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2015年高考第一轮复习数学:13.4 函数的连续性及极限的应用

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13.4 函数的连续性及极限的应用 ●知识梳理 1.函数的连续性. 一般地,函数 f(x)在点 x=x0 处连续必须满足下面三个条件: (1)函数 f(x)在点 x=x0 处有定义; (2) lim f(x)存在; (3) x ? x0 x ? x0 lim f(x)=f(x0).如果函数 y=f(x)在点 x=x0 处及其附近有定义, 而且 lim f(x)=f(x0),就说函数 f(x)在点 x0 处连续. x ? x0 2.如果 f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数,那么 f(x)在闭 区间[a,b]上有最大值和最小值. 3.若 f(x) 、g(x)都在点 x0 处连续,则 f(x)±g(x),f(x) ?g (x), f ( x) (g(x)≠0)也在点 x0 处连续.若 u(x)在点 x0 处连续, g ( x) 且 f(u)在 u0=u(x0)处连续,则复合函数 f[u(x) ]在点 x0 处也连 续. 特别提示 (1)连续必有极限,有极限未必连续. (2) 从运算的角度来分析,连续函数在某一点处的极限运算与函 数关系“f”是可以交换顺序的. ●点击双基 1.f(x)在 x=x0 处连续是 f(x)在 x=x0 处有定义的_________条 件. A.充分不必要 分 C.充要 又不必要 解析:f(x)在 x=x0 处有定义不一定连续. 答案:A D.既不充分 B.必要不充 π x 的不连续点为 2.f(x)= π cos x cos A.x=0 B.x= 2 (k=0,±1,±2,?) 2k ? 1 2 (k=0,±1,±2,?) 2k ? 1 C.x=0 和 x=2kπ (k=0,±1,±2,?) D.x=0 和 x= 解析:由 cos 2 π π π =0,得 =kπ + (k∈Z),∴x= (k ? Z) . 2k ? 1 x x 2 又 x=0 也不是连续点,故选 D 答案:D 3.下列图象表示的函数在 x=x0 处连续的是 y y O x0 x O x0 x ① y y ② O x0 x O x0 x ③ ④ A. ① D.③④ 答案:A 4. 四个函数 :① f( x ) = B. ② ③ C. ① ④ 1 ;② g ( x ) =sinx;③ f( x )=|x|; ④ f( x ) x =ax3+bx2+cx+d.其中在 x=0 处连续的函数是____________. (把你认为 正确的代号都填上) 答案:②③④ ●典例剖析 【 例 1 】 ( 1 ) 讨 论 函 数 f ( x ) ?1 ( x ? 0), ? = ?0 ( x ? 0), 在点x ? 0处的连续性; ?? 1 ( x ? 0) ? (2)讨论函数 f(x)= x 在区间[0,3]上的连续性. x?3 x ?0 剖析: (1)需判断 lim f(x)= lim f(x)=f(0). ? ? x ?0 (2)需判断 f(x)在(0,3)上的连续性及在 x=0 处右连续,在 x=3 处左连续. 解:(1)∵ lim f(x)=-1, lim f(x)=1, ? ? x ?0 x ?0 x ?0? f(x), lim f(x)≠ lim ? x ?0 x?0 ∴ lim f(x)不存在.∴f(x)在 x=0 处不连续. (2)∵f(x)在 x=3 处无定义, ∴f(x)在 x=3 处不连续. ∴f(x)在区间[0,3]上不连续. ?e x 【例 2】 设 f(x

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