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二次函数在实际问题中的应用

时间:2018-07-01


二次函数在实际问题中的应用
二次函数在实际生活中的应用有很多, 将数学与实际生活中 的不同问题相联系起来,便可以很快的得出答案。而二次函数的 应用过程就是数学思想得到充分体现的过程,分类讨论、数形结 合、规划与转化、函数与方程的思想都在二次函数中得到了充分 的体现。在这类问题中,关键信息便是二次函数的最值问题。求 二次函数最值问题的大致方法如下: 1.运用配方法求最值; 2.构造一元二次方程,在方程有解的条件下,利 用判别式求最值; 3.建立函数模型求最值; 4.利用基本不等式或不等分析法求最值. 我们拿到题目要做的便是根据不同题目中特有的信息选择合适 的方法来解决问题。对于这类题型,我们首先要想到数形结合, 把一个生活中的问题转化为常见的数学问题, 并画出图便于思考。

一、 在建筑桥梁方面的应用
抛物线在桥梁建筑方面有着广泛的应用。在实际生活中,由于各 种不同的需要,大多数的桥梁建筑都运用了二次函数的性质,将 其形状设计为抛物线的形式。所以,我们在现实生活中能够找到 很多具有抛物线特征的建筑物,如下图所示:

例1、一座单行隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长 为8m,宽为2m,隧道最高点P位于AB的中央且距地面6m,建立如 图1所示的坐标系。 (1)求抛物线的解析式; (2)一辆货车高4m,宽2m,能否从该隧道内通过,为什么? (3)如果隧道内设双行道如图2所示,那么这辆货车是否可以顺 利通过,为什么?

图2

二、 实际生活中的应用
1、经济类
二次函数在经济生活中的应用,主要是利润的最大化问题。不论 是投资还是销售,利润问题都是我们最关注的问题。针对不同 类型的问题,从保证最大利润为入手点,建立函数关系,运用 二次函数的性质来解决实际问题。 例 2、随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展,对花木的需求 量逐年提高.某园林专业户计划投资种植花卉及树木,根据市 场调查与预测,种植树木的利润 与投资量 成正比例关系, 如图 12-①所示;种 植花卉的利润 与 投资量 成二次函数 关系,如图 12-②所 示(注: 利润与投资量 的单位:万元) (1)分别求出利润 与 关于投资量 的函数关系式; (2)如果这位专业户以 8 万元资金投入种植花卉和树木,他至 少获得多少利润?他能获取的最大利润是多少? 解: (1)设 = ,由图 12-①所示,函数 = 的图像过(1,2) , 所以 2= , ; ,由图 12-②所示,

故利润 关于投资量 的函数关系式是 = 因为该抛物线的顶点是原点,所以设 y 2 =

函数 y 2 =

的图像过(2,2) ,所以
? 1 2 x ; 2



故利润 y 2 关

于投资量 的函数关系式是 y 2

(2)设这位专业户投入种植花卉 万元( 种植树木( 8 ? x )万元, 他获得的利润是 万元,根据题意,得 = y1 ? y2 ? = ∵ a ? 1 ? 0 ∴当
2

) ,则投入

+

=

时, 的最小值是 14;

∴他至少获得 14 万元的利润. 因为 ,所以在对称轴 x ? 2 的右侧,

z 随 x 的增大而增大

所以,当 x ? 8 时, z 的最大值为 32.

2、生活类
例 3、 小明的家门前有一块空地, 空地外有一面长 10 米的围墙, 为了美化生活环境,小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃,他 买回了 32 米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏,为了浇花和赏 花的方便, 准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左 右花圃各放一个 1 米宽的门(木质) .花圃的长与宽如何设计才 能使花圃的面积最大?
x

解:设花圃的宽为 x 米,面积为 S 平方米 则长为: 32 ? 4 x ? 2 ? 34 ? 4 x (米) 则: S ? x(34 ? 4 x)
? ?4 x 2 ? 34x

? ?4( x ?

17 2 289 ) ? 4 4

∵ 0 ? 34 ? 4 x ? 10 ∴ 6 ? x ? 17
2

∵ 17 ? 6 ,∴ S 与 x 的二次函数的顶点不在自变量 x 的范围内,
4

而当 6 ? x ? 17 内, S 随 x 的增大而减小,
2

∴当 x ? 6 时, S max ? ?4(6 ? 17 ) 2 ? 289 ? 60 (平方米)
4 4

答:可设计成宽 6 米,长10米的矩形花圃,这样的花圃面积最大


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