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高中数学(人教A版选修2-2)练习:1章 导数及其应用 单元质量评估

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单元质量评估 (一)
第一章 (120 分钟 150 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2014·天津高二检测)若函数 y=f(x)在区间(a,b)内可导,且 x0∈(a,b),

则 A.f′(x0) C.-2f′(x0)

的值为(

)

B.2f′(x0) D.0

【解析】选 B. = =2 2 =2f′(x0)

2.(2013·江西高考改编)若曲线 y=xα +1(α ∈R)在(1,2)处的切线经过原点,则 α =( A.1 ) B.2 C.3 D.4

【解析】选 B.因为 y′=αxα-1,所以令 x=1 得切线的斜率为α,故切线方程为 y-2=α(x-1),代入(0,0)得α=2. 3.甲、乙两人从同一起点出发按同一方向行走,已知甲、乙行走的速度与行走 的时间分别 v 甲= ,v 乙=t2(如图),当甲乙行走的速度相同(不为零)时刻( )

A.甲乙两人再次相遇 B.甲乙两人加速度相同 C.甲在乙前方 D.乙在甲前方 【解析】选 C.由 v 甲=v 乙,得 =t2,解得 t=0(舍),或 t=1.



dt=

= .

t2dt= t3 = . 所以当甲乙行走的速度相同(不为零)时刻甲在乙前方. 故选 C. 4.下面为函数 y=xsinx+cosx 的递增区间的是( A. C. B.(π ,2π ) D.(2π ,3π ) 时, )

【解析】 选 C.y′=(xsinx+cosx)′=sinx+xcosx-sinx=xcosx, 当 x∈ 恒有 xcosx>0.故选 C.

5.(2014·泰安高二检测)函数 f(x)=x3+3x2+3x-a 的极值点的个数是( A.2 B.1 C.0 D.由 a 确定

)

【解析】选 C.f′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0 恒成立, 所以 f(x)在 R 上单调递增,故 f(x)无极值点,选 C. 6.已知实数 a,b 满足-1≤a≤1,-1≤b≤1,则函数 y= x3-ax2+bx+5 有极值的概 率为( A. ) B. C. D.

【解题指南】根据函数有极值的充要条件,转化为定积分求面积之比,运用几 何概型计算概率. 【解析】选 C.因为函数 y= x3-ax2+bx+5 有极值, 所以 y′=x2-2ax+b=0 有两个不等实数根, 得 4a2-4b>0,即 b<a2, 又Ω= A={(a,b)|b<a2}, 如图,在平面直角坐标系 aOb 中, ,



a2da= a3 = ,

得 P(A)=

= . ]上取值,则函数 f(x)=ax3+bx2+ax 在 R 上有

【举一反三】若 a,b 在区间[0, 两个相异极值点的概率为( A. B. ) C.

D.1-

【 解 析 】 选 C. 因 为 函 数 f(x)=ax3+bx2+ax 有 两 个 相 异 极 值 点 , 所 以 f ′ (x)=3ax2+2bx+a=0 有两个相异实数根, 得Δ=4b2-12a2>0,即 b> a 或 b<a(舍), a},

又Ω={(a,b)|a,b∈[0,

]},A={(a,b)|b>

如图,在平面直角坐标系 aOb 中,

P(A)=

=

.

7.下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象,其中一定不正确 的序号是( )

A.①②

B.③④

C.①③

D.①④

【解析】选 B.③不正确,导函数过原点,但三次函数在 x=0 处不存在极值;④ 不正确,三次函数先增后减再增,而导函数先负后正再负.故应选 B. 8.已知 y=f(x)是定义在 R 上的函数,且 f(1)=1,f′(x)>1,则 f(x)>x 的解集 是( ) B.(-1,0)∪(0,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

A.(0,1) C.(1,+∞)

【解析】选 C.设 g(x)=f(x)-x, 则 g′(x)=f′(x)-1,因为 f′(x)>1, 所以 g′(x)>0,即 g(x)在 R 上是增函数, 又 g(1)=f(1)-1=1-1=0, 所以当 x>1 时,g(x)>g(1)=0, 即当 x>1 时,f(x)>x. 所以 f(x)>x 的解集为(1,+≦). 9.在函数 y=x3-8x 的图象上,其切线的倾斜角小于 的点中,坐标为整数的点的 个数是( )

A.3

B.2

C.1

D.0

【解析】选 D.由于 y′=(x3-8x)′=3x2-8,由题意,得 0<3x2-8<1, <x2<3,解得 <x<, <x< ,所以整数 x 不存在,故不等式的整数解有 0 个.

【误区警示】本题若忽视直线的倾斜角的概念与范围,就会出现 k<1? 3x2-8<1 ? x2<3 解得<x< ,所以不等式的整数解有 3 个,即-1,0,1,就会误选 A.

10.设 f(x)= A.1

cos 2tdt,则 f B.sin 1

=(

) D.2sin 4

C.sin 2

【解析】选 C.因为 f(x)= f =f(1)=sin 2.

cos 2tdt= sin 2t

=sin 2x ,所以 f

=1,

11.已知函数 f(x)=x2+2x+alnx,若函数 f(x)在(0,1)上单调,则实数 a 的取值 范围是( A.a≥0 C.a≥0 或 a≤-4 ) B.a<-4 D.a>0 或 a<-4

【解析】选 C.因为 f′(x)=2x+2+ ,f(x)在(0,1)上单调,所以 f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 在(0,1)上恒成立, 即 2x2+2x+a≥0 或 2x2+2x+a≤0 在(0,1)上恒成立, 所以 a≥-(2x2+2x)或 a≤-(2x2+2x)在(0,1)上恒成立. 记 g(x)=-(2x2+2x),0<x<1,可知-4<g(x)<0, 所以 a≥0 或 a≤-4,故选 C.

【变式训练】函数 f(x)=ax3-x 在 R 上为减函数,则( A.a≤0 B.a<1 C.a<0

)

D.a≤1

【解析】选 A.f′(x)=3ax2-1,若 a=0,则 f′(x)=-1<0,f(x)在 R 上为减函数, 若 a≠0,由已知条件 即 解得 a<0.综上可知 a≤0.

12.设 f(x),g(x)是定义域为 R 的恒大于 0 的可导函数,且 f′(x)g(x)f(x)g′(x)<0,则当 a<x<b 时有( A.f(x)g(x)>f(b)g(b) B.f(x)g(a)>f(a)g(x) C.f(x)g(b)>f(b)g(x) D.f(x)g(x)>f(a)g(x) 【解析】选 C.令 F(x)= 则 F′(x)= , <0, )

因为 f(x),g(x)是定义域为 R 的恒大于零的函数, 所以 F(x)在 R 上为递减函数, 当 x∈(a,b)时, > ,

所以 f(x)g(b)>f(b)g(x).故应选 C. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横 线上) 13.(2014·江西高考)若曲线 y=e-x 上点 P 处的切线平行于直线 2x+y+1=0,则点 P 的坐标是 .

【解题指南】切线问题运用导数的几何意义求解.

【解析】设点 P(x0,y0),因为 y′=-e-x, 所以曲线在点 P 处的切线的斜率为 k=又因为切线平行于直线 2x+y+1=0, 所以=-2, ,

解得 x0=-ln2,代入 y=e-x 得 y0=2, 所以点 P(-ln2,2). 答案:(-ln2,2) 14. 设 a>0 ,若曲线 y= a=________. 与直线 x=a ,y=0 所围成封闭图形的面积为 a2 ,则

【解析】由已知得 S= 所以 = ,所以 a= . 答案:

dx= x 2 |a 0=

2 3

3

=a2,

15.(2014· 南京高二检测)直线 y=a 与函数 f(x)=x3-3x 的图象有三个相异的公共 点,则 a 的取值范围是________.

【解析】令 f′(x)=3x2-3=0,得 x=〒1,可求得 f(x)的极大值为 f(-1)=2,极小 值为 f(1)=-2,

如图所示,-2<a<2 时,恰有三个不同公共点. 答案:(-2,2) 16.设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的导数为 f′(x),f′(0)>0,若? x∈R, 恒有 f(x)≥0,则 的最小值是__________.

【解析】二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的导数为 f′(x)=2ax+b,由 f′(0)>0, 得 b>0, 又对? x∈R,恒有 f(x)≥0,则 a>0, 且Δ=b2-4ac≤0,故 c>0,

所以 所以 答案:2

=

= + +1≥2

+1≥2

+1=2,

的最小值为 2.

【变式训练】设 f(x)=x3- x2-2x+5,当 x∈[-1,2]时,f(x)<m 恒成立,则实数 m 的取值范围为________. 【解析】由 f′(x)=3x2-x-2=0,得 x1=- ,x2=1, f′(x)>0? x<- 或 x>1; f′(x)<0? - <x<1. 故 f(x)在-1<x<- ,1<x<2 上单调递增, 在- <x<1 上单调递减.

所以 f(x)有极大值 f 又 f(2)=7= .

=



所以 f(x)max=7,依题意,得 m>7 为所求. 答案:(7,+≦) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤) 17.(10 分)(2013·广州高二检测)已知曲线 y = x3+x-2 在点 P0 处的切线 l1 平行 于直线 4x-y-1=0,且点 P0 在第三象限, (1)求 P0 的坐标. (2)若直线 l⊥l1,且 l 也过切点 P0,求直线 l 的方程. 【解析】(1)由 y=x3+x-2,得 y′=3x2+1, 由已知得 3x2+1=4,解得 x=〒1.当 x=1 时,y=0;当 x=-1 时,y=-4. 又因为点 P0 在第三象限, 所以切点 P0 的坐标为(-1,-4). (2)因为直线 l⊥l1,l1 的斜率为 4, 所以直线 l 的斜率为- , 因为 l 过切点 P0,点 P0 的坐标为(-1,-4), 所以直线 l 的方程为 y+4=- (x+1), 即 x+4y+17=0. 18.(12 分)(2013·大纲版全国卷)已知函数 f (1)求 a=时,讨论 f 的单调性. =x3+3ax2+3x+1.

(2)若 x∈

时,f

≥0,求 a 的取值范围. x2+3x+1,

【解析】(1)当 a=f′(x)=3x2-6 x+3.

时,f(x)=x3-3

令 f′(x)=0,得 x1= 当 x∈(-≦, f(x)在(-≦, 当 x∈( -1,

-1,x2=

+1.

-1)时,f′(x)>0, -1)是增函数; +1)时, -1, +1)是减函数; +1,+≦)是增函数.

f′(x)<0,f(x)在( 当 x∈(

+1,+≦)时,f′(x)>0,f(x)在(

(2)由 f(2)≥0 得 a≥- . 当 a≥3 , x ∈ (2 , + ≦ ) 时 , f ′ (x)=3(x2+2ax+1) ≥ 3 =

(x-2)>0,

所以 f(x)在(2,+≦)是增函数,于是当 x∈[2,+≦)时,f(x)≥f(2)≥0. 综上,a 的取值范围是 .

19.(12 分)(2013· 福建高考)已知函数 f(x)=x-1+ (a∈R, e 为自然对数的底数). (1)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于 x 轴,求 a 的值. (2)求函数 f(x)的极值. (3)当 a=1 时,若直线 l:y=kx-1 与曲线 y=f(x)没有公共点,求 k 的最大值. 【解题指南】对函数求导,根据导数即切线斜率,知切线斜率为 0.欲求极值, 先求单调性,要注意对参数 a 进行讨论.

【解析】(1)由 f 又因为曲线 y=f 解得 a=e. (2)f′ =1- ,

=x-1+ ,得 f′ 在点

=1- . =0,即 1- =0,

处的切线平行于 x 轴,得 f′

①当 a≤0 时,f′ ②当 a>0 时,令 f′ x∈ f′ 所以 f 故f >0. 在 ,f′

>0,f

为 R 上的增函数,所以函数 f

无极值.

=0,得 ex=a,x=lna. <0;x∈ ,

上单调递减,在

上单调递增, =lna,无极大值.

在 x=lna 处取得极小值,且极小值为 f 无极值;

综上,当 a≤0 时,函数 f 当 a>0 时,f

在 x=lna 处取得极小值 lna,无极大值. =x-1+ , = x+ , 没有公共点,

(3)当 a=1 时,f 令g =f -

则直线 l:y=kx-1 与曲线 y=f 等价于方程 g

=0 在 R 上没有实数解. =1>0,

假设 k>1,此时 g

g

=-1+

<0,

又函数 g

的图象连续不断,由零点存在定理,可知 =0 在 R 上没有实数解”矛盾,故 k≤

g(x)=0 在 R 上至少有一解,与“方程 g

1. 又 k=1 时,g = >0,知方程 g =0 在 R 上没有实数解.

所以 k 的最大值为 1. 【一题多解】(1)(2)同方法一. (3)当 a=1 时,f =x-1+ . 没有公共点,

直线 l:y=kx-1 与曲线 y=f

等价于关于 x 的方程 kx-1=x-1+ 在 R 上没有实数解,即关于 x 的方程: x= (*)

在 R 上没有实数解. ①当 k=1 时,方程(*)可化为 =0,在 R 上没有实数解. ②当 k≠1 时,方程(*)化为 令h 令 h′ =xex,则有 h′ =0,得 x=-1, 的变化情况如表: x h′ h ↘ -1 0 + ↗ = =xex. ex.

当 x 变化时,h′

当 x=-1 时,h

=- ,同时当 x 趋于+≦时,

h

趋于+≦, 的取值范围为 ∈ . 时, 方程(*)无实数解, 解得 k 的取值范围是 .

从而 h 所以当

综上,得 k 的最大值为 1. 20.(12 分)若电灯 B 可在桌面上一点 O 的垂线上移动,桌面上有与点 O 距离为 a 的另一点 A,∠OAB=φ,AB=r,点 A 处照度与 sinφ 成正比,与 r2 成反比,问电 灯与点 O 的距离多大时,可使点 A 处有最大的照度?

【解析】 由条件与光学知识, 照度 y 与 sinφ成正比, 与 r2 成反比, 设 y=C· 是与灯光强度有关的常数)要想点 A 处有最大的照度,只需求 y 的极值即可. 在直角三角形中,得 r= ,于是 y=C·

(C

=C·

= ·sinφcos2φ, ,

= (sinφ-sin3φ),φ∈ y′= cosφ(1-3sin2φ).

当 y′=0 时,即方程 1-3sin2φ=0 的解为 sinφ=

与 sinφ=

(舍),

在φ∈ 由 sinφ= 得 tanφ= 所以 x=

内,所以函数 y=f(φ)在 sinφ= ,得 cosφ= = , ,即当电灯与 O 点距离为 ,

取极大值,也是最大值.

时,点 A 的照度 y 为最大. ,

【一题多解】设 OB=x,则 sinφ= ,r=

于是 y=C·

=C· =C·

(x≥0),

y′=C· 当 y′=0 时,

.

即方程 a2-2x2=0 的根为 x1=

与 x2=-

(舍), 取极大值,也是最大值.

在[0,+≦)内,所以函数 y=f(x)在 x= 即当电灯与 O 点距离为

时,点 A 的照度 y 为最大.

21.(12 分)(2014·长沙高二检测)抛物线 y=ax2+bx 在第一象限内与直线 x+y=4 相切.此抛物线与 x 轴所围成的图形的面积记为 S.求使 S 达到最大值的 a, b 值, 并求 S 的最大值. 【解析】由题设可知抛物线为凸形,它与 x 轴交点的横坐标分别为 x1=0,x2=- ,

所以 S=

(ax2+bx)dx=

b3①

又直线 x+y=4 与抛物线 y=ax2+bx 相切,即它们有唯一的公共点, 由方程组 得

ax2+(b+1)x-4=0,其判别式Δ=0, 即(b+1)2+16a=0. 于是 a=(b+1)2,代入①式得:

S(b)=

(b>0),S′(b)=



令 S′(b)=0,得 b=3,且当 0<b<3 时,S′(b)>0; 当 b>3 时,S′(b)<0. 故在 b=3 时,S(b)取得极大值,也是最大值, 即 a=-1,b=3 时,S 取得最大值,且 Smax= . 22.(12 分)(2013·新课标全国卷Ⅰ)设函数 f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d),若 曲线 y=f(x)和曲线 y=g(x)都过点 P(0,2),且在点 P 处有相同的切线 y=4x+2. (1)求 a,b,c,d 的值. (2)若 x≥-2 时,f(x)≤kg(x),求 k 的取值范围. 【解题指南】(1)根据曲线 y=f(x)和曲线 y=g(x)都过点 P(0,2),可将 P(0,2) 分别代入到 y=f(x)和 y=g(x)中,再利用在点 P 处有相同的切线 y=4x+2,对曲线 y=f(x)和曲线 y=g(x)进行求导,列出关于 a,b,c,d 的方程组求解. (2)构造函数 F(x)=kg(x)-f(x),然后求导,判断函数 F(x)=kg(x)-f(x)的单调

性,通过分类讨论,确定 k 的取值范围. 【解析】(1)由已知得 f(0)=2,g(0)=2,f′(0)=4, g′(0)=4. 而 f′(x)=2x+a,g′(x)=ex(cx+d+c). 故 b=2,d=2,a=4,d+c=4. 从而 a=4,b=2,c=2,d=2. (2)由(1)知 f(x)=x2+4x+2,g(x)=2ex(x+1). 设 F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2, 则 F′(x)=2kex(x+2)-2x-4 =2(x+2)(kex-1). 由题设可得 F(0)≥0,即 k≥1. 令 F′(x)=0,即 2(x+2)(kex-1)=0, 得 x1=-lnk,x2=-2. ①若 1≤k<e2,则-2<x1≤0,从而当 x∈(-2,x1)时,F′(x)<0, 当 x∈(x1,+≦)时,F′(x)>0, 即 F(x)在 x∈(-2,x1)上单调递减,在 x∈(x1,+≦)上单调递增,故 F(x)在[-2, +≦)上有最小值为 F(x1). F(x1)=2x1+2- -4x1-2=-x1(x1+2)≥0. 故当 x≥-2 时,F(x)≥0 恒成立,即 f(x)≤kg(x). ②若当 k=e2,则 F′(x)=2e2(x+2)(ex-e-2), 当 x>-2 时,F′(x)>0,即 F(x)在(-2,+≦)上单调递增,而 F(-2)=0,故当且 仅当 x≥-2 时,F(x)≥0 恒成立,即 f(x)≤kg(x). ③若 k>e2,则 F(-2)=-2ke-2+2

=-2e-2(k-e2)<0. 从而当 x≥-2 时,f(x)≤kg(x)不可能恒成立. 综上,k 的取值范围为[1,e2].

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