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专题三:数列D-学生版-苏深强

时间:2012-06-15


冲刺讲义

数列压轴题型总结
数列大题在高考中一般属于难题,历来也是得分较低的题目。题型多变、条件繁琐、规 律易找难推导难表达等等都是失分的原因。本讲义就从分段数列,新定义数列,两个数列的 综合考查,一个数列的项的抽取和插入,数列型应用题,数列与函数、解几、向量、不等式、 排列组合、算法等等的交汇,数阵和数表,数列的递推、求和、最大最小项、最大最小和、 三个字母、无法求和等等常规性问题一共八个方面进行了归纳总结,难免挂一漏万,还请大 家批评指正。 一、分段数列 (一)通项公式前后分段 例 1.1 如果有穷数列 ,即 数列 (1) 设 次写出 ( ( 为正整数)满足条件 , ,?, 与

) ,我们称其为“对称数列”. 例如数列

都是“对称数列”. 是 7 项的 “对称数列” , 其中 b1,b2,b3,b4 是等差数列, 且 的每一项; 是 项的“对称数列” ,其中 c25,c26???c49 是首项为 ,公比为 的等 ; , . 依

(2)设 比数列,求 (3)设 等差数列.求

各项的和 是

项的“对称数列” ,其中 d51,d52???d100 是首项为 ,公差为 的 .

前 项的和

练习:数列

中,
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则数列

的极限值________

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(二)通项公式奇偶分段 例 1.2 在数列 为 2k.(1)证明 中, =0,且对任意 k , 成等差数列,其公差 的通项公式;

成等比数列; (2)求数列

练习:设 m 个不全等的正数

a1 , a2 ,

, am (m ? 7) 依次围成一个圆圈,若 m ? 2009 ,且 , a1006 是公比为 q ? d 的等比数

a1 ,a2 , , a1005 是公差为 d 的等差数列,而 a1 , a2009 , a2008
列,数列

a1 , a2 ,

, am 的前 n 项和 Sn (n ? m) 满足: S3 ? 15, S2009 ? S 2007 ? 12a 1,求通项

an (n ? m) .

(三)递推公式前后分段

例 1.3 已知以 (1)当 (2)当

为首项的数列

满足: 的通项公式; 表示数列



时,求数列 , , 时,试用

前 100 项的和

.

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(四)递推公式奇偶分段

例 1.4 设数列{an}的首项 a1=a≠

,且

,记



(1)求 a2,a3; (2)判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论; (3)求 .

练习:已知数列

满足:

(m 为正整数) ,



,则 m 所有可能的取值为__________ (五)递推公式和通项公式的奇偶分段 例 1.5 将边长分别为 1、2、3、4、?、n、n+1、?( )的正方形叠放在一起,

形成如图所示的图形.由小到大,依次记各阴影部分所在的图形为第 1 个、第 2 个、??、 第 n 个阴影部分图形.设前 n 个阴影部分图形的面积的平均数为 .记数列 满足

, (1)求 (2)写出 的表达式; 的值,并求数列 的通项公式.
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二、新定义的数列 (一)考查对数列基本特征的认识和理解 例 2.1 如果存在常数 a 使得数列 列

?an ? 满足:若 x 是数列 ?an ? 中的一项,则 a ? x 也是数

?an ? 中的一项,称数列 ?an ? 为“兑换数列” ,常数 a 是它的“兑换系数”.
(1)若数列: 1, 2, 4, m (m ? 4) 是“兑换系数”为 a 的“兑换数列” ,求 m 和 a 的值; (2)若有穷递增数列

?bn ? 是“兑换系数”为 a 的“兑换数列” ?b ? ,求证:数列 n 的前 n

项和

Sn ?

n ?a 2 ;

(3) 已知有穷等差数列

?cn ? 的项数是 n0 (n0 ? 3) , ?c ? 所有项之和是 B , 试判断数列 n 是
n0 和 B 表示它的“兑换系数” ;如果不是,

否是“兑换数列”?如果是的,给予证明,并用 说明理由.

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an ? an ? 2 ? an ?1 a ? M ( M 是与 n 无关 2 练习 1:定义:对于任意 n ? N ,满足条件 且 n
*

的常数)的无穷数列 (1)若

?a ? 称为 T 数列.
n

an ? ?n2 ? 9n ( n ? N* ),证明:数列 ?an ? 是 T 数列;
n

?3? bn ? 50n ? ? ? bn ? ? ? 2 ? ,且数列 ?bn ? 是 T 数列,求常数 M 的取值 (2)设数列 的通项为
范围;

cn ?
(3)设数列

p ?1 * ?c ? n ( n ? N , p ? 1 ),问数列 n 是否是 T 数列?请说明理由.

? an ?满足下列条件:① 练习 2:如果无穷数列

an ? an ? 2 ? a n ?1 2 ;②存在实数 M ,使

an ? M .其中 n ? N ? ,那么我们称数列 ? an ?为 ? 数列.
(1)设数列

? bn ?的通项为 bn ? 5n ? 2n ,且是 ? 数列,求 M 的取值范围;
1 7
证明:数列

c3 ? , S3 ? , ?c ? S 4 4 (2)设 n 是各项为正数的等比数列, n 是其前项和,

? Sn ?是 ? 数列;
(3)设数列

? d n ?是各项均为正整数的 ? 数列,求证: dn ? dn ?1 .

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x 练习 3:我们知道,如果定义在某区间上的函数 f ( x ) 满足对该区间上的任意两个数 1 、 x2 ,总有不等式
f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x ? f( 1 2) 2 2 成立,则称函数 f ( x ) 为该区间上的上凸函数.

an ? an ? 2 ? an ?1 ?a ? 2 类比上述定义,对于数列 n ,如果对任意正整数 n ,总有不等式: 成立,
则称数列

?an ? 为向上凸数列(简称上凸数列).

现有数列

?an ? 满足如下两个条件:

(1)数列

?an ? 为上凸数列,且 a1 ? 1, a10 ? 28 ;
*

(2)对正整数 n ( 1 ? n ? 10, n ? N ) ,都有 则数列

an ? bn ? 20

,其中

bn ? n2 ? 6n ?10 .

?an ? 中的第五项 a5 的取值范围为
An : a1 , a2 ,

________

(二)考查研究数列的方法 例 2.2 已 知 数 列

, an . 如 果 数 列 Bn : b1, b2 ,

, bn 满 足 b1 ? an ,

bk ? ak ?1 ? ak ? bk ?1 ,其中 k ? 2,3,
(1)若数列

, n ,则称 Bn 为 An 的“生成数列”.

A4 : a1 , a2 , a3 , a4 的“生成数列”是 B4 : 5, ?2,7, 2 ,求 A4 ; An 的“生成数列”是 Bn ,证明: Bn 的“生成数列”是 An ; An 的“生成数列”是 Bn , Bn 的“生成数列”是 Cn ,?.依次将
, n) 项取出,构成数列 ?i : ai , bi , ci ,
.证明:

(2)若 n 为偶数,且 (3)若 n 为奇数,且 数列

An , Bn ,Cn ,?的第 i (i ? 1, 2,

?i 是

等差数列.

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练习 1:设数列

{an } , an?1 ? an ? 3n ? 1, a1 ? 1 ,求: an 及其前 n 项和 Sn .

练习 2:若数列 列

?an ? 满足: a1 ? m1, a2 ? m2 , an?2 ? pan?1 ? qan ( p, q 是常数) ,则称数

?an ? 为二阶线性递推数列,且定义方程 x2 ? px ? q 为数列 ?an ? 的特征方程,方程的根称 ?an ? 的通项公式 an 均可用特征根求得:
n n

为特征根; 数列

2 a ? c1? ? c2 ? , ①若方程 x ? px ? q 有两相异实根 ? , ? ,则数列通项可以写成 n (其中

c1 , c2 是待定常数) ;
2 a ? (c1 ? nc2 )? , ②若方程 x ? px ? q 有两相同实根 ? , 则数列通项可以写成 n (其中 c1 , c2

n

是待定常数) ; 再利用

a1 ? m1 , a2 ? m2 , 可求得 c1 , c2 ,进而求得 an .

根据上述结论求下列问题:

a ? 5an?1 ? 6an 时,求数列 ?an ? 的通项公式; (1)当 a1 ? 5, a2 ? 13 , n?2 a ? 2an?1 ? 3an ? 4 时,求数列 ?an ? 的通项公式; (2)当 a1 ? 1, a2 ? 11 , n?2 a ? an?1 ? an 时,记 Sn ? a1Cn ? a2Cn ? (3)当 a1 ? 1, a2 ? 1 , n?2
1 2 n S ? anCn ,求 n

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三、两个简单数列的综合考查 (一)公共项问题(求两个数列的公共项,求两个等差数列的公共项常用整除讨论的方 法;求等差数列与等比数列的公共项常用到二项式定理) 例 3.1 已知两个等差数列:5,8,11,??; ① 3,7,11,??; ② 它们的项数均为 100 项,试问他们有多少个彼此具有相同数值的项。

3 例 3.2 设 An 为数列{an}的前 n 项和,An= 2 (an-1),数列{bn}的通项公式为 bn=4n+3;
(1)求数列{an}的通项公式; (2)把数列{an}与{bn}的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列{dn}, 证明: 数列{dn} 2n+1 的通项公式为 dn=3 ; (3)设数列{dn}的第 n 项是数列{bn}中的第 r 项,Br 为数列{bn}的前 r 项的和;Dn 为数列

Tn lim (a ) 4 {dn}的前 n 项和,Tn=Br-Dn,求 n?? n .

练习 1:在[1000,2000]内能被 3 整除且被 4 除余 1 的整数有多少个?

练习 2:数列 数列

{an } 的前 n 项和为 S n , 且(1 ? p)S n ? p ? pan (n ? N ? , p ? 0且p ? 1) ,

{bn } 满足 bn ? 3 ? 8 log p an .
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(1)分别求

{an } 和 {bn } 的通项公式;

{a } {b } {c } {c } (2)当 p ? 3 时,设 n 和 n 的公共项按原顺序组成的数列为 n ,求数列 n
的通项公式以及前 n 项和

Tn . .

练习 3:已知数列 将集合

{an } 和 {bn } 的通项公式分别为 an ? 3n ? 6 ,bn ? 2n ? 7 ( n ? N *) .
中的元素从小到大依次排列,构成数列

{x x ? an ,n ? N *} { x x ? bn n , ? N *}
,c n ,

c1 , c2 , c3 ,

(1)写出

c1 , c2 , c3 , c4 ;
{cn } 中,但不在数列 {bn } 中的项恰为 a2 , a4 ,

(2)求证:在数列 (3)求数列

, a2n ,



{cn } 的通项公式.

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(二)项相加减 例 3.3(1)已知两个等比数列{an},{bn},满足 a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3- a3=3,若数列{an}唯一,求 a 的值; (2)是否存在两个等比数列{an},{bn},使得 b1-a1,b2-a2,b3-a3,b4-a4 成公差不为 0 的等差数列?若存在,求{an},{bn}的通项公式;若不存在,说明理由.

(三)项相乘除 例 3.4 已知 (1)若

?an ? 是公差为 d 的等差数列, ?bn ? 是公比为 q 的等比数列。

an ? 3n ? 1 ,是否存在 m、k ? N * ,有 am ? am?1 ? ak ? 说明理由;

an ?1 ? bn * an ? ?bn ? ? a n ? N n (2)找出所有数列 和 ,使对一切 , ,并说明理由;
(3)若 和是数列

a1 ? 5, d ? 4, b1 ? q ? 3, 试确定所有的 p ,使数列 ?an ? 中存在某个连续 p 项的

?bn ? 中的一项,请证明。

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四、一个数列的项的抽取和插入 例 4.1 已知数列

?an ? 是首项为 2 的等比数列,且满足 an?1 ? pan ? 2n (n ? N ? )

?a ? (1)求常数 p 的值和数列 n 的通项公式;
(2)若抽去数列中的第 1 项,第 4 项,第 7 项. . . . . . .第 3n ? 2 项, . . . . . . 余下的项按原来的顺序组成一个新的数列

?bn ? ,试写出数列 ?bn ? 的通项公式;

Tn ?1 11 ? T 是否存在正整数 n , ?b ? T 3? (3) 在 (2) 的条件下, 设数列 n 的前 n 项和为 n , 使得 n 若存在,试求所有满足条件的正整数 n 的值,若不存在,请说明理由。

练习 1: 已知:数列

?an ?是首项 a1 ? 2, 公差是 d 的等差数列。数列 ?bn ?是等比数列,

?b ? ?a ? 且 b1 ? a1 , b2 ? a2 。问:是否存在自然数 d,使得数列 n 是数列 n 的子数列?如存在,
试求出 d 的一切可能值.

练习 2:设等比数列 (1)求数列 (2)在

{an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 an?1 ? 2Sn ? 2(n ? N *) .

{an } 的通项公式;

an 与 an ?1 之间插入 n 个数,使这 n ? 2 个数组成公差为 d n 的等差数列(如:在 a1 与
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a2 之间插入 1 个数构成第一个等差数列,其公差为 d1 ;在 a2 与 a3 之间插入 2 个数构成第二
个等差数列,其公差为

d2 ,?以此类推),设第 n 个等差数列的和是 An . 是否存在一个关于

n 的多项式 g (n) ,使得 An ? g (n)dn 对任意 n ? N * 恒成立?若存在,求出这个多项式;若
不存在,请说明理由;

五、数列应用题(建立数列的递推关系来解题将有可能成为考数列应用题的一个方向) 例 5.1 某高科技企业研制出一种型号为 A 的精密数控车床, A 型车床为企业创造的价 值逐年减少(以投产一年的年初到下一年的年初为 A 型车床所创造价值的第一年) .若第 1 年 A 型车床创造的价值是 250 万元,且第 1 年至第 6 年,每年 A 型车床创造的价值减少 30 万元;从第 7 年开始,每年 A 型车床创造的价值是上一年价值的 50%.现用 an ( n ? N )表
*

示 A 型车床在第 n 年创造的价值. (1)求数列 {an } ( n ? N )的通项公式 an ;
*

(2)记 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和,

Tn ?

Sn n .企业经过成本核算,若 Tn ? 100 万元,则

继续使用 A 型车床,否则更换 A 型车床.试问该企业须在第几年年初更换 A 型车床?

? b1 ? b2 ? ? { b } n (已知:若正数数列 n 是单调递减数列,则数列 ?

? bn ? ? ? 也是单调递减数列) .

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例 5.2 某铁路指挥部接到预报,24 小时后将有一场超历史记录的大暴雨,为确保万无 一失,指挥部决定在 24 小时内筑一道归时堤坝以防山洪淹没正在紧张施工的遂道工程。经 测算,其工程量除现有施工人员连续奋战外,还需要 20 辆翻斗车同时作业 24 小时。但是, 除了有一辆车可以立即投入施工外,其余车辆需要从各处紧急抽调,每隔 20 分钟有一辆车 到达并投入施工, 而指挥部最多可组织 25 辆车。 问 24 小时内能否完成防洪堤坝工程?并说 明理由.

练习 1:某人计划年初向银行贷款 10 万元用于买房.他选择 10 年期贷款,偿还贷款的 方式为:分 10 次等额归还,每年一次,并从借后次年年初开始归还,若 10 年期贷款的年利 率为 4%,且每年利息均按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息) ,问每年应还多 少元(精确到 1 元)?

练习 2:某城市 2001 年末汽车保有量为 30 万辆,预计此后每年报废上一年末汽车保有 量的 6%,并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境,要求该城市汽车保有量不超过 60 万辆,那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?

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2 练习 3:现有流量均为 300 m / s 的两条河流 A、B 会合于某处后,不断混合,它们的含

沙量分别为 2 kg / m 和 0.2 kg / m .假设从汇合处开始,沿岸设有若干个观测点,两股水 流在流经相邻两个观测点的过程中,其混合效果相当于两股水流在 1 秒钟内交换 100 m 的 水量,即从 A 股流入 B 股 100 m 水,经混合后,又从 B 股流入 A 股 100 m 水并混合.问: 从第几个观测点开始,两股河水的含沙量之差小于 0.01 kg / m (不考虑泥沙沉淀)?
3
3 3
3

3

3

六、数列与函数、解几、向量、不等式、排列组合、算法等等的交汇 (一)数列与函数、不等式(单调性,周期性,恒成立、递推、和或积的其他性质等等为 主要的交汇点)

f ( x) ?
例 6.1 已知函数

( x ? 1) 4 ? ( x ? 1) 4 ( x ? 1) 4 ? ( x ? 1) 4

( x?0) 。

f ( x) f ( x) (1)若 f ( x ) ? x 且 x ? R ,则称 x 为 的实不动点,求 的实不动点;
? (2)在数列 {an } 中, a1 ? 2 , an ?1 ? f (an ) ( n ? N ) ,求数列 {an } 的通项公式。

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2 练习 1: 二次函数 f ( x)符合f ( x) ? 0, 且f ( x) ? 2 x 恒成立,f (1) ? 1

(1)求 f (0) 并求 f ( x) 的解析式;

an ?
(2)若 (3)若

f (1) f (2) ? ? 1 2

?

f (n) 1 , bn ? , Sn . n an 求数列 ?bn ? 前n项和Sn . 并求 lim n??

cn?1 ? f (cn ), 且c1 ? 2, 记Tn ? c1 ? c2 ? ... ? cn , 求符合 Tn ? 2008 最小自然数 n.

练习 2: 已知函数

f ?x ? ?

1 4 ?2
x

?x ? R ?

,点 P1 ?x1 , y1 ? , P2 ?x 2 , y 2 ? 是函数 f ?x ? 图像上
1

的两个点,且线段 P1 P2 的中点 P 的横坐标为 2 . ⑴求证:点 P 的纵坐标是定值;
a ?a ? ⑵若数列 n 的通项公式为 ?n? ? f? ? ? m?

n

?m ? N , n ? 1,2,?, m?

,求数列

?a n ?的前 m 项的



Sm



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f n ( 0) ? 1 2 f ( 0) ? 2 练习 3: 设 f1(x)= 1 ? x ,定义 fn+1 (x)= f1[fn(x)] ,an = n (n∈N*).
(1) 求数列{an}的通项公式; (2) 若 T2n

4n 2 ? n ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? 2na2n ,Q = 4n 2 ? 4n ? 1 (n∈N*) ,求 T2n. n

(二)数列与向量(向量几乎可以与任何一章都有联系,但仅限于外形,处理掉向量仍 是简单的向量方法)

n? n? ? ? a ? ? cos ? sin ,1? ?a ? S 3 3 ? ( n ? N* ) ? 例 6.2 记数列 n 的前 n 项和为 n .已知向量 n? n? ? b ? ? an ,cos ? sin 3 3 ? 和
(1)求数列 (2)求 (3)设

? ? ? ( n ? N* )满足 a / / b .

?an ? 的通项公式;

S3n ;

bn ? 2n an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项的和为 Tn .

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练习: 已知数列

{an }

的首项

S S S S a1 ? 1,a2 ? 3 , 前 n 项和为 n , 且 n ?1 、 n 、 n ?1(n ≥2)

分别是直线 l 上的点 A、 B、 C 的横坐标, ⑴ 判断数列

AB ?

2an ? 1 BC b ? 1 bn?1 ? log2 (an ? 1) ? bn an , 设 1 , .

{an ? 1}
bn?1 ?1

是否为等比数列,并证明你的结论;

n 4 n ?1 cn ? Ck ? 1 ? a a k ? 1 n n ? 1 ⑵ 设 ,证明: .

(三)数列与解几(坐标里面的点列为数列与解析几何的主要交汇点) 例 6.3 在直角坐标平面中,已知点 整数, 对平面上任一点

P 1,2?, P2 2,22 , P3 3,23 ,?, Pn n,2n ,其中 n 是正 1?

?

? ? ?

?

?

A0 , A A2 为 A1 关于点 P2 的对称点, 1 的对称点, 记 A1 为 0 关于点 P . . . ,

An 为 An?1 关于点 Pn 的对称点.
(1)求向量 (2)当点

A0 A2 的坐标;

A0 在曲线 C 上移动时,点 A2 的轨迹是函数 y ? f ( x) 的图象,其中 f ( x) 是以

3 为周期的周期函数, 且当 x ? ?0,3? 时, f ( x) ? lg x .求以曲线 C 为图象的函数在 ?1,4? 上的 解析式; (3)对任意偶数 n ,用 n 表示向量

A0 An 的坐标

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练习 1:设 P1(x1 ,y1), P2(x2, y2),?, Pn(xn, yn) (n≥3 ,n∈N) 是二次曲线 C 上的点, 且 a1=

OP1

2

, a 2=

OP2

2

, ?, an=

OPn 2 构成了一个公差为 d(d≠0) 的等差数列, 其中 O 是坐

标原点. 记 Sn = a1+ a2+ ? + an.

x2 y2 ? (1)若 C 的方程为 100 25 =1,n=3. 点 P1(10,0) 及 S3=255, 求点 P3 的坐标; (只需
写出一个)

x2 y2 ? 2 ?1 2 b (2)若 C 的方程为 a (a>b>0). 点 P1(a,0), 对于给定的自然数 n, 当公差 d
变化时, 求 Sn 的最小值; (3) 请选定一条除椭圆外的二次曲线 C 及 C 上的一点 P1,对于给定的自然数 n,写出符合 条件的点 P1, P2,?Pn 存在的充要条件,并说明理由.

练习 2 :如图,在

y 轴的正半轴上依次有点 A1、A2、 、An、 ,其中点 A1 (0, 1) 、

A2 (0, 10) , 且 | An?1 An |? 3 | An An?1 | (n ? 2,3,4,?) , 在 射 线 y ? x( x ? 0) 上 依 次 有 点 B1、B2、 、Bn、 ,点 B1 的坐标为(3,3) | OBn |?| OBn?1 | ?2 2 (n ? 2,3,4,?) . ,且
(1)求

| An An?1 | (用含 n 的式子表示) ;

(2)求点

An 、 Bn 的坐标(用含 n 的式子表示) ;
An Bn Bn?1 An?1 面积为 Sn ,问 {Sn } 中是否存在不同的三项恰好成等差数
An+1 An A2 B2 A1 O B1 x y Bn+1 Bn

(3)设四边形

列?若存在,求出所有这样的三项,若不存在,请说明理由.

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(四)数列与排列组合(整除、组合数、分类分步原理是数列与排列组合的常见交汇点) 例 6.4 用 n 个不同的实数

a1 , a2 ,?, an 可得到 n!个不同的排列,每个排列为一行,写
ai1 , ai 2 ,?, ain ,记 bi ? ?ai1 ? 2ai 2 ? 3ai 3 ? ? ? (?1) n nain

成一个 n!行的数表,对第 i 行 ( i ? 1,2,?, n! )

1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2
例 如 1 , 2 , 3 可 得数 表如 图

3 2 1 , 由 于 此 数 表中 每一 列 数 之和 均 为 12 , 所以

b1 ? b2 ? ? ? b6 ? ?12 ? 2 ?12 ? 3 ?12 ? ?24 。那么在用 1,2,3,4,5 形成的数表中, b1 ? b2 ? ? ? b120 ? _____________
(五)数列与算法(以程序框图的形式给出数列递推公式是考查算法的常见形式,所需 要注意的就是项数) 例 6.5 已知数列

{ an } 是仅从 ?1, 0 ,1 这三个整数中取值所得到的数列, ? 为常数,经

过右框图中的程序处理,输出 S 和 T . (1)若输入 n ? 50 及一个确定的 ? 值,且输出的 S 和 T 分别满足 S ? ?50? ,T ? 34 . 试求总体

a1 , a2 ,

, an 的标准差;
开始 输入 n, ?

(2) 若输入 n ? 10 ,? ? 1 , 且输出的 S 和 T 分别满足 S ? 6 ,

T ? 30 .试求满足条件的数列 { an } 的个数;
(3)已知数列

{ an } 中恰有 54 项的值为 0 ,且输出的 S 的值

i ? 1, S ? 0, T ? 0

{a } 为 20 , 若对于任意的 ? ? 4 都有 T ? 106 恒成立, 试求数列 n
的项数 n 的最小值.

S ? S ? ai
T ? T ? ? ai ? ? ?
i ? i ?1

2

i?n
否 输出 S , T 结束

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七、数阵和数表 (一)三角形数表 例 7.1 将全体正整数排成一个三角形数表: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 . . . . . . . 按照以上排列的规律,第 n 行(n ≥3)从左向右的第 3 个数为 . 练习:将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表: a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 . . . . . . . 记表中的第一列数 a1,a2,a4,a7,?构成的数列为{bn},b1=a1=1. Sn 为数列{bn}的前 n

2bn
项和,且满足 bn S n ? S n =1(n≥2).
2

1 S (1)证明数列{ n }成等差数列,并求数列{bn}的通项公式;
(2)上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比

为同一个正数.当

a81 ? ?

4 91 时,求上表中第 k(k≥3)行所有项和的和.

(二)方形数表 例 7.2 下表给出一个“等差数表” : 4 7 ( ( ? ai1 ? ) ) ( ( ? ai2 ? 7 12 ) ) ( ( ( ( ? ai3 ? ) ) ) ) ( ( ( ( ? ai4 ? ) ) ) ) ( ( ( ( ? ai5 ? ) ) ) ) ? ? ? ? ? ? ? a1j a2j a3j a4j ?? aij ? ? ? ? ? ? ? ?

其中每行、每列都是等差数列,aij 表示位于第 i 行第 j 列的数.
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冲刺讲义

(1)写出

a 45 的值;

(2)写出 aij 的计算公式; (3)写出 2008 这个数在等差数表中所在的一个位置。

(三)回形数表 例 7.3 将自然数排成如下的螺旋状

第一个拐弯处的数是 2,第二个拐弯处的数是 3,第 20 个及第 25 个拐弯处的数分别是 __________和__________ 练习:已知数列 形状: 第1行 第2行 第3行

{an } 中, an ? n (n ? N ? ) ,把它的学各项依次排列成右图所示的三角

a1 a2 , a3 a4
a5 a6 a7 a8 a9

?????????? (第一行一项,第二行 3 项,第三行 5 项??每行依次比上一行多两项) 。若

a2009 被排在第

s 行的第 t 项(从左到右)的位置,则 s = _________, t =_________.
八、数列的递推、求和、最大最小项、最大最小和、数学归纳法、三个字母、无法求 和等等常规性问题 例 8.1 数列

?an ? 的各项均为正数,a1 ? p,
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n p ? 0 ,k ? N * , an ? an?k ? f ? p, k ? ? p ,

冲刺讲义

a ,a (1)当 k ? 1, f ? p, k ? ? p ? k , p ? 5 时,求 2 3 ;
(2)若数列 (不必证明)

?an ? 成等比数列,请写出 f ? p, k ? 满足的一个条件,并写出相应的通项公式

T ? a1 ? 2a2 ? 2a3 ? ? ? 2an ? an?1 ,求 Tn (3)当 k ? 1, f ? p, k ? ? p ? k 时,设 n

例 8.2(1)设

a1 , a2 ,...... an 是各项均不为零的 n 项( n ? 4 )等差数列,且公差 d ? 0 ,

a1 若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列. ①当 n ? 4 时求 d 的数值; ②求 n 的所有可能值.
( 2 )求证:对于给定的正整数 n(n ? 4) ,存在一个各项及公差均不为零的等差数列

b1 , b2 ,...... bn ,其中任意三项(按原来顺序)都不能组成等比数列.

练习 1:已知数列

?an ? 是各项均不为 0 的等差数列,公差为 d, Sn 为其前 n 项和,且满
bn ? 1 an ? an ?1
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2 * ?b ? 足 an ? S2 n ?1 , n ? N .数列 n 满足

, n ? N , Tn 为数列
*

?bn ? 的前 n 项和.

冲刺讲义

a b (1)求数列 ? n ? 的通项公式 a n 和数列 ? n ? 的前 n 项和 Tn ;
n * (2)若对任意的 n ? N ,不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1) 恒成立,求实数 ? 的取值范围;

(3) 是否存在正整数 m, n (1 ? m ? n) , 使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列?若存在, 求出所有 m, n 的值;若不存在,请说明理由.

练习 2:在数 1 和 100 之间插入 n 个实数,使得这 n ? 2 个数构成递增的等比数列,将这

n ? 2 个数的乘积记作 Tn ,再令 an ? lg Tn, n≥1 .(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设

bn ? tan an ? tan an?1, 求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn .

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