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椭圆,双曲线,抛物线知识点及练习题

时间:2012-09-20


椭圆 (焦点在 x 轴) 标准 方程
x a
2 2

(焦点在 y 轴)

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2
?

第一定义: ?M 定 义

MF 1 ? MF 2 ? 2 a ? ?2 a ? F1 F 2

第二定义:平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的 距离的比是小于 1 范 围
x ? a y ?b x ?b y ?a

顶点坐标 对 称 轴

( ? a , 0 ) (0, ? b )

( 0 , ? a ) ( ? b , 0)

x 轴, y 轴;长轴长为 2 a ,短轴长为 2 b

焦点在长轴上, c ?
c a

a ?b ;
2 2

焦距: F1 F 2 ? 2 c
c a
2 2

离 心 率

e ?

(0 ? e ? 1)

,e ?
2

?

a ?b
2

2

a

2



准线方程

x ? ?

a

2

y ? ?

a

2

c

c

焦点半径

椭圆的参数 方程 弦长公式 过椭圆上一 点的切线

? x ? a co s ? ( ? 为参数) ? ? y ? b sin ?

? x ? b cos ? ( ? 为参数) ? ? y ? a sin ?

相交弦 AB 的弦长 A B ? 1 ? k 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2
x0 x a
2

?

y0 y b
2

y0 y

?1

a

2

?

x0 x b
2

?1

双曲线 标准方程(焦点在 x 轴) 双曲线
x a
2 2

标准方程(焦点在 y 轴)
y a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 )

?

x b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 )

第一定义: ?M 定义

MF 1 ? MF 2 ? 2 a ? ?2 a ? F1 F 2

?

第二定义:平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离的比是常数 e ,当 e ? 1 时,动点的轨迹是双曲线。 范围 对称轴
x ? a,y?R y ? a ,x? R

x 轴 , y 轴;实轴长为 2 a ,虚轴长为 2 b

焦点在实轴上, c ? 顶点坐标 离心率 准线方程 渐近线 方程
y ? ?
x ? ? a
2

a ? b ;焦距: F1 F 2 ? 2 c
2 2

( ? a ,0) ( a ,0)
e ? c a ( e ? 1)

(0, ? a ,) (0, a )

y ? ?

a

2

c

c

b a

x

(虚 )


x ? ?

b a

y

(虚 )


焦点半径

弦长公式 过双曲线 上一点的 切线 一.抛物线

相交弦 AB 的弦长 A B ? 1 ? k 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2
x0 x a
2

?

y0 y b
2

y0 y

?1

a

2

?

x0 x b
2

?1

y

2

? 2 px

y

2

? ? 2 px

x

2

? 2 py

x

2

? ? 2 py

( p ? 0)

( p ? 0)

( p ? 0)

( p ? 0)

抛 物 线

l

y

y l

y

y l

O

F

x

F

O

x O

F x l

O F

x

平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹 定义
x ? 0, y ? R x ? 0, y ? R x ? R, y ? 0 x ? R, y ? 0

范围 对称性 焦点 离心率 准线 方程

关于 x 轴对称 (
p 2 p 2

关于 y 轴对称
p 2

,0)

(?

,0)
e =1

(0,

p 2

)

(0, ?

p 2

)

x ? ?

x ?

p 2

y ? ?

p 2

y ?

p 2

准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。
B 设直线过焦点 F 与抛物线 y ? 2 px ( p >0) 交于 A ? x1 , y1 ? , ? x 2 , y 2 ?
2

则: (1) x 1 x 2 = 焦点弦 的几条 性质

p 4

2

y
2

A ? x1 , y 1 ?

(2) y 1 y 2 ? ? p

o

F

B ? x2 , y2 ?

x

(3)通径长: 2 p (4)焦点弦长 A B ? x1 ? x 2 ? p

4.直线与圆锥曲线的位置关系: (在这里我们把圆包括进来)

(1).首先会判断直线与圆锥曲线是相交、相切、还是相离的 a.直线与圆:一般用点到直线的距离跟圆的半径相比(几何法),也可以 利用方程实根的个数来判断(解析法). b.直线与椭圆一般联立方程,利用方程实根的个数来判断相交、相切 相离 c.直线与双曲线:首先把直线方程代入双曲线方程 1)如果得到一元 一次方程,则直线与双曲线的渐近线平行,即它们相交(一个交点) 2)如果得到一元二次方程,则需计算判别式:a.▲>0,则直线与双 曲线有两个交点; b.▲=0,则直线与双曲线相切;c.▲<0,则直线与双 曲线相离。 例:过点 P(1,1)与双曲线 只有一个交点的直线共有_条

例:过点 P 的直线与双曲线

仅有一个公共点,求直线的方程

椭圆练习题
1.若椭圆
x
2

?

y

2

100

36

? 1 上一点 P 到焦点 F1 的距离等于 6,则点 P 到另一个焦点

F2 的距离是 (A)4 (B)194 (C)94 (D)14 2.若△ABC 顶点 B, C 的坐标分别为(-4, 0), (4, 0),AC, AB 边上的中线长之和为 30,则△ABC 的重心 G 的轨迹方程为 (A)
x
2

?

y

2

? 1( y ? 0 )

(B)

x

2

?

y

2

? 1( y ? 0 )

100 x
2

36 y
2

100 x
2

84 y
2

(C)

?

? 1( x ? 0 )

(D)

?

? 1( x ? 0 )

100

36

100

84

3.如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列,则其离心率为

(A)

3 5

(B)

1 3

2
x
2

(C)
y

3 4
2

(D)

9 10

4.设椭圆的标准方程为

k ?3

?

5?k

? 1 ,若其焦点在 x 轴上,则 k 的取值范围

是 (A)k>3 (B)3<k<5 (C)4<k<5 (D)3<k<4 5.一个圆心在椭圆右焦点 F2,且过椭圆的中心 O(0, 0),该圆与椭圆交于点 P,设 F1 是椭圆的左焦点,直线 PF1 恰和圆相切于点 P,则椭圆的离心率是 (A) 3 -1 (B)2- 3 (C)
2 2

(D)

3 2

6. 椭圆短轴的两端点为 B1, B2, 过其左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P, 1B2| 若|F 是|OF1|和|B1B2|的比例中项(O 为中心),则
| P F1 | | O B2 |
D

等于

l P Q A F

y

x O

(A) 2
x a

(B)
2 2

2 2

(C)

3 2

(D)

2 3

B

7.在椭圆

?

y b

2 2

? 1 (a ? b ? 0) 上 取 三 点 , 其 横 坐 标 满 足

x1 ? x 3 ? 2 x 2 ,三点与某一焦点的连线段长分别为 r1 , r2 , r3 ,则 r1 , r 2 , r 3 满足



) B.
1 r1 ? 1 r2 ? 2 r3

A. r1 , r2 , r3 成等差数列 C. r1 , r2 , r3 成等比数列 8.曲线
x
2

D.以上结论全不对
2

?

y

2

? 1 的离心率 e 满足方程 2 x ? 5 x ? 2 ? 0 ,则 m 的所有可能值

4

m

的积为( A.36 9.椭圆
x a
2 2

)C B.-36
? y b
2 2

C.-192

D.-198

? 1 ( a ? b ? 0 ) ,过右焦点 F 作弦 AB,则以 AB 为直径的圆与

椭圆右准线 l 的位置关系是( A.相交 B.相离 10.设点 P 是椭圆
x a
2 2

) C.相切 D.不确定

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 上异于顶点的任意点,作 ? P F1 F2 的

旁切圆,与 x 轴的切点为 D,则点 D ( ) A.在椭圆内 B.在椭圆外 C.在椭圆上 D.以上都有可能 11.椭圆的两焦点把两准线间的距离三等分,则这个椭圆的离心率是 ( ) A 12.椭圆
OP
2

3
x
2

B
y
2

3 2

C

3 3

D 以上都不对
1 4

2

?

? 1 上有两点 P、Q ,O 为原点,若 OP、OQ 斜率之积为 ?

,则 )

16
? OQ

4

为 B. 64
?

( C. 20 D. 不确定 ( B.
x
2

A. 4 则椭圆的离心率为 A.
2 3

13.椭圆左焦点 F 且倾斜角为 60 的直线交椭圆于 A、B 两点,若 FA ? 2 FB , )
2 2
? y
2

C.

1 2

D.

2 3

14.过原点的直线 l 与曲线 C:

? 1 相交,若直线 l 被曲线 C 所截得的线段

3

长不大于 6 ,则直线 l 的倾斜角 ? 的取值范围是 ( ) ? 5? ? 2? ? 2? ?? ? ?? ? ?? ? A B C
6 6
?

D.

?
4

?? ?

3? 4

6

3

3

3

15. 如图所示,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线 AB 1 与 BF 交于 D,且 ? BDB ( ) A
1

? 90 ,则椭圆的离心率为
5 ?1 2
5 ?1 2
2 2

3 ?1 2
2 2 2 2

B
? y b

C

D
? ( b 2

3 2
? c ) , (c
2

16.若椭圆

x a

? 1 ( a ? b ? 0 ) 和圆 x ? y

为椭圆的半焦距),有四个不同的交点,则椭圆的离心率 e 的取值范围是 ( ) A (
5 3 , ) 5 5

B (
2 2

2 5

,

5 5

)

C (

2 3 , ) 5 5

D (0,
b?c a

5 5

)

17.已知 c 是椭圆 ( ) A (1, +∞)

x a

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的半焦距,则

的取值范围是

B ( 2, ? ?)

C (1,

2)

D (1,

2]

18.过椭圆 4x2+2y2=1 的一个焦点 F1 的弦 AB 与另一个焦点 F2 围成的三角形△

ABF2 的周长是 19.P 为椭圆
x
2

.
? y
2

100

64

? 1 上的一点,F1 和 F2 是其焦点,若∠F1PF2=60° ,则△

F1PF2 的面积为 . 20.设椭圆的对称轴为坐标轴,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形, 焦点到椭圆的最短距离为 3 ,则该椭圆的方程为 21 椭 圆
x
2

?

y

2

? 1 的 右 焦 点 为 F , 过 点 A 1, 3 , 点 M 在 椭 圆 上 , 当

16

12

?

?

AM ? 2 MF 为最小值时,求点 M 的坐标.
x
2

22.求椭圆

? y ? 1 上的点到直线 x ? y ? 6 ? 0 的距离的最小值
2

3 x
2

23.F 是椭圆 一动点。

?

y

2

? 1 的右焦点,A(1,1)为椭圆内一定点,P 为椭圆上
y A F ′ 0 F P H x

4

3

(1) PA ? PF 的最小值为 (2) PA ? 2 PF 的最小值为 24.M 是椭圆
x
2

?

y

2

9

4

? 1 不在坐标轴上的点, F1 , F 2 是它的两个焦点, I 是

? M F1 F 2 的内心, M I 的延长线交 F1 F 2 于 N ,则

MI NI

?

25. F1 , F 2 是椭圆 C :

x a

2 2

?

y b

2 2

?1

( a ? b ? 0 ) 的两个焦点,直线 l 与椭圆 C 交于

P1 , P2 ,已知椭圆中心 O 关于直线 l 的对称点恰好落在椭圆 C 的左准线上,且
P2 F 2 ? P1 F1 ? 10 9
2

a ,则椭圆 C 的方程为

26.椭圆

x

2

?

y

9

4

? 1 的焦点为 F1 , F 2 ,点 P 为其上的动点,当 ? F1 PF 2 为钝角时,点

P 横坐标的取值范围是 27.已知 F1 , F 2 为椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,若

? PF 1 F 2 : ? PF 2 F1 : ? F1 PF 2 ? 1 : 2 : 3 , 则此椭圆的离心率为
2 2 28.如果 x , y 满足 4 x ? 9 y ? 36 , 则 2 x ? 3 y ? 12 的最大值为

29.椭圆

x

2

?

y 9

2

25

? 9? ? 1 上不同三点 A ? x1, y 1 ? , ? 4, ? , ? x 2, y 2 ? 与焦点 F ? 4,? C 0 B ? 5?

的距离成等差数列. (1)求证 x1 ? x 2 ? 8 ; (2)若线段 AC 的垂直平分线与 x 轴的交点为 T ,求直线 BT 的斜率 k . 30.已知椭圆的焦点是 F1 ( 0 , ? 1), F 2 ( 0 ,1) ,直线 y ? 4 是椭圆的一条准线. ① 求椭圆的方程; ② 设点 P 在椭圆上,且 PF 1 ? PF 2 ? 1 ,求 ? F1 PF 2 . 31.已知曲线 x ? 2 y ? 4 x ? 4 y ? 4 ? 0 按向量 a ? ( 2 , 1) 平移后得到曲线 C.
2 2

(1)求曲线 C 的方程; (2)过点 D(0, 2)的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 M、N,且 M 在 D、N 之 间,设 DM ? ? MN ,求实数 ? 的取值范围

双曲线练习题
1. 双曲线的两条准线将实轴三等分,则它的离心率为 A.
3 2
2 2

( D.
3



B.3
x ? y

C.

4 3

2.过双曲线

16

9

? 1 左焦点 F1 的弦 AB 长为 6,则 ? ABF 2 (F2 为右焦点)

的周长是( ) A.28 B.22 C.14 D.12 3.已知双曲线的两个焦点为 F1(- 10,0)、F2( 10,0),M 是此双曲线上的一
M 点,且 满足 M F 1 · F 2 =0,| M F 1 |·M F 2 |=2,则该双曲线的方程是 | ????? ????? ????? ?????

(

) x2 A. -y2=1 9 x2 y2 C. - =1 3 7 y2 B.x2- =1 9 x2 y2 D. - =1 7 3

x2 y2 4.(2009· 江西高考)设 F1 和 F2 为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两个焦点,若 a b

F1 , F2 , P(0,2b) 是 正 三 角 形 的 三 个 顶 点 , 则 双 曲 线 的 离 心 率 为 ( ) 3 5 A. B.2 C. D.3 2 2 x2 y2 5.(2010· 广州模拟)已知点 F 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点,点 E 是该 a b 双曲线的右顶点,过 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A、B 两点,若△ABE 是 锐 角 三 角 形 , 则 该 双 曲 线 的 离 心 率 e 的 取 值 范 围 是 ( ) A.(1,+∞) B.(1,2) C.(1,1+ 2) D.(2,1+ 2)
x
2

6.设双曲线以椭圆

?

y

2

? 1 长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆

25

9

的焦点,则双曲线的渐近线的斜率为 A. ? 7. 若 方 程 ( ) B、 ( ? 2 , 5 ) D、 ( ? 2 , 2 ) ? ( 5 , ?? )
2
2 2


1 2

) D. ?
3 4

B. ?
x ? y ?1

4 3

C. ?

| k | ?2

5? k

表 示 双曲 线, 则 实 数 k 的 取值范 围 是 :

A、 ( ?? , ? 2 ) ? ( 2 ,5 ) C、 ( ?? , ? 2 ) ? ( 5 , ?? )
8.如果双曲线 的距离是 (A)
4 6 3

x2 4

?

y

2

2

=1 上一点 P 到双曲线右焦点的距离是 2,那么点 P 到 y 轴

(B)
x a
2 2

2 6 3

(C) 2 6
3a 2

(D) 2 3

9.若双曲线

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>0)上横坐标为

的点到右焦点的距离大于 )

它到左准线的距离,则双曲线离心率的取值范围是( A.(1,2) B.(2,+ ? ) C.(1,5) D. (5,+ ? )

10.若双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 的两个焦点到一条准线的距离之比为 3: 那么则双曲 2

线的离心率是( (A)3 11.过双曲线
x a
2 2

) (B)5 (C) 3 (D) 5

?

y b

2 2

? 1 ( a ? 0, b ? 0 ) 的右顶点 A 作斜率为 ? 1 的直线,该直线
??? ? ??? 1? 2

与双曲线的两条渐近线的交点分别为 B , C .若 AB ? BC ,则双曲线的离心率 是 ( )

w.w.w. k.s.5.u.c.o.m

A. 2
x
2

B. 3
y b
2 2

C. 5

D. 1 0

12.已知双曲线

?

2

? 1( b ? 0 ) 的左、右焦点分别是 F1 、 F 2 ,其一条渐近线

方程为 y ? x ,点 P ( 3 , y 0 ) 在双曲线上.则 P F1 ? P F2 =( A. -12
x a
2 2

???? ???? ?

) D. 4

B. -2
? y b
2 2

C. 0

13.直线 l 过双曲线

? 1 的右焦点,斜率 k=2.若 l 与双曲线的两个交点分

别在左右两支上,则双曲线的离心率 e 的范围是 A.e> 2 B.1<e< 3 C.1<e< 5
x a
2 2




Y

D.e> 5
? y b
2 2

14.如图, F1 和 F 2 分别是双曲线

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 的两个焦点,

A 和 B 是以 O 为圆心,以 O F 1 为半径的圆与该

O

F

X

双曲线左支的两个交点,且△ F 2 AB 是等边三角形,则双 曲线的离心率为( (A) 3 (B) 5 )
l

(C)

5 2

(D) 1 ?

3

15.直线 y=kx+1 与双曲线 值等于

有且仅有一个交点,那么 k 的

x2 y2 x2 y2 16. 椭圆 + 2=1 和双曲线 2- =1 有相同的焦点, 则实数 n 的值是________. 34 n n 16 x2 y2 17.(2010 年高考江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 - =1 上一 4 12 点 M 的横

坐标是 3,则点 M 到此双曲线的右焦点的距离为________. 18.过双曲线
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线

相交于 M , N 两点,以 M N 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离 心率为______ 19.已知点 P 在双曲线
x
2

?

y

2

? 1 上,并且 P 到这条双曲线的右准线的距离恰

16

9

是 P 到双曲线两个焦点的距离的等差中项,那么 P 点的横坐标是_________ x2 y2 20.设双曲线 - =1 的右顶点为 A,右焦点为 F,过点 F 作平行双曲线的一条 9 16 渐近线的直线与双曲线交于点 B,则△AFB 的面积为________. y2 21.P 为双曲线 x2- =1 右支上一点,M、N 分别是圆(x+4)2+y2=4 和(x-4)2 15 +y2=1 上的点,则|PM|-|PN|的最大值为________.

22.双曲线

的左、右焦点为 F1、F2,AB 为过 F1 的且与双

曲线的左支相交的弦,且|AB|=m,那么△ABF2 的周长等于

23.已知双曲线

(a>0,b>0)的实轴长、虚轴长、焦距成等

差数列,则双曲线的离心率为 24.双曲线与椭圆4x2+y2=64有公共焦点,它们的离心率互为倒数,则 双曲线的方程为 25.过双曲线 (a>0, b>0)的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双

曲线相交于 M、N 两点,以 M、N 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点, 则双曲线的离心率等于 。
x2 26. (文)已知椭圆 C1 的方程为 +y2=1, 双曲线 C2 的左、 右焦点分别是 C1 的左、 4 右顶点,而 C2 的左、右顶点分别是 C1 的左、右焦点.
O (2)若直线 l:y=kx+ 2与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A 和 B,且 O A · B > ??? ??? ? ?

2 (1)求双曲线 C2 的方程; (2)求 k 的取值范围. 27.双曲线的中心为原点 O ,焦点在 x 轴上,两条渐近线分别为 l1, l 2 ,经过右焦
O 点 F 垂直于 l1 的直线分别交 l1, l 2 于 A, B 两点. 已知 O A 、A B 、 B 成等差数 ??? ? ??? ? ??? ?

列,且 B F 与 F A 同向. (Ⅰ)求双曲线的离心率; (Ⅱ)设 A B 被双曲线所截得的线段的长为 4,求双曲线的方程. 28.已知双曲线 x ? y ? 2 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,过点 F2 的动直线与双
2 2

??? ?

??? ?

曲线相交于 A, B 两点. (I)若动点 M 满足 F1 M ? F1 A ? F1 B ? F1O (其中 O 为坐标原点) ,求点 M 的 轨迹方程; (II)在 x 轴上是否存在定点 C ,使 C A · C B 为常数?若存在,求出点 C 的坐 标;若不存在,请说明理由.
??? ? ??? ?
????? ???? ???? ????

抛物线练习题
结论一:若 AB 是抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 的焦点弦,且直线 AB 的倾斜角为α,则
2

AB ?

2P s in
2

(α≠0) 。
?
2

结论二:已知直线 AB 是过抛物线 y ? 2 p x ( p ? 0 ) 焦点 F,则:
2

1 AF

?

1 BF

=2/P

结论三:若抛物线方程为 y ? 2 px ( p ? 0) ,过( 2 p ,0)的直线与之交于 A、B 两点, 则 OA⊥OB。反之也成立。 1、设 O 为坐标原点,F 为抛物线 y ? 4 x 的焦点,A 是抛物线上一点,若
2

OA ? AF ? ? 4 ,则点 A 的坐标是( )

A. ( 2 , 2 2 ), ( 2 , ? 2 2 ) B. (1,2)(1,-2)C. , (1,2)D. ( 2 , 2 2 ) 2、已知实数 x,y 满足条件 ? x ? 1 ? ? ? y ? 3 ? ?
2 2

x ? y ?1 2

,则点 P ? x , y ? 的运动

轨迹是(

) B.双曲线
2

A.抛物线

C.椭圆

D.圆

3、若抛物线 y =x 上一点 P 到准线的距离等于它到顶点的距离,则点 P 的坐标为 ( )
? A. ? , ?1 ?4 ? 2 ? ? 4 ? ?
2

? B. ? , ? ?8

?1

2 ? ? 4 ? ?

C. ? , ?
?4

?1

2 ? ? 4 ? ?

D. ? , ?
?8

?1

2 ? ? 4 ? ?

4、从抛物线 y ? 4 x 上一点 P 引抛物线准线的垂线,垂足为 M,且|PM|=5,设 抛物线的焦点为 F,则△MPF 的面积为( A.5 B.10
2



C.20

D. 15


5.P 为抛物线 y

? 2 px 上任一点,F 为焦点,则以 PF 为直径的圆与 y 轴(
B . 相切
2

A . 相交

C . 相离

D . 位置由 P 确定

, 6 、 已 知 抛 物 线 y ? 2 p x ( p ? 0 ) 的 焦 点 为 F , 点 P1 ( x1 y1), P2 ( x, y 2) , 2

P3 ( x 3, y 3 ) 在抛物线上,且 2 x 2 ? x1 ? x 3 , 则有(


2

A. F P1 ? F P2 ? F P3 C. 2 F P2 ? F P1 ? F P3
2

B. F P1 ? F P2 D. F P2
2

2

2

? F P3

? F P1· F P3

7、设 F 为抛物线 y ? 4 x 的焦点,A,B,C 为抛物线上三点.O 为坐标原点, 若 F A + F B + F C = 0 . OFA, OFB, OFC 的面积分别为 S1, 2, 3,则 S 1 △ △ △ S S + S 2 + S 3 的值为( A.9
2
2 2

??? ?

??? ?

????

?

2

) B.6 C. 4 D. 3

8、设抛物线 x ? 4 y 的焦点为 F ,经过点 P (1, 2) 的直线与抛物线交于 A 、 B 两 点,又知点 P 恰好为 A B 的中点,则 A F ? B F 的值是 ( A.3 B.4 C.6
2

)

D.

17 8

9、 已知抛物线 C : y ? 8 x 的焦点为 F ,准线与 x 轴的交点为 K ,点 A 在 C 上 且 AK ? (A) 4
2 A F ,则 ? A F K 的面积为(

) (D) 3 2

(B) 8
2

(C) 16

10、 设抛物线 y ? 8 x 的焦点为 F ,准线为 l , P 为抛物线上一点, P A ? l , A 为 垂足,如果直线 A F 斜率为 ? 3 ,那么 P F ? (A) 4 3 (B) 8
2

( )

(C) 8 3

(D) 16

11、直线 l 过抛物线 y ? x 的焦点 F ,交抛物线于 A 、 B 两点,且点 A 在 x 轴 上 方 , 若 直 线 l 的 倾 斜 角 ? ≥ ( )
?1 3 ?

π 4

, 则 |FA| 的 取 值 范 围 是

A. ? , ? ?4 2 ?

B. ? ,

?1 3 ?4 4

?

2? ? 2 ?

C. ? ,1 ?
?4

?1

2? ? 2 ?
2

D. ? 1 ?
? ?

?

2 2

,1 ?

2? ? 2 ?

12、过抛物线 y ? ax ( a ? 0) 的焦点 F 作一直线交抛物线于 A 、 B 两点,若线段
mn m?n a 4

A F 、 B F 的长分别为 m 、 n ,则

等于(



A.

1 2a

B.

1 4a
2

C. 2 a

D.

13、 设抛物线 y ? 2 x 与过其焦点的直线交于 A , B 两点, O A ? O B 的值 则 ( ) A
3
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??? ?

??? ?

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B?
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3 4

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C3
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D ?3
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4

14、抛物线 y 2

? 4 x 的 焦 点 为 F,

准线为 ? , ? 与 x 轴相交于点 E,过 F 且倾斜角等

于 60°的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A,AB⊥ ? ,垂足为 B,则 四边形 ABEF 的面积等于( ) A、 3
3

B、 4

3

C、 6

3

D、 8

3

15、抛物线 y ? ? x 上的点到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 距离的最小值是 ( )
2

A. 3
2

B.

7 5

C.

8 5

D.

4 3

16.抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,准线为 l ,经过 F 且斜率为

3 的直线与抛物线在 x 轴上方


的部分相交于点 A , A K ⊥ l ,垂足为 K ,则 △ A K F 的面积( A. 4 B. 3

3

C. 4

3
2

D. 8

17、己知等边三角形的一个顶点位于抛物线 y ? x 的焦点,另外两个顶点在抛 物线上,则这个等边三角形的边长为________. 18、 已知抛物线的顶点在原点,焦点在 x 轴的正半轴上, F 为焦点, A , B , C 为抛物 线上的三点,且满足 F A ? F B ? F C ? 0 , F A ? F B ? F C ? 6 ,则抛物线的方程
??? ? ??? ? ??? ? ?
??? ? ??? ? ????



.
2

19、过抛物线 y ? 2 p x ( p ? 0 ) 的焦点 F 作直线 l ,交抛物线于 A , B 两点,交其 准线于 C 点.若 C B ? 3 B F ,则直线 l 的斜率为_________.
2 20、已知抛物线 y ? 4 x , 焦点为 F, A ( 2 , 2 ) ,P 为抛物线上的点,则 PA ? PF 的

??? ?

??? ?

最小值为_____
? 21、已知点 P 在抛物线 y ? 4 x 上,那么点 P 到点 Q ( 2, 1) 的距离与点 P 到抛
2

物线焦点距离之和取得最小值时,点 P 的坐标为______________. 22、已知点 P 是抛物线 y ? 4 x 上的点,设点 P 到抛物线准线的距离为 d 1 ,到
2 2 2 圆 ( x ? 3) ? ( y ? 3) ? 1 上 一 动 点 Q 的 距 离 为 d 2 , 则 d 1 ? d 2 的 最 小 值 是

_______ . 23、已知抛物线 y ? x 上有一条长为 2 的动弦 AB,则 AB 中点 M 到 x 轴的最
2

短距离为_______________ 24、 如图,已知 O 是坐标原点,过点 P ( 5 , 0 ) 且斜率为 k 的直线 l 交抛物线
y
2

? 5 x 于 M ( x 1 , y 1 ) 、 N ( x 2 , y 2 ) 两点.

(1)求 x 1 x 2 和 y 1 y 2 的值; (2)求证: OM ? ON .
25 如图,倾斜角为 a 的直线经过抛物线 y A、B 两点。 (Ⅰ)求抛物线的焦点 F 的坐标及准线 l 的方程; (Ⅱ)若 a 为锐角,作线段 AB 的垂直平分线 m 交 x 轴于点 P,证明|FP|-|FP|cos2a 为定值,并求此定值。
2

? 8 x 的焦点 F,且与抛物线交于

A

M


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