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均值不等式的应用(习题+答案)2

时间:2014-08-24


均值不等式应用
一.均值不等式

1. (1) 若 a, b ? R , 则 a 2 ? b 2 ? 2ab
a?b 2. (1)若 a, b ? R * ,则 ? ab 2

2 2 (2)若 a, b ? R , 则 ab ? a ? b (当且仅当 a ? b 时取 “=” )

2

(2)若 a, b ? R * ,则 a ? b ? 2 ab (当且仅当 a ? b 时取“=” ) (当且仅当 a ? b 时取“=” )

a ?b? (3)若 a, b ? R * ,则 ab ? ? ? ? ? 2 ?
3.若 x ? 0 , 则x?

2

1 1 ? 2 (当且仅当 x ? 1 时取 “=” ) ;若 x ? 0 , 则 x ? ?? 2 (当且仅当 x ? ?1 时取 “=” ) x x
(当且仅当 a ? b 时取“=” )

若 x ? 0 ,则 x ? 1 ? 2即x ? 1 ? 2或x ? 1 ? -2 x x x
a b 4.若 ab ? 0 ,则 ? ? 2 b a

(当且仅当 a ? b 时取“=” ) (当且仅当 a ? b 时取“=” )

若 ab ? 0 ,则

a b a b a b ? ? 2即 ? ? 2或 ? ? -2 b a b a b a

a ? b 2 a2 ? b2 (当且仅当 a ? b 时取“=” ) ) ? 2 2 注: (1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的 积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大” . (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3) 均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应 用.
5.若 a, b ? R ,则 ( 应用一:求最值 例 1:求下列函数的值域 1 (1)y=3x 2+ 2 2x 1 (2)y=x+ x

解题技巧: 技巧一:凑项 例 1:已知 x ?

5 ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 1 的最大值。 4 4x ? 5

1

技巧二:凑系数 例 2. 当

时,求 y ? x(8 ? 2 x) 的最大值。

变式:设 0 ? x ?

3 ,求函数 y ? 4 x(3 ? 2 x) 的最大值。 2

技巧三: 分离 x 2 ? 7 x ? 10 ( x ? ?1) 的值域。 例 3. 求 y ? x ?1

技巧四:换元 x 2 ? 7 x ? 10 ( x ? ?1) 的值域。 例 3. 求 y ? x ?1

技巧五:注意:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数 f ( x) ? x ? 例 4:求函数 y ?

a 的单调性。 x

x2 ? 5 x2 ? 4

的值域。

2

变式.1.求下列函数的最小值,并求取得最小值时,x 的值. (1) y ?

1 x 2 ? 3x ? 1 ,x ?3 , ( x ? 0) (2) y ? 2 x ? x ?3 x

(3) y

? 2sin x ?

1 , x ? (0, ? ) sin x

2.已知 0 ? x ? 1 ,求函数 y ?

x(1? x) 的最大值.;

3. 0 ? x ?

2 ,求函数 y ? 3

x(2 ? 3x) 的最大值.

条件求最值
a b 1.若实数满足 a ? b ? 2 ,则 3 ? 3 的最小值是

.

技巧六:整体代换:多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。 。 例 5:已知 x ? 0, y ? 0 ,且

1 9 ? ? 1 ,求 x ? y 的最小值。 x y

3

技巧七、取平方 例 6、已知 x,y 为正实数,3x+2y=10,求函数 W= 3x + 2y 的最值.

其他。 y2 例 7.已知 x,y 为正实数,且 x 2+ =1,求 x 1+y 2 的最大值. 2

1 例 8:已知 a,b 为正实数,2b+ab+a=30,求函数 y= 的最小值. ab

应用二:利用均值不等式证明不等式 1.已知 a, b, c 为两两不相等的实数,求证: a
2

? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca
? 1 ?? 1 ?? 1 ? ? 1?? ? 1?? ? 1? ? 8 ? a ?? b ?? c ?

1)正数 a,b,c 满足 a+b+c=1,求证:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc 例:已知 a、b、c ? R ,且 a ? b ? c ? 1 。求证: ?
?

4

应用三:均值不等式与恒成立问题 例:已知 x ? 0, y ? 0 且

1 9 ? ? 1 ,求使不等式 x ? y ? m 恒成立的实数 m 的取值范围。 x y

应用四:均值定理在比较大小中的应用: 例:若 a ? b ? 1, P ?

lg a ? lg b , Q ?

1 a?b (lg a ? lg b), R ? lg( ) ,则 P, Q, R 的大小关系是 2 2

.

5


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