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南京大学(10商院)概率统计期末试卷

时间:2017-12-27


南京大学数学课程试卷
2011/2012 学年 第 一 考试时间 2011.12.28 题号 得分 Φ (1.0)=0.8413, ? (1.28) = 0.90 , ? (1.58) = 0.943, ? (1.645) = 0.95 , ? (1.96) = 0.975 , t 0.025 (27)=2.052, t 0.025 (28)=2.048, t 0.05 (27)=1.703, t 0.05 (28)=1.706 ? (2.33) = 0.99 , ? (2.58)=0.995,
t 0.025 (24)=2.052, t 0.025 (25)=2.048, t 0.05 (24)=1.703, t 0.05 (25)=1.706

学期

考试形式 学号

闭卷

课程名称 姓名

概率统计 (A 卷)

系别 三 10 四 12

一 36

二 10

五 10

六 10

七 12

合计

一. (6 分×6=36 分) (1)给定 p=P(A), q=P(B), r=P(A ? B), 求 P(A B ) 及 P( A B ).

(2)设随机变量X i ~N(2, 3 2 ), i=1,2, ? 10, 且相互独立, 求 E[2X 1 ? X i ].
i ?1

10

? 2k ? 0 ? 2k ? ?, (3)设{ ? n }为独立随机变序列,且 ? k ~ ? ? (2 k ?1) ?2 k ? (2 k ?1) ? 2 1 ? 2 2 ? ? n 1 求证: ? ? >0,有 P( ? ? k ? ? ) =0, 即 { ?n }服从大数定律. lim n k ?1 n??

k=1, 2, ? .

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(4)已知两正态总体 ? ~N(20, 4), ? ~N(20, 6).分别从 ? , ? 中取出 n 1 =10, 本, X , Y 分别为 ? , ? 的样本均值.计算 P( X ? Y >0.8).

n 2 =25 的两组独立样

( 5) 设某年级数学考试成绩服从正态分布, 随机抽取其中 28 名学生的考试成绩, 得样本均值 x =80 28 ~ 1 分,样本方差 S 2 = ? ( xi ? x ) 2 =64,试求该年级数学考试平均成绩的置信区间(置信度 0.95) . 28 i ?1

?1? (6)设总体 X~N( ? , ? 2 ), X 1 , X 2 , X 3 是一个样本,试验证 ? ? 2 ? X1 ? ? 1 3 1 5 X2 ? X3 , 4 12 ? 3? ?

1 3 1 X1 ? X 2 ? X 3 , 5 10 2

1 1 1 X 1 ? X 2 ? X 3 都是 ? 的无偏估计量,并比较它们的有效性. 3 6 2

? 2 1 0 ? x ? 1, 0? y?2 ? x ? xy, 二.(12 分)设( ? ,? )的联合密度为 p(x, y)= ? ,试求: 3 ? 其它 ? 0 , (1)边际密度 p1 ( x) 和 p2 ( y) , ? 与 ? 是否相互独立?说明理由; (2 ) P{ ? ? ? } 的值.

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三.(10 分)设 X~U(-0.5 , 0.5) , 而 Y=cosX , 试问: (1)X 与 Y 是否不相关?(2)X 与 Y 是否独立? (均须说明理由) .

四.(10 分)设某地区拟建一家新电影院,据分析,该地区平均每日约有 1600 人去看电影,且预计新电 影院建成后,平均每天约有四分之三的观众将去这家新电影院,现该影院在计划座位数时,要求座位 数尽可能多,但还要求“空座位数达到 200 或更多”的概率不能超过 0.1, 问至多可设多少个座位?

五.(10 分)设 X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 是取自正态总体 N(0, ? 2 ) 的容量为 5 的样本,试求下列统计量的 分布: (1)Y= 出)
1 2?
2

( X 1 +X 2 ) 2 +

1 3 2 2 ( X3 +X 2 4 +X 5 ) ;(2)Z= 2 2 ?

X1 ? X 2
2 2 X3 ? X2 4 ? X5

.(如有自由度, 必须指

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六.(12 分)设总体 X 服从二项分布,即 X~B(m , p), 其中 m 是已知的自然数,p 是未知参数, (X 1 , X 2 , …,X n )是来自总体 X 的随机样本,(1)求 p 的矩估计量与极大似然估计量.(2)这些估计 量是否为 p 的无偏估计量?是否为 p 的一致估计量?(均须说明理由) .

七.(10 分)一种元件,要求其平均使用寿命不得低于是 1000 小时,今从这批元件中随机地抽取 25 件, 测得其平均寿命为 950 小时.已知该种元件寿命 ? 服从标准差 ? =100 小时的正态分布, (1)试在显著 水平 ? =0.05 下确定这批元件是否合格?(2)求 ? =E ? 的置信度为 95%的置信区间.

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