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直线与平面的位置关系知识点归纳

时间:2015-08-19


第二章直线与平面的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1 平面含义:平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 0 (1)平面的画法:水平放置的平面通常画成一个平行四边形,锐角画成 45 ,且横边画成邻 边的 2 倍长(如图) (2)平面通常用希腊字母α 、β 、γ 等表示,如平面α 、平面β 等,也可以用表示平面的 平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面 AC、平面 ABCD 等。 3 三个公理: (1)公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 符号表示为 D A∈L A α B∈L => L α α · A L A∈α B∈α 公理 1 作用:判断直线是否在平面内 (2)公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 A B · α · C 符号表示为:A、B、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α , · 使 A∈α 、B∈α 、C∈α 。 公理 2 作用:确定一个平面的依据。 (3)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共 直线。 β 符号表示为:P∈α ∩β =>α ∩β =L,且 P∈L P 公理 3 作用:判定两个平面是否相交的依据 α L · 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 共面直线 平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 2 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设 a、b、c 是三条直线 a∥b =>a∥c c∥b 强调:公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补 4 注意点: ① a'与 b'所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定,与 O 的选择无关,为简便,点 O 一般取在两直线中的一条上; ? (0, ); ② 两条异面直线所成的角θ ∈ 2 ③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作 a⊥b; ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; ⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。已知两条异面直

C

B

线 a,b,经过空间任一点 O 作直线 a ' ∥a, b ' ∥b,我们把 a ' 与 b ' 所成的锐角(或直角)叫 做异面直线 a 与 b 所成的角。 (注意:异面直线所成的角不大于 90 ? ) 。 2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内 —— 有无数个公共点 (2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 —— 没有公共点 指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用 a α 来表示

a α a∩α =A a∥α 2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与 此平面平行。 简记为:线线平行,则线面平行。 符号表示: a α b β => a∥α a∥b 2.2.2 平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面 平行。 符号表示: a β b β a∩b = P a∥α b∥α

β ∥α

2、判断两平面平行的方法有三种: (1)用定义; (2)判定定理; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行。 2.2.3 — 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质 1、定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平 行。 简记为:线面平行则线线平行。 符号表示:

a∥α a β a∥b α ∩β = b 作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。 符号表示: α ∥β α ∩γ = a a∥b β ∩γ = b 作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定 1、定义 如果直线 L 与平面α 内的任意一条直线都垂直, 我们就说直线 L 与平面α 互相垂直, 记 作 L⊥α ,直线 L 叫做平面α 的垂线,平面α 叫做直线 L 的垂面。如图,直线与平面垂直时, 它们唯一公共点 P 叫做垂足。 L p α

2、判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 注意点: a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视; b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学 思想。 2.3.2 平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 l B α β

2、二面角的记法:二面角α -l-β 或α -AB-β 3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。

2.3.3—2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。 2 性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 本章知识结构框图

平面(公理 1、公理 2、公理 3、公理 4)

空间直线、平面的位置关系

直线与直线的位置关系

直线与平面的位置关系

平面与平面的位置关系

基础练习 一选择题 1.若直线 a、b 都和平面α 平行,则直线 a、b 的位置关系是( A.相交 B.平行 ).

C.异面 D.以上三者都有可能 【解析】可以画出直线 a、b 的三种位置关系的图形. 【答案】D 2.给出下列结论:

①直线 l 平行于平面α 内的无数条直线,则 l∥α ;②若直线 a 在平面α 外,则 a∥α ;③若直
线 a∥b,b?α ,则 a∥α ;④若直线 a∥b,b?α ,则直线 a 就平行于平面α 内的无数条直线.其 中结论正确的个数为( A.1 B.2 ). C.3 D.4

【解析】①直线 l 还可能在平面α 内,所以①错误;

②直线 a 还可能与平面α 相交,所以②错误; ③直线 a 还可能在平面α 内,所以③错误; ④平面α 内,与直线 b 平行的直线都与直线 a 平行,所以④正确.
【答案】A 3.如图所示,在三棱锥 P-ABC 的六条棱所在的直线中,异面直线共有( A.1 对 C.3 对 D.4 对 B.2 对 ).

【解析】根据异面直线的定义可知共 3 对,分别为 AP 与 BC,CP 与 AB,BP 与 AC. 【答案】C 4.过一点与已知直线垂直的直线有( A.一条 B.两条 C.无数条 D.无法确定 ).

【解析】过一点与已知直线垂直的直线有无数条,包括相交垂直和异面垂直. 【答案】C 5.在两个平面内分别取一条直线,若这两条直线互相平行,则这两个平面的公共点个数 ( ). B.无限个

A.有限个

C.没有 D.没有或无限个 【解析】两平面相交或者平行,因此这两个平面没有公共点或有无限个公共点. 【答案】D 6.一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零,则这两个平面( A.平行 B.相交 C.平行或重合 D.平行或相交 ).

【解析】若三点在平面的同侧,则两平面平行;若三点在平面的异侧,则两平面相交. 【答案】D 7.下列说法中,正确的个数是( ).

①平行于同一平面的两条直线平行. ②直线 a 平行于平面α 内的一条直线 b,那么直线 a∥平面α . ③若两平行直线中的一条与平面α 相交,那么另一条也与平面α 相交. ④直线 a 与平面α 内的无数条直线相交,那么直线 a 在平面α 内.
A.0 B.1 C.2 D.3

【解析】只有③正确. 【答案】B 8.a,b 是两条直线,α 是一个平面,给出下列三个命题:

①如果 a∥b,b?α ,那么 a∥α ; ②如果 a∥α ,b∥α ,那么 a∥b; ③如果 a∥b,a∥α ,那么 b∥α .
其中真命题有( A.0 个 B.1 个 ). C.2 个 D.3 个

【解析】 ①中,a 有可能在平面α 内,故①不正确;平行于同一个平面的两条直线不一定平行, 故②不正确;③中,b 有可能在平面α 内,故③不正确.综上可知,选 A. 【答案】A 9.平面α ,β 满足α ∥β ,直线 a?α ,下列四个命题中:

①a 与β 内的所有直线平行;②a 与β 内的无数条直线平行;③a 与β 内的任何一条直线都不
相交;④a 与β 无公共点. 其中正确命题的个数是( A.1 B.2 C.3 ). D.4

【解析】因为α ∥β ,直线 a?α ,所以 a 与β 内的直线平行或异面,由此可知①错,其他均正 确. 【答案】C 10.已知 A、 B、 C、 D 四点不共面,且 AB∥平面α ,CD∥平面α ,AC∩α =E,AD∩α =F,BD∩α =G,BC ∩α =H,则四边形 EFGH 是( A.平行四边形 C.菱形 D.正方形 【答案】A 11.若平面α 外的直线 a 与平面α 所成的角为θ ,则θ 的取值范围是( A.(0,) B.[0,) C.(0,] D.[0,] ). ).

B.矩形

【解析】当 a∥α 时,θ =0;当 a⊥α 时,θ =;a 和α 斜交时,θ 的取值范围是(0,),综上,θ 的 取值范围是[0,]. 【答案】D 12.P 为△ABC 所在平面外的一点,且 PA、PB、PC 两两垂直,则下列命题:

①PA⊥BC;②PB⊥AC;③PC⊥AB;④AB⊥BC.
其中正确的个数是( A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】∵PA⊥PB,PA⊥PC,∴PA⊥平面 PBC, ).

∴PA⊥BC,即①正确,同理可证得②③正确.
【答案】D 13.室内有一根直尺,无论怎么样放置,在地面上总有这样的直线,它与直尺所在的直线 ( ). B.相交 C.平行 D.垂直

A.异面 【答案】D

14.若平面α 、β 互相垂直,则( A.α 中的任意一条直线都垂直于β B.α 中有且只有一条直线垂直于β C.平行于α 的直线垂直于β

).

D.α 内垂直于交线的直线必垂直于β 【答案】D

15.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,底面是边长为 2 的正方形,高为 4,则点 A1 到截面 AB1D1 的距离 为( A. ). B. C. D.

【解析】利用三棱锥 A1-AB1D1 的体积变换:=,则×2×4=×6×h,解得 h=. 【答案】C 16.点 P 是等腰三角形 ABC 所在平面外一点,PA⊥平面 ABC,PA=8,在△ABC 中,底边 BC=6,AB=5, 则 P 到 BC 的距离为( A.4 B.5 C.3 D.2 【解析】作 AD⊥BC 于 D,连接 PD,易证 PD⊥BC,故 PD 的长即为 P 到 BC 的距离, 易求得 AD=4,PD=4. 【答案】A 17.已知 m,n 表示两条不同的直线,α ,β ,γ 表示三个不同的平面,给出下列三个命题: (1)?m∥n;(2)?n∥α ;(3)?m⊥n.其中推理正确的个数为( A.0 B.1 C.2 D.3 ). ).

【解析】若则 m∥n,即命题(1)正确;若则 n∥α 或 n?α ,即命题(2)不正确;若则 m⊥n,即命 题(3)正确.故选 C. 【答案】C

18.如图,平面α ∩平面β =l,A∈α ,B∈α ,AB∩l=D,C∈β ,C?l,则平面 ABC 与平面β 的交线
是( ). B.直线 AB D.直线 BC

A.直线 AC C.直线 CD

【解析】∵D∈l,l?平面β ,∴D∈平面β .

∵D∈AB,AB?平面 ABC,∴D∈平面 ABC, ∴D 在平面 ABC 与平面β 的交线上. ∵C∈平面 ABC,且 C∈平面β ,∴C 在平面β 与平面 ABC 的交线上, ∴平面 ABC∩平面β =CD.
【答案】C

二填空题

1.在空间四边形 ABCD 中,E、F 分别是 AB、CD 的中点,且 EF=5,又 AD=6,BC=8,则 AD 与 BC 所
成角的大小为

.

【解析】取 AC 中点 G,连接 EG,FG, 在△EFG 中,EG∥BC,EG=BC=4,FG∥AD,FG=AD=3,又知 EF=5,

∴∠EGF=90°,∴AD 与 BC 所成角为 90°.
【答案】90° 2.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,BD 和 B1D1 分别是正方形 ABCD 和 A1B1C1D1 的对角线.

(1)∠DBC 的两边与 (2)∠DBC 的两边与

的两边分别对应平行且方向相同; 的两边分别对应平行且方向相反.

【解析】 (1)B1D1∥BD,B1C1∥BC,并且方向相同,所以∠DBC 的两边与∠D1B1C1 的两边分别对 应平行且方向相同. (2)D1B1∥BD,D1A1∥BC,并且方向相反,所以∠DBC 的两边与∠B1D1A1 的两边分别对应平行 且方向相反. 【答案】(1)∠D1B1C1 (2)∠B1D1A1 3.若 a?α ,b?β ,则 a 与 b 的位置关系是

.

【解析】 可能异面,也可能存在平面γ ,使 a?γ ,且 b?γ ,即 a 与 b 仍可以在同一平面内. 【答案】平行、相交或异面 4.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是棱 BC、C1D1 的中点,则 EF 与平面 BB1D1D 的位置关系 是

.

【解析】如图,取 D1B1 的中点 O,连接 OF,OB.

∵OFB1C1,BEB1C1, ∴OFBE,∴四边形 OFEB 为平行四边形,∴EF∥BO. ∵EF?平面 BB1D1D,BO?平面 BB1D1D, ∴EF∥平面 BB1D1D.
【答案】平行 5.平面α ∥平面β ,△ABC 和△A'B'C'分别在平面α 和平面β 内,若对应顶点的连线共点,则 这两个三角形

.

【解析】由于对应顶点的连线共点,则 AB 与 A'B'共面, 由面与面平行的性质知 AB∥A'B', 同理 AC∥A'C',BC∥B'C',故两个三角形相似. 【答案】相似 6.过平面外一点作该平面的垂线有 平面有 个. 条;垂面有 个;平行线有 条;平行

【答案】一 无数 无数 一 7.已知 AH⊥Rt△HEF 所在的平面,且 HE⊥EF,连接 AE、AF,则图中直角三角形的个数 是

.
【解析】易知△AHE,△AHF,△HEF 为直角三角形,又因为 EF⊥HE,EF⊥AH,所以 EF⊥平面

AEH,所以 EF⊥AE,即△AEF 也是直角三角形.综上所述,图中直角三角形个数为 4.
【答案】4

8.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,直线 C1D 与平面 B1CD 所成的角为

.

【解析】连接 C1B 交 B1C 于点 O,根据直线 C1B⊥平面 B1CD,可得直线 C1D 与平面 B1CD 所成 的角为∠ODC1,在 Rt△ODC1 中,根据 DC1=2OC1,可得∠ODC1=30°,因此直线 C1D 与平面 B1CD 所成 的角为 30°. 【答案】30° 9.正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为 12,底面对角线的长为 2,求 侧面与底面所成的二面角. 【解析】易求得底面边长为 2,高为 3,tanθ =,所以θ =60°. 10.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,点 E 为 AD 的中点,点 F 在 CD 上.若 EF∥平面 AB1C, 则线段 EF 的长度等于

.

【解析】由 EF∥平面 AB1C,可知 EF∥AC, 所以 EF=AC=×2=. 强化练习 一选择题 1.下列命题中,正确的有(

)

①如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,那么这条直线和这个平面垂直. ②过直线 l 外一点 P,有且仅有一个平面与 l 垂直. ③如果三条共点直线两两垂直,那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面. ④垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边. ⑤过点 A 垂直于直线 a 的所有直线都在过点 A 垂直于 a 的平面内. A.2 个 C.4 个 [答案] C [解析] ②③④⑤正确,①中当这无数条直线都平行时,结论不成立. 2.设直线 l、m,平面 α、β,下列条件能得出 α∥β 的是( ) B.3 个 D.5 个

A.l?α,m?α,且 l∥β,m∥β B.l?α,m?β,且 l∥m C.l⊥α,m⊥β,且 l∥m D.l∥α,m∥β,且 l∥m [答案] C [解析] 排除法,A 可举反例,如图(1),B 可举反例如图(2),其中 l 与 m 都平行于 a, D 可举反例,如图(3),故选 C.

3.(08· 福建理)如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,则 BC1 与 平面 BB1D1D 所成角的正弦值为( )

A.

6 3

2 5 B. 5 C. D. 15 5 10 5

[答案] D [解析] 取 B1D1 中点 O,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,

∵A1B1=B1C1=2,∴C1O⊥B1D1, 又 C1O⊥BB1,C1O⊥平面 BB1D1D,

∴∠C1BO 为直线 C1B 与平面 BB1D1D 所成的角, 在 Rt△BOC1 中,C1O= 2,BC1= BC2+CC2 1= 5, ∴sin∠OBC1= 10 . 5

4.(09· 四川文)如图,已知六棱锥 P-ABCDEF 的底面是正六边形,PA⊥平面 ABC,PA =2AB,则下列结论正确的是( )

A.PB⊥AD B.平面 PAB⊥平面 PBC C.直线 BC∥平面 PAE D.直线 PD 与平面 ABC 所成的角为 45° [答案] D [解析] 设 AB 长为 1,由 PA=2AB 得 PA=2, 又 ABCDEF 是正六边形,所以 AD 长也为 2, 又 PA⊥平面 ABC,所以 PA⊥AD, 所以△PAD 为直角三角形. ∵PA=AD,∴∠PDA=45° , ∴PD 与平面 ABC 所成的角为 45° ,故选 D. 5.(09· 湖北文)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ACB=90° ,∠ACC1=60° ,∠BCC1 =45° ,侧棱 CC1 的长为 1,则该三棱柱的高等于( )

1 A. 2 C. 3 2

B. D.

2 2 3 3

[答案] A [解析] 作 C1O⊥底面 ABC 于 O, 作 OM⊥CB 于 M,连 C1M. 作 ON⊥AC 于 N,连 C1N.

易知 ON⊥AC,OM⊥BC, 又∠ACB=Rt∠,∴ONCM 为矩形,OC=MN, 1 在 Rt△CNC1 中,∠C1CN=60° ,CC1=1,∴CN= , 2 在 Rt△C1MC 中,∠C1CM=45° ,CC1=1,∴CM= ∴NM= 2 . 2

?1?2+? 2?2= 3,∴OC= 3, ?2? ? 2 ? 2 2
1-? 3?2 1 = , ?2? 2

在 Rt△C1OC 中,C1O= 1 ∴三棱柱高为 . 2

6.(09· 宁夏海南文)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,线段 B1D1 上有两个动 点 E,F,且 EF= A.AC⊥BE B.EF∥平面 ABCD C.三棱锥 A-BEF 的体积为定值 D.△AEF 的面积与△BEF 的面积相等 2 ,则下列结论中错误的是( 2 )

[答案] D [解析] 由正方体 ABCD-A1B1C1D1 得,B1B⊥平面 ABCD,∴AC⊥B1B, 又∵AC⊥BD,∴AC⊥面 BDD1B1,BE?面 BDD1B1, ∴AC⊥BE,故 A 正确. 由正方体 ABCD-A1B1C1D1 得,B1D1∥BD, B1D1?平面 ABCD,BD?平面 ABCD, ∴B1D1∥平面 ABCD,

∴EF∥平面 ABCD,∴B 正确. ∵A 到平面 BDD1B1 的距离 d= 1 ∴VA-BEF= S△BEF· d 3 11 1 = · S△BB1D1· d= . 32 12 ∴三棱锥 A-BEF 的体积为定值,故 C 正确. 2 , 2

因 E、F 是线段 B1D1 上两个动点,且 EF=

2 , 2

在 E,F 移动时,A 到 EF 的距离与 B 到 EF 的距离不相等 ∴△AEF 的面积与△BEF 的面积不相等,故 D 错. 7.如图所示,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1⊥底面 ABC,AB=BC=AA1,∠ABC= 90° ,点 E、F 分别是棱 AB、BB1 的中点,则直线 EF 和 BC1 所成的角是( )

A.45° C.90° [答案] B

B.60° D.120°

[解析] 连结 AB1,易知 AB1∥EF,连结 B1C 交 BC1 于点 G,取 AC 的中点 H,则 GH ∥AB1∥EF. 1 2 2 2 设 AB=BC=AA1=a,在△GHC 中,易知 GH= AB1= a,BG= a,HB= a,故 2 2 2 2 两直线所成的角为∠HGB=60° .

[点评] 除可用上述将 EF 平移到 GH 方法外还可以在平面 BCC1B1 内过 F 作 FD∥BC1 交 B1C1 于 D, 考虑在△EFD 内求解等. 如果再补上一个三棱柱成正方体则结论就更明显了. 8.在空间四边形 ABCD 中,若 AB⊥CD,BC⊥AD,则对角线 AC 与 BD 的位置关系为 ( ) A.相交但不垂直 B.垂直但不相交 C.不相交也不垂直 D.无法判断 [答案] B [解析] 作 AO⊥平面 BCD 于 O, 连 BO 并延长交 DC 于 N,连 DO 并延长交 BC 于 M,

连 CO 并延长交 BD 于 H, ∵BC⊥AO,BC⊥AD ∴BC⊥平面 AOD,∴BC⊥DM,同理 BN⊥CD,∴O 为△BDC 的垂心,∴CH⊥BD 又 AO⊥BD,∴BD⊥平面 AOC, ∴BD⊥AC. 9.正方体 A1B1C1D1-ABCD 中,截面 A1BD 与底面 ABCD 所成二面角 A1-BD-A 的正 切值等于( A. 3 3 ) B. 2 2

C. 2 [答案] C

D. 3

[解析] 设 AC、BD 交于 O,连 A1O,∵BD⊥AC,BD⊥AA1,∴BD⊥平面 AA1O,∴ BD⊥AO,

∴∠A1OA 为二面角的平面角. A1A tan∠A1OA= = 2,∴选 C. AO 10.在二面角 α-l-β 中,A∈α,AB⊥平面 β 于 B,BC⊥平面 α 于 C,若 AB=6,BC =3,则二面角 α-l-β 的平面角的大小为( A.30° C.30° 或 150° [答案] D [解析] 如图,∵AB⊥β,∴AB⊥l,∵BC⊥α,∴BC⊥l,∴l⊥平面 ABC, B.60° D.60° 或 120° )

设平面 ABC∩l=D, 则∠ADB 为二面角 α-l-β 的平面角或补角, ∵AB=6,BC=3, ∴∠BAC=30° ,∴∠ADB=60° , ∴二面角大小为 60° 或 120° . 11.(2010· 重庆文,9)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点( A.只有 1 个 B.恰有 3 个 C.恰有 4 个 D.有无穷多个 [答案] D [解析] 过两条互相垂直的异面直线的公垂线段中点且与两条直线都成 45° 角直线上所 有点到两条直线的距离都相等,故选 D. 12.ABCD 是正方形,以 BD 为棱把它折成直二面角 A-BD-C,E 为 CD 的中点,则 ∠AED 的大小为( A.45° C.60° [答案] D ) B.30° D.90° )

[解析] 设 BD 中点为 F,则 AF⊥BD,CF⊥BD

∴∠AFC=90° ,∴AF⊥面 BCD ∵E、F 分别为 CD、BD 的中点, ∴EF∥BC, ∵BC⊥CD,∴CD⊥EF, 又 AF⊥CD,∴CD⊥平面 AEF,∴CD⊥AE.故选 D. 13.已知 l?β,m⊥α,有下列四个命题: ①α∥β?l⊥m; ②α⊥β?l∥m; ③l∥m?α⊥β;④l⊥m?α∥β. 其中正确的命题是( A.②与④ C.①与② [答案] D [解析] m⊥α? ? ??m⊥β ? α∥β ? l?β
? 又m⊥α? ??l⊥α ? l∥m ?

)

B.③与④ D.①③

? ? ??m⊥l,∴①正确否定 A、B, ? ? ? ? ??β⊥α,∴③正确否定 C,故选 D. ? ?
)

l?β

14.已知三棱锥 S-ABC 的各顶点都在一个半径为 r 的球面上,球心 O 在 AB 上,SO ⊥底面 ABC,AC= 2r,则球的体积与三棱锥体积之比是( A.π C.3π [答案] D [解析] 此三棱锥的高为球的半径,ABC 所在大圆面积为 πr2,三棱锥的底面易知为等 4 3 πr 3 V 1 球 腰直角三角形.腰长为 2r,所以三棱锥底面面积为 ( 2r)2=r2, = =4π,∴球体积 2 V锥 1 3 r 3 B.2π D.4π

与三棱锥体积之比为 4π,故选 D.

15.在空间四边形 ABCD 中,AD⊥BC,BD⊥AD,且△BCD 是锐角三角形,那么必有 ( ) A.平面 ABD⊥平面 ADC B.平面 ABD⊥平面 ABC C.平面 ADC⊥平面 BCD D.平面 ABC⊥平面 BCD [答案] C 16.已知 m、l 是直线,α、β 是平面,给出下列命题: ①若 l 垂直于 α 内的两条相交直线,则 l⊥α; ②若 l 平行于 α,则 l 平行于 α 内的所有直线; ③若 m?α,l?β,且 l⊥m,则 α⊥β; ④若 l?β,且 l⊥α,则 α⊥β; ⑤若 m?α,l?β,且 α∥β,则 m∥l. 其中正确命题的序号是( A.①② C.①④ [答案] C [解析] 由直线与平面垂直的判定定理知,①正确; 对于②,若 l∥α,m?α,则 l 与 m 可能平行,也可能是异面直线,故②不正确; 对于③,满足题设的平面 α、β 有可能平行或相交,也有可能垂直,故③是错误的; 由面面垂直的判定定理知,④是正确的; 对于⑤,m 与 l 可能平行,也可能是异面直线,故⑤是错误的.故正确的命题是①、④. 17.若 a、b 表示直线,α 表示平面, ①a⊥α,a⊥b,则 b∥α; ②a∥α,a⊥b,则 b⊥α; ③a∥α,b⊥α,则 b⊥a; ④a⊥α,b?α,则 b⊥a. 上述命题中正确的是( ) B.③④ D.②③ )

A.①② C.③④ [答案] C

B.②③ D.②③④

[解析] ①b∥α 或 b?α ②b⊥α 或 b∥α 或 b?α ③、④正确, ∴选 C. 18.已知三条直线 m、n、l,三个平面 α、β、γ,下面四个命题中,正确的是( A. α⊥γ? ? ??α∥β β⊥γ? ? m∥β? ? ??l⊥β ? l⊥m ?
? m∥γ? ??m∥n ? n∥γ ? ? α∥γ? ??α∥β β∥γ? ?

)

B.

C.

D.

[答案] D [解析] 对于 A,α 与 β 可以平行,也可以相交;对于 B,l 与 β 可以垂直,也可以斜交 或平行;对于 C,m 与 n 可以平行,可以相交,也可以异面. 19.若两直线 a 与 b 异面,则过 a 且与 b 垂直的平面( A.有且只有一个 B.可能存在也可能不存在 C.有无数多个 D.一定不存在 [答案] B [解析] 当 a⊥b 时,有且只有一个. 当 a 与 b 不垂直时,不存在. 20.(08· 安徽)已知 m、n 是两条不同直线,α、β、γ 是三个不同平面.下列命题中正确 的是( ) )

A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B.若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β C.若 m∥α,m∥β,则 α∥β D.若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n [答案] D 21.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 P 在侧面 BCC1B1 及其边界上运动,并且总 是保持 AP⊥BD1,则动点 P 的轨迹是( )

A.线段 B1C B.线段 BC1 C.BB1 中点与 CC1 中点连成的线段 D.BC 中点与 B1C1 中点连成的线段 [答案] A [解析] ∵DD1⊥平面 ABCD,∴D1D⊥AC, 又 AC⊥BD,∴AC⊥平面 BDD1, ∴AC⊥BD1.同理 BD1⊥B1C. 又∵B1C∩AC=C,∴BD1⊥平面 AB1C. 而 AP⊥BD1,∴AP?平面 AB1C. 又 P∈平面 BB1C1C,∴P 点轨迹为平面 AB1C 与平面 BB1C1C 的交线 B1C.故选 A. 22.已知一平面平行于两条异面直线,一直线与两异面直线都垂直,那么这个平面与这 条直线的位置关系是( A.平行 C.斜交 [答案] B [解析] 设 a,b 为异面直线,a∥平面 α,b∥α,直线 l⊥a,l⊥b. 过 a 作平面 β∩α=a′,则 a∥a′,∴l⊥a′. 同理过 b 作平面 γ∩α=b′,则 l⊥b′, ∵a,b 异面,∴a′与 b′相交,∴l⊥α. 23.设有直线 m、n 与平面 α、β,则在下面命题中,正确的是( A.若 m∥n,m?α,n?β,则 α∥β B.若 m⊥α,m⊥n,n?β,则 α∥β C.若 m∥n,n⊥β,m?α,则 α⊥β D.若 m⊥n,m⊥α,n?β,则 α⊥β [答案] C [解析] 对于 C,由 m∥n,n⊥β 得 m⊥β. 又 m?α,可得 α⊥β.∴应选 C. 24.如图已知平面 CBD⊥平面 ABD,且 DA⊥平面 ABC,则△ABC 的形状为( ) ) )

B.垂直 D.不能确定

A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 [答案] B [解析] 过 A 作 AE⊥DB,则 AE⊥平面 DBC,∴AE⊥BC,又 DA⊥平面 ABC,∴DA⊥ BC, 又 DA∩AE=A,∴BC⊥平面 DAB, ∴BC⊥AB,∴△ABC 为直角三角形. 25.(2010· 北京理,8)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,动点 E,F 在棱 A1B1 上,动点 P,Q 分别在棱 AD、CD 上,若 EF=1,A1E=x,DQ=y,DP=z(x,y,z 大于零), 则四面体 PEFQ 的体积( )

A.与 x,y,z 都有关 B.与 x 有关,与 y,z 无关 C.与 y 有关,与 x,z 无关 D.与 z 有关,与 x,y 无关 [答案] D [解析] 这道题目延续了北京高考近年 8,14,20 的风格,即在变化中寻找不变,从图中 1 可以分析出,△EFQ 的面积永远不变,为矩形 A1B1CD 面积的 ,而当 P 点变化(即 z 变化) 4 时,它到平面 A1B1CD 的距离是变化的,因此会导致四面体体积的变化. 26.在△ABC 中,C=90° ,AB=8,B=30° ,PC⊥平面 ABC,PC=4,P′是 AB 边上 动点,则 PP′的最小值为( A.2 C.2 7 [答案] C [解析] 作 CP′⊥AB,垂足为 P′,则易知 PP′⊥AB, B. 7 D. 19 )

∴PP′为所求最小值. 在 Rt△ABC 中,由 AB=8,∠B=30° 得, P′C=2 3, 又 PC⊥平面 ABC, ∴PC⊥P′C, ∵PC=4,∴PP′=2 7. 27.已知直线 l⊥平面 α,直线 m?平面 β,有下列四个命题: ①α∥β?l⊥m; ③l∥m?α⊥β; ②α⊥β?l⊥m; ④l⊥m?α∥β. )

其中正确的两个命题是( A.①② C.②④ [答案] D B.③④ D.①③

28.(2010· 山东文,4)在空间,下列命题正确的是( A.平行直线的平行投影重合 B.平行于同一直线的两个平面平行 C.垂直于同一平面的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行 [答案] D

)

[解析] 当两平行直线都与投影面 α 垂直时,其在 α 内的平行投影为两个点,当两平行 直线所在平面与投影面 α 相交但不垂直时,其在 α 内的平行投影可平行,故 A 错;在正方 体 ABCD-A1B1C1D1 中,直线 AA1 与平面 BCC1B1 及平面 CDD1C1 都平行,但平面 BCC1B1 与平面 CDD1C1 相交,故 B 错;同样,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,平面 BCC1B1 及平面 CDD1C1 都与平面 ABCD 垂直,但此二平面相交,故 C 错;由线面垂直的性质定理知 D 正 确. 29.对于直线 m、n 和平面 α、β、γ,下列命题中,正确命题的个数为( ①若 m∥α,n⊥m,则 n⊥α ②若 m⊥α,n⊥m,则 n∥α )

③若 α⊥β,γ⊥β,则 α∥γ ④若 m⊥α,m?β,则 α⊥β A.1 C.3 [答案] A [解析] ①②③错,④正确. 30.(09· 广东文)给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一条直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直, 那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中为真命题的是( A.①和② C.③和④ [答案] D 31.(09· 浙江文)设 α,β 是两个不同的平面,l 是一条直线,以下命题正确的是( A.若 l⊥α,α⊥β,则 l?β B.若 l∥α,α∥β,则 l?β C.若 l⊥α,α∥β,则 l⊥β D.若 l∥α,α⊥β,则 l⊥β [答案] C [解析] l⊥α,α⊥β?l∥β 或 l?β,A 错; l∥α,α∥β?l∥β 或 l?β,B 错; l⊥α,α∥β?l⊥β,C 正确; 若 l∥α,α⊥β,则 l 与 β 位置关系不确定,D 错. 32.a、b 为不重合的直线,α,β 为不重合的平面,给出下列 4 个命题: ①a∥α 且 a∥b?b∥α; ②a⊥α 且 a⊥b?b∥α; ③a⊥α 且 a⊥b?b⊥α; ④a⊥β 且 α⊥β?a∥α. 其中正确命题的个数为( A.0 C.2 [答案] A B.1 D.3 ) ) ) B.2 D.4

B.②和③ D.②和④

[解析]

a∥α? ? ??b∥α 或 b?α; ? a∥b?

? a⊥α? ??b∥α 或 b?α; ? a⊥b? ? a⊥β? ??a∥α 或 a?α. α⊥β? ?

33. 如图, BC 是 Rt△ABC 的斜边, AP⊥平面 ABC, PD⊥BC 于 D, 则图中共有________ 个直角三角形( )

A.8 C.6 [答案] A

B.7 D.5

[解析] △PAC,△PAD,△PAB,△PDC,△PDB,△CDA,△BDA,△CAB 共 8 个. π π 34. 如图, 平面 α⊥平面 β, A∈α, B∈β, AB 与两平面 α、 β 所成的角分别为 和 .过 A、 4 6 B 分别作两平面交线的垂线,垂足为 A′、B′,则 AB?A′B′等于( )

A.2∶1 C.3∶2 [答案] A

B.3∶1 D.4∶3

π [解析] 由已知条件可知∠BAB′= , 4 π ∠ABA′= ,设 AB=2a, 6 π π 则 BB′=2asin = 2a,A′B=2acos = 3a, 4 6 ∴在 Rt△BB′A′中,得 A′B′=a,∴AB?A′B′=2?1. 35.已知 a、b、c 是直线,α、β 是平面,下列条件中,能得出直线 a⊥平面 α 的是( A.a⊥c,a⊥b,其中 b?α,c?α B.a⊥b,b∥α )

C.α⊥β,a∥β D.a∥b,b⊥α [答案] D [解析] A 中缺 b 与 c 相交的条件;如图(1),可知 b∥α,a⊥b 时,a 与 α 可平行、可相 交,相交时也可垂直,故 B 错;

如图(2)是一个正方体,满足 α⊥β,直线 a 可以是 AC,也可以是 AB,故 C 错. 36.在正四面体 P-ABC 中,D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点,下面四个结论中 不成立 的是( ... )

A.BC∥平面 PDF B.DF⊥平面 PAE C.平面 PDF⊥平面 ABC D.平面 PAE⊥平面 ABC [答案] C [解析] ∵D、F 分别为 AB、CA 中点,∴DF∥BC. ∴BC∥平面 PDF,故 A 正确. 又∵P-ABC 为正四面体, ∴P 在底面 ABC 内的射影 O 在 AE 上.∴PO⊥平面 ABC.∴PO⊥DF. 又∵E 为 BC 中点,∴AE⊥BC,∴AE⊥DF. 又∵PO∩AE=O,∴DF⊥平面 PAE,故 B 正确.

又∵PO?面 PAE,PO⊥平面 ABC, ∴面 PAE⊥面 ABC,故 D 正确. ∴四个结论中不成立的是 C. 二填空题 1.如图,AB 是圆 O 的直径,C 是异于 A、B 的圆周上的任意一点,PA 垂直于圆 O 所 在的平面,AC=3,PA=4,AB=5,则直线 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值为________.

[答案]

4 41 41

[解析] ∵PA⊥平面 ABC ∴PA⊥BC, 又 BC⊥AC ∴BC⊥平面 PAC, ∴∠BPC 为直线 PB 与平面 PAC 所成的角. 在 Rt△PAB 中,PA=4,AB=5,∴PB= 41, 在 Rt△ABC 中,AC=3,AB=5,∴BC=4, BC 4 41 ∴sin∠BPC= = . PB 41 2.?ABCD 的对角线交点为 O,点 P 在?ABCD 所在平面外,且 PA=PC,PD=PB,则 PO 与平面 ABCD 的位置关系是________. [答案] 垂直 [解析] ∵PA=PC,O 是 AC 的中点,∴PO⊥AC. 同理可得 PO⊥BD.∵AC∩BD=O, ∴PO⊥平面 ABCD. 3.在矩形 ABCD 中,AB=3,BC=4,PA⊥平面 ABCD,且 PA=1,则点 P 到对角线 BD 的距离是________. [答案] 13 5

[解析] 因为 AB=3,BC=4,所以 BD=5,过 A 作 AE⊥BD,连接 PE,∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥BD, ∵PA∩AE=A,∴BD⊥平面 PAE,∴PE⊥BD, 12 在△ABD 中,AE= ,所以 PE= 5 12?2 13 12+? ?5? =5.

4.(2010· 湖南文,13)如图中的三个直角三角形是一个体积 20cm3 的几何体的三视图, 则 h=______ cm.

[答案] 4 1 [解析] 该几何体是一个底面是直角三角形,一条侧棱垂直于底面的三棱锥如图,V= 3 1 ? ×? ?2×5×6?×h=20,∴h=4 cm.

5.(09· 全国Ⅰ文)已知 OA 为球 O 的半径,过 OA 的中点 M 且垂直于 OA 的平面截球面 得到圆 M,若圆 M 的面积为 3π,则球 O 的表面积等于________. [答案] 16π [解析] 设球的半径为 R,截面圆的半径为 r, πr =3π ? ? 则有??R?2 2 2 ? ?? 2 ? +r =R 解得 R=2,∴球 O 的表面积 S=4πR2=16π. 6.如图,ABCD 是正方形,PA⊥平面 ABCD,且 PA=AB=a.
2

(1)二面角 A-PD-C 的度数为________; (2)二面角 B-PA-D 的度数为________; (3)二面角 B-PA-C 的度数为________; (4)二面角 B-PC-D 的度数为________. [答案] 90° ;90° ;45° ;120° [解析] (1)PA⊥平面 ABCD ∴PA⊥CD

又 ABCD 为正方形,∴CD⊥AD,∴CD⊥平面 PAD, 又 CD?平面 PCD,∴平面 PAD⊥平面 PCD, ∴二面角 A-PD-C 为 90° . (2)∵PA⊥平面 ABCD,∴AB⊥PA,AD⊥PA ∴∠BAD 为二面角 B-AP-D 的平面角 又∠BAD=90° ,∴二面角 B-AP-D 为 90° (3)PA⊥平面 ABCD,∴AB⊥PA,AC⊥PA ∴∠BAC 为二面角 B-PA-C 的平面角 又 ABCD 为正方形,∴∠BAC=45° 即二面角 B-PA-C 为 45° (4)作 BE⊥PC 于 E,连 DE

则由△PBC≌△PDC 知∠BPE=∠DPE 从而△PBE≌△PDE ∴∠DEP=∠BEP=90° ,且 BE=DE ∴∠BED 为二面角 B-PC-D 的平面角 ∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥BC,又 AB⊥BC, ∴BC⊥平面 PAB,∴BC⊥PB, PB· BC 6 ∴BE= = a,BD= 2a PC 3 BO 3 ∴取 BD 中点 O,则 sin∠BEO= = , BE 2 ∴∠BEO=60° ,∴∠BED=120° ∴二面角 B-PC-D 的度数为 120° . 7.已知二面角 α-AB-β 为 120° ,AC?α,BD?β,且 AC⊥AB,BD⊥AB,AB=AC= BD=a,则 (1)CD 的长为________; (2)CD 与 AB 所成的角为________. [答案] (1)2a (2)60°

[解析] 在平面 β 内,作 AD′綊 BD,连 DD′,则 DD′綊 AB

(1)∵AC⊥AB,D′A⊥AB, ∴∠D′AC 为二面角 α-AB-β 的平面角 即∠D′AC=120° ∵AB=AC=BD=a,∴CD′= 3a 又 AB⊥平面 ACD′,DD′∥AB,∴DD′⊥平面 ACD′ ∴DD′⊥D′C,又 DD′=a ∴CD= DD′2+D′C2=2a (2)∵DD′∥AB ∴∠D′DC 为异面直线 CD 与 AB 所成的角 在 Rt△DD′C 中,DD′=a,CD=2a ∴∠D′DC=60° ,即 CD 与 AB 所成的角为 60° . 8.已知边长为 a 的菱形 ABCD 中,∠ABC=60° ,PC⊥平面 ABCD,E 是 PA 的中点, 则 E 到平面 PBC 的距离为________.

[答案]

3 a 4

[解析] 如图,设 AC 交 BD 于 O,连 EO, ∵E、O 分别为 PA、AC 的中点,∴EO∥PC, 又 EO?面 PBC,PC?面 PBC,

∴EO∥平面 PBC,于是 EO 上任一点到平面 PBC 的距离都相等,则 O 点到平面 PBC 的距离即为所求. 在平面 ABCD 内过 O 作 OG⊥BC 于 G,∵PC⊥平面 ABCD, ∴PC⊥OG,

∴OG⊥平面 PBC. ∵ABCD 是菱形,∠ABC=60° , ∴OG= 3a 3a 3 sin∠OBC= ×sin30° = a. 2 2 4 3 a. 4

即 E 到面 PBC 距离为

9. 正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1, O 是底面 A1B1C1D1 的中心, 则 O 到平面 ABC1D1 的距离为__________. [答案] 2 4

[解析] (1)转化为点 A1 到平面 ABC1D1 的距离,连 A1D 交 AD1 于 O1 点,可证 A1O1⊥平 面 ABC1D1, ∴A1 到平面 ABC1D1 距离 A1O1= 从而 O 到平面 ABC1D1 距离为 2 . 4 2 , 2

(2)转化为直线到平面的距离,过 O 作直线 EF∥A1B1 交 A1D1 于 E,交 B1C1 于 F,过 E 作 EE1⊥AD1,可证 EE1⊥平面 ABC1D1 从而得解. 10.三条直线 a∥b∥c,若 b、c 距离为 2,a、c 距离为 1,a、b 距离为 7,则由 a、c 确定的平面 α 与 b 的距离为________.

[答案]

3

[解析] 在直线 b 上取一点 P,过 P 作 PO⊥α 于 O,作 OQ⊥c 于 Q,交直线 a 于 R, 则 OQ⊥a,∴c⊥平面 POQ,a⊥平面 POR,∴PQ⊥c,PR⊥a, 依题设条件,QR=1,PQ=2,PR= 7,设 OQ=x,PO=h,则 x2+h2=4,(x+1)2+ h2=7,解之得 h= 3. 11.把等腰直角△ABC 沿斜边 BC 上的高线 AD 折成一个二面角,此时∠BAC=60° ,那 么此二面角的大小是__________. [答案] 90° [解析] 设 AB=a ∵AB=AC,∠BAC=60°

∴BC=a,又 BD=DC= ∴∠BDC=90° 又 BD⊥AD,AD⊥CD

2 a 2

∴∠BDC 为二面角 B-AD-C 的平面角. 故填 90° . 12.α、β 是两个不同的平面,m、n 是平面 α 及 β 外的两条不同直线,给出四个论断: ①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α. 以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题是 __________. [答案] ①、③、④?②;②、③、④?① 13.直角△ABC 的斜边 BC 在平面 α 内,顶点 A 在平面 α 外,则△ABC 的两条直角边 在平面 α 内的射影和斜边 BC 组成的图形只能是________. [答案] 线段或钝角三角形 [解析] 当△ABC 所在平面与 α 垂直时为线段;否则如图 A′C2+A′B2<AC2+AB2= BC2,

∴△A′BC 为钝角三角形. 14. △ABC 的三边长分别为 3、 4、 5, P 为平面 ABC 外一点, 它到三边的距离都等于 2, 则 P 到平面 ABC 的距离是________. [答案] 3

[解析] 顶点在底面上的射影 O 为三角形 ABC 的内心, 其内切圆半径 r=1, 则 PO= 3. 15.P 为△ABC 所在平面外一点,PA、PB、PC 与平面 ABC 所成角均相等,又 PA 与 BC 垂直,那么△ABC 形状可以是________. ①正三角形 号全填上) [答案] ①②④ ②等腰三角形 ③非等腰三角形 ④等腰直角三角形(将你认为正确的序

[解析] 设点 P 在底面 ABC 上的射影为 O, 由 PA、 PB、 PC 与平面 ABC 所成角均相等, 得 OA=OB=OC,即点 O 为△ABC 的外心,又由 PA⊥BC,得 OA⊥BC,即 AO 为△ABC 中 BC 边上的高线,∴AB=AC,即△ABC 必为等腰三角形,故应填①②④.

章节测试
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中 只有一个是符合题目要求的) 1.(2013~2014· 福建师大附中模块)设 α,β 表示两个平面,l 表示直线,A,B,C 表示 三个不同的点,给出下列命题: ①若 A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,则 l?α; ②α,β 不重合,若 A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,则 α∩β=AB; ③若 l?α,A∈l,则 A?α; ④若 A,B,C∈α,A,B,C∈β,且 A,B,C 不共线,则 α 与 β 重合. 则上述命题中,正确的个数是( A.1 C.3 [答案] C [解析] 根据公理 1 可知①正确;根据公理 3 可知②正确,根据公理 2 可知④正确;当 点 A 为直线 l 与平面 α 的交点时,可知③错误. 2.菱形 ABCD 在平面 α 内,PC⊥α,则 PA 与对角线 BD 的位置关系是( A.平行 C.相交垂直 [答案] D [解析] ∵PC⊥平面 α,∴PC⊥BD,又在菱形 ABCD 中,AC⊥BD,∴BD⊥平面 PAC. 又 PA?平面 PAC,∴BD⊥PA.显然 PA 与 BD 异面,故 PA 与 BD 异面垂直. 3.设 P 是△ABC 所在平面 α 外一点,H 是 P 在 α 内的射影,且 PA,PB,PC 与 α 所成 的角相等,则 H 是△ABC 的( A.内心 C.垂心 [答案] B [解析] 由题意知 Rt△PHA≌Rt△PHB≌Rt△PHC, 得 HA=HB=HC, 所以 H 是△ABC 的外接圆圆心. 4.已知二面角 α-l-β 的大小为 60° ,m,n 为异面直线,且 m⊥α,n⊥β,则 m,n 所 成的角为( A.30° C.90° [答案] B ) B.60° D.120° ) B.外心 D.重心 B.相交但不垂直 D.异面垂直 ) ) B .2 D.4

[解析] 易知 m,n 所成的角与二面角的大小相等,故选 B. 5.(2013~2014· 珠海模拟)已知 a,b,l 表示三条不同的直线,α,β,γ 表示三个不同的 平面,有下列命题: ①若 α∩β=a,β∩γ=b,且 a∥b,则 α∥γ; ②若 a,b 相交,且都在 α,β 外,a∥α,a∥β,b∥α,b∥β,则 α∥β; ③若 α⊥β,α∩β=a,b?β,a⊥b,则 b⊥α; ④若 a∩α,b∩α,l⊥a,l⊥b,则 l⊥α. 其中正确的有( A.0 个 C.2 个 [答案] C [ 解析 ] 可借助正方体模型解决.如图,在正方体 A1B1C1D1 - ) B .1 个 D.3 个

ABCD 中,可令平面 A1B1CD 为 α,平面 DCC1D1 为 β,平面 A1B1C1D1 为 γ.又平面 A1B1CD∩DCC1D1=CD,平面 A1B1C1D1∩平面 DCC1D1= C1D1,则 CD 与 C1D1 所在的直线分别表示 a,b,因为 CD∥C1D1,但 平面 A1B1CD 与平面 A1B1C1D1 不平行, 即 α 与 γ 不平行, 故①错误. 因 为 a,b 相交,可设其确定的平面为 γ,根据 a∥α,b∥α,可得 γ∥α.同理可得 γ∥β,因此 α ∥β,②正确.由两平面垂直,在一个平面内垂直于交线的直线和另一个平面垂直,易知③ 正确.a∥b 时,由题知 l 垂直于平面 α 内两条不相交直线,得不出 l⊥α,④错误. 6.(2013· 新课标全国Ⅱ)已知 m,n 为异面直线,m⊥平面 α,n⊥平面 β.直线 l 满足 l⊥ m,l⊥n,l?α,l?β,则( A.α∥β 且 l∥α C.α 与 β 相交,且交线垂直于 l [答案] D [解析] 由于 m,n 为异面直线,m⊥平面 α,n⊥平面 β,则平面 α 与平面 β 必相交, 但未必垂直,且交线垂直于直线 m,n,又直线 l 满足 l⊥m,l⊥n,则交线平行于 l,故选 D. 7.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是线段 A1B1,B1C1 上的不与端点重合的 动点,如果 A1E=B1F,有下面四个结论: ①EF⊥AA1;②EF∥AC;③EF 与 AC 异面;④EF∥平面 ABCD. 其中一定正确的有( A.①② C.②④ [答案] D ) B.②③ D.①④ ) B.α⊥β 且 l⊥β D.α 与 β 相交,且交线平行于 l

[ 解析 ]

如右图所示.由于 AA1 ⊥平面 A1B1C1D1 , EF ? 平面

A1B1C1D1,则 EF⊥AA1,所以①正确;当 E,F 分别是线段 A1B1,B1C1 的中点时,EF∥A1C1,又 AC∥A1C1,则 EF∥AC,所以③不正确;当 E,F 分别不是线段 A1B1,B1C1 的中点时,EF 与 AC 异面,所以②不 正确;由于平面 A1B1C1D1∥平面 ABCD,EF?平面 A1B1C1D1,所以 EF∥平面 ABCD,所以④正确. 8.如图,若 Ω 是长方体 ABCD-A1B1C1D1 被平面 EFGH 截去几何体 EFGHB1C1 后得到的几何体,其中 E 为线段 A1B1 上异于 B1 的点,F 为线段 BB1 上异于 B1 的点,且 EH∥A1D1,则下列结论中不正确的是( A.EH∥FG C.Ω 是棱柱 [答案] D [解析] 因为 EH∥A1D1,A1D1∥B1C1,所以 EH∥B1C1,又 EH?平面 BCC1B1,所以 EH ∥平面 BCC1B1,又 EH?平面 EFGH,平面 EFGH∩平面 BCC1B1=FG,所以 EH∥FG,又 EH∥B1C1,所以 Ω 是棱柱,所以 A,C 正确;因为 A1D1⊥平面 ABB1A1,EH∥A1D1,所以 EH⊥平面 ABB1A1,又 EF?平面 ABB1A1,故 EH⊥EF,所以 B 正确,故选 D. 9.(2012· 大纲版数学(文科))已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为 BB1、CC1 的中点,那么直线 AE 与 D1F 所成角的余弦值为( 4 A.- 5 3 C. 4 [答案] B [命题意图] 本试题考查了正方体中异面直线的所成角的求解的运用. [解析] 首先根据已知条件,连接 DF,然后则∠DFD1 即为异面直线所成的角,设棱长 为 2,则可以求解得到 5=DF=D1F,DD1=2,结合余弦定理得到结论. 10.如图,在三棱柱 ABC-A′B′C′中,点 E,F,H,K 分别 为 AC′,CB′,A′B,B′C′的中点,G 为△ABC 的重心,从 K, H,G,B′中取一点作为 P,使得该三棱柱恰有 2 条棱与平面 PEF 平 行,则点 P 为( A.K C.G [答案] C [解析] 应用验证法:选 G 点为 P 时,EF∥A′B′且 EF∥AB,此时恰有 A′B′和 AB ) B.H D.B′ 3 D. 5 3 D.- 5 ) )

B.四边形 EFGH 是矩形 D.Ω 是棱台

平行于平面 PEF,故选 C. 11.如图,四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45° ,∠BAD=90° ,将△ ABD 沿 BD 折起,使平面 ABD⊥平面 BCD,构成四面体 ABCD,则在四面体 ABCD 中,下 列结论正确的是( )

A.平面 ABD⊥平面 ABC C.平面 ABC⊥平面 BDC [答案] D

B.平面 ADC⊥平面 BDC D.平面 ADC⊥平面 ABC

[解析] 由平面图形易知∠BDC=90° .∵平面 ABD⊥平面 BCD,CD⊥BD,∴CD⊥平面 ABD.∴CD⊥AB.又 AB⊥AD, CD∩AD=D, ∴AB⊥平面 ADC.又 AB?平面 ABC, ∴平面 ADC ⊥平面 ABC. 12.(2013· 全国卷)已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=2AB,则 CD 与平面 BDC1 所成角的正弦值等于( 2 A. 3 C. 2 3 ) B. 3 3

1 D. 3

[答案] A [解析] 如图,连接 AC 交 BD 于点 O,连接 C1O,过 C 作 CH⊥ C1O 于点 H,

? ? AA1⊥BD ?? AC∩AA1=A? ?
BD⊥AC
? BD⊥面ACC1A1 ? ?

CH?面ACC1A1? ? BD⊥HC ?

? ? OC1⊥HC ??CH⊥面 BDC1, BD∩OC1=O? ?

∴∠HDC 为 CD 与面 BDC1 所成的角, 设 AA1=2AB=2,OC= 2 3 2 OC· CC1 2 CH ,CC1=2,OC1= ,CH= = ,∴sin∠HDC= 2 2 OG 3 CD

2 = ,故选 A. 3 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上) 13.直线 l 与平面 α 所成角为 30° ,l∩α=A,m?α,A?m,则 m 与 l 所成角的取值范围 是________. [答案] [30° ,90° ] [解析] 直线 l 与平面 α 所成的 30° 的角为 m 与 l 所成角的最小值,当 m 在 α 内适当旋 转就可以得到 l⊥m,即 m 与 l 所成角的最大值为 90° . 14.如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,且底面各边都相等,M 是 PC 上的一动点,当点 M 满足________时,平面 MBD⊥平面 PCD(只要填写一个你认为是正 确的条件即可).

[答案] DM⊥PC(或 BM⊥PC) [解析] 连接 AC,则 BD⊥AC,由 PA⊥底面 ABCD,可知 BD⊥PA,∴BD⊥平面 PAC, ∴BD⊥PC.故当 DM⊥PC(或 BM⊥PC)时,平面 MBD⊥平面 PCD. 15. (2014· 北京高考理科数学)某三棱锥的三视图如图所示, 则该三棱锥的最长棱的棱长 为________.

[答案] 2 2 [解析] 三棱锥的直观图如右图. AB⊥面 BCD,△BCD 为等腰直角三角形. AB=2,BD=2,BC=CD= 2, AC= AB2+BC2= 6,

AD= AB2+BD2= 22+22=2 2. 16.(2013· 高考安徽卷)如图正方体 ABCD-A1B1C1D1,棱长为 1,P 为 BC 中点,Q 为 线段 CC1 上的动点,过 A、P、Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S,则下列命题正确的 是________.(写出所有正确命题的编号)

1 ①当 0<CQ< 时,S 为四边形 2 1 ②当 CQ= 时,S 为等腰梯形 2 3 1 ③当 CQ= 时,S 与 C1D1 交点 R 满足 C1R1= 4 3 3 ④当 <CQ<1 时,S 为六边形 4 ⑤当 CQ=1 时,S 的面积为 [答案] ①②③⑤ [解析] 设截面与 DD1 相交于 T,则 AT∥PQ,且 AT=2PQ?DT=2CQ. 1 对于①,当 0<CQ< 时,则 0<DT<1,所以截面 S 为四边形,且 S 为梯形,所以为真. 2 1 对于②,当 CQ= 时,DT=1,T 与 D 重合,截面 S 为四边形 APQO1,所以 AP=D1Q, 2 截面为等腰梯形,所以为真. 3 1 1 1 对于③,当 CQ= ,QC1= ,DT=2,D1T= ,利用三角形相似解得,C1R1= ,所以 4 4 2 3 为真. 3 3 对于④,当 <CQ<1 时, <DT<2,截面 S 与线段 A1D1,D1C1 相交,所以四边形 S 为五 4 2 边形,所以为假. 对于⑤,当 CQ=1 时,Q 与 C1 重合,截面 S 与线段 A1D1 相交于中点 G,即即为菱形 APC1G,对角线长度为 2和 3,S 的面积为 6 ,所以为真,综上,选①②③⑤. 2 6 . 2

三、解答题(本大题共 6 个大题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)如右图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,△ABC 与△A1B1C1 都为正 三角形且 AA1⊥面 ABC,F、F1 分别是 AC,A1C1 的中点.

求证:(1)平面 AB1F1∥平面 C1BF; (2)平面 AB1F1⊥平面 ACC1A1. [分析] 本题可以根据面面平行和面面垂直的判定定理和性质定理,寻找使结论成立的 充分条件. [证明] (1)在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中, ∵F、F1 分别是 AC、A1C1 的中点, ∴B1F1∥BF,AF1∥C1F. 又∵B1F1∩AF1=F1,C1F∩BF=F, ∴平面 AB1F1∥平面 C1BF. (2)在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1⊥平面 A1B1C1,∴B1F1⊥AA1. 又 B1F1⊥A1C1,A1C1∩AA1=A1, ∴B1F1⊥平面 ACC1A1,而 B1F1?平面 AB1F1, ∴平面 AB1F1⊥平面 ACC1A1. 18.(本小题满分 12 分)(2013· 四川· 文科)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥ 底面 ABC,AB=AC=2AA1=2,∠BAC=120° ,D,D1 分别是线段 BC,B1C1 的中点,P 是 线段 AD 上异于端点的点.

(1)在平面 ABC 内,试作出过点 P 与平面 A1BC 平行的直线 l,说明理由,并证明直线 l ⊥平面 ADD1A1; 1 (2)设(1)中的直线 l 交 AC 于点 Q, 求三棱锥 A1-QC1D 的体积. (锥体体积公式: V= Sh, 3 其中 S 为底面面积,h 为高) [解析] (1)在平面 ABC 内,过点 P 作直线 l 和 BC 平行. 理由如下: 由于直线 l 不在平面 A1BC 内,l∥BC, 故直线 l 与平面 A1BC 平行. 在△ABC 中,∵AB=AC,D 是线段 AC 的中点, ∴AD⊥BC,∴l⊥AD.

又∵AA1⊥底面 ABC,∴AA1⊥l. 而 AA1∩AD=A,∴直线 l⊥平面 ADD1A1. (2)过点 D 作 DE⊥AC 于点 E. ∵侧棱 AA1⊥底面 ABC,∴三棱柱 ABC-A1B1C1 为直三棱柱, 则易得 DE⊥平面 AA1C1C. 在 Rt△ACD 中,∵AC=2,∠CAD=60° , ∴AD=AC· cos60° =1, ∴DE=AD· sin60° = 3 . 2

1 1 ∴S△QA1C1= · AC· AA1= ×2×1=1, 2 1 1 2 1 1 3 ∴三棱锥 A1-QC1D 的体积 VA1-QC1D=VD-QA1C1= · S△QA1C1· DE= ×1× = 3 3 2 3 . 6 19. (本小题满分 12 分)如下图所示, 在四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥平面 ABCD, AB=4, BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90° ,E 是 CD 的中点.

(1)证明:CD⊥平面 PAE; (2)若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等,求四棱锥 P- ABCD 的体积. [解析] (1)证明:如下图所示,连接 AC,由 AB=4,BC=3,∠ABC=90° ,得 AC=5.

又 AD=5,E 是 CD 的中点,所以 CD⊥AE. ∵PA⊥平面 ABCD,CD?平面 ABCD,所以 PA⊥CD. 而 PA,AE 是平面 PAE 内的两条相交直线,所以 CD⊥平面 PAE.

(2)过点 B 作 BG∥CD,分别与 AE,AD 相交于 F,G,连接 PF. 由(1)CD⊥平面 PAE 知,BG⊥平面 PAE.于是∠BPF 为直线 PB 与平面 PAE 所成的角, 且 BG⊥AE. 由 PA⊥平面 ABCD 知,∠PBA 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角. 由题意,知∠PBA=∠BPF, PA BF 因为 sin∠PBA= ,sin∠BPF= ,所以 PA=BF. PB PB 由∠DAB=∠ABC=90° 知,AD∥BC,又 BG∥CD,所以四边形 BCDG 是平行四边形, 故 GD=BC=3.于是 AG=2. 在 Rt△BAG 中,AB=4,AG=2,BG⊥AF,所以 AB2 16 8 5 8 5 BG= AB2+AG2=2 5,BF= = = .于是 PA=BF= . BG 2 5 5 5 1 又梯形 ABCD 的面积为 S= ×(5+3)×4=16,所以四棱锥 P-ABCD 的体积为 2 1 1 8 5 128 5 V= ×S×PA= ×16× = . 3 3 5 15 20.(本小题满分 12 分)(2013· 全国新课标卷Ⅰ)如图三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=CB, AB=AA1,∠BAA1=60° ,

(1)证明 AB⊥A1C; (2)若 AC1= 6,AB=CB=2,求三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积 S. [命题意图] 本题主要考查空间线面,线线垂直的判定与性质,及体积的计算,考查空 间想象能力,逻辑推理论证能力,属容易题.

[解析] (1)证明:取 AB 中点 E,连接 CE,A1B,A1E, ∵AB=AA1,∠BAA1=60° ,∴△BAA1 是等边三角形, ∴A1E⊥AB,∵CA=CB,∴CE⊥AB, ∵CE∩A1E=E,∴AB⊥面 CEA1,∴AB⊥A1C. (2)由于△CAB 为等边三角形,∴CE= 3,A1E= 3,在△A1CE 中 A1C= 6.即有 A1C2 1 1 =CE2+A1E2,故 A1E⊥CE,S 底面积= ×AB×CE= ×2×2 3=2 3,A1E⊥AB,A1E⊥CE, 2 2

∴h=A1E= 3,V=Sh=2 3× 3=6.

21. (本小题满分 12 分)(2013· 福建改编)如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, PD⊥平面 ABCD, AB∥DC,AB⊥AD,BC=5,DC=3,AD=4,∠PAD=60° . (1)当正视方向为从 A 到 D 的方向时,画出四棱锥 P-ABCD 的正视图(要求标出尺寸, 并写出演算过程); (2)若 M 为 PA 的中点,求证:DM∥平面 PBC; (3)求三棱锥 D-PBC 的体积. [解析] (1)如图 1,在梯形 ABCD 中,过点 C 作 CE⊥AB,垂足为 E. 由已知得,四边形 ADCE 为矩形,AE=CD=3, 在 Rt△BEC 中,由 BC=5,CE=4, 依据勾股定理得 BE=3,从而 AB=6. 又由 PD⊥平面 ABCD 得,PD⊥AD, 从而在 Rt△PDA 中,由 AD=4,∠PAD=60° , 得 PD=4 3. 正视图如图 2 所示:

(2)方法一:如图 3,取 PB 的中点 N,连接 MN,CN. 在△PAB 中,∵M 是 PA 的中点, 1 ∴MN∥AB,MN= AB=3,又 CD∥AB,CD=3, 2 ∴MN∥CD,MN=CD, ∴四边形 MNCD 为平行四边形,∴DM∥CN. 又 DM?平面 PBC,CN?平面 PBC, ∴DM∥平面 PBC.

方法二:如图 4,取 AB 的中点 E,连接 ME,DE. 在梯形 ABCD 中,BE∥CD,且 BE=CD, ∴四边形 BCDE 为平行四边形,∴DE∥BC. 又 DE?平面 PBC,BC?平面 PBC,∴DE∥平面 PBC. 又在△PAB 中,ME∥PB,ME?平面 PBC,PB?平面 PBC,∴ME∥平面 PBC. 又 DE∩ME=E,∴平面 DME∥平面 PBC. 又 DM?平面 DME,∴DM∥平面 PBC. 1 (3)VD-PBC=VP-DBC= S△DBC· PD, 3 又 S△DBC=6,PD=4 3,所以 VD-PBC=8 3. 22. (本小题满分 12 分)如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形, 已知 AB=3, AD=2,PA=2,PD=2 2,∠PAB=60° .

(1)求证:AD⊥平面 PAB; (2)求异面直线 PC 与 AD 所成的角的正切值; (3)求二面角 P-BD-A 的正切值. [解析] (1)证明:在△PAD 中,∵PA=2,AD=2,PD=2 2, ∴PA2+AD2=PD2,∴AD⊥PA. 在矩形 ABCD 中,AD⊥AB. ∵PA∩AB=A,∴AD⊥平面 PAB. (2)∵BC∥AD,∴∠PCB 是异面直线 PC 与 AD 所成的角. 在△PAB 中,由余弦定理得 PB= PA2+AB2-2PA· AB· cos∠PAB= 7. 由(1)知 AD⊥平面 PAB,PB?平面 PAB, ∴AD⊥PB,∴BC⊥PB, 则△PBC 是直角三角形,

故 tan∠PCB=

PB 7 = . BC 2 7 . 2

∴异面直线 PC 与 AD 所成的角的正切值为

(3)过点 P 作 PH⊥AB 于点 H,过点 H 作 HE⊥BD 于点 E,连结 PE. ∵AD⊥平面 PAB,PH?平面 ABCD,∴AD⊥PH. 又∵AD∩AB=A,∴PH⊥平面 ABCD. 又∵PH?平面 PHE,∴平面 PHE⊥平面 ABCD. 又∵平面 PHE∩平面 ABCD=HE,BD⊥HE, ∴BD⊥平面 PHE. 而 PE?平面 PHE,∴BD⊥PE, 故∠PEH 是二面角 P-BD-A 的平面角. 由题设可得,PH=PA· sin60° = 3, AH=PA· cos60° =1,BH=AB-AH=2, AD 4 BD= AB2+AD2= 13,HE= · BH= . BD 13 PH 39 ∴在 Rt△PHE 中,tan∠PEH= = . HE 4 ∴二面角 P-BD-A 的正切值为 39 . 4


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