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最新人教A版必修四高中数学1.6 三角函数模型的简单应用公开课课件_图文

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§1.6 三角函数模型的简单应用 内容 索引 01 明目标 知重点 填要点 记疑点 02 03 探要点 究所然 当堂测 查疑缺 04 明目标、知重点 会用三角函数解决一些简单的实际问题,体会三角 函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 填要点·记疑点 1.三角函数的周期性 y=Asin(ωx+φ) (ω≠0)的周期是T= ; y=Acos(ωx+φ) (ω≠0)的周期是T= y=Atan(ωx+φ) (ω≠0)的周期是T= ; . 2.函数y=Asin(ωx+φ)+k (A>0,ω>0)的性质 (1)ymax= A+k ,ymin= -A+k (2)A= ,k= . . ymax+ymin ymax-ymin (3)ω可由ω= 2 T可观察图象获得. 2 确定,其中周期 2π ,ωx +φ= ,ωx +φ= ,ωx +φ= (4)由ωx1+φ= 2 3 4 T 3 ωx5+φ= 中的一个确定φ的值 . π π π 0 2 2 2π , 3.三角函数模型的应用 三角函数作为描述现实世界中 周期 现象的一种数学模型, 可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预测其 未来等方面都发挥着十分重要的作用. 探要点·究所然 情境导学 生活中普遍存在着周期性变化规律的现象,昼夜交替四季轮回, 潮涨潮落、云卷云舒,情绪的起起落落,庭前的花开花谢,用数 学语言可以说这些现象具有周期性,而我们所学的三角函数是刻 画周期变化数量的典型函数模型,这节课我们就来通过几个具体 例子,来研究这种三角函数模型的简单应用. 探究点一 利用基本三角函数的图象研究其他函数 思考 怎样作出函数y=|sin x|的图象,并根据图象判断其周期和 单调区间? 答 函数y=sin x位于x轴上方的图象不动,位于x轴下方的图象沿 x轴翻折到x轴上方即可得到函数y=|sin x|的图象,如下图所示: 根据图象可知,函数 y=|sin x| 的周期是 π,函数在区间 ? π? ?kπ,kπ+ ?,k∈Z 2? ? ? π ? 上递增;在区间?kπ-2,kπ?, ? ? k∈ Z 上 递减. 小结 一些函数图象可以通过基本三角函数图象翻折得到 .例如: (1) 由函数 y= f(x) 的图象要得到 y = |f(x)|的图象,只需将 y =f(x) 的 即“上不动,下翻上”.(2)由函数y=f(x)的图象要得到y=f(|x|)的 图象,应保留y=f(x)位于y轴右侧的图象,去掉y轴左侧的图象, 图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方,x轴上方的图象保持不动, 再由 y 轴右侧的图象翻折得到 y 轴左侧的图象,即 “ 右不动,右 翻左”. 例1 (1)作出函数y=|cos x|的图象,判断其奇偶性、周期性并写 出单调区间. 解 y=|cos x|图象如图所示. 由图象可知:T=π;y=|cos x|是偶函数; π 单调递增区间为[-2+kπ,kπ],k∈Z, π 单调递减区间为[kπ,2+kπ],k∈Z. (2)作出函数y=sin|x|的图象并判断其周期性. 解 ∵sin(-x)=-sin x, ? ?sin x ∴y=sin|x|=? ? ?-sin x ∴其图象如图. ?x≥0?, ?x<0?. 由图象可知,函数y=sin|x|不是周期函数. 跟踪训练1 求下列函数的周期: ? ?1 π? 1? (1)y=|sin 2x|; (2)y=?sin?2x+6?+3?; (3)y=|tan 2x|. ? ? ? ? π 2π π 解 (1)T=2;(2)T= 1 =4π;(3)T=2. 2 探究点二 三角函数模型的应用 思考1 数学模型是什么,什么是数学模型的方法? 答 简单地说,数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括, 再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时,所得出的关于 实际问题的数学描述.数学模型的方法,是把实际问题加以抽象 概括,建立相应的数学模型,利用这些模型来研究实际问题的 一般数学方法. 思考2 上述的数学模型是怎样建立的? 答 解决问题的一般程序是: 1°审题:逐字逐句的阅读题意,审清楚题目条件、要求、理解 数学关系; 2°建模:分析题目变化趋势,选择适当函数模型; 3°求解:对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论; 4°还原:把数学结论还原为实际问题的解答. 思考3 怎样处理搜集到的数据? 答 画出散点图,分析它的变化趋势,确定合适的函数模型. 小结 利用三角函数模型解决实际问题的具体步骤如下: (1)收集数据,画出“散点图”; (2)观察“散点图”,进行函数拟合,当散点图具有波浪形的 特征时,便可考虑应用正弦函数和余弦函数模型来解决; (3)注意由第二步建立的数学模型得到的解都是近似的,需要 具体情况具体分析. 探究点三 三角函数模型在物理学中的应用 例2 如图,某地一天从 6 ~ 14时的温度变化曲线近似满足函数y =Asin(ωx+φ)+b. (1)求这一天6~14时的最大温差; 解 由图可知:这段时间的最大温差是20℃; (2)写出这段曲线的函数解析式. 解 从图可以看出: 从 6~14 是 y=Asin(ωx+φ)+b 的半个周期的 T 图象,∴2=14-6=8,∴T=16. 2π π ∵T= ω ,∴ω=8. ? 30-10 ? ?A= 2 =10, 又∵? ? 30+10 b= 2 =20, ? ? ? ?A=10, ∴? ? ?b=20. ?π ? ∴y=10sin?8x+φ?+20. ? ? ?3π ? 3π 3π 将点(6,10)代入得 sin? 4 +φ?=-1,∴ 4 +φ=2kπ+ 2 ,k∈Z, ? ? 3π 3π ∴φ=2kπ+ 4 ,k∈Z,取 φ= 4 , ?π 3π? ∴y=10sin?8x+ 4 ?+20 (6≤x≤14). ? ? 反思与感悟

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