F ( 0, ? ) 2

p y? 2

说明 抛物线的标准方程及其结构特点 图 像 方 程 焦 点
y
?



线

O

F

x

y 2 ? 2p x

1.其结构为二元二次形式

y
?

FO

x

2.一次项对应的字母 y ? ?2 p x 确定焦点所在坐标轴
2

y
?

F

O

x
l
l

x ? 2p y
2

y
O
?

3.一次项系数的符号 确定抛物线的开口方向.

x

F

x ? ?2 p y
2

例1、(1)已知抛物线的标准方程是 y2 = 6x,求它的焦点 坐标和准线方程;
(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0, -2),求它的标准方程; (3)已知抛物线的标准方程是 y= 6x2,求它的焦点坐标和 准线方程. 解: (1) 由 y ? 6 x 知:
2

2p ? 6 ? p ? 3
3 ( , 0) , ? 此抛物线的焦点坐标是 2

y
?

3 准线方程是 x ? ? . 2

O

F

x

例1、(1)已知抛物线的标准方程是 y2 = 6x,求它的焦点 坐标和准线方程;
(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0, -2),求它的标准方程; (3)已知抛物线的标准方程是 y= 6x2,求它的焦点坐标和 准线方程.

(2) ? 抛物线焦点是F (0 , ? 2) ,

y
O
?

设抛物线的方程是: x 2 ? ?2 p y
? 抛物线方程是 x 2 ? ?8 y .
p ?? ? ?2 ? p ? 4 , 2
F

l

x

例1、(1)已知抛物线的标准方程是 y2 = 6x,求它的焦点 坐标和准线方程;
(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0, -2),求它的标准方程; (3)已知抛物线的标准方程是 y= 6x2,求它的焦点坐标和 准线方程. 二次函数

(3) 将y ? 6 x 2化为标准方程 :
1 (0 , ) , ? 此抛物线的焦点坐标是 24 1 准线方程是 y ? ? 24 .

1 1 1 x ? y 知:2 p ? ? p ? 6 6 12
2

y
?

F

O

x
l

例2、求过点A(-3,2)的抛物线的标准方程.
解:当焦点在y轴的正半轴上时, 标准方程:x2 =2py, 9 2 把A(-3,2)代入x =2py,得 p ? 4 9 y 2 ∴抛物线的标准方程为 x ? y 2 当焦点在x轴的负半轴上时, A(-3,2) 标准方程:y2 = -2px,
2 -2px,得: p ? . 3 4 2 ∴抛物线的标准方程为 y ? ? x 3

把A(-3,2)代入y2 =

O

x

9 4 2 综上所解,所求抛物线的方程为: x ? y , y ? ? x . 2 3
2

例3、一种卫星接收天线的轴截面如图所示.卫星波束呈 近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线,经反射 聚焦到焦点处.已知接收天线的口径为4.8m,深度为0.5m. 试建立适当的坐标系,求抛物线的标准方程和焦点坐标.
y

看书P66: 例2
0.5 4.8 O F x

课堂练习:
1、根据下列条件,写出抛物线的标准方程: (1)焦点是F(3,0);
1 (2)准线方程 是x = ? ; 4 2

y2 =12x

y =x

(3)焦点到准线的距离是2。

y2 =4x、 y2 = -4x、 x2 =4y 、 x2 = -4y

2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程: 1 2 2 (1)y = 20x (2)x = y 5 2 2 (3) y ? ? x 2 2 2 (3)2y +5x =0 (4)x +8y =0 (4) x 2 ? ?8 y

焦点坐标

准线方程

(1) (2) (3)

(5,0)
1 (0,—) 8 5 ( ? , 0) 8

x= - 5
1 y= - — 8 5 x= — 8

(4)

(0,-2)

y=2

小 结 :
1、椭圆、双曲线与抛物线的定义的联系及其区别;

2、会进行抛物线的标准方程、焦点、准线之间的 互求;

3、注重数形结合的思想。

本节课到此结束,请同学们课后再 做好复习与作业。谢谢!
作业: 习题2.4.1: P73:1、2、3、4 聚焦课堂:

再见!


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