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2018-2019年高中数学苏教版选修1-1课件:第三章 3.2.1 常见函数的导数PPT课件_图文

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第3章 § 3.2 导数的运算 3.2.1 常见函数的导数 学习 目标 1 1.能根据定义求函数 y=c,y=x,y=x ,y=x ,y= x的导数. 2 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数. 栏目 索引 知识梳理 题型探究 当堂检测 自主学习 重点突破 自查自纠 知识梳理 自主学习 知识点一 几个常用函数的导数 原函数 f(x)=C(C 为常数) f(x)=x f(x)=x2 1 f(x)=x f(x)= x 导函数 f′(x)=__ 0 1 f′(x)=__ 2x f′(x)=__ 1 f′(x)=-x2 f′(x)= 1 2 x 答案 知识点二 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)=xα(α为常数) f(x)=sin x f′(x)= αxα-1 4 f′(x)= cos x 1 -sin x1 f′(x)= f′(x)= axln a 1(a>0,且a≠1) f(x)=cos x f(x)=ax f(x)=ex f(x)=logax f(x)=ln x f′(x)= ex 1 1 f′(x)= xln a (a>0,且a≠1) 1 f′(x)= x 答案 返回 题型探究 重点突破 题型一 利用导数定义求函数的导数 例1 利用导数的定义求函数f(x)=2 016x2的导数. 解 2 2 2 016 ? x + Δ x ? - 2 016 x Δy Δx= x+Δx-x 2 016[x2+2x·Δx+?Δx?2]-2 016x2 = Δx 4 032x·Δx+2 016?Δx?2 = = 4 032 x + 2 016Δ x . Δx Δy 当 Δx→0 时,Δx→4 032x, ∴f′(x)=4 032x. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练1 解 利用导数的定义求函数y=x2+ax+b(a,b为常数)的导数. 2 2 ? x + Δ x ? + a ? x + Δ x ? + b - ? x +ax+b? Δy Δx= Δx x2+2x·Δx+?Δx?2+ax+a·Δx+b-x2-ax-b = Δx 2x·Δx+a·Δx+?Δx?2 = =2x+a+Δx. Δx Δy 当 Δx→0 时,Δx→2x+a, ∴f′(x)=2x+a. 解析答案 题型二 利用导数公式求函数的导数 例2 求下列函数的导数: π (1)y=sin3; 解 y′=0; (2)y=5x; 解 y′=(5x)′=5xln 5; 1 (3)y=x3; 解 y′=(x-3)′=-3x-4; 解析答案 (4)y= x3; 解 y′=( x )′=( x 3 4 4 3 4 1 3 3 )′=4x- 4 = ; 4 4 x (5)y=log3x. 解 1 y′=(log3x)′=xln 3. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练2 (1)y=x13; 解 求下列函数的导数: y′=(x13)′=13x13-1=13x12; 4 (2)y= x; 1 3 1 1 -1 1 ? 4 4 4 解 y′=( x)′=( x )′=4x 4 =4x ; (3)y=sin x; y′=(sin x)′=cos x; 1 (4)y= . 5 2 x 2 1 2 ? 5 解 y′=( )′ =(x )′=-5x 5 2 x 解 2 ? ?1 5 2 ?7 =-5x 5 . 解析答案 题型三 利用导数公式求曲线的切线方程 ?π 1? ? 例 3 求过曲线 y=sin x 上点 P?6,2? ?且与过这点的切线垂直的直线方程. ? ? 解 ∵y=sin x,∴y′=cos x, ?π 1? ? P?6,2? ?处的切线斜率是 ? ? 曲线在点 y′| x ? ? 6 π 3 cos6= 2 . 2 ∴过点 P 且与切线垂直的直线的斜率为- , 3 1 2 π 故所求的直线方程为 y-2=- (x-6), 3 3 π 即 2x+ 3y- 2 -3=0. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练 3 (1)求曲线 y=cos x 在点 ?π A? ? , ?6 3? ? 处的切线方程; 2? ? 解 ∵y=cos x, ∴y′=-sin x,y′| x ? ? 6 π 1 =-sin 6=-2. π? 3 1? ? ∴曲线在点 A 处的切线方程为 y- 2 =-2?x-6? ?, ? ? 1 3 π 即 y=-2x+ 2 +12. 解析答案 (2)求曲线 解 ?π ? ? ? y=sin?2-x?在点 ? ? ? π 1? ? ? A?-3,2?处的切线方程. ? ? ?π ? ? ? - x ∵sin?2 ?=cos ? ? x, ∴y′=(cos x)′=-sin x. ∴曲线在点 ? π 1? ? A?-3,2? ?处的切线的斜率为 ? ? ? π? ? k=-sin?-3? ?= ? ? 3 2. π? 1 3? ? ∴切线方程为 y-2= 2 ?x+3? ?, ? ? 即 3 3x-6y+ 3π+3=0. 解析答案 思想方法 数形结合思想的应用 例4 设P是曲线y=ex上任意一点,求点P到直线y=x的最小距离. 分析 如图,设l是与直线y=x平行,且与曲线y=ex相切的直线,则切点 到直线y=x的距离最小. 解 设与直线y=x平行的直线l与曲线y=ex相切于点P(x0,y0). xo x e 因为y′=e ,所以 =1,所以x0=0. 代入y=ex,得y0=1,所以P(0,1). |0-1| 2 所以点 P 到直线 y=x 的最小距离为 =2. 2 解后反思 解析答案 返回 当堂检测 1 2 3 4 5 1.已知f(x)=x2,则f′(3)=________. 6 解析 ∵f(x)=x2,∴f′(x)=2x,∴f′(3)=6. 解析答案

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