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2012-2013第一学期高二期末考试文科数学试题及答案

时间:2014-01-12


高二数学上学期期末考试(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 1.“ x ? 0 ”是“ x ? 0 ”成立的
3 2

A.充分非必要条件
2

B.必要非充分条件

C.非充分非必要条件

D.充要条件

2.抛物线 x ? 4 y 的焦点坐标是 A. (1, 0)
2

B. (0,1)
2

C. (

1 , 0) 16

D. (0,

1 ) 16

3.圆 ( x ? 3) ? ( y ? 3) ? 8 与直线 3x ? 4 y ? 6 ? 0 的位置关系是 A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定

4.设 l 是直线, ? , ? 是两个不同的平面,则下列结论正确的是 A.若 l ∥ ? , l ∥ ? ,则 ? / / ? C.若 ? ⊥ ? , l ⊥ ? ,则 l ⊥ ? B.若 l / /? , l ⊥ ? ,则 ? ⊥ ? D.若 ? ⊥ ? , l / /? ,则 l ⊥ ?

5.已知命题 p: ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)≥0,则 ? p 是 A. ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)≤0 C. ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)<0 B. ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)≤0 D. ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)<0

6.若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2? 的半圆面,则该圆锥的体积为 A.

? 2

B.

3? 3

C.

2? 2

D. 4?

7.已知椭圆

10 x2 y2 ? ? 1 的离心率 e ? ,则 m 的值为 5 5 m
B.

A. 3

5 15 或 15 3

C. 5

D.

25 或3 3

8.如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 直线 C1 B 与 D1C 所成角为
0 0 0 0

A. 30

B. 45

C. 60

D. 90

高二年级文科数学试卷

第 1 页(共 4 页)

D1 A1 D A
8 题图

C1 B1
正(主)视图 正视图

2 3

侧视图 侧(左)视图

C B
俯视图

9 题图

9.一个体积为 12 3 的正三棱柱的三视图如图所示, 则这个三棱柱的左视图的面积为 A. 6 3 B. 8 C. 8 3 D. 12

10.已知双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1 的右焦点与抛物线 y2=12x 的焦点重合,则该双曲线的焦点到 4 b

其渐近线的距离等于 A. 4 2 B.

5

C. 3

D.

5

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分 11.若直线 x+ay+2=0 和 2x+3y+1=0 互相垂直,则 a = 12. z 轴上一点 M 到点 A(1, 0, 2) 与 B(1, ?3,1) 的距离相等,则 M 的坐标为 13.设 M 是圆 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 上的点,则 M 到直线 3x ? 4 y ? 22 ? 0 的最长距
2 2

离是

,最短距离是

14.已知点 P ? ?2,1? , Q ? 3, 2 ? ,直线 l 过点 M (0, ?1) 且与线段 ..PQ 相交,则直线 l 的斜率 k 的取 值范围是__________;

高二年级文科数学试卷

第 2 页(共 4 页)

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。 15. (本小题满分 12 分)如图,一几何体的正侧视图均为等腰三角形,俯视图为正方形。 (1)说出此几何体的名称,并画出其直观图(尺寸不作严格要求) ; (2)若此几何体的体积为

4 3 ,求此几何体的表面积 3

2
正视图

2
侧视图

俯视图

16. (本小题满分 12 分)直线 l 经过两条直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 和 2 x ? y ? 7 ? 0 的交点,且 满足下列条件,求直线 l 的方程。 (1)平行于直线 x ? y ? 5 ? 0 (2)垂直于直线 3x ? y ? 2 ? 0

17. (本小题满分 14 分)已知命题 p : | m ? 1|? 2 成立.命题 q : 方程x ? 2mx ? 1 ? 0 有实
2

数根.若 ?p 为假命题, p ? q 为假命题,求实数 m 的取值范围.

高二年级文科数学试卷

第 3 页(共 4 页)

18. (本题满分 14 分) 如图,在正三棱柱(底面为正三角形的直棱柱)ABC—A1B1C1 中, F 是 A1C1 的中点。 (1) 求证: BC1//平面 AFB1; (2) 求证: 平面 AFB1⊥平面 ACC1A1。

C1 A1 F B1 C A
2 2

B

19. (本题满分 14 分) 已知圆 C1 : x ? y ? 4 x ? 2 y ? 5 ? 0 , 圆 C2 : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 14 ? 0 . (1)试判断两圆的位置关系; (2)直线 l 过点 (6,3) 与圆 C1 相交于 A, B 两点,且 | AB |? 2 6 ,求直线 l 的方程。

20. (本题满分 14 分)已知平面直角坐标系 xoy 中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点 为 F (? 3, 0) ,右顶点为 D(2, 0) ,设点 A(1, ) (1)求该椭圆的标准方程; (2)若 P 是椭圆上的动点,求线段 PA 的中点 M 的轨迹方程; (3) 过原点 O 的直线交椭圆于 B, C 两点, 求 ?ABC 面积的最大值, 并求此时直线 BC 的方程。

1 2

高二年级文科数学试卷

第 4 页(共 4 页)

高二数学上学期期末考试(文科)答案
一、选择题(10× 5=50) 题号 答案 1 A 2 B 3 C 4 B 5 C 6 B 7 D 8 C 9 A 10 B

二、填空题(4× 5=20) 11. ?

2 3

12. (0, 0, ?3)

13.

4 (3 分),

2(2 分)

14.

? ??, ?1? ? ?1, ?? ?

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 12 分)如图,一几何体的正侧视图均为等腰三角形,俯视图为正方形. (1)说出此几何体的名称,并画出其直观图(尺寸不作严格要求) ; (2)若此几何体的体积为 解: (1)此几何体为正四棱锥 它的直观图如下:

4 3 ,求此几何体的表面积 3
…………2 分
正视图

2

P D A O B C

侧视图

2

俯视图

………………………………6 分

(2)设此几何体的高为 h ,则:

1 2 4 ?2 ?h ? 3?h? 3 3 3
侧面斜高:h? ?

………………………………8 分 ………………………………10 分

h2 ? 12 ? 2
2

所以几何体的表面积: s ? 2 ? 4 ? ? 2 ? 2 ? 12

1 2

…………12 分

16. (本小题满分 12 分)直线 l 经过两条直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 和 2 x ? y ? 7 ? 0 的交点,且 满足下列条件,求直线 l 的方程。
高二年级文科数学试卷 第 5 页(共 4 页)

(1)平行于直线 x ? y ? 5 ? 0 解:由 ?

(2)垂直于直线 3x ? y ? 2 ? 0 …………………………3 分 …………………………4 分 …………………………6 分 …………………………7 分 …………………………9 分 …………………………11 分 …………………………12 分

?x ? 2 y ?1 ? 0 ?x ? 3 ?? ? 2 x ? y ? 7 ? 0 ? y ? ?1

(1)依题意 l 的斜率 k ? ?1 , 所以 l 的方程为: y ? 1 ? ?( x ? 3) 即: x ? y ? 2 ? 0

?1 1 ?? , 3 3 1 所以 l 的方程为: y ? 1 ? ? ( x ? 3) 3
(2)依题意 l 的斜率: k ? 即: x ? 3 y ? 0

17、 (本小题满分 14 分)已知命题 p : | m ? 1|? 2 成立.命题 q : 方程x ? 2mx ? 1 ? 0 有实
2

数根.若 ?p 为假命题, p ? q 为假命题,求实数 m 的取值范围. 解: | m ? 1|? 2 ? ?2 ? m ? 1 ? 2 ? ?3 ? x ? 1 即命题 p : ?3 ? x ? 1 …………………………4 分 …………………………6 分 …………………………8 分

方程x 2 ? 2mx ? 1 ? 0 有实数根 ? ? ? (?2m)2 ? 4 ? 0

? m ? 1或m ? ?1,即 q : m ? 1或m ? ?1
因为 ?p 为假命题, p ? q 为假命题 则 p 为真命题,所以 q 为假命题,

…………………………10 分 …………………………12 分

?q 为真命题, ?q : ?1 ? m ? 1
由?

??3 ? x ? 1 ? ?1 ? m ? 1 ??1 ? m ? 1
…………………………14 分

即 m 的取值范围是: ?1 ? m ? 1

18. (本题满分 14 分) 如图,在正三棱柱(底面为正三角形的直棱柱)ABC—A1B1C1 中, F 是 A1C1 的中点。 (1)求证:BC1//平面 AFB1;
高二年级文科数学试卷 第 6 页(共 4 页)

C1 A1 F B1

(2)求证:平面 AFB1⊥平面 ACC1A1。 证明: (1)连结 A1 B 交 AB1 于点 O ,连结 OF ………1 分 ………2 分 ………3 分 ………4 分 ………6 分 ………7 分 ………………8 分 ………………9 分 ………………10 分 ………………11 分 ………………12 分 ………………13 分 ………………14 分

?正三棱柱 ABC—A1B1C1 中, A1 B1 BA 是矩形
? A1O ? OB ,
又? A1 F ? FC1 ,? FO / / C1 B

? FO ? 平面FAB1 , BC1 ? 平面FAB1 ? BC1 / /平面FAB1

(2)? A1 A ? 平面A1 B1C1 ,? 平面A1 ACC1 ? 平面A1B1C1

? A1B1 ? B1C1 , A1F ? FC1 ? B1F ? AC 1 1 又? 平面A1 ACC1 ? 平面A1B1C1 ? AC 1 1 ? B1F ? 平面A1 ACC1
又? B1F ? 平面AB1F

? 平面AFB1 ? 平面A1 ACC1

( 说 明 : 证 明 B1 F ? 平面 A 1 ACC 1 时 , 也 可以 通 过 证 明 B1 F 垂 直 于 两 相交 直 线

A1 A与AC 1 1 来完成)
2 2 19 (本题满分 14 分) 已知圆 C1 : x ? y ? 4 x ? 2 y ? 5 ? 0 , 圆 C2 : x ? y ? 2 x ? 2 y ? 14 ? 0 .

2

2

(1)试判断两圆的位置关系;
高二年级文科数学试卷 第 7 页(共 4 页)

(2)直线 l 过点 (6,3) 与圆 C1 相交于 A, B 两点,且 | AB |? 2 6 ,求直线 l 的方程。 解: (1)两圆可化为: C1 : ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 10 , C2 : ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 16
2 2 2 2

故两圆的圆心和半径分别为: C1 (2,1), r1 ? 10; C2 (?1,1), r2 ? 4 圆心距 | C1C2 |?

………………2 分 ……………………3 分 ……………………4 分 …………………5 分 …………………6 分

(2 ? 1) 2 ? (1 ? 1) 2 ? 3

? r1 ? r2 ?| C1C2 |? r1 ? r2 ,
所以两圆相交 (2)设直线 l 的斜率为 k ,则 l 的方程为: y ? 3 ? k ( x ? 6) 即: kx ? y ? 6k ? 3 ? 0 圆心 C1 到 l 的距离:d ?

| 2k ? 1 ? 6k ? 3 | k 2 ?1

?

| ?4k ? 2 | k 2 ?1

……………………8 分

?d 2 ? (

| ?4k ? 2 | 2 | AB | 2 ) ? ( 6) 2 ? ( 10) 2 ) ? r12 ,所以: ( 2 2 k ?1

……………………9 分

解得:k ? 0或k ?

4 3

…………………………10 分 …………………………11 分

当 k ? 0 时,直线 l 的方程为: y ? 3 ? 0 当k ?

4 3 时,直线 l 的方程为: y ? 3 ? ( x ? 6) ,即: 4 x ? 3 y ? 15 ? 0 ……………13 分 3 3
………………………14 分

故直线 l 的方程为: y ? 2 ? 0 或 4 x ? 3 y ? 15 ? 0

20. (本小题满分 14 分)已知平面直角坐标系 xoy 中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦 点为 F (? 3, 0) ,右顶点为 D(2, 0) ,设点 A(1, ) (1)求该椭圆的标准方程; (2)若 P 是椭圆上的动点,求线段 PA 的中点 M 的轨迹方程; (3) 过原点 O 的直线交椭圆于 B, C 两点, 求 ? ABC 面积的最大值, 并求此时直线 BC
高二年级文科数学试卷 第 8 页(共 4 页)

1 2

的方程。 解: (1)设椭圆的方程为

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2
……………1 分 ……………2 分 ……………3 分 ……………4 分

由题意可知: c ? 3, a ? 2 , 故b ?

a2 ? c2 ? 4 ? 3 ? 1

所以椭圆的方程为:

x2 ? y2 ? 1 4

(2)设 P( x0 , y0 ), M ( x, y) ,则有:

x0 ? 1 ? ?x ? 2 ? x0 ? 2 x ? 1 ? ? ? 1 1 ?? y ? y0 ? 2 y ? 0 ? ? 2 ? 2 ?y ? ? 2
又因为:
2 x0 2 ? y0 ?1 4



……………5 分



……………6 分

将②代入①得到点 M 的轨迹方程:

(2 x ? 1) 2 1 ? (2 y ? ) 2 ? 1 4 2

……………7 分

(3)当直线 BC 的斜率不存在时,

S?ABC

1 1 ? | BC |?xA ? ? 2 ?1 ? 1 2 2

y
……………8 分

B F O C

当 BC 斜率存在时,设其方程为:设 y ? kx

A D x

?x 2 2 ? ? y ?1 ?x?? 由? 4 1 ? 4k 2 ? y ? kx ?
2

……………9 分

不妨设 B( x1 , y1 ), C ( x2 , y2 ) ,则

| BC |? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? 1 ? k 2 | x2 ? x1 |? 4

1? k 2 1 ? 4k 2

……………10 分

1 1 |k? | (k ? ) 2 2 ? 2 设点 A 到直线 BC 的距离为 d ,则: d ? 2 2 k ?1 k ?1
高二年级文科数学试卷 第 9 页(共 4 页)

S?ABC

1 1 (k ? ) 2 k2 ? k ? 1 1 1? k 2 ?2 4 = 2 1 ? ?k ? | BC |?d ? ? 4 ? 2 2 2 4 1 ? 4k 2 2 2 1 ? 4k 1 ? k 1 ? 4k
2

…11 分

当 k ? 0 时,S ?ABC ? 2

1 ?1 4

……………12 分

当 k ? 0 时, S ?ABC ? 2

1 1 1 1 ? ?2 ? ? 2 4 1 ? 4(?k ) 4 2 4 ?k
……………13 分

上式当且仅当

1 1 ? 4(?k ),即k ? ? 时,等号成立 ?k 2

综上可知, ? ABC 面积的最大值为 2 ,此时直线 BC 的方程为: y ? ?

1 x 2

…14 分

高二年级文科数学试卷

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