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高中数学(人教A版选修2-2)练习:1章 导数及其应用 单元质量评估

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单元质量评估 (一) 第一章 (120 分钟 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2014·天津高二检测)若函数 y=f(x)在区间(a,b)内可导,且 x0∈(a,b), 则 A.f′(x0) C.-2f′(x0) 的值为( ) B.2f′(x0) D.0 【解析】选 B. = =2 2 =2f′(x0) 2.(2013·江西高考改编)若曲线 y=xα +1(α ∈R)在(1,2)处的切线经过原点,则 α =( A.1 ) B.2 C.3 D.4 【解析】选 B.因为 y′=αxα-1,所以令 x=1 得切线的斜率为α,故切线方程为 y-2=α(x-1),代入(0,0)得α=2. 3.甲、乙两人从同一起点出发按同一方向行走,已知甲、乙行走的速度与行走 的时间分别 v 甲= ,v 乙=t2(如图),当甲乙行走的速度相同(不为零)时刻( ) A.甲乙两人再次相遇 B.甲乙两人加速度相同 C.甲在乙前方 D.乙在甲前方 【解析】选 C.由 v 甲=v 乙,得 =t2,解得 t=0(舍),或 t=1. 由 dt= = . t2dt= t3 = . 所以当甲乙行走的速度相同(不为零)时刻甲在乙前方. 故选 C. 4.下面为函数 y=xsinx+cosx 的递增区间的是( A. C. B.(π ,2π ) D.(2π ,3π ) 时, ) 【解析】 选 C.y′=(xsinx+cosx)′=sinx+xcosx-sinx=xcosx, 当 x∈ 恒有 xcosx>0.故选 C. 5.(2014·泰安高二检测)函数 f(x)=x3+3x2+3x-a 的极值点的个数是( A.2 B.1 C.0 D.由 a 确定 ) 【解析】选 C.f′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0 恒成立, 所以 f(x)在 R 上单调递增,故 f(x)无极值点,选 C. 6.已知实数 a,b 满足-1≤a≤1,-1≤b≤1,则函数 y= x3-ax2+bx+5 有极值的概 率为( A. ) B. C. D. 【解题指南】根据函数有极值的充要条件,转化为定积分求面积之比,运用几 何概型计算概率. 【解析】选 C.因为函数 y= x3-ax2+bx+5 有极值, 所以 y′=x2-2ax+b=0 有两个不等实数根, 得 4a2-4b>0,即 b<a2, 又Ω= A={(a,b)|b<a2}, 如图,在平面直角坐标系 aOb 中, , 由 a2da= a3 = , 得 P(A)= = . ]上取值,则函数 f(x)=ax3+bx2+ax 在 R 上有 【举一反三】若 a,b 在区间[0, 两个相异极值点的概率为( A. B. ) C. D.1- 【 解 析 】 选 C. 因 为 函 数 f(x)=ax3+bx2+ax 有 两 个 相 异 极 值 点 , 所 以 f ′ (x)=3ax2+2bx+a=0 有两个相异实数根, 得Δ=4b2-12a2>0,即 b> a 或 b<a(舍), a}, 又Ω={(a,b)|a,b∈[0, ]},A={(a,b)|b> 如图,在平面直角坐标系 aOb 中, P(A)= = . 7.下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象,其中一定不正确 的序号是( ) A.①② B.③④ C.①③ D.①④ 【解析】选 B.③不正确,导函数过原点,但三次函数在 x=0 处不存在极值;④ 不正确,三次函数先增后减再增,而导函数先负后正再负.故应选 B. 8.已知 y=f(x)是定义在 R 上的函数,且 f(1)=1,f′(x)>1,则 f(x)>x 的解集 是( ) B.(-1,0)∪(0,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) A.(0,1) C.(1,+∞) 【解析】选 C.设 g(x)=f(x)-x, 则 g′(x)=f′(x)-1,因为 f′(x)>1, 所以 g′(x)>0,即 g(x)在 R 上是增函数, 又 g(1)=f(1)-1=1-1=0, 所以当 x>1 时,g(x)>g(1)=0, 即当 x>1 时,f(x)>x. 所以 f(x)>x 的解集为(1,+≦). 9.在函数 y=x3-8x 的图象上,其切线的倾斜角小于 的点中,坐标为整数的点的 个数是( ) A.3 B.2 C.1 D.0 【解析】选 D.由于 y′=(x3-8x)′=3x2-8,由题意,得 0<3x2-8<1, <x2<3,解得 <x<, <x< ,所以整数 x 不存在,故不等式的整数解有 0 个. 【误区警示】本题若忽视直线的倾斜角的概念与范围,就会出现 k<1? 3x2-8<1 ? x2<3 解得<x< ,所以不等式的整数解有 3 个,即-1,0,1,就会误选 A. 10.设 f(x)= A.1 cos 2tdt,则 f B.sin 1 =( ) D.2sin 4 C.sin 2 【解析】选 C.因为 f(x)= f =f(1)=sin 2. cos 2tdt= sin 2t =sin 2x ,所以 f =1, 11.已知函数 f(x)=x2+2x+alnx,若函数 f(x)在(0,1)上单调,则实数 a 的取值 范围是( A.a≥0 C.a≥0 或 a≤-4 ) B.a<-4 D.a>0 或 a<-4 【解析】选 C.因为 f′(x)=2x+2+ ,f(x)在(0,1)上单调,所以 f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 在(0,1)上恒成立, 即 2x2+2x+a≥0 或 2x2+2x+a≤0 在(0,1)上恒成立, 所以 a≥-(2x2+2x)或 a≤-(2x2+2x)在(0,1)上恒成立. 记 g(x)=-(2x2+2x),0<x<1,可知-4<g(x)<0, 所以 a≥0 或 a≤-4,故选 C.

高中数学第一章导数及其应用单元质量评估新人教A版选修22.doc

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