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9 精练检测九 平面解析几何

时间:2017-12-01


单元滚动检测九
考生注意:

平面解析几何

1.本试卷分第Ⅰ卷(填空题)和第Ⅱ卷(解答题)两部分,共 4 页. 2.答卷前,考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相 应位置上. 3.本次考试时间 120 分钟,满分 160 分. 4.请在密封线内作答,保持试卷清洁完整. 第Ⅰ卷

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在题中横线上) 1.(2016· 泰州模拟)若直线 l1:(a-1)x+y-1=0 和直线 l2:3x+ay+2=0 垂直,则实数 a 的值为________. 2.(2016· 镇江、常州联考)若在平面直角坐标系内过点 P(1, 3)且与原点的距离为 d 的直线 有两条,则 d 的取值范围为__________. 3 3.(2016· 扬州模拟)圆心在曲线 y=- (x>0)上,且与直线 3x-4y+3=0 相切的面积最小的 x 圆的方程是______________________. x2 y2 4.(2016· 福州质检)直线 y=x 与椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的交点在 x 轴上的射影恰好是椭 a b 圆的焦点,则椭圆 C 的离心率为__________. x2 y2 5.已知双曲线 - =1(p>0)的离心率为 e,抛物线 x=2py2 的焦点为(e,0),则 p 的值为 4 12 ________. x2 y2 6.(2016· 无锡模拟)抛物线 y2=4x 的焦点到双曲线 - =1 的渐近线的距离为________. 16 9 x2 y2 7.(2016· 山西四校联考)已知双曲线 - 2=1(b>0),过其右焦点 F 作圆 x2+y2=9 的两条切 9 b 线,切点记作 C,D,双曲线的右顶点为 E,∠CED=150° ,则双曲线的离心率为________. 5-1 x2 8.我们把离心率为黄金比 的椭圆称为“优美椭圆”.设 F1,F2 是“优美椭圆”C: 2 2 a y2 + 2=1(a>b>0)的两个焦点,则椭圆 C 上满足∠F1PF2=90° 的点 P 的个数为________. b 9.(2016· 泰州模拟)设圆锥曲线 Γ 的两个焦点分别为 F1,F2.若曲线 Γ 上存在点 P 满足为

PF1∶F1F2∶PF2=4∶3∶2,则曲线 Γ 的离心率等于____________. 10.已知 F1,F2 分别是双曲线的两个焦点,P 为该双曲线上一点,若△PF1F2 为等腰直角三 角形,则该双曲线的离心率为________. x2 y2 11.(2016· 长春质检)若 F(c,0)是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点,过 F 作该双曲线一条 a b 12a2 渐近线的垂线与两条渐近线交于 A,B 两点,O 为坐标原点,△OAB 的面积为 ,则该双 7 曲线的离心率 e=______. 1 12.(2016· 郑州质检)已知 P 为抛物线 y= x2 上的动点,点 P 在 x 轴上的射影为 M,点 A 的 2 17 坐标是(6, ),则 PA+PM 的最小值是________. 2 x2 y2 13.(2016· 河南豫东豫北十校联考)双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线 x+ a b 2y+1=0 垂直,F1,F2 为 C 的焦点,A 为双曲线上一点,若 F1A=2F2A,则 cos∠AF2F1= ________. 14.平面上一机器人在行进中始终保持与点 F(1,0)的距离和到直线 x=-1 的距离相等.若 机器人接触不到过点 P(-1,0)且斜率为 k 的直线,则 k 的取值范围是__________________ . 第Ⅱ卷 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) x2 y2 15.(14 分)已知直线 y=-x+1 与椭圆 2+ 2=1(a>b>0)相交于 A,B 两点,且线段 AB 的中点 a b 在直线 l:x-2y=0 上. (1)求此椭圆的离心率; (2)若椭圆的右焦点关于直线 l 的对称点在圆 x2+y2=4 上,求此椭圆的方程.

16.(14 分)(2016· 苏州模拟)已知动点 P 到定点 F(1,0)和到直线 x=2 的距离之比为

2 , 设动点 P 2

的轨迹为曲线 E,过点 F 作垂直于 x 轴的直线与曲线 E 相交于 A,B 两点,直线 l:y=mx+n 与曲线 E 交于 C,D 两点,与线段 AB 相交于一点(与 A,B 不重合). (1)求曲线 E 的方程; (2)当直线 l 与圆 x2+y2=1 相切时,四边形 ACBD 的面积是否有最大值.若有,求出其最大 值及对应的直线 l 的方程;若没有,请说明理由.

x2 y2 17.(14 分)(2016· 四川高中名校联盟测试)如图,已知 F1,F2 是椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的左, a b 右焦点,过点 F2 的直线 l 与椭圆 E 交于 A,B 两点,直线 l,AF1,BF1 的斜率分别为 k,k1, k2,且满足 k1k2+k2=0(k≠0).

(1)若 a=2,b= 3,求直线 l 的方程; AF1+BF2 1 (2)若 k= ,求 的值. 2 AB

18.(16 分)(2016· 扬州模拟)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,右焦点为 F( 7,0),A,B 分别是 椭圆 C 的左、右顶点,D 是椭圆 C 上异于 A,B 的动点,且△ADB 面积的最大值为 12. (1)求椭圆 C 的方程; (2)求证:当点 P(x0,y0)在椭圆 C 上运动时,直线 l:x0x+y0y=2 与圆 O:x2+y2=1 恒有两个 交点,并求直线 l 被圆 O 所截得的弦长 L 的取值范围.

x2 y2 19.(16 分)(2016· 安徽安庆摸底)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的两个焦点和短轴的两个端点 a b 都在圆 x2+y2=1 上. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若斜率为 k 的直线经过点 M(2,0), 且与椭圆 C 相交于 A, B 两点, 试探讨 k 为何值时, OA⊥OB.

x2 y2 6 20.(16 分)(2017· 兰州双基考试)已知椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 e= ,过 C1 的左 a b 3 焦点 F1 的直线 l:x-y+2=0 被圆 C2:(x-3)2+(y-3)2=r2(r>0)截得的弦长为 2 2. (1)求椭圆 C1 的方程; a2 (2)设 C1 的右焦点为 F2,在圆 C2 上是否存在点 P,满足 PF1= 2PF2?若存在,指出有几个这 b 样的点(不必求出点的坐标);若不存在,说明理由.

答案解析
1. 3 4

3 解析 由已知得 3(a-1)+a=0,解得 a= . 4 2.0<d<2 解析 OP=2,当直线 l 过点 P(1, 3)且与直线 OP 垂直时,有 d=2,且直线 l 有且只有一 条;当直线 l 与直线 OP 重合时,有 d=0,且直线 l 有且只有一条;当 0<d<2 时,有两条. 3 3.(x-2)2+(y+ )2=9 2 3 解析 设圆心的坐标为(a,- ),a>0, a 12 3a+ +3 a 3 15 12 ∵(a,- )到直线 3x-4y+3=0 的距离 d= 2 2≥ 5 =3,当且仅当 3a= a ,即 a=2 a 3 +?-4? 3 3 时取等号,此时圆心坐标为(2,- ),半径 r=3,则所求圆的方程为(x-2)2+(y+ )2=9. 2 2 4. -1+ 5 2

x2 y2 解析 设直线 y=x 与椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)在第一象限的交点为 A,依题意有点 A 的坐 a b c2 c2 c2 c2 标为(c,c),又点 A 在椭圆 C 上,故有 2+ 2=1,因为 b2=a2-c2,所以 2+ 2 2=1, a b a a -c 所以 c4-3a2c2+a4=0,即 e4-3e2+1=0,解得 e2= 又因为 C 是椭圆,所以 0<e<1,所以 e= 5. 1 16 5-1 . 2 3± 5 , 2

解析 依题意得双曲线中 a=2,b=2 3, ∴c= a2+b2=4, c 1 ∴e= =2,抛物线方程为 y2= x, a 2p 1 1 故 =2,得 p= . 8p 16 6. 3 5

x2 y2 3 解析 抛物线 y2=4x 的焦点(1,0)到双曲线 - =1 的渐近线 3x± 4y=0 的距离为 . 16 9 5

7.

2 3 3

解析 由题可得△OCE 为等腰三角形,且底角为 75° ,所以顶角∠COE=30° , c 2 3 在 Rt△OCF 中,OC=3,易知 OF=2 3,即 c=2 3,所以离心率 e= = . a 3 8.0
? ?m+n=2a, 解析 设 PF1=m,PF2=n,则? 2 2 2 ?4c =m +n , ?

mn=2a2-2c2. 而 5-1 c 5-1 2 = ,所以 mn=2a2-2( a) =( 5-1)a2, 2 a 2

与 m+n=2a 联立无实数解. 1 3 9. 或 2 2 解析 设圆锥曲线 Γ 的离心率为 e,因为 PF1∶F1F2∶PF2=4∶3∶2,则①若圆锥曲线 Γ 为 F1F2 3 1 椭圆,由椭圆的定义,则有 e= = = ;②若圆锥曲线 Γ 为双曲线,由双曲线 PF1+PF2 4+2 2 F1F2 3 3 的定义,则有 e= = = . PF1-PF2 4-2 2 1 3 综上,所求的离心率为 或 . 2 2 10. 2+1 解析 不妨设点 P 在双曲线的右支上,则 PF1-PF2=2a. ∵△PF1F2 是等腰直角三角形,∴只能是∠PF2F1=90° , ∴PF2=F1F2=2c,∴PF1=2a+PF2=2a+2c, ∴(2a+2c)2=2· (2c)2,即 c2-2ac-a2=0, 两边同除以 a2,得 e2-2e-1=0. ∵e>1,∴e= 2+1. 5 11. 4 解析 设过第一、三象限的渐近线的倾斜角为 θ, b 2ab 则 tanθ= ,tan2θ= 2 , a a -b2 1 a3b 12a2 因此△OAB 的面积可以表示为 · a· atan2θ= 2 2= , 2 7 a -b b 3 5 解得 = ,则 e= . a 4 4

19 12. 2 1 1 解析 依题意可知焦点 F(0, ),准线为 y=- ,延长 PM 交准线于点 H, 2 2 1 1 1 则 PF=PH,PM=PH- =PF- ,PA+PM=PF+PA- ,即求 PF+PA 的最小值. 2 2 2 因为 PF+PA≥FA,又 FA= 1 19 所以 PM+PA≥10- = . 2 2 13. 5 5 17 1 62+? - ?2=10, 2 2

解析 因为双曲线的一条渐近线与直线 x+2y+1=0 垂直, 所以 b=2a.又 F1A=2F2A,且 F1A-F2A=2a, 所以 F2A=2a,F1A=4a,而 c2=5a2,得 2c=2 5a,
2 2 F1F2 20a2+4a2-16a2 5 2+F2A -F1A 所以 cos∠AF2F1= = = . 2F1F2F2A 5 2×2 5a×2a

14.(-∞,-1)∪(1,+∞) 解析 由题意可知机器人行进的轨迹为一抛物线, 其轨迹方程为 y2=4x, 过点 P(-1,0)且斜率为 k 的直线方程为 y=k(x+1), 由题意知直线与抛物线无交点, 联立消去 y,得 k2x2+(2k2-4)x+k2=0, 则 Δ=(2k2-4)2-4k4<0, 所以 k2>1,得 k>1 或 k<-1. y=-x+1, ? ? 2 2 15.解 (1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则由?x y ? ?a2+b2=1, 得(a2+b2)x2-2a2x+a2-a2b2=0, ∴x1+x2= 2a2 , a +b2
2

2b2 y1+y2=-(x1+x2)+2= 2 , a +b2 a2 b2 ∴线段 AB 的中点坐标为( 2 , ). a +b2 a2+b2 a2 2b2 ∵线段 AB 的中点在直线 l 上,∴ 2 2- 2 2=0, a +b a +b

∴a2=2b2=2(a2-c2),∴a2=2c2, c 2 ∴椭圆的离心率 e= = . a 2 (2)由(1)知 b=c,从而椭圆的右焦点 F 的坐标为(b,0), 设点 F(b,0)关于直线 l:x-2y=0 的对称点的坐标为(x0,y0), y0-0 1 x0+b y0 则 · =-1 且 -2· =0, 2 2 x0-b 2 3 4 ∴x0= b,y0= b. 5 5 3 2 4 2 2 由已知得 x2 0+y0=4,∴( b) +( b) =4, 5 5 ∴b2=4,又由(1)知 a2=2b2=8, x2 y2 ∴椭圆的方程为 + =1. 8 4 16.解 (1)设点 P(x,y),由题意可得 ?x-1?2+y2 2 = , 2 |x-2|

x2 x2 整理可得 +y2=1.曲线 E 的方程是 +y2=1. 2 2 (2)设 C(x1,y1),D(x2,y2),由已知可得 AB= 2. 当 m=0 时,不合题意; 当 m≠0 时,由直线 l 与圆 x2+y2=1 相切, y=mx+n, ? ?2 |n| 2 2 可得 2 =1,即 m +1=n .联立?x 2 m +1 ? ? 2 +y =1, 1 消去 y,得(m2+ )x2+2mnx+n2-1=0, 2 1 Δ=4m2n2-4(m2+ )(n2-1)=2m2>0, 2 -2mn+ Δ -2mn- Δ x1= ,x2= , 2 2m +1 2m2+1 1 2|m| S 四边形 ACBD= AB· |x2-x1|= 2 = 2 2m +1 2 ≤ , 1 2 2|m|+ |m| 2

1 2 6 2 6 当且仅当 2|m|= ,即 m=± 时等号成立,此时 n=± ,经检验可知,直线 y= x- |m| 2 2 2 2 和直线 y=- 2 6 x+ 符合题意. 2 2

17.解 (1)设 F1(-c,0),F2(c,0),

x2 y2 ∴直线 l 的方程为 y=k(x-c),将其代入 2+ 2=1, a b 整理得(b2+a2k2)x2-2a2k2cx+a2k2c2-a2b2=0. a2k2c2-a2b2 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1x2= 2 2 2 , b +k a k?x1-c? k?x2-c? y1 而 k1= = ,k2= , x1+c x1+c x2+c k2?x1-c??x2-c? 2 由已知 k1k2+k2=0 且 k≠0,得 +k =0, ?x1+c??x2+c? 则(x1-c)(x2-c)+(x1+c)(x2+c)=0, a2k2c2-a2b2 即 x1x2+c2=0? 2 2 2 +c2=0 b +k a 1 ? 2|k|ac=a2-c2? 2|k|= -e. e c 1 3 2 ∵a=2,b= 3,∴c=1,即有 e= = ,∴k=± , a 2 4 则直线 l 的方程为 3 2x-4y-3 2=0 或 3 2x+4y-3 2=0. 1 1 2 (2)若 k= ,则由(1)知 2|k|= -e,∴e= . 2 e 2 ∵AB= k2+1|x1-x2| ?2a2k2c?2-4?b2+a2k2??a2k2c2-a2b2? = k +1· b2+a2k2
2

2ab2?k2+1? = 2 2 , a k +b2 由椭圆定义可知 AF1+BF1+AB=4a, AF1+BF1 AF1+BF1+AB ∴ = -1 AB AB 1 8? a2+b2? 4 2?a2k2+b2? 4a = -1= 2 2 -1= -1 AB 5b2 b ?k +1? 2 a2 2 1 7 = ( 2+4)-1= ( +4)-1= , 5b 5 1-e2 5 AF1+BF1 7 即 = . AB 5 x2 y2 18.解 (1)设椭圆的方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b 1 由已知可得(S△ADB)max= · 2a· b=ab=12,① 2 ∵F( 7,0)为椭圆右焦点,∴a2=b2+7,② x2 y2 由①②可得 a=4,b=3,∴椭圆 C 的方程为 + =1. 16 9

x2 y2 0 0 (2)∵P(x0,y0)是椭圆上的动点,∴ + =1, 16 9 9x2 0 2 ∴y0 =9- , 16 ∴圆心 O 到直线 l:x0x+y0y=2 的距离 d=
2= x2 0+y0

2

2 9 2 x2 0+9- x0 16



2 <1(0≤x2 0≤16), 7 2 x0+9 16

∴直线 l:x0x+y0y=2 与圆 O:x2+y2=1 恒有两个交点. L=2 r2-d2=2 1- 4 (r 为圆 x2+y2=1 的半径), 7 2 x +9 16 0

7 2 2 5 ∵0≤x2 x +9≤16,∴ ≤L≤ 3. 0≤16,∴9≤ 16 0 3 19. 解 (1)依题意椭圆的两个焦点和短轴的两个端点都在圆 x2+y2=1 上, 可得 b=1, c=1, x2 所以 a2=2,所以椭圆 C 的方程为 +y2=1. 2 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 AB 的方程为 y=k(x-2), y=k?x-2?, ? ? 由?x2 2 ? ? 2 +y =1

消去 y,得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0,

8k2-2 8k2 所以 x1+x2= . 2,x1x2= 1+2k 1+2k2 y1y2 因为 OA⊥OB,所以 =-1,即 x1x2+y1y2=0. x1x2 而 y1y2=k2(x1-2)(x2-2), 所以 x1x2+k2(x1-2)(x2-2)=0, ?1+k2??8k2-2? 16k4 所以 - +4k2=0, 1+2k2 1+2k2 1 5 解得 k2= ,此时 Δ>0,所以 k=± . 5 5 20.解 (1)∵直线 l 的方程为 x-y+2=0, 令 y=0,得 x=-2,即 F1(-2,0),∴c=2. c 6 又 e= = ,∴a2=6,b2=a2-c2=2, a 3 x2 y2 ∴椭圆 C1 的方程为 + =1. 6 2 |3-3+2| (2)∵圆心 C2(3,3)到直线 l:x-y+2=0 的距离 d= = 2, 2

又直线 l:x-y+2=0 被圆 C2:(x-3)2+(y-3)2=r2(r>0)截得的弦长为 2 2, ∴r= 2 22 d2+? ? = 2+2=2, 2

故圆 C2 的方程为(x-3)2+(y-3)2=4. a2 设圆 C2 上存在点 P(x,y),满足 PF1= 2PF2, b 即 PF1=3PF2,且 F1,F2 的坐标分别为 F1(-2,0),F2(2,0), 则 ?x+2?2+y2=3 ?x-2?2+y2, 5 9 5 整理得(x- )2+y2= ,它表示圆心是 C( ,0), 2 4 2 3 半径是 的圆.∵CC2= 2 5 37 ?3- ?2+?3-0?2= , 2 2

3 3 故有 2- <CC2<2+ ,故圆 C 与圆 C2 相交,有两个公共点. 2 2 a2 ∴圆 C2 上存在两个不同的点 P,满足 PF1= 2PF2. b


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