nbhkdz.com冰点文库

【导与练】(新课标)2016高考数学二轮复习 专题6 解析几何 第4讲 圆锥曲线中的综合问题 文

时间:2016-09-04


第4讲

圆锥曲线中的综合问题

圆与圆锥曲线的综合问题 训练提示:充分挖掘题目条件,寻找圆心与圆锥曲线焦点的位置关系,圆的半径与给定线段长 度之间的关系,充分利用“圆的直径所对圆周角为直角”等性质解决问题. 2 2 1.已知圆心为 F1 的圆的方程为(x+2) +y =32,F2(2,0),C 是圆 F1 上的动点,F2C 的垂直平分线交 F1C 于 M. (1)求动点 M 的轨迹方程; (2)设 N(0,2),过点 P(-1,-2)作直线 l,交 M 的轨迹于不同于 N 的 A,B 两点,直线 NA,NB 的斜 率分别为 k1,k2,证明:k1+k2 为定值. (1)解:由线段的垂直平分线的性质得|MF2|=|MC|. 又|F1C|=4 , , >4. 为长轴长的椭圆.

所以|MF1|+|MC|=4 所以|MF2|+|MF1|=4

所以 M 点的轨迹是以 F1,F2 为焦点,以 4 由 c=2,a=2 得 b=2.

故动点 M 的轨迹方程为 + =1. (2)证明:当直线 l 的斜率存在时, 设其方程为 y+2=k(x+1), 由 得(1+2k )x +4k(k-2)x+2k -8k=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2=,x1x2= .
2 2 2

从而 k1+k2=

+

=

1

=2k-(k-4)? =4. 当直线 l 的斜率不存在时, 得 A(-1, ),B(-1,),

得 k1+k2=4. 综上,恒有 k1+k2=4. 2.设椭圆 M: + =1(a> )的右焦点为 F1,直线 l:x= 与 x 轴交于点 A,若 =2 (其中

O 为坐标原点). (1)求椭圆 M 的方程; 2 2 (2)设 P 是椭圆 M 上的任意一点,EF 为圆 N:x +(y-2) =1 的任意一条直径(E,F 为直径的两个端 点),求 ? 的最大值.

解:(1)由题设知,A(

,0),F1(

,0),



=2

.



=2(

-

),解得 a =6.

2

所以椭圆 M 的方程为 + =1. (2)设圆 N:x +(y-2) =1 的圆心为 N, 则 ? =( )? ( )=()?( )= = -1.
2 2

从而求

?

的最大值转化为求

的最大值.

因为 P 是椭圆 M 上的任意一点,设 P(x0,y0), 所以 + =1,

即 =6-3 ,因为点 N(0,2),

2

所以

=

+(y0-2) =-2(y0+1) +12.

2

2

因为 y0∈[-

,

],所以当 y0=-1 时,

取得最大值 12.

所以

?

的最大值为 11.

圆锥曲线中的定点、定值问题 训练提示: 由直线方程确定定点 ,若得到直线方程的点斜式 :y-y0=k(x-x0),则直线必过定点 (x0,y0);若得到了直线方程的斜截式:y=kx+m,则直线必过定点(0,m). 证明定值,有时可直接证明定值,有时将问题转化为代数式,可证明该代数式与参数(某些变 量)无关;也可令系数等于零,得出定值. 3.如图,等边三角形 OAB 的边长为 8 (p>0)上. ,且其三个顶点均在抛物线 E:x =2py
2

(1)求抛物线 E 的方程; (2)设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P,与直线 y=-1 相交于点 Q.证明以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上某定点. (1)解:依题意,|OB|=8 ,∠BOy=30°. ,

设 B(x,y),则 x=|OB|sin 30°=4 y=|OB|cos 30°=12. 因为点 B(4 所以(4
2

,12)在 x =2py 上,

2

) =2p?12,解得 p=2.
2

故抛物线 E 的方程为 x =4y. (2)证明:由(1)知 y= x ,y′= x. 设 P(x0,y0),则 x0≠0,且 l 的方程为 y-y0= x0(x-x0),
2

3

即 y= x0x-

.





所以 Q(

,-1).

设 M(0,y1),令

?

=0 对满足 y0=

(x0≠0)的 x0,y0 恒成立.

由于

=(x0,y0-y1),

=(

,-1-y1),



?

=0,



-y0-y0y1+y1+ =0,

即( +y1-2)+(1-y1)y0=0.(*)

由于(*)式对满足 y0=

(x0≠0)的 y0 恒成立,

所以 解得 y1=1. 故以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上的定点 M(0,1). 4.已知直线 l:y=x+ ,圆 O:x +y =5,椭圆 E: + =1(a>b>0)的离心率 e= ,直线 l 被圆 O 截
2 2

得的弦长与椭圆的短轴长相等. (1)求椭圆 E 的方程; (2)过圆 O 上任意一点 P 作椭圆 E 的两条切线,若切线都存在斜率,求证两切线斜率之积为定 值. 解:(1)设椭圆半焦距为 c, 圆心 O 到 l 的距离 d= = ,

则 l 被圆 O 截得的弦长为 2

,

4

所以 b=

.

由题意得

又 b=
2

,
2

所以 a =3,b =2. 所以椭圆 E 的方程为 + =1. (2)证明:设点 P(x0,y0),过点 P 的椭圆 E 的切线 l0 的方程为 y-y0=k(x-x0), 整理得 y=kx+y0-kx0, 联立直线 l0 与椭圆 E 的方程得

消去 y 得 2[kx+(y0-kx0)] +3x -6=0, 2 2 2 整理得(3+2k )x +4k(y0-kx0)x+2(kx0-y0) -6=0, 因为 l0 与椭圆 E 相切, 2 2 2 所以Δ =[4k(y0-kx0)] -4(3+2k )[2(kx0-y0) -6] =0, 整理得(2- )k +2x0y0k-( -3)=0, 设满足题意的椭圆 E 的两条切线的斜率分别为 k1,k2, 则 k1k2=.
2

2

2

因为点 P 在圆 O 上, 所以 + =5,

所以 k1k2=-

=-1.

所以两条切线斜率之积为常数-1. 圆锥曲线中的存在性问题 训练提示:存在性问题,先假设存在,进行一系列推理,若推理正确则存在,若得出矛盾则不存 在. 5.已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的右焦点为 F,离心率为 ,过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆

截得的线段长为

,O 为坐标原点.

5

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设椭圆的上顶点为 N,是否存在直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,使点 F 为△PQN 的垂心?若存在, 求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由. 解:(1)设 F(c,0),则 = ,知 a= c.

过点 F 且与 x 轴垂直的直线方程为 x=c,代入椭圆方程,有 + =1,

解得 y=± b.

于是

b=

,

解得 b=1. 2 2 2 又 a -c =b , 从而 a= ,c=1.

所以椭圆 C 的方程为 +y =1. (2)假设存在直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,且 F 为△PQN 的垂心. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2), 因为 N(0,1),F(1,0), 所以 kNF=-1. 由 NF⊥PQ,知 kPQ=1. 设直线 l 的方程为 y=x+m, 由 得 3x +4mx+2m -2=0. 2 由Δ >0,得 m <3, 且 x1+x2=,x1x2= .
2 2

2

由题意,有

?

=0.

因为

=(x1,y1-1),

=(x2-1,y2),

所以 x1(x2-1)+y2(y1-1)=0, 即 x1(x2-1)+(x2+m)(x1+m-1)=0, 2 所以 2x1x2+(x1+x2)(m-1)+m -m=0,

6

于是 2?

- m(m-1)+m -m=0,

2

解得 m=- 或 m=1. 经检验,当 m=1 时,△PQN 不存在,故舍去 m=1. 当 m=- 时符合,直线 l 的方程为 y=x- .

6.(2015 河北沧州 4 月质检)已知点 M 在椭圆 G: + =1(a>b>0)上,H(-2,0)是 M 在 x 轴上的

射影.F1 是椭圆 G 的左焦点,且

=

(O 为坐标原点),

?

= .

(1)求椭圆 G 的方程; (2)在 x 轴上是否存在定点 P0,过 P0 任意作直线 l 交椭圆 G 于 A,B 两点,使得直线 HM 始终平 分∠AHB?若存在,则求出 P0;若不存在,请说明理由. 解:(1)依题可设 M(-2,y0), 由 = 得 F1 为 HO 的中点,

于是 F1(-1,0), 又由 ? = 得(0,-y0)?(1,-y0)= ,

解得 = ,于是有

+

=1,

整理得 5a -29a +20=(5a -4)(a -5)=0,解得 a =5 或 a = (舍去).

4

2

2

2

2

2

所以椭圆 G 的方程是 + =1. (2)设 P0(m,0),A(x1,y1),B(x2,y2),

若直线 l 的斜率不等于零时,

7

可设直线 l 为 x=ty+m,联立 + =1,消去 x 得 (4t +5)y +8mty+4m -20=0, 有 y1+y2= ,
2 2 2

y1y2=

,

注意到 HM 平分∠AHB? kAH=

,

kBH=

满足 kAH+kBH=0,



+

=0 ? y1(x2+2)+y2(x1+2)=0 ? y1(ty2+m+2)+y2(ty1+m+2)=2ty1y2+(m+2)(y1+y2)=0 ?

2t?

+(m+2)?

=0? t(2m+5)=0,

故 m=- ,定点 P0(- ,0).

若直线 l 的斜率为零,定点 P0(- ,0)也满足条件,

故定点 P0(- ,0)为所求.

类型一:圆锥曲线中的最值(范围)问题 1. 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 已 知 点 A(0,-1),B 点 在 直 线 y=-3 上 ,M 点 满 足 ∥

,

?

=

?

,M 点的轨迹为曲线 C.

(1)求 C 的方程; (2)P 为 C 上的动点,l 为 C 在 P 点处的切线,求 O 点到 l 距离的最小值.

8

解:(1)设 M(x,y),由已知得 B(x,-3), 又 A(0,-1), 所以 =(-x,-1-y), =(0,-3-y), =(x,-2).

再由题意可知(

+

)?

=0,

即(-x,-4-2y)?(x,-2)=0. 所以曲线 C 的方程为 y= x -2.
2

(2)设 P(x0,y0)为曲线 C:y= x -2 上一点.

2

因为 y′= x,所以 l 的斜率为 x0.

因此直线 l 的方程为 y-y0= x0(x-x0),

即 x0x-2y+2y0- =0. 所以 O 点到 l 的距离 d= .

又 y0=

-2,

所以 d=

= (

+

)≥2.

当 x0=0 时取等号, 所以 O 点到 l 距离的最小值为 2. 2.(2015 云南模拟)如图,已知椭圆 E: + =1(a>b>0)的离心率为 ,且过点(2, ),四边形

ABCD 的顶点在椭圆 E 上,且对角线 AC,BD 过原点 O, kAC?kBD=- .求

?

的取值范围.

9

解:

?

所以椭圆 E 的方程为 + =1. 当直线 AB 的斜率存在时,设 lAB:y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2), 由 ? (1+2k )x +4kmx+2m -8=0,
2 2 2

所以 x1+x2=

,x1x2=

,

y1y2=(kx1+m)(kx2+m) =k (
2

)+km(

)+m

2

=

.

由 kOA?kOB=- 得 ? =- .

所以

=- ?

? m =4k +2,

2

2

?

=x1x2+y1y2

=

+

=

=2-

,

所以-2≤

?

<2,

当 k=0 时,

?

=-2,
10

当 k 不存在即 AB⊥x 轴时,

?

=2,

所以

?

的取值范围是[-2,2].

3.(2015 郑州第一次质量预测)已知动点 P 到定点 F(1,0)和到直线 x=2 的距离之比为 ,设动 点 P 的轨迹为曲线 E,过点 F 作垂直于 x 轴的直线与曲线 E 相交于 A,B 两点,直线 l:y=mx+n 与曲线 E 交于 C,D 两点,与线段 AB 相交于一点(与 A,B 不 重合). (1)求曲线 E 的方程; 2 2 (2)当直线 l 与圆 x +y =1 相切时,四边形 ACBD 的面积是否有最大值,若有,求出其最大值及对 应的直线 l 的方程;若没有,请说明理由. 解:(1)设点 P(x,y),由题意可得 = ,

整理可得 +y =1,

2

曲线 E 的方程是 +y =1. (2)有最大值,设 C(x1,y1),D(x2,y2), 由已知可得|AB|= .

2

当 m=0 时,不合题意. 2 2 当 m≠0 时,由直线 l 与圆 x +y =1 相切, 可得
2 2

=1,

即 m +1=n . 联立

消去 y 得(m + )x +2mnx+n -1=0.

2

2

2

Δ =4m n -4(m + )(n -1)=2m >0,

2 2

2

2

2

x1+x2=

,x1x2=

,
11

S 四边形 ACBD= |AB||x2-x1|

=

=

=

≤ .

当且仅当 2|m|=

,

即 m=± 时等号成立 , 此时四边形 ABCD 面积的最大值为

,n=±

, 经检验可知 , 直线

y= x- 和直线 y=- x+ 符合题意. 4.如图,过 x 轴上动点 A(a,0)引抛物线 y=x +1 的两条切线 AP,AQ.切线斜率分别为 k1 和 k2, 切点分别为 P,Q.
2

(1)求证:k1?k2 为定值,并且直线 PQ 过定点; (2)记△APQ 的面积为 S△APQ,当 最小时,求 ? 的值.

(1)证明:设过 A 点的直线为 y=k(x-a),与抛物线联立得 整理得 x -kx+ka+1=0,Δ =k -4ak-4=0, 所以 k1+k2=4a,k1?k2=-4 为定值. 2 抛物线方程 y=x +1,求导得 y′=2x, 设切点 P,Q 的坐标分别为(xp,yp),(xq,yq), 则 k1=2xp,k2=2xq, 所以 xp+xq= + =2a,xpxq= ? =-1.
2 2

12

直线 PQ 的方程:y-yp=

(x-xp),

由 yp= +1,yq= +1, 得到 y=(xp+xq)x-xpxq+1, 整理可得 y=2ax+2,所以直线 PQ 过定点(0,2). (2)解:设 A 到 PQ 的距离为 d.S△APQ=|PQ|? ,

所以

= =

=

,

设 t=

≥1,

所以

=

= (t+ )≥ ,

当且仅当 t=

时取等号,此时 a=± .

因为

?

=(xp-a,yp)?(xq-a,yq)
2

=xpxq-a(xp+xq)+a +ypyq, ypyq=(2xpa+2)(2xqa+2) 2 =4a xpxq+4+4a(xp+xq) 2 =4a +4, 所以 ? =3a +3= .
2

类型二:证明问题 5.如图,已知点 A(1, )是离心率为 的椭圆 C: + =1(a>b>0)上的一点,斜率为 的直线

BD 交椭圆 C 于 B,D 两点,且 A,B,D 三点互不重合.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)求证:直线 AB,AD 的斜率之和为定值.

13

(1)解:由题意,可得 e= = ,将(1,

)代入椭圆方程,

得 + =1,又 a =b +c ,

2

2

2

解得 a=2,b=

,c=

.

所以椭圆 C 的方程为 + =1.

(2)证明:设直线 BD 的方程为 y= 又 A,B,D 三点不重合, 所以 m≠0,设 D(x1,y1),B(x2,y2), 由

x+m,

得 4x +2

2

mx+m -4=0.
2

2

所以Δ =-8m +64>0? -2

<m<2

.

x1+x2=- m,①

x1x2=

,②

设直线 AB,AD 的斜率分别为 kAB,kAD, 则 kAD+kAB= +

=

+

=2

+m?

(*)

将①、②式代入(*), 整理得 2 +m? =2 -2 =0,

所以 kAD+kAB=0,即直线 AB,AD 的斜率之和为定值 0. 2 2 6.已知曲线 C:(5-m)x +(m-2)y =8(m∈R).

14

(1)若曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆,求 m 的取值范围; (2)设 m=4,曲线 C 与 y 轴的交点为 A,B(点 A 位于 B 的上方),直线 y=kx+4 与曲线 C 交于不同 的两点 M,N,直线 y=1 与直线 BM 交于点 G,求证:A,G,N 三点共线. 解:(1)曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆,

当且仅当

解得 <m<5,

所以 m 的取值范围是( ,5). (2)当 m=4 时,曲线 C 的方程为 x +2y =8,点 A,B 的坐标分别为(0,2),(0,-2). 由 得(1+2k )x +16kx+24=0. 因为直线 y=kx+4 与曲线 C 交于不同的两点, 2 2 所以Δ =(16k) -4(1+2k )?24>0, 即k> . 设点 M,N 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 则 y1=kx1+4,y2=kx2+4, x1+x2= ,x1x2= .
2 2 2 2 2

直线 BM 的方程为 y+2=

x,

点 G 的坐标为(

,1).

因为直线 AN 和直线 AG 的斜率分别为 kAN= ,kAG=,

所以 kAN-kAG=

+

=

+

15

= k+

= k+ =0. 即 kAN=kAG. 故 A,G,N 三点共线.

16


赞助商链接

2011年高考数学专题讲义解析几何专题4圆锥曲线中的最值...

2011年高考数学专题讲义解析几何专题4圆锥曲线中的最值范围问题。高考数学 岁月无痕官方网站 岁月无痕丰胸精油 都岁月无痕 成都岁月无痕有限公司★★★高考在考什么...

...配套课件+配套文档:专题六 解析几何 第2讲

2016版《步步高》高考数学二轮总复习与增分策略(文科)配套课件+配套文档:专题六 解析几何 第2讲_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第2讲 椭圆、双曲线、...

高考数学二轮专题复习教案:解析几何问题的题型与方法

高考数学二轮专题复习教案:解析几何问题的题型与方法 隐藏>> 第14 讲一、知识整合 解析几何问题的题型与方法 高考中解析几何试题一般共有 4 题(2 个选择题, 1...

2013届高三数学二轮复习专题讲座6——解析几何二轮复习...

2013届高三数学二轮复习专题讲座6——解析几何二轮复习...数学思想.直线与圆的方程、圆锥曲线与方程是历年高考...专题 直线与圆 椭圆、双曲线、抛物线 解析几何综合...

高考数学解析几何专题复习

高考数学解析几何专题复习_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。专题复习讲座(...Ⅱ.研究圆锥曲线有关的问题 1.有关最值问题 例 6 :设椭圆中心为坐标原点,...

...】2016数学(文,江苏专用)二轮:专题五 解析几何第2讲...

【南方凤凰台】2016数学(文,江苏专用)二轮:专题解析几何第2讲 圆锥曲线[来源:学优高考网988672]_数学_高中教育_教育专区。第2讲 圆锥曲线 【自主学习】第 ...

...专题八 解析几何 第71练 圆锥曲线中的综合热点问题...

【步步高】(浙江专用)2017年高考数学 专题解析几何 第71练 圆锥曲线中的综合热点问题练习_数学_高中教育_教育专区。【步步高】 (浙江专用)2017 年高考数学 ...

...年高考数学专题讲义:解析几何专题4: 圆锥曲线中的最...

2011年高考数学专题讲义:解析几何专题4: 圆锥曲线中...2 6.对于抛物线 y =4x 上任意一点 Q,点 P(a...热点透析】 圆锥曲线有关的最值范围问题的讨论...

高考数学解析几何 第8讲 直线与圆锥曲线的位置关系教案...

高考数学解析几何6讲 双... 高考数学解析几何 ...几何 第8讲 直线与圆锥曲线的位置关系教案 理 新...问题中的综合运用. 【复习指南】 本讲复习时, 应...

2016年全国卷解析几何典型题及方法

2016高考改革全国卷解析几何专题复习 解析几何典型...(4)有关中点弦问题 <1>已知直线与圆锥曲线方程,...【例题选讲】 2 例 1.已知抛物线 y =2px(p>0...

相关文档

更多相关标签