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【数学】2011版《3年高考2年模拟》: 第六章 数列 第一节 等差数列、等比数列的概念及求和

时间:2010-12-20


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第六章
第一节

数列

等差数列、等比数列的概念及求和 第一部分 三年高考体题荟萃

2010 年高考题
一、选择题 1.(2010 浙江理) (3)设 Sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和, 8a2 ? a5 ? 0 ,则 (A)11 (B)5 (C) ?8 (D) ?11
3

S5 ? S2

解析:通过 8a2 ? a5 ? 0 ,设公比为 q ,将该式转化为 8a2 ? a2 q ? 0 ,解得 q =-2,带入 所求式可知答案选 D,本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前 n 项和公 式,属中档题 2. ( 2010 全 国 卷 2 理 ) 4 ) . 如 果 等 差 数 列 ?an ? 中 , a3 ? a4 ? a5 ? 12 , 那 么 (

a1 ? a2 ? ... ? a7 ?
(A)14 【答案】C 【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质. 【解析】 a3 ? a4 ? a5 ? 3a4 ? 12, a4 ? 4,? a1 ? a2 ? ? ? a7 ? (B)21 (C)28 (D)35

7(a1 ? a7 ) ? 7a4 ? 28 2

3. (2010 辽宁文) 设 Sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和, (3) 已知 3S3 ? a4 ? 2 ,3S2 ? a3 ? 2 , 则公比 q ? (A)3 【答案】 B 解析:选 B. 两式相减得, 3a3 ? a4 ? a3 , a4 ? 4a3 ,? q ? (B)4 (C)5 (D)6

a4 ? 4. a3

4.(2010 辽宁理) (6)设{an}是有正数组成的等比数列, Sn 为其前 n 项和。已知 a2a4=1,

S3 ? 7 ,则 S5 ?

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(A) 【答案】B

15 2

(B)

31 4

(C)

33 4

(D)

17 2

【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式与前 n 项和公式,考查了同学们解决问题的 能力。
2 【解析】由 a2a4=1 可得 a1 q4 ? 1 ,因此 a1 ?

1 ,又因为 S3 ? a1 (1 ? q ? q2 ) ? 7 ,联力两 2 q

1 1 1 式有 ( ? 3)( ? 2) ? 0 ,所以 q= ,所以 S5 ? 2 q q

4 ? (1 ?

1 ) 25 ? 31 ,故选 B。 1 4 1? 2

5.(2010 全国卷 2 文)(6)如果等差数列 ?an ? 中, a3 + a4 + a5 =12,那么 a1 + a2 +??+ a7 = ? (A)14 【答案】C 【解析】本题考查了数列的基础知识。 (B) 21 (C) 28 (D) 35

a ? a4 ? a5 ? 12 ,∴ a4 ? 4 ∵ 3

1 a1 ? a2 ? ? ? a7 ? ? 7 ? (a1 ? a7 ) ? 7a4 ? 28 2

6.(2010 安徽文)(5)设数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n2 ,则 a8 的值为 (A) 15 【答案】 A 【解析】 a8 ? S8 ? S7 ? 64 ? 49 ? 15 . 【方法技巧】直接根据 an ? Sn ? Sn?1 (n ? 2) 即可得出结论. 7.(2010 浙江文)(5)设 s n 为等比数列 {an } 的前 n 项和, 8a2 ? a5 ? 0 则 (A)-11 (C)5 (B)-8 (D)11
3

(B)

16

(C)

49

(D)64

S5 ? S2

解析:通过 8a2 ? a5 ? 0 ,设公比为 q ,将该式转化为 8a2 ? a2 q ? 0 ,解得 q =-2,带入 所求式可知答案选 A,本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前 n 项和公 式 8.(2010 重庆理) (1)在等比数列 ?an ? 中, a2010 ? 8a2007 ,则公比 q 的值为
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A. 2 【答案】A

B. 3

C. 4

D. 8

解析:

a2010 ?q 3 ? 8 a2007

?q ? 2

9.(2010 广东理)4. 已知 {an } 为等比数列,Sn 是它的前 n 项和。若 a2 ? a3 ? 2a1 , 且 a4 与 2 a7 的等差中项为 A.35 【答案】C 解析:设{ an }的公比为 q ,则由等比数列的性质知, a2 ? a3 ? a1 ? a4 ? 2a1 ,即 a4 ? 2 。由

5 ,则 S5 = 4
B.33 C.31 D.29

a4
a7 ?



2

a7













5 4





a4 ? 2a7 ? 2 ?

5 4





1 5 1 5 1 (2 ? ? a4 ) ? (2 ? ? 2) ? . 2 4 2 4 4
3

∴q ?

1 1 a7 1 ? ,即 q ? . a4 ? a1q 3 ? a1 ? ? 2 ,即 a1 ? 16 . 2 8 a4 8

10.(2010 广东文)

11.(2010 山东理)

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12.(2010 重庆文) (2)在等差数列 ?an ? 中, a1 ? a9 ? 10 ,则 a5 的值为 (A)5 (C)8 【答案】 A 解析:由角标性质得 a1 ? a9 ? 2a5 ,所以 a5 =5 二、填空题 1.(2010 辽宁文) (14)设 Sn 为等差数列 {an } 的前 n 项和,若 S3 ? 3,S6 ? 24 ,则 (B)6 (D)10

a9 ?



解析:填 15.

3? 2 ? ? S3 ? 3a1 ? 2 d ? 3 ?a1 ? ?1 ? ,解得 ? ,? a9 ? a1 ? 8d ? 15. ? 6?5 ?d ? 2 ? S ? 6a ? d ? 24 1 ? 6 2 ?

2.(2010 福建理)11.在等比数列 ?a n ? 中,若公比 q=4 ,且前 3 项之和等于 21,则该数列 的通项公式 an ? 【答案】 4
n-1



【解析】由题意知 a1 ? 4a1 ? 16a1 ? 21 ,解得 a1 ? 1 ,所以通项 an ? 4

n-1



【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前 n 项和公式的应用,属基础题。 3.(2010 江苏卷)8、函数 y=x (x>0)的图像在点(ak,ak )处的切线与 x 轴交点的横坐标为
2

2

ak+1,k 为正整数,a1=16,则 a1+a3+a5=_________
解析:考查函数的切线方程、数列的通项。
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在点(ak,ak )处的切线方程为: y ? ak 2 ? 2ak ( x ? ak ), 当 y ? 0 时,解得 x ?
2

ak , 2

所以 ak ?1 ? 三、解答题

ak , a1 ? a3 ? a5 ? 16 ? 4 ? 1 ? 21 。 2

1.(2010 上海文)21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第一个小题满分 6 分,第 2 个小题满分 8 分。 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? n ? 5a n ?85 , n ? N (1)证明: ?an ?1 是等比数列; ? (2)求数列 ?Sn ? 的通项公式,并求出使得 Sn?1 ? Sn 成立的最小正整数 n .
5 解析: (1) 当 n?1 时, 1??14; n≥2 时, n?Sn?Sn?1??5an?5an?1?1, a 当 a 所以 an ? 1 ? (an?1 ? 1) , 6
*

又 a1?1??15≠0,所以数列{an?1}是等比数列;
?5? (2) 由(1)知: an ? 1 ? ?15 ? ? ? ?6? ?5? Sn ? 75 ? ? ? ?6?
n ?1 n ?1

?5? ,得 an ? 1 ? 15 ? ? ? ?6?

n ?1

,从而

? n ? 90 (n?N*);

?5? 由 Sn?1>Sn,得 ? ? ?6?

n?1

?

2 2 ? 1 ? 14.9 ,最小正整数 n?15. , n ? log 5 5 6 25

2.(2010 陕西文)16.(本小题满分 12 分) 已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且 a1,a3,a9 成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项; 解 (Ⅱ)求数列{2 }的前 n 项和 Sn.
an

(Ⅰ)由题设知公差 d≠0,

由 a1=1,a1,a3,a9 成等比数列得 解得 d=1,d=0(舍去) , (Ⅱ)由 (Ⅰ) 2 知
2 3 n

1 ? 2 d 1 ? 8d = , 1 1 ? 2d

故{an}的通项 an=1+(n-1)×1=n.

am

=2 , 由等比数列前 n 项和公式得[来源:高&考%资(源#网 KS5U.COM]

n

2(1 ? 2 n ) n+1 Sm=2+2 +2 +?+2 = =2 -2. 1? 2
3.(2010 全国卷 2 文) (18) (本小题满分 12 分) 已知 {an } 是各项均为正数的等比数列,且
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a1 ? a2 ? 2(

1 1 1 1 1 ? ) , a3 ? a4 ? a5 ? 64( ? ? ) a3 a4 a5 [来源:Ks5u.com] a1 a2

(Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? (an ?

1 2 ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 。 an

【解析】本题考查了数列通项、前 n 项和及方程与方程组的基础知识。 (1)设出公比根据条件列出关于

a1 与 d 的方程求得 a1 与 d ,可求得数列的通项公式。

(2)由(1)中求得数列通项公式,可求出 BN 的通项公式,由其通项公式化可知其和可 分成两个等比数列分别求和即可求得。 4.(2010 江西理)22. (本小题满分 14 分) 证明以下命题: (1) 对任一正整 a,都存在整数 b,c(b<c),使得 a ,b ,c 成等差数列。
2 2 2

(2) 存 在 无 穷 多 个 互 不 相 似 的 三 角 形 △

n

, 其 边 长 an,bn,cn 为 正 整 数 且

an 2,bn2,cn2 成等差数列。
【解析】作为压轴题,考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。 (1)考虑到结构要证 a ? c ? 2b , ;类似勾股数进行拼凑。
2 2 2

证明:考虑到结构特征,取特值 1 ,5 ,7 满足等差数列,只需取 b=5a,c=7a,对一切正整 数 a 均能成立。 结合第一问的特征,将等差数列分解,通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三 角形,再证明互不相似,且无穷。
2 2 2 2 2 2 2 证明:当 an,bn,cn 成等差数列,则 bn ? an ? cn ? bn ,

2

2

2

分解得: (bn ? an )(bn ? an ) ? (cn ? bn )(cn ? bn ) 选取关于 n 的一个多项式, 4n(n ?1) 做两种途径的分解
2

4n(n2 ?1) ? (2n ? 2)(2n2 ? 2n) ? (2n2 ? 2n)(2n ? 2) 4n(n2 ?1)

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?an ? n 2 ? 2n ? 1 ? 2 对比目标式,构造 ? bn ? n ? 1 (n ? 4) ,由第一问结论得,等差数列成立, ? c ? n 2 ? 2n ? 1 ? n
考察三角形边长关系,可构成三角形的三边。 下证互不相似。 任 取 正 整 数 m , n , 若 △
m ,



n

相 似 : 则 三 边 对 应 成 比 例

m2 ? 2 m ? 1 ? n2 ? 2 n 1 ?

2 m ?1 ? 2 n 1 ?

2 m ? 2 m ?1 , ?2 ? n 1 n 2

由比例的性质得:

m ?1 m ?1 ? ? m ? n ,与约定不同的值矛盾,故互不相似。 n ?1 n ?1

5.(2010 安徽文) (21) (本小题满分 13 分) 设 C1 , C2 ,?, Cn ,? 是坐标平面上的一列圆, 它们的圆心都在 x 轴的正半轴上, 且都与直线

y?

3 对每一个正整数 n ,圆 Cn 都与圆 Cn?1 相互 x 相切, 3

外切,以 rn 表示 Cn 的半径,已知 {rn } 为递增数列. (Ⅰ)证明: {rn } 为等比数列; (Ⅱ)设 r1 ? 1 ,求数列 { } 的前 n 项和. 【命题意图】本题考查等比列的基本知识,利用错位相减法求和等基本方法,考察抽象概 括能力以及推理论证能力. 【解题指导】 (1)求直线倾斜角的正弦,设 Cn 的圆心为 (?n ,0) ,得 ?n ? 2rn ,同理得

n rn

?n?1 ? 2rn?1 ,结合两圆相切得圆心距与半径间的关系,得两圆半径之间的关系,即 {rn } 中
(2)利用(1)的结论求 {rn } 的通项公式,代入数 rn ?1 与 rn 的关系,证明 {rn } 为等比数列; 列

n ,然后用错位相减法求和. rn

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3 3 1 x的倾斜角记为,则有tan? = ,sin ? ? , 3 3 2 r 1 设Cn的圆心为(?n,0),则由题意得知 n ? ,得?n ? 2rn;同理 ?n 2 解:(1)将直线y=

?n+1 ? 2rn+1,从而?n+1 ? ?n ? rn ? rn+1 ? 2rn+1,将?n ? 2rn 代入,
解得rn+1 ? 3rn 故 rn 为公比q ? 3的等比数列。 (?)由于rn ? 1,q ? 3,故rn ? 3n ?1,从而 记Sn ? 1 2 n ? ? ..... ? , 则有 r1 r2 rn n ? n *31? n , rn

Sn ? 1 ? 2*3?1 ? 3*3?2 ? ......n *31? n Sn ? 1*3?1 ? 2*3?2 ? ...... ? ( n ? 1) *31? n ? n *3? n 3 ① ? ②,得 2Sn ? 1 ? 3?1 ? 3?2 ? ... ? 31? n ? n *3? n 3 1 ? 3? n 3 3 ? ? n *3? n ? ? (n ? ) *3? n , 2 2 2 3 9 1 3 9 ? (2n ? 3) *31? n ? S n ? ? (n ? ) *31? n ? 4 2 2 4
【方法技巧】对于数列与几何图形相结合的问题,通常利用几何知识,并结合图形,得出 关于数列相邻项 an 与 an ?1 之间的关系,然后根据这个递推关系,结合所求内容变形,得出 通项公式或其他所求结论.对于数列求和问题, 若数列的通项公式由等差与等比数列的积构 成的数列时,通常是利用前 n 项和 Sn 乘以公比,然后错位相减解决. 6.(2010 重庆文) (16) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分. ) 已知 ?an ? 是首项为 19,公差为-2 的等差数列, Sn 为 ?an ? 的前 n 项和. (Ⅰ)求通项 an 及 Sn ; (Ⅱ)设 ?bn ? an ? 是首项为 1,公比为 3 的等比数列,求数列 ?bn ? 的通项公式及其前

n 项和 Tn .

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7.(2010 浙江文) (19) (本题满分 14 分)设 a1,d 为实数,首项为 a1,公差为 d 的等差 数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 S5 S6 +15=0。 (Ⅰ)若 S5 =5,求 S6 及 a1; (Ⅱ)求 d 的取值范围。

8.(2010 北京文) (16) (本小题共 13 分) 已知 | an | 为等差数列,且 a3 ? ?6 , a6 ? 0 。 (Ⅰ)求 | an | 的通项公式; (Ⅱ)若等差数列 | bn | 满足 b1 ? ?8 , b2 ? a1 ? a2 ? a3 ,求 | bn | 的前 n 项和公式 解: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差 d 。 因为 a3 ? ?6, a6 ? 0

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所以 ?

? a1 ? 2d ? ?6 ? a1 ? 5d ? 0

解得 a1 ? ?10, d ? 2

所以 an ? ?10 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ?12 (Ⅱ)设等比数列 {bn } 的公比为 q 因为 b2 ? a1 ? a 2 ?a3 ? ?24, b ? ?8 所以 ?8q ? ?24 即 q =3

所以 {bn } 的前 n 项和公式为 Sn ?

b1 (1 ? q n ) ? 4(1 ? 3n ) 1? q

9.(2010 四川理) (21) (本小题满分 12 分) 已知数列{an}满足 a1=0,a2=2,且对任意 m、n∈N 都有
*

a2m-1+a2n-1=2am+n-1+2(m-n)2
(Ⅰ)求 a3,a5; (Ⅱ)设 bn=a2n+1-a2n-1(n∈N ),证明:{bn}是等差数列; (Ⅲ)设 cn=(an+1-an)q
n-1
*

(q≠0,n∈N ),求数列{cn}的前 n 项和 Sn.

*

本小题主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想,以及推理论证、分析与解 决问题的能力. 解:(1)由题意,零 m=2,n-1,可得 a3=2a2-a1+2=6 再令 m=3,n=1,可得 a5=2a3-a1+8=20????????????2 分 (2)当 n∈N 时,由已知(以 n+2 代替 m)可得
*

a2n+3+a2n-1=2a2n+1+8
于是[a2(n+1)+1-a2(n+1)-1]-(a2n+1-a2n-1)=8 即

bn+1-bn=8

所以{bn}是公差为 8 的等差数列??????????????????5 分 (3)由(1)(2)解答可知{bn}是首项为 b1=a3-a1=6,公差为 8 的等差数列 则 bn=8n-2,即 a2n+=1-a2n-1=8n-2 另由已知(令 m=1)可得

an=

a2 n ?1 ? a1 2 -(n-1) . 2

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那么 an+1-an=

a2 n ?1 ? a2 n ?1 -2n+1 2 8n ? 2 = -2n+1 2
=2n
n-1

于是 cn=2nq

.

当 q=1 时,Sn=2+4+6+??+2n=n(n+1) 当 q≠1 时,Sn=2·q +4·q +6·q +??+2n·q 两边同乘以 q,可得
0 1 2

n-1

.

qSn=2·q1+4·q2+6·q3+??+2n·qn.
上述两式相减得 (1-q)Sn=2(1+q+q +??+q
2

n-1

)-2nq

n

1 ? qn n =2· -2nq 1? q
=2·

1 ? (n ? 1)q n ? nq n?1 1? q

所以 Sn=2·

nq n?1 ? (n ? 1)q n ? 1 (q ? 1)2

?n(n ? 1) (q ? 1) ? 综上所述,Sn= ? nq n ?1 ? (n ? 1)q n ? 1 ??????????12 分 (q ? 1) 2 ? 2? (q ? 1) ?

10.(2010 全国卷 1 理) (22)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效) ......... 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ?1 ? c ?

1 . an

(Ⅰ)设 c ?

5 1 , bn ? ,求数列 ?bn ? 的通项公式; 2 an ? 2

(Ⅱ)求使不等式 an ? an?1 ? 3 成立的 c 的取值范围 .

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11.(2010 山东理) (18) (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 , ?an ? 的前 n 项和为 Sn . (Ⅰ)求 an 及 Sn ; (Ⅱ)令 bn=

1 * (n ? N ),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

【解析】 (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d,因为 a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 ,所以有

? a1 ? 2d ? 7 ,解得 a1 ? 3,d ? 2 , ? ? 2a1 ? 10d ? 26
所以 an ? 3 ? (n ?1)=2n+1 ; Sn = 3n+ 2

n(n-1) ? 2 = n 2 +2n 。 2

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(Ⅱ)由(Ⅰ)知 an ? 2n+1,所以 bn=

1 1 1 1 1 1 1 ), = = ?( = ? 2 an ? 1 (2n+1) ? 1 4 n(n+1) 4 n n+1
2

所以 Tn =

1 1 1 1 1 1 1 1 n ? (1- + ? + ? + ) = ? (1)= , 4 2 2 3 n n+1 4 n+1 4(n+1)

即数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn =

n 。 4(n+1)

【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前 n 项和公式的应用、裂项法求数列的和, 熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。

2009 年高考题

一、选择题 1.(2009 年广东卷文)已知等比数列 {an } 的公比为正数,且 a3 · a9 =2 a5 , a2 =1,则 a1 = A.
2

1 2

B.

2 2

C.

2

D.2

【答案】B 【解析】设公比为 q ,由已知得 a1q ? a1q ? 2 a1q
2 8

?

4 2

? ,即 q

2

? 2 ,又因为等比数列 {an } 的

公比为正数,所以 q ?

2 ,故 a1 ?

a2 1 2 ,选 B ? ? q 2 2
,则 等

2.(2009 安徽卷文)已知 于 A. -1 B. 1

为等差数列,

C. 3

D.7

【解析】 a1 ? a3 ? a5 ? 105 即 3a3 ? 105 ∴ a3 ? 35 同理可得 a4 ? 33 ∴公差 d ? a4 ? a3 ? ?2 ∴ ∵
a20 ? a4 ? (20 ? 4) ? d ? 1 .选 B。

【答案】B 3.(2009 江西卷文)公差不为零的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn .若 a4 是 a3与a7 的等比 中项, S8 ? 32 ,则 S10 等于
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A.

18

B. 24

C. 60

D. 90

【答案】C
2 【 解 析 】 由 a4 ? a3a7 得 (a1 ? 3d )2 ? (a1 ? 2d )(a1 ? 6d ) 得 2a1 ? 3d ? 0 , 再 由

56 d ? 32 得 2 90 S1 0? 10a ? d ? 60 ,.故选 C 1 2 S8 ? 8a1 ?

2a1 ? 7d ? 8 则 d ? 2, a1 ? ?3 , 所 以

4.(2009 湖南卷文)设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 a2 ? 3 , a6 ? 11 ,则 S7 等 于( A.13 【解析】 S7 ? 或由 ? ) B.35 C.49 D. 63

7(a1 ? a7 ) 7(a2 ? a6 ) 7(3 ? 11) ? ? ? 49. 故选 C. 2 2 2

? a2 ? a1 ? d ? 3 ?a ? 1 ?? 1 , a7 ? 1 ? 6 ? 2 ? 13. ? a6 ? a1 ? 5d ? 11 ? d ? 2

7(a1 ? a7 ) 7(1 ? 13) ? ? 49. 故选 C. 2 2 5.(2009 福建卷理)等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S3 =6, a1 =4, 则公差 d 等于
所以 S7 ? A.1 【答案】 :C [解析]∵ S3 ? 6 ? B

5 3

C.- 2

D 3

3 (a1 ? a3 ) 且 a3 ? a1 ? 2d a1 =4 ? d=2 .故选 C 2

6.(2009 辽宁卷文)已知 ?an ? 为等差数列,且 a7 -2 a4 =-1, a3 =0,则公差 d= A.-2 B.-

1 2

C.

1 2

D.2

【解析】a7-2a4=a3+4d-2(a3+d)=2d=-1 ? d=- 【答案】B

1 2

7.(2009 四川卷文)等差数列{ an }的公差不为零,首项 a1 =1, a2 是 a1 和 a5 的等比中 项,则数列的前 10 项之和是 A. 90 【答案】B 【解析】设公差为 d ,则 (1 ? d ) ? 1 ? (1 ? 4d ) .∵ d ≠0,解得 d =2,∴ S10 =100
2

B. 100

C. 145

D. 190

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2 8.(2009 宁夏海南卷文)等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 am?1 ? am?1 ? am ? 0 ,

S2m?1 ? 38 ,则 m ?
A.38 【答案】C
2 【解析】因为 ?an ? 是等差数列,所以, am?1 ? am?1 ? 2am ,由 am?1 ? am?1 ? am ? 0 ,得:

B.20

C.10

D.9

2 a m - a m =0,所以, a m =2,又 S2m?1 ? 38 ,即
2

(2m ? 1)(a1 ? a 2 m?1 ) =38,即(2m-1) 2

×2=38,解得 m=10,故选.C。 9..(2009 重庆卷文)设 ?an ? 是公差不为 0 的等差数列, a1 ? 2 且 a1 , a3 , a6 成等比数列, 则 ?an ? 的前 n 项和 Sn =( )

n2 7n ? A. 4 4
【答案】A

n 2 5n ? B. 3 3

n 2 3n ? C. 2 4

D. n ? n [来源:Ks5u.com]
2

【解析】设数列 {an } 的公差为 d ,则根据题意得 (2 ? 2d )2 ? 2 ? (2 ? 5d ) ,解得 d ?

1 或 2

d ? 0 (舍去) ,所以数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 2n ?
二、填空题

n(n ? 1) 1 n 2 7 n ? ? ? 2 2 4 4

10.(2009 全国卷Ⅰ理) 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S9 ? 72 ,则 a2 ? a4 ? a9 = 答案 24 解析

??an ? 是等差数列,由 S9 ? 72 ,得? S9 ? 9a5 , a5 ? 8
[来源:高&考%

? a2 ? a4 ? a9 ? (a2 ? a9 ) ? a4 ? (a5 ? a6 ) ? a4 ? 3a5 ? 24 .
资(源#网] 11.(2009 浙江理)设等比数列 {an } 的公比 q ? 答案:15 解析 对于 s4 ?

1 S ,前 n 项和为 Sn ,则 4 ? 2 a4



a1 (1 ? q 4 ) s 1 ? q4 , a4 ? a1q3 ,? 4 ? 3 ? 15 1? q a4 q (1 ? q)
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12.(2009 北京文)若数列 {an } 满足: a1 ? 1, an?1 ? 2an (n ? N ? ) ,则 a5 ? 前 8 项的和 S8 ? 答案 225 .解析 本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题. 算的考查. .(用数字作答)



属于基础知识、 基本运

a1 ? 1, a2 ? 2a1 ? 2, a3 ? 2a2 4, a4 ? 2a3 ? 8, a5 ? 2a4 ? 16 ,
易知 S8 ?

28 ? 1 ? 255 ,∴应填 255. 2 ?1

13.(2009 全国卷Ⅱ文)设等比数列{ an }的前 n 项和为 sn 。若 a1 ? 1, s6 ? 4s3 ,则 a4 = × 答案:3 解析:本题考查等比数列的性质及求和运算,由 a1 ? 1, s6 ? 4s3 得 q =3 故 a4=a1q =3
3 3

14.(2009 全国卷Ⅱ理)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a5 ? 5a3 则

S9 ? S5

解析 ??an ? 为等差数列,? 答案 9

S9 9a5 ? ?9 S5 5a3

15.(2009 辽宁卷理)等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 6S5 ? 5S3 ? 5, 则 a4 ?
1 解析 ∵Sn=na1+ n(n-1)d 2

∴S5=5a1+10d,S3=3a1+3d ∴6S5-5S3=30a1+60d-(15a1+15d)=15a1+45d=15(a1+3d)=15a4 答案
1 3

三、解答题 16.(2009 浙江文)设 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和,Sn ? kn2 ? n ,n ? N ,其中 k 是常数.
*

(I) 求 a1 及 an ; (II)若对于任意的 m ? N , am , a2m , a4m 成等比数列,求 k 的值.
*

解(Ⅰ)当 n ? 1, a1 ? S1 ? k ? 1 ,
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n ? 2, an ? S n ? S n?1 ? kn2 ? n ? [k (n ? 1) 2 ? (n ? 1)] ? 2kn ? k ? 1( ? )
经验, n ? 1, ( ? )式成立,

? an ? 2kn ? k ? 1
2

(Ⅱ)? am , a2m , a4m 成等比数列,? a2m ? am .a4m , 即 (4km ? k ? 1) 2 ? (2km ? k ? 1)(8km ? k ? 1) ,整理得: m k(k ? 1) ? 0 , 对任意的 m ? N ? 成立,

? k ? 0或k ? 1

17.(2009 北京文)设数列 {an } 的通项公式为 an ? pn ? q(n ? N ? , P ? 0) . 数列 {bn } 定义 如下:对于正整数 m, bm 是使得不等式 an ? m 成立的所有 n 中的最小值. (Ⅰ)若 p ?

1 1 , q ? ? ,求 b3 ; 2 3

(Ⅱ)若 p ? 2, q ? ?1 ,求数列 {bm } 的前 2m 项和公式; (Ⅲ)是否存在 p 和 q,使得 bm ? 3m ? 2(m ? N ? ) ?如果存在,求 p 和 q 的取值范围;如 果不存在,请说明理由. 【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质,考查运算能力、推理论证能力、 分类讨论等数学思想方法.本题是数列与不等式综合的较难层次题. 解(Ⅰ)由题意,得 an ? ∴

1 1 1 1 20 n ? ,解 n ? ? 3 ,得 n ? . 2 3 2 3 3

1 1 n ? ? 3 成立的所有 n 中的最小整数为 7,即 b3 ? 7 . 2 3

(Ⅱ)由题意,得 an ? 2n ? 1, 对于正整数,由 an ? m ,得 n ? 根据 bm 的定义可知
* * 当 m ? 2k ? 1 时, bm ? k k ? N ;当 m ? 2 k 时, bm ? k ? 1 k ? N .

m ?1 . 2

?

?

?

?

∴ b1 ? b2 ??? b2m ? ?b1 ? b3 ? ?? b2m?1 ? ? ?b2 ? b4 ? ?? b2m ?

? ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? m ? ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? m ? 1? ? ? ?

?

m ? m ? 1? m ? m ? 3? ? ? m 2 ? 2m . 2 2

(Ⅲ)假设存在 p 和 q 满足条件,由不等式 pn ? q ? m 及 p ? 0 得 n ?

m?q . p
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∵ bm ? 3m ? 2(m ? N ? ) ,根据 bm 的定义可知,对于任意的正整数 m 都有

3m ? 1 ?

m?q ? 3m ? 2 ,即 ?2 p ? q ? ?3 p ?1? m ? ? p ? q 对任意的正整数 m 都成立. p p?q 2p ? q (或 m ? ? ) , 3 p ?1 3 p ?1

当 3 p ? 1 ? 0 (或 3 p ? 1 ? 0 )时,得 m ? ? 这与上述结论矛盾! 当 3 p ? 1 ? 0 ,即 p ?

1 2 1 2 1 时,得 ? ? q ? 0 ? ? ? q ,解得 ? ? q ? ? . 3 3 3 3 3

∴ 存在 p 和 q,使得 bm ? 3m ? 2(m ? N ? ) ;

p 和 q 的取值范围分别是 p ?

1 2 1 , ? ? q ? ? .. 3 3 3
?

18.(2009 山东卷文)等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn , 已知对任意的 n ? N

,点

(n, Sn ) ,均在函数 y ? b x ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图像上.
(1)求 r 的值; (11)当 b=2 时,记

bn ?
?

n ?1 (n ? N ? ) 4an

求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn
x

解:因为对任意的 n ? N ,点 (n, Sn ) ,均在函数 y ? b ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的 图像上.所以得 Sn ? bn ? r , 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? b ? r , 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? bn ? r ? (bn?1 ? r ) ? bn ? bn?1 ? (b ?1)bn?1 , 又因为{ an }为等比数列, 所以 r ? ?1 , 公比为 b , (2)当 b=2 时, an ? (b ?1)b 则 Tn ?
n?1

所以 an ? (b ?1)bn?1

? 2n?1 ,

bn ?

n ?1 n ?1 n ?1 ? ? n ?1 n ?1 4an 4 ? 2 2

2 3 4 n ?1 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 2 2 2 2 2 1 2 3 4 n n ?1 Tn ? ? 4 ? 5 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 3 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 n ?1 相减,得 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 2 2 2 2 2 2 2

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1 1 ? (1 ? n ?1 ) 1 n ?1 1 23 n ?1 3 2 ? ? n ? 2 ? ? n ?1 ? n ? 2 1 4 2 2 2 2 1? 2 3 1 n ?1 3 n ? 3 所以 Tn ? ? n ? n ?1 ? ? n ?1 2 2 2 2 2
【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知 Sn 求 an 的基本题型, 并运用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前 n 项和 Tn . 19.(2009 全国卷Ⅱ文)已知等差数列{ an }中, a3 a7 ? ?16, a4 ? a6 ? 0, 求{ an }前 n 项 和 sn . 解析:本题考查等差数列的基本性质及求和公式运用能力,利用方程的思想可求解。 解:设 ?an ? 的公差为 d ,则

?? a1 ? 2d ?? a1 ? 6d ? ? ?16 ? ? ?a1 ? 3d ? a1 ? 5d ? 0 ?
即?

?a12 ? 8da1 ? 12d 2 ? ?16 ?a1 ? ?4d
?a1 ? ?8, ?a1 ? 8 或? ?d ? 2, ?d ? ?2

解得 ?

因此 Sn ? ?8n ? n ? n ?1? ? n ? n ? 9?,或Sn ? 8n ? n ? n ?1? ? ?n ? n ? 9? 20.(2009 安徽卷文)已知数列{ } 的前 n 项和 ,数列{ }的前 n 项和

(Ⅰ)求数列{ (Ⅱ)设

}与{

}的通项公式; <

,证明:当且仅当 n≥3 时,

(n ? 1) ?a1 【思路】由 a ? ? ? sn ? sn?1 ( n ? 2)

可求出 an 和bn ,这是数列中求通项的常用方法之一,在

求出 an 和bn 后,进而得到 c n ,接下来用作差法来比较大小,这也是一常用方法。 【解析】(1)由于 a1 ? s1 ? 4

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当 n ? 2 时, an ? sn ? sn?1 ? (2n2 ? 2n) ? [2(n ?1)2 ? 2(n ?1)] ? 4n ?am ? 4n(n ? N * ) 又 当 x ? n 时 bn ? Tn ? Tn?1 ? (2 ? 6m ) ? (2 ? bm?1 ) ? 2bn ? bn?1 KS5U.COM] [来源:高&考%资(源#网

1 1 ? 数列 ?bn ? 项与等比数列,其首项为 1,公比为 ? bn ? ( ) n ?1 2 2 1 16(n ? 1)2 ? ( )( n ?1)?1 1 n ?1 Cn ?1 (n ? 1)2 2 2 2 (2)由(1)知 C1 ? a1 ? bn ? 16n ? ( ) ? ? ? 1 2 Cn 2n 2 16n 2 ? ( ) n ?1 2


Cn?1 (n ? 1)2 ? 1得 ? 1即 n2 ? 2n ? 1 ? 0 ? n ? 1 ? 2 即 n ? 3 Cn 2n
(n ? 1)2 C ? 1 成立,即 n ?1 ? 1 由于 Cn ? 0 恒成立. 2 2n Cn

又n ? 3时

因此,当且仅当 n ? 3 时, Cn ?1 ? Cn 21.(2009 江西卷文)数列 {an } 的通项 an ? n (cos
2 2

n? n? ? sin 2 ) ,其前 n 项和为 Sn . 3 3

(1) 求 Sn ;

S3 n , 求数列{ bn }的前 n 项和 Tn . n ? 4n n? 2n? 2 n? ? sin 2 ? cos 解: (1) 由于 cos ,故 3 3 3
(2) bn ?

S3k ? (a1 ? a2 ? a3 ) ? (a4 ? a5 ? a6 ) ? ? ? (a3k ?2 ? a3k ?1 ? a3k ) ? (?
?

12 ? 22 4 2 ? 52 (3k ? 2) 2 ? (3k ? 1) 2 ? 32 ) ? (? ? 62 ) ? ? ? (? ? (3k ) 2 )) 2 2 2

13 31 18k ? 5 k (9k ? 4) ? ?? ? ? , 2 2 2 2 k (4 ? 9k ) S3k ?1 ? S3k ? a3k ? , 2

S3k ?2 ? S3k ?1 ? a3k ?1 ?

k (4 ? 9k ) (3k ? 1) 2 1 3k ? 2 1 ? ? ?k ? ? ? , 2 2 2 3 6

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n 1 ? n ? 3k ? 2 ? ? 3 ? 6, ? ? (n ? 1)(1 ? 3n) Sn ? ? , n ? 3k ? 1 6 ? ? n(3n ? 4) , n ? 3k ? 6 ?

( k ? N )[来源:Ks5u.com]
*

(2) bn ?

S3 n 9n ? 4 ? , n n?4 2 ? 4n 1 13 22 9n ? 4 Tn ? [ ? 2 ? ? ? ], 2 4 4 4n 1 22 9n ? 4 4Tn ? [13 ? ? ? ? n ?1 ], 2 4 4

两式相减得

9 9 ? 1 9 9 9n ? 4 1 4 4 n ? 9n ? 4 ] ? 8 ? 1 ? 9n , 3Tn ? [13 ? ? ? ? n ?1 ? n ] ? [13 ? 1 2 4 4 4 2 4n 22 n ?3 22 n ?1 1? 4 8 1 3n Tn ? ? ? 2 n ?1 . 故 2 n ?3 3 3? 2 2
22. (2009 天津卷文) 已知等差数列 {an } 的公差 d 不为 0, S n ? a1 ? a2 q ? ? ? an q n?1 设

Tn ? a1 ? a2 q ? ? ? (?1) n?1 an q n?1 , q ? 0, n ? N *
(Ⅰ)若 q ? 1, a1 ? 1, S 3 ? 15 ,求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 a1 ? d , 且S1 , S 2 , S3 成等比数列,求 q 的值。 (Ⅲ)若 q ? ?1, 证明( ? q)S 2 n ? (1 ? q)T2 n ? 1

2dq(1 ? q 2n ) ,n? N* 2 1? q

(1)解:由题设, S3 ? a1 ? (a1 ? d )q ? (a1 ? 2d )q 2 , 将q ? 1, a1 ? 1, S3 ? 15 代入解得 d ? 4 ,所以 an ? 4n ? 3 n ? N * (2)解:当 a1 ? d , S1 ? d , S 2 ? d ? 2dq, S3 ? d ? 2dq ? 3dq ,? S1 , S 2 , S3 成等比数列,
2
2 2 所以 S 2 ? S1 S 3 ,即 d ? 2dq) ? d(d ? 2dq ? 3dq ) ,注意到 d ? 0 ,整理得 q ? ?2 (

2

(3)证明:由题设,可得 bn ? q n?1 ,则

S 2n ? a1 ? a2 q ? a3 q 2 ? ?a2n q 2n?1



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T2n ? a1 ? a2 q ? a3 q 2 ? ? ? a2n q 2n?1
①-②得,



S 2n ? T2n ? 2(a2 q ? a4 q 3 ? ? ? a2n q 2n?1 )
①+②得,

S 2n ? T2n ? 2(a1q ? a3 q 2 ? ? ? a2n?1q 2n?2 )



③式两边同乘以 q,得 q(S 2n ? T2n ) ? 2(a1q ? a3 q 2 ? ? ? a2n?1q 2n?2 ) 所以 (1 ? q) S 2 n ? (1 ? q)T2 n ? 2d (q ? q 3 ? ? ? q 2 n?1 ) ?

2dq(1 ? q 2n ) 1? q2

(3)证明: c1 ? c2 ? (ak1 ? al1 )b1 ? (ak2 ? al2 )b2 ? (akn ? aln )bn
1

= (k1 ? l1 )db ? (k 2 ? l2 )db q ? ? ? (k n ? ln )db q n?1 1 1 1 因为 d ? 0, b1 ? 0 ,所以

c1 ? c2 ? (k1 ? l1 ) ? (k 2 ? l 2 )q ? ? ? (k n ? l n )q n?1 db1
若 k n ? l n ,取 i=n, 若 k n ? l n ,取 i 满足 ki ? li ,且 k j ? l j , i ?1 ? j ? n 由(1) (2)及题设知, 1 ? i ? n ,且

c1 ? c2 ? (k1 ? l1 ) ? (k 2 ? l 2 )q ? ? ? (k n ? l n )q n?1 db1
① 当 ki ? li 时, ki ? li ? ?1 ,由 q ? n , ki ? li ? q ? 1, i ? 1,2?, i ? 1

即 k1 ? l1 ? q ? 1 , (k 2 ? l 2 )q ? q(q ? 1),? (ki ?1 ? li ?1 )q i ?2 ? q(q ? 1) i ?2

c1 ? c2 1 ? q i ?1 i ?2 i ?1 所以 ? (q ? 1) ? (q ? 1)q ? ? ? (q ? 1)q ? q ? (q ? 1) ? q i ?1 ? ?1 db1 1? q
因此 c1 ? c2 ? 0 ② 当 ki ? li 时,同理可得

c1 ? c2 ? ?1, 因此 c1 ? c2 ? 0 db1

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综上, c1 ? c 2

【考点定位】本小题主要考查了等差数列的通项公式,等比数列通项公式与前 n 项和等基 本知识,考查运算能力和推理论证能力和综合分析解决问题的能力。 23. (2009 全国卷Ⅱ理)设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 已知 a1 ? 1, Sn?1 ? 4an ? 2 (I)设 bn ? an ?1 ? 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列 (II)求数列 {an } 的通项公式。 解 : ( I ) 由

a1 ? 1,
?5 b1,?



Sn?1 ? 4an ? 2
a2 ? 2a1?





a1 ?

a2 ? 4

a22? 3 , a1 ? 2 a1 ?

3 ?

由 Sn?1 ? 4an ? 2 ,. ..①

则当 n ? 2 时,有 Sn ? 4an?1 ? 2 ...② ..

②-①得 an?1 ? 4an ? 4an?1 ,?an?1 ? 2an ? 2(an ? 2an?1 ) 又?bn ? an?1 ? 2an ,?bn ? 2bn?1 ?{bn } 是首项 b1 ? 3 ,公比为2的等比数列. (II)由(I)可得 bn ? an?1 ? 2an ? 3 ? 2n?1 ,?

an ?1 an 3 ? ? 2n ?1 2n 4

a 1 3 ? 数列 { n } 是首项为 ,公差为 的等比数列. n 2 4 2 a 1 3 3 1 ? n ? ? (n ? 1) ? n ? , an ? (3n ?1) ? 2n?2 n 2 2 4 4 4
评析:第(I)问思路明确,只需利用已知条件寻找 bn与bn?1的关系即可 . 第(II)问中由(I)易得 an?1 ? 2an ? 3 ? 2n?1 ,这个递推式明显是一个构造新数列的模型:

an?1 ? pan ? qn ( p, q为常数),主要的处理手段是两边除以 q n?1 .
总体来说,09 年高考理科数学全国 I、Ⅱ这两套试题都将数列题前置,主要考查构造新数 列(全国 I 还考查了利用错位相减法求前 n 项和的方法) ,一改往年的将数列结合不等式 放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方 法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。 24. (2009 辽宁卷文)等比数列{ an }的前 n 项和为 s n ,已知 S1 , S3 , S2 成等差数列 (1)求{ an }的公比 q;
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(2)求 a1 - a3 =3,求 s n 解: (Ⅰ)依题意有

a1 ? (a1 ? a1q) ? 2(a1 ? a1q ? a1q 2 )
由于 a1 ? 0 ,故

2q 2 ? q ? 0
又 q ? 0 ,从而 q ? -

1 2 1 2
2

5分

( (Ⅱ)由已知可得 a1 ? a1 ? ) ? 3
故 a1 ? 4

1 n (? ? ) 41( ) 8 1 n 2 从而 S n ? ? (? ? ) 1( ) 1 3 2 1? ? ) ( 2

10 分

1a 25. (2009 陕西卷文)已知数列 ?an } 满足, a1= ’ 2 ? 2, an+2=

an ? an ?1 ,n? N*. 2

? ? ? 令 bn ? an?1 ? an ,证明: {bn} 是等比数列;
(Ⅱ)求 ?an } 的通项公式。 (1)证 b1 ? a2 ? a1 ? 1, 当 n ? 2 时, bn ? an ?1 ? an ? 所以 ?bn ? 是以 1 为首项, ?

an ?1 ? an 1 1 ? an ? ? (an ? an ?1 ) ? ? bn ?1, 2 2 2

1 为公比的等比数列。 2 1 n ?1 (2)解由(1)知 bn ? an ?1 ? an ? (? ) , 2
当 n ? 2 时, an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ? ? (an ? an?1 ) ? 1 ? 1 ? (? ) ? ? ? (? )

1 2

1 2

n? 2

1 1 ? (? ) n?1 2 1 5 2 1 2 ? 1 ? [1 ? (? ) n? 2 ] ? ? ( ? ) n?1 , ? 1? 1 3 2 3 3 2 1 ? (? ) 2 5 2 1 1?1 当 n ? 1 时, ? (? ) ? 1 ? a1 。 3 3 2 5 2 1 n ?1 * 所以 an ? ? ( ? ) ( n ? N ) 。 3 3 2
26.(2009 湖北卷文)已知{an}是一个公差大于 0 的等差数列,
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且满足 a3a6=55,

a2+a7=16.

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式: (Ⅱ)若数列{an}和数列{bn}满足等式:an== {bn}的前 n 项和 Sn 解(1)解:设等差数列 ?an ? 的公差为 d,则依题设 d>0 由 a2+a7=16.得 2a1 ? 7d ? 16 由 a3 ? a6 ? 55, 得 (a1 ? 2d )(a1 ? 5d ) ? 55 ① ②
2

b1 b2 b3 b ? 2 ? 3 ? ... n (n为正整数) ,求数列 2 2 2 2n

由①得 2a1 ? 16 ? 7d 将其代入②得 (16 ? 3d )(16 ? 3d ) ? 220 。即 256 ? 9d ? 220

? d 2 ? 4, 又d ? 0,? d ? 2, 代入①得a1 ? 1 ? an ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1
(2)令 cn ?

bn , 则有an ? c1 ? c2 ? ? ? cn , an ?1 ? c1 ? c2 ? ? ? cn ?1 2n an ?1 ? an ? cn ?1 ,由(1)得a1 ? 1, an ?1 ? an ? 2
n ?1

两式 相减得? cn ?1 ? 2, cn ? 2(n ? 2), 即当n ? 2时,bn ? 2

又当n=1时,b1 ? 2a1 ? 2

?2, (n ? 1) ? bn ? ? n ?1 ?2 (n ? 2)
于是 Sn ? b1 ? b2 ? b3 ?? bn ? 2 ? 23 ? 24 ? ?? 2n?1 = 2 ? 2 ? 2 ? 2 ??? 2
2 3 4 n?1

2(2n?1 ? 1) ? 4 ? 2n? 2 ? 6,即Sn ? 2n? 2 ? 6 -4= 2 ?1

27. (2009 福建卷文)等比数列 {an } 中,已知 a1 ? 2, a4 ? 16 (I)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 a3 , a5 分别为等差数列 {bn } 的第 3 项和第 5 项,试求数列 {bn } 的通项公式及前

n 项和 Sn 。
解: (I)设 {an } 的公比为 q 由已知得 16 ? 2q ,解得 q ? 2
3

(Ⅱ)由(I)得 a2 ? 8 , a5 ? 32 ,则 b3 ? 8 , b5 ? 32
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设 {bn } 的公差为 d ,则有 ?

?b1 ? 2d ? 8 ?b1 ? ?16 解得 ? ? d ? 12 ?b1 ? 4d ? 32

从而 bn ? ?16 ? 12(n ?1) ? 12n ? 28 所以数列 {bn } 的前 n 项和 S n ?

n(?16 ? 12n ? 28) ? 6n 2 ? 22n 2

28(2009 重庆卷文) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)问 3 分, (Ⅱ)问 4 分, (Ⅲ)问 5 分) 已知 a1 ? 1, a2 ? 4, an? 2 ? 4an?1 ? an , bn ? (Ⅰ)求 b1 , b2 , b3 的值; (Ⅱ)设 cn ? bnbn ?1 , Sn 为数列 ?cn ? 的前 n 项和,求证: Sn ? 17n ; (Ⅲ)求证: b2 n ? bn ?

an?1 ,n? N? . an

1 1 ? n?2 . 64 17 17 72 , b3 ? 4 17

解: (Ⅰ)? a2 ? 4, a3 ? 17, a4 ? 72 ,所以 b1 ? 4.b2 ? (Ⅱ)由 an?2 ? 4an?1 ? an 得

an? 2 a 1 ? 4 ? n 即 bn ?1 ? 4 ? an?1 an?1 bn

所以当 n ≥ 2 时, bn ? 4 于是 c1 ? b1 , b2 ? 17, cn ? bnbn?1 ? 4bn ? 1 ? 17 所以 Sn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? 17n (Ⅲ)当 n ? 1 时,结论 b2 ? b1 ? 当 n ≥ 2 时,有 bn ?1 ? bn ?| 4 ?

(n ≥ 2)

1 17 ? 成立 4 64

b ?b 1 1 1 ?4? |?| n n?1 |≤ | bn ? bn ?1 | bn bn ?1 bnbn ?1 17
(n ≥ 2)



1 1 1 1 | bn ?1 ? bn ? 2 |≤ ? ≤ n ?1 | b2 ? b1 |? ? n ? 2 2 17 17 64 17

所以

b2n ? bn ≤ bn?1 ? bn ? bn?2 ? bn?1 ??? b2n ? b2n?1

1 1 ( ) n?1 (1 ? n ) 1 ? 1 n ?1 1 n 1 2 n ?2 ? 1 17 17 ? 1 ? 1 (n ? N * ) ?(17 ) ? (17 ) ? ? ? (17 ) ? ? 4 ? 1 4? 64 17 n ?2 ? 1? 17

2008 年高考题
一、选择题
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1.(2008 天津)若等差数列 {an } 的前 5 项和 S5 ? 25 ,且 a2 ? 3 ,则 a7 ? ( A.12 答案 B B.13 C.14 D.15

)

2. (2008 陕西) 已知 {an } 是等差数列,a1 ? a2 ? 4 ,a7 ? a8 ? 28 , 则该数列前 10 项和 S10 等于( A.64 答案 B 3.(2008 广东)记等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? A.16 答案 D 4.(2008 浙江)已知 ?an ? 是等比数列, a 2 ? 2,a 5 ? ( )
?n

) B.100 C.110 D.120

1 , S4 ? 20 ,则 S6 ? ( ) 2
D.48

B.24

C.36

1 ,则 a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an an?1 = 4

A.16( 1 ? 4 C.



B.6( 1 ? 2 D.

?n



32 ?n (1 ? 4 ) 3

32 ?n (1 ? 2 ) 3

答案 C 5.(2008 四川)已知等比数列 ? an ? 中 a2 ? 1 ,则其前 3 项的和 S3 的取值范围是() A. ? ??, ?1 C. ?3, ?? ? 答案 D 6.(2008 福建)设{an}是公比为正数的等比数列,若 n1=7,a5=16,则数列{an}前 7 项的 和为( A.63 答案 C ) B.64 C.127 D.128

?

B. ? ??,0? ? ?1, ??? D. ? ??, ?1? ? ?3, ?? ?

二、填空题 17.(2008 四川)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S4 ? 10, S5 ? 15 ,则 a4 的最大值 为______.

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答案

4 .

18.(2008 重庆)设 Sn=是等差数列{an}的前 n 项和,a12=-8,S9=-9,则 S16= 答案 -72

三、解答题 23.(2008 四川卷) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 ban ? 2 ? ? b ?1? Sn .
n
n ?1 (Ⅰ)证明:当 b ? 2 时, an ? n ? 2 是等比数列;

?

?

(Ⅱ)求 ?an ? 的通项公式 解 由题意知 a1 ? 2 ,且 ban ? 2 ? ? b ?1? Sn
n

ban?1 ? 2n?1 ? ?b ?1? Sn?1
两式相减得 b ? an?1 ? an ? ? 2 ? ?b ?1? an?1
n

即 an?1 ? ban ? 2n



(Ⅰ)当 b ? 2 时,由①知 an?1 ? 2an ? 2n 于是 an?1 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2an ? 2 ? ? n ? 1? ? 2
n n n

? 2 ? an ? n ? 2n ?1 ?
n ?1 又 a1 ?1? 2n?1 ? 1 ? 0 ,所以 an ? n ? 2 是首项为 1,公比为 2 的等比数列。

?

?

(Ⅱ)当 b ? 2 时,由(Ⅰ)知 an ? n ? 2n?1 ? 2n?1 ,即 an ? ? n ?1? 2 当 b ? 2 时,由由①得

n?1

an ?1 ?

1 1 ? 2n ?1 ? ban ? 2n ? ? 2n ?1 2?b 2?b ? ban ? b ? 2n 2?b [来源:高&考%资(源#网 KS5U.COM]

1 ? ? ? b ? an ? ? 2n ? 2?b ? ?
因此 an ?1 ?

1 1 ? ? ? 2n?1 ?? b ? an ? ? 2n ? 2?b 2?b ? ?

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?

2 ?1 ? b ? n ?b 2?b

n ?1 ? 2 ? 得 an ? ? 1 n n ?1 n?2 ? 2 ? b ? 2 ? ? 2 ? 2b ? b ? ? ? ?
24.(2008 江西卷)数列 {an } 为等差数列, an 为正整数,其前 n 项和为 Sn ,数列 {bn } 为 等比数列,且 a1 ? 3, b1 ? 1 ,数列 {ban } 是公比为 64 的等比数列, b2 S2 ? 64 . (1)求 an , bn ; (2)求证

1 1 1 3 ? ??? ? . S1 S2 Sn 4

解: (1)设 {an } 的公差为 d , {bn } 的公比为 q ,则 d 为正整数,

an ? 3 ? (n ?1)d , bn ? qn?1
? ban?1 q 3? nd ? 3? ( n ?1) d ? q d ? 64 ? 26 ? q 依题意有 ? ban ① ? S2b2 ? (6 ? d )q ? 64 ?
由 (6 ? d )q ? 64 知 q 为正有理数,故 d 为 6 的因子 1, 2,3, 6 之一, 解①得 d ? 2, q ? 8 故 an ? 3 ? 2(n ?1) ? 2n ?1, bn ? 8n?1 (2) Sn ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? n(n ? 2) ∴

1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ? ??? S1 S2 S n 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n(n ? 2)

1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) 2 3 2 4 3 5 n n?2 1 1 1 1 3 ? (1 ? ? ? )? 2 2 n ?1 n ? 2 4 ?
25..(2008 湖北).已知数列 {an } 和 {bn } 满足:

a1 ? ? , an ?1 ?

2 an ? n ? 4, bn ? (?1) n (an ? 3n ? 21), 其中 ? 为实数, n 为正整数. 3

(Ⅰ)对任意实数 ? ,证明数列 {an } 不是等比数列;
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(Ⅱ)试判断数列 {bn } 是否为等比数列,并证明你的结论; (Ⅲ)设 0 ? a ? b , Sn 为数列 {bn } 的前 n 项和.是否存在实数 ? ,使得对任意正整数 n , 都有

a ? Sn ? b ?若存在,求 ? 的取值范围;若不存在,说明理由.
本小题主要考查等比数列的定义、 数列求和、 不等式等基础知识和分类讨论的思想, 考查综合分析问题的能力和推理认证能力, (满分 14 分) (Ⅰ)证明:假设存在一个实数λ ,使{an}是等比数列,则有 a 2=a1a3,即
2

2 4 4 4 ( ? ? 3) 2 ? ? ( ? ? 4) ? ?2 ? 4? ? 9 ? ?2 ? 4? ? 9 ? 0, 矛盾. 3 9 9 9
所以{an}不是等比数列. (Ⅱ)解:因为 bn+1=(-1) [an+1-3(n-1)+21]=(-1) ( =
n+1 n+1

2 an-2n+14) 3

2 2 n (-1) · an-3n+21)=- bn ( 3 3
+

又 b1x-(λ +18),所以 当λ =-18,bn=0(n∈N ),此时{bn}不是等比数列: 当λ ≠-18 时,b1=(λ +18) ≠0,由上可知 bn≠0,∴

ba ?1 2 ? ? (n∈N+). bn 3
2 为公比的等比数列. 3

故当λ ≠-18 时,数列{bn}是以-(λ +18)为首项,- (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当λ =-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求. ∴λ ≠-18,故知 bn= -(λ +18)(- ·
n Sn=- (? ? 18)·?1-(- )?.  

2 n-1 ) ,于是可得 3

3 5

? ?

2 ? 3 ?

要使 a<Sn<b 对任意正整数 n 成立, 即 a<-

3 2 n + (λ +18)· [1-(- ) ] n∈N ) 〈b( 5 3



a 2 1 ? (? ) n 3

3 ? ? (? ? 18) ? 5

b 2 1 ? (? ) n 3

          


2 令f (n) ? 1 ? (? ),则

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5 5 ;当n为正偶数时, ? f (n) ? 1, 3 9 5 5 ∴f(n)的最大值为 f(1)= ,f(n)的最小值为 f(2)= , 3 9 5 3 3 于是,由①式得 a<- (λ +18),< b ? ?b ? 18 ? ? ? ?3a ? 18 . 9 5 5
当 n 为正奇数时,1<f(n) ? 当 a<b ? 3a 时,由-b-18 ? =-3a-18,不存在实数满足题目要求; 当 b>3a 存在实数λ ,使得对任意正整数 n,都有 a<Sn<2.

第二部分

两年联考题汇编

2010 年联考题
题组二(5 月份更新)
一、填空题 1. (岳野两校联考)等差数列

{an } 中, a1 ? 2 ,公差 d ? 0 ,且 a1 、 a3 、 a11 恰好是某等


比数列的前三项,那么该等比数列的公比为(

A.2 答案 D

1 B. 2

1 C. 4

D.4

2. (三明市三校联考) 在等比数列 ?an ?中, 已知 a3 a7 ? 16 , a4 a6 的值为 则 A.16 答案 A B.24 C.48 D.128





3. (昆明一中一次月考理) 已知 {a n } 是公比为 q 的等比数列, a 1 , a 3 , a 2 成等差数列. 则 且

q?
A.1 或 ? 答案:A 4. (安徽六校联考)若等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 a2 ? a10 ? a12 为确定的常数,则下列 各式中,也为确定的常数是( A. S13 答案 B B. S15 C. S17 ) D. S19

1 2

B.1

C. ?

1 2

D . ?2

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5. (昆明一中四次月考理)等差数列 ?an ? 的公差为 2,若 a1 , a3 , a4 成等比数列,则 a2 ? ( ) (B) ?8 (C)8 (D)6

(A) ? 6 答案:A

6. (哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 若 a4 ? 18 ? a5 , 则S8 等于( ) A.18 答案 D 7 . 玉 溪 一 中 期 中 理 ) 等 差 数 列 ?an ? 中 , a4 ? a5 ? 15 , 其 前 n 项 和 为 S n , 且 ( B.36 C.54 D.72

S 7 ? S 6 ? 15, 则a2 ? (
A. ? 3 答案:C B.1

) C. 0 D. 2

8. ( 祥 云 一 中 二 次 月 考 理 ) 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 S n , 若

S10 ? 2, S30 ? 14, 则 S 40 等于(
A.16 答案:C B. 26

) C. 30 D. 80

9. (祥云一中二次月考理) 在数列 an 中,a1 ? 1,当x ? N ?时,an?1 ? an ? n, 则a100 的值 为 ( ) B 4951 C.5050 D. 5051

? ?

A. 4950 答案:B

10.(祥云一中二次月考理)在等差数列 ?an ? 中,a1 ? 3, 且a1 , a4 , a10 成等比数列,则 an 的 通项公式为 ( ) B. an ? n ? 2 D. an ? n ? 2 或 an ? 3

A. an ? 2n ? 1 C. an ? 2n ? 1或an ? 3 答案:D 二、填空题
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11. (安庆市四校元旦联考)对于数列{ an },定义数列{ an?1 ? an }为数列{ an }的 “差数列” ,若 a1 ? 2 ,{ an }的“差数列”的通项 为 2 ,则数列{ an }的前 n 项和 S n = 答案 2
n ?1

n

?2

12. (祥云一中三次月考理)已知数列 {an } 的通项公式为 a n ?

1 ,数列 {an } 的前 n ? (n ? 1)

n 项和为 S n ,则 lin S n =_________
n??

答案:1 13. (祥云一中三次月考文) 数列 an 中, a1 ? 2, an ? 1 ? 答案:2

? ?

1 (n = 2, 3, 4,?) ,则 a4 = an?1

三、解答题 14. (池州市七校元旦调研)在数列 {an } 中, a1 ? 1, an ?1 ? (1 ? ) an ? (I)设 bn ?

1 n

n ?1 , 2n

an ,求数列 {bn } 的通项公式; n

(II)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn 解: (I)由已知有

an ?1 an 1 1 ? ? n ? bn ?1 ? bn ? n n ?1 n 2 2 1 * (n? N ) 2 n ?1

利用累差迭加即可求出数列 {bn } 的通项公式: bn ? 2 ? (II)由(I)知 an ? 2n ?

n , 2n ?1

? Sn = ? (2k ?
k ?1 n

n

n n k k ) ? ? (2k ) ? ? k ?1 k ?1 2 k ?1 k ?1 2 n



? (2k ) ? n(n ? 1) ,又 ?
k ?1

k 是一个典型的错位相减法模型, k ?1 k ?1 2

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易得

?2
k ?1

n

k
k ?1

? 4?

n?2 n?2 ? Sn = n(n ? 1) ? n ?1 ? 4 n ?1 2 2

15.(三明市三校联考) (本小题满分 13 分) 已知数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n , a1 ? 1 ,且 3a n ?1 ? 2S n ? 3 ( n 为正整数) (Ⅰ)求出数列 ? a n ? 的通项公式; (Ⅱ)若对任意正整数 n , k ? S n 恒成立,求实数 k 的最大值. 解: (Ⅰ)? 3a n ?1 ? 2S n ? 3 , ① ? 当 n ? 2 时, 3a n ? 2S n ?1 ? 3 . 由 ① - ②,得 3an?1 ? 3an ? 2an ? 0 . 又 ? a1 ? 1 , 3a 2 ? 2a1 ? 3 ,解得 a 2 ? ②

?

a n ?1 1 ? an 3

(n ? 2).

1 . 3

1 ? 数列 ? a n ? 是首项为 1,公比为 q ? 的等比数列. 3
?1? ? a n ? a1 q n?1 ? ? ? ?3?
n ?1

( n 为正整数)

????????(7 分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知? S n ?

3? 1 n? ?1 ? ( 3 ) ? 2? ?
3 ? ?1? ?1? ? ? 2 ? ? 3? ?
n

由题意可知,对于任意的正整数 n ,恒有 k ?

? ? ,. ? ?

? ? 1 ?n ? ? 数列 ? 1 ? ? ? ? ?3? ?

? 2 ? ? 单调递增, 当 n ? 1 时,数列中的最小项为 , 3 ? ?
?????? (13 分)

? 必有 k ? 1 ,即实数 k 的最大值为 1

16. (安庆市四校元旦联考) (本题满分 16 分)各项均为正数的数列 ?an ? 中,a1 ? 1, S n 是 数列 ?an ? 的前 n 项和,对任意 n ? N ,有 2S n ? 2 pan ? pan ? p( p ? R) ;
?

2

⑴求常数 p 的值; ⑶记 bn ?
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⑵求数列 ?an ? 的通项公式;

4S n ? 2 n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 T 。 n?3
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解 :( 1 ) 由 a1 ? 1 及 2S n ? 2 pan ? pan ? p(n ? N ? ) , 得 : 2 ? 2 p ? p ? p
2

? p ? 1 [来源:Ks5u.com]
(2)由 2S n ? 2an ? an ? 1
2

① ②
2

得 2S n?1 ? 2an?1 ? an?1 ? 1
2

由②—①,得

2an?1 ? 2(an?1 ? an ) ? (an?1 ? an )
2

即: 2(an?1 ? an )(an?1 ? an ) ? (an?1 ? an ) ? 0

? (an?1 ? an )(2an?1 ? 2an ? 1) ? 0
由于数列 ?an ? 各项均为正数,

? 2an?1 ? 2an ? 1



a n ?1 ? a n ?

1 2

1 ? 数列 ?an ? 是首项为 1 ,公差为 的等差数列, 2 1 n ?1 ? 数列 ?an ? 的通项公式是 a n ? 1 ? (n ? 1) ? ? 2 2
(3)由 a n ?

n ?1 n(n ? 3) ,得: S n ? 2 4

? bn ?

4S n ? 2n ? n ? 2n n?3

?Tn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ?? ? n ? 2n 2 ? Tn ? 2 ? 22 ? 23 ? ?? ? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n?1
? Tn ? 2 ? 2 ? 2 ? ?? ? 2 ? n ? 2
2 3 n n ?1

2(1 ? 2 n ) ? ? n ? 2 n?1 ? ?(n ? 1) ? 2 n?1 ? 2 1? 2

Tn ? (n ? 1) ? 2n?1 ? 2
17.(祥云一中二次月考理) (本小题满分 12 分) 在数列 ?an ? 中,a1 ? ?3, an ? 2an?1 ? 2 ? 3(n ? 2, 且n ? N?).
n

(1) 求a2 , a3的值; (2)设 bn ?

an ? 3 ?b (n ? N ? ), 证明: n ?是等差数列; n 2

(3)求数列 ?an ? 的前n项和S n. .

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18.解(1)? a1 ? ?3, an ? 2a n?1 ?2 n ? 3(n ? 2, 且n ? N ?),

? a2 ? 2a1 ? 2 2 ? 3 ? 1

a3 ? 2a2 ? 23 ? 3 ? 13.
(2)证法一:对于任意 n ? N ? ,

? bn ?1 ? bn ?
=

a n ?1 ? 3 a n ? 3 1 ? ? n ?1 ??a n ?1 ? 2a n ? ? 3? n ?1 n 2 2 2
1
n ?1

2

??2

n ?1

? 3 ? 3 ? 1,

? ?

? 数列 ?bn ? 是首项为

a1 ? 3 ? 3 ? 3 ? ? 0 ,公差为 1 的等差数列. 2 2

证法二: (等差中项法) (3)由(2)得,

an ? 3 ? 0 ? (n ? 1) ? 1, 2n

? an ? (n ? 1) ? 2 n ? 3(n ? N ? ). ? S n ? ?3 ? (1? 22 ? 3) ? (2 ? 23 ? 3) ? ? ? ?n ? 1? ? 2n ? 3 ,
即 S n ? 1? 2 2 ? 2 ? 23 ? 3 ? 2 4 ? ? ? ?n ? 1? ? 2 n ? 3n. 设 Tn ? 1? 2 2 ? 2 ? 23 ? 3 ? 2 4 ? ? ? ?n ? 1? ? 2 n , 则 2Tn ? 1? 23 ? 2 ? 2 4 ? 3 ? 25 ? ? ? ?n ? 1? ? 2 n?1 , 两式相减得, ?T n? 22 ? 23 ? 24 ? ? ? 2n ? ?n ? 1? ? 2n?1

?

?

?

4(1 ? 2 n?1 ) ? (n ? 1) ? 2 n ?1 , 1? 2
n?1

整理得, T n? 4 ? (n ? 2) ? 2 从而 S n ? 4 ? (n ? 2) ? 2
n?1

,

? 3n(n ? N ? ).

题组一(1 月份更新)
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一、选择题 1、 (2009 滨州一模)等差数列 ?a n ? 中, a5 ? a11 ? 30 , a4 ? 7 ,则 a12 的值为 A.15 答案 B 2、 (2009 昆明市期末)已知数列{an}是公差不为零的等差数列,且 a1,a3,a4 成等比数列, B.23 C.25 D.37

Sn 为数列{an}的前 n 项和,则
( A. ? 答案 D )

S3 的值为 S5

3 5

B.

3 5

C. ?

9 10

D.

9 10

3、 (2009 番禺一模)已知等比数列 ?an ? 的各项均为正数,前 n 项之积为 Tn ,若 T5 = 1 , 则必有( A. a1 =1 答案 B 4 、 2009 昆 明 一 中 第 三 次 模 拟 ) 己 知 等 比 数 列 ?an ? 满 足 a1 ? a2 ? 3, a2 ? a3 ? 6,则 ( ) B. a3 =1 C. a4 =1 D. a5 =1

a7 =(
A.64 答案 A

) B81 C.128 D.243

5、 (2009 茂名一模)已知等差数列 {an } 的公差为 ?2 ,且 a2 , a4 , a5 成等比数列,则 a2 等于 ( ) B、-6 C、-8 D、8

A、-4 答案 D

6、 (2009 牟定一中期中)等比数列 ?an ? 中,若 a2 、 a4 是方程 2 x ? 11x ? 8 ? 0 的两根,
2

则 a3 的值为( (A)2 答案 B

) (B) ?2 (C) 2 (D) ? 3

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7 、 2009 上 海 十 四 校 联 考 ) 无 穷 等 比 数 列 1, ( ( A. 2 ? 2 答案 B )

2 1 2 , , , ?各项的和等于 2 2 4

B. 2 ?

2

C. 2 ? 1

D. 2 ? 1

8、 (2009 江门一模)已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? p ? 2 n ? 2 , ?an ? 是等比数列的充要 条件是 A. p ? 1 答案 D 9、(2009 杭州高中第六次月考)数列{ an }满足 a n ? a n ?1 ? Bp?2 C. p ? ?1 D. p ? ?2

1 (n ? N ? ) , a 2 ? 1 , S n 是 2
( )

{an } 的前 n 项和, S 21 的值为 则
A. 9 B. 11 C.6 D.10

2
答案 A

2

10、 (2009 聊城一模)两个正数 a、b 的等差中项是 5,等比例中项是 4,若 a>b,则双曲线

x2 y2 ? ? 1 的离心率 e 等于 a b
( )

A.

3 2

B.

5 2

C.

17 50

D. 3

答案 B 11、 (2009 深圳一模)在等差数列 {an } 中, a3 ? a9 ? 27 ? a6 , Sn 表示数列 {an } 的前 n 项 和,则 S11 ? A. 18 答案 B B. 99 C. 198 D. 297

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二、填空题
2 an?1 1、 (2009 上海十四校联考)若数列 {an }满足 2 ? p( p为正常数, n ? N * ),则称{an }为 an

“等方比数列” 。则“数列 {an } 是等方比数列”是“数列 {an } 是等方比数列”的 件



2、2009 上海八校联考) ( 在数列 ?an ? 中, 1 ? 0, a2 ? 2 , an?2 ? an ? 1 ? (?1) n (n ? N ?) , 且 a

S100 ? _________。
答案 2550 3、 (2009 江门一模) S n 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S1 ? 1 , S 2 ? 4 , 则 an ? 答案 2n ? 1 4、(2009 宁波十校联考)已知 {an } 是等差数列, a1 ? a2 ? 4, a7 ? a8 ? 28 ,则该数列前 10 项和 S10 =________ 答案 100 .

三、解答题 1、(2009 杭州二中第六次月考)数列 {an } 中, a1 ? t , a2 ? t 2 , 其中 t ? 0 且 t ? 1 , x ? t 是函数

f ( x) ? an?1x3 ? 3[(t ?1)an ? an?1 ]x ?1(n ? 2) 的一个极值点.
(Ⅰ)证明: 数列 {an?1 ? an } 是等比数列; (Ⅱ)求 an . (1)由题意得 f ?( t ) ? 0, 即 3an?1t ? 3[(t ? 1)an ? an?1 ] ? 0 ,

?an?1 ? an ? t (an ? an?1 ),(n ? 2) ,

? 当 t ? 1 时,数列 {an?1 ? an }是以 t 2 ? t 为首项, t 为公比的等比数列,
(2)? an?1 ? an ? (t ? t )t
2 n?1

, 即 an?1 ? t n?1 ? an ? t n , ?an ? t n ? a1 ? t ? 0,
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?an ? t n (n ? N ? ) ,此式对 t ? 1 也成立.
2、 (2009 滨州一模) 已知曲线 C : xy ? 1, 过 C 上一点 An ( xn , yn ) 作一斜率为 kn ? ?

1 xn ? 2

的直线交曲线 C 于另一点 An?1 ( xn?1 , yn?1 ),点列 ? An ? 的横坐标构成数列 ?xn ? ,其中

x1 ?

11 . 7

(I)求 xn 与 xn ?1 的关系式; (II)令 bn ?

1 1 ? ,求证:数列 ?bn ? 是等比数列; xn ? 2 3

(III)若 cn ? 3n ? ?bn (λ 为非零整数,n∈N*) ,试确定 λ 的值,使得对任意 n∈N*, 都有 cn+1>cn 成立。 (1) 解:过 An ( xn , yn ) 的直线方程为 y ? yn ? ?

1 ( x ? xn ) xn ? 2

1 ? ( x ? xn ) ? y ? yn ? ? xn ? 2 联立方程 ? 消去 y 得 ? xy ? 1 ?
x 1 x 2 ? ( yn ? n ) ? 1 ? 0 xn ? 2 xn ? 2
∴ xn x
n?1

? xn ? 2

即 xn ?1 ?

xn ? 2 xn

(2)

bn ?1 bn

1 1 ? xn 1 1 xn ? 2 1 3xn ? 2 ? xn 3 ? ?2 ? x ?2 3 xn 2 ? xn 3 3(2 ? xn ) ? n ?1 ? ? ? ? ?2 1 1 1 1 1 1 3 ? xn ? 2 ? ? ? xn ? 2 3 xn ? 2 3 xn ? 2 3 3( xn ? 2)

∴ ?bn ? 是等比数列

b1 ?

1 1 ? ? ?2 x1 ? 2 3

, q ? ?2 ;

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( III )

由 ( II ) 知 , bn ? (?2)n , 要 使 cn?1 ? cn 恒 成 立 由

cn ?1 ? cn ? ?3n ?1 ? ? (?2) n ?1 ? ? ?3n ? ? (?2) n ? = 2 ? 3n ? 3? (?2)n >0 恒成立, ? ? ? ?

3 n-1 ) 恒成立. 2 3 n-1 ⅰ。当 n 为奇数时,即λ <( ) 恒成立. 2 3 n-1 又( ) 的最小值为 1.∴λ <1. 2 3 n-1 ⅱ。当 n 为偶数时,即λ >-( ) 恒成立, 2 3 n-1 3 3 又-( ) 的最大值为- ,∴λ >- . 2 2 2 3 即- <λ <1,又λ ≠0,λ 为整数, 2
即(-1) λ >-(
n

10 分

11 分

∴λ =-1,使得对任意 n∈N*,都有 cn?1 ? cn . 3、(2009 台州市第一次调研)已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? (Ⅰ)求证: a n ?1 ?

12 分

1 ,前 n 项和 S n ? n 2 an . 2

n an ; n?2
?Tn

(Ⅱ)记 bn ? ln S n , Tn 为 ?bn ? 的前 n 项和,求 e

? n 的值.

解: (1)由 S n ? n 2 an ①,得 S n?1 ? (n ? 1) 2 an?1 ②, ②-①得: a n ?1 ? (2)由 a n ?1 ?

n an . n?2

4 分[来源:Ks5u.com]

n a n 求得 a n ? 1 . n?2 n(n ? 1)

7分

∴ S n ? n 2 an ?

n , bn ? ln S n ? ln n ? ln(n ? 1) 11 分 n ?1

Tn ? (ln1 ? ln 2) ? (ln 2 ? ln 3) ? (ln 3 ? ln 4) ? ?? (ln n ? ln(n ? 1)) ? ? ln(n ? 1)
∴ e ?Tn ? n ? e ln(n?1) ? n ? 1 . 14 分

4、 (2009 上海青浦区) 设数列 ?a n ? 的前 n 和为 S n , 已知 S1 ?

64 1 13 16 ,S 2 ? ,S3 ? ,S 4 ? , 3 3 3 3

? (n ? 1) 2 4 n ?1 ? (2 ? 1), (当n为奇数时) ? ? 3 一般地, S n ? ? 212 ( n? N * ) . n 4 n ? ? (2 ? 1). (当n为偶数时) ? 12 3 ?

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(1)求 a4 ; (2)求 a 2 n ; (3)求和: a1a2 ? a3a4 ? a5a6 ? ? ? a2n ?1a2n . (1) a4 ? 16 ; (2)当 n ? 2k 时, k ? N * ) ( ??3 分

a 2 k ? S 2 k ? S 2 k ?1

( 2k ) 2 4 2 k ( 2k ) 2 4 2 k ? 2 ? ? (2 ? 1) ? [ ? (2 ? 1)] ? 2 2 k , ??6 分 12 3 12 3
??8 分

所以, a2n ? 4 n ( n ? N * ) . (3)与(2)同理可求得: a 2 n ?1 ?

1 (2n ? 1) , 3

??10 分

设 a1a2 ? a3 a4 ? a5 a6 ? ? ? a2n?1a2n = Tn ,

1 [4 ? 3 ? 4 2 ? 5 ? 4 3 ? ? ? (2n ? 1) ? 4 n ] , (用等比数列前 n 项和公式的推导方 3 1 2 3 4 n ?1 法) 4Tn ? [4 ? 3 ? 4 ? 5 ? 4 ? ? ? (2n ? 1) ? 4 ] ,相减得 3 1 ? 3Tn ? [4 ? 2(4 2 ? 4 3 ? ? ? 4 n ) ? (2n ? 1) ? 4 n ?1 ] ,所以 3 2n ? 1 n ?1 32 4 Tn ? ?4 ? ? (4 n ?1 ? 1) ? . ??14 分 9 27 9
则 Tn ? 5、 (2009 上海八校联考) 已知点列 B1 (1, y1), B2 (2, y2 ), ?, Bn( n, yn), ? (n ? N *) 顺次 为直线 y ?

x 上的点,点列 A ( x1 , 0), A2 ( x2 , 0), ?, An ( xn , 0), ? (n ? N *) 顺次为 x 1 4

轴上的点,其中 x1 ? a (0 ? a ? 1) ,对任意的 n ? N * ,点 An 、 Bn 、 An?1 构成以 Bn 为顶 点的等腰三角形。 (1)证明:数列 ?y n ?是等差数列; (2)求证:对任意的 n ? N * , xn?2 ? xn 是常数,并求数列 ?xn ? 的通项公式; (3)对上述等腰三角形 An Bn An?1 添加适当条件,提出一个问题,并做出解答。 (根据所提问题及解答的完整程度,分档次给分) 解: (1)依题意有 y n ?

n 1 ,于是 y n ?1 ? y n ? . 4 4

所以数列 ?y n ?是等差数列.

???.4 分

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(2)由题意得

x n ? x n ?1 ? n ,即 xn ? xn?1 ? 2n , ( n ? N ? ) 2




所以又有 xn?2 ? xn?1 ? 2(n ? 1) . 由② ? ①得: xn?2 ? xn ? 2 , 所以 x n ? 2 ? x n 是常数. 由 x1 , x3 , x5 ,??;

???6分

x 2 , x 4 , x6 ,??都是等差数列. x2k ?1 ? x1 ? 2(k ? 1) ? 2k ? a ? 2 ,
(k ? N )
?

x1 ? a(0 ? a ? 1), x 2 ? 2 ? a ,那么得

x2k ? x2 ? 2(k ? 1) ? 2 ? a ? 2(k ? 1) ? 2k ? a .
故 xn ? ?

???8分

?n ? a ? 1 (n为奇数) (n为偶数). ? n?a

???10分

(3) 提出问题①:若等腰三角形 An Bn An?1 中,是否有直角三角形,若有,求出实数 a 提出问题②:若等腰三角形 An Bn An?1 中,是否有正三角形,若有,求出实数 a 解:问题①

???11分

当 n 为奇数时, An (n ? a ? 1,0), An?1 (n ? 1 ? a,0) ,所以 An An?1 ? 2(1 ? a); 当 n 为偶数时, An (n ? a,0), An?1 (n ? a,0), 所以 An An?1 ? 2a; 作 Bn Cn ? x 轴,垂足为 C n , 则 B n C n ? 且只须: An An?1 ? 2 Bn Cn . 分

n ,要使等腰三角形 An Bn An?1 为直角三角形,必须 4

???13

n n ,即 a ? 1 ? ① 4 4 3 1 ? 当n ? 1时, a ? ; 当 n ? 3时, a ? , 当 n ? 5 , a ? 0 不合题意.???15 分 4 4 n n 1 时 a? 当 n 为偶数时,有 2a ? 2 ? , a ? ,同理可求得 当n ? 2 4 4 2
当 n 为奇数时,有 2(1 ? a ) ? 2 ? 当 n ? 4 时, a ? 0 不合题意.

???17分
3 1 1 或 或 . 4 4 2

综 上 所 述 , 使 等 腰 三 角 形 An Bn An?1 中 , 有 直 角 三 角 形 , a 的 值 为

???18分
解:问题②

???11分

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当 n 为奇数时, An (n ? a ? 1,0), An?1 (n ? 1 ? a,0) ,所以 An An?1 ? 2(1 ? a); 当 n 为偶数时, An (n ? a,0), An?1 (n ? a,0), 所以 An An?1 ? 2a; 作 Bn Cn ? x 轴,垂足为 C n , 则 B n C n ? 只须:An An ?1 ? 分 当 n 为奇数时,有 2(1 ? a ) ?

n ,要使等腰三角形 An Bn An?1 为正三角形,必须且 4

2 B nC n . 3

???13

2

n 3 ? ,即 a ? 1 ? n 12 3 4



? 当n ? 1时, a ? 1 ?
时,. a ? 0 不合题意. 当 n 为偶数时,有 2a ?

3 3 5 3 , 当n ? 7 ; 当 n ? 3时, a ? 1 ? ; n ? 5时, a ? 1 ? 12 4 12
???15 分
2 n 3n 3 ,a ? ,同理可求得 当n ? 2 . 时 a? 12 6 3 4 ?

当n ? 4时 a ?

3 3 ;当n ? 6时 a ? ;当 n ? 8 时, a ? 0 不合题意.???17分 3 2

综上所述,使等腰三角形 An Bn An?1 中,有正三角形, a 的值为

a ? 1?

3 3 5 3 3 3 ; a ? 1? ;a ? 1? ; a? ; a? 12 4 12 6 3

;a ?

3 ???18分 2

6、2009 广州一模) ( 已知数列{an}的相邻两项 an,n+1 是关于 x 的方程 x2-2n x+ bn=0 (n∈ *) a N 的两根,且 a1=1. (1)求证:数列{ an-

1 n × }是等比数列; 2 3

(2)设 Sn 是数列{an}的前 n 项的和,问是否存在常数 λ,使得 bn-λSn>0 对任意 n∈ *都成 N 立,若存在,求出 λ 的取值范围;若不存在,请说明理由. (本题主要考查数列的通项公式、数列前 n 项和、不等式等基础知识,考查化归与转化、 分类与整合、特殊与一般的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力和抽象概括 能力) (1)证法 1:∵n,an+1 是关于 x 的方程 x2-2n x+ bn=0 (n∈ *)的两根, a N

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∴?

?a n + a n +1 = 2 n ? b n = a n ? a n +1

??2 分

由 an+an+1=2n,得 a n+1 ? ? 2 是首项为 a1 ?

1 3

n+1

1 1 ? ?(a n ? ? 2n ) ,故数列 {a n ? ? 2 n } 3 3
??4 分

2 1 ? ,公比为-1 的等比数列. 3 3

证法 2:∵n,an+1 是关于 x 的方程 x2-2n x+ bn=0 (n∈ *)的两根, a N ∴?

?a n + a n +1 = 2 n ? b n = a n ? a n +1

??2 分

1 1 1 a n+1 ? ? 2n+1 2n ? a n ? ? 2n+1 ?(a n ? ? 2n ) 3 3 3 ∵ ? ? ? ?1 , 1 n 1 n 1 n an ? ? 2 an ? ? 2 an ? ? 2 3 3 3 1 n 2 1 故数列 {a n ? ? 2 } 是首项为 a1 ? ? ,公比为-1 的等比数列. 3 3 3
??4 分 (2)解:由(1)得 a n ? ? 2 ?
n

1 3

1 1 ? (?1) n ,即 a n ? [2n ? (?1) n ] , 3 3

∴ b n = a n ? a n+1 ?

1 n [2 ? (?1) n ] ? [2n+1 ? (?1) n+1 ] 9

1 ? [22n+1 ? (?2) n ? 1] ??6 分 9 1 ∴ n=a1+ a2+ a3+…+ an= [(2+22+23+…+2n)-[(-1)+ (-1)2+…+(-1)n] S 3

1 (?1)n ? 1 ? [22n+1 ? 2 ? ], 3 2
要使得 bn-λSn>0 对任意 n∈ *都成立, N 即 [2

??8 分

1 9

2n+1

? (?1) n ? 1 ? (?2)n ? 1] ? [22n+1 ? 2 ? ] ? 0 (*) 对任意 n∈ N*都成立. 3 2
1 9
2n+1

①当 n 为正奇数时,由(*)式得 [2 即

? ? 2n ? 1] ? [22n+1 ? 1] ? 0 , 3

1 n+1 λ (2 ? 1)(2n ? 1) ? (2n+1 ? 1) ? 0 , 9 3 1 n λ ∵n+1-1>0,∴ < (2 ? 1) 对任意正奇数 n 都成立. 2 3 1 n 当且仅当 n=1 时, (2 ? 1) 有最小值 1,∴λ <1. ??10 分 3 1 2n+1 n ? ? 2 ? 1] ? [22n+1 ? 1] ? 0 , ①当 n 为正奇数时,由(*)式得 [2 9 3
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1 n+1 λ (2 ? 1)(2n ? 1) ? (2n+1 ? 1) ? 0 , 9 3 1 n λ ∵n+1-1>0,∴ < (2 ? 1) 对任意正奇数 n 都成立. 2 3 1 n 当且仅当 n=1 时, (2 ? 1) 有最小值 1,∴λ <1. ??10 分 3 1 2n+1 n ? ? 2 ? 1] ? [22n+1 ? 2] ? 0 , ②当 n 为正偶数时,由(*)式得 [2 9 3 1 n+1 2λ n n (2 ? 1) ? 0 , 即 (2 ? 1)(2 ? 1) ? 9 3 1 n+1 λ ∵n-1>0,∴ < (2 ? 1) 对任意正偶数 n 都成立. 2 6 1 n +1 当且仅当 n=2 时, (2 ? 1) 有最小值 1.5,∴λ <1.5. ??12 分 6
即 综上所述,存在常数 λ,使得 bn-λSn>0 对任意 n∈ *都成立,λ 的取值范围是(-∞,1). N ??14 分
? 7 、 2009 宣 威六中 第一次 月考) 已知数列 ?an ? 满 足 an?1 ? ?a2 ?2 an n ? N , 且 ( n

?

?

0 ? a1 ? 1
(1)用数学归纳法证明: 0 ? an ? 1 ; (2)若 bn ? lg ?1 ? an ? ,且 a1 ? 解:

?1? 9 ,求无穷数列 ? ? 所有项的和。 10 ? bn ?

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2 8、 (2009 广东三校一模) a2 , a5 是方程 x ? 12 x ? 27 ? 0 的两根,数列 ?bn ? 的前 n 项和为

Tn ,且 Tn ? 1 ?

1 b n? N? 2 n

?

?

(1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2)记 cn = an bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 S n . 解:(1)由 a2 ? a5 ? 12, a2 a5 ? 27.且 d ? 0 得 a2 ? 3, a5 ? 9 2分

?d ?

a5 ? a 2 ? 2 , a1 ? 1 ? an ? 2n ? 1 n ? N ? 3

?

?

4分

在 Tn ? 1 ?

1 2 1 1 bn 中,令 n ? 1, 得 b1 ? . 当 n ? 2 时,T n = 1 ? bn , Tn ?1 ? 1 ? bn ?1 , 3 2 2 2

两式相减得 bn ?

b 1 1 1 bn ?1 ? bn ,? n ? ?n ? 2? 2 2 bn ?1 3

6分

2?1? ? bn ? ? ? 3 ? 3?

n ?1

?

2 n? N? . n 3

?

?

8分

(2) c n ? ?2n ? 1? ?
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2 4n ? 2 ? , 3n 3n
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9分
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5 2n ? 1 ? S 3 2n ? 3 2n ? 1 ? ?1 3 ?1 ? S n ? 2? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? , n ? 2? 2 ? 3 ? ? ? ? n?1 ? , 3 3 ? 3 3 3n 3 ?3 3 ?3 ?

10 分

? ? 1? 1 ? ? 1 2 ? 9 ?1 ? 3 n ?1 ? 2n ? 1? ?1 ? 1 2 1 1 ? 2n ? 1? ? ?? ? ? S n ? 2? ? 2? 2 ? 3 ? ? ? n ? ? n?1 ? =2 ? ? 1 3 3 ?3 3 n ?1 ? 3 3 ? 3 ? ?3 ? 1? ? ? 3 ? ?
= 2?

? 1 1 1 2n ? 1 ? 4 4 n ? 4 ? ? n ? n?1 ? ? ? n?1 , 3 3 ?3 3 3 ? 3
2n ? 2 3n
14 分

13 分

? Sn ? 2 ?

9、 (2009 江门一模) 已知等差数列 ?an ? 和正项等比数列 ?bn ? ,a1 ? b1 ? ?1 ,a3 ? b3 ? 2 . ⑴求 an 、 bn ; ⑵对 ?n ? N ,试比较 an 、 bn 的大小; ⑶设 ?bn ? 的前 n 项和为 S n ,是否存在常数 p 、 c ,使 an ? p ? log 2 (S n ?c) 恒成立?若 存在,求 p 、 c 的值;若不存在,说明理由. 解:⑴由 a3 ? a1 ? (3 ? 1)d ,得 d ? 分 所以 a n ? a1 ? (n ? 1)d ?
?

1 -------1 分 2

由 b3 ? b1q 2 且 q ? 0 得 q ? 2 ----2

n ?1 , bn ? b1q n?1 ? 2 2

n ?1 2 -------4



⑵显然 n ? 1 , 3 时, an ? bn ; n ? 2 时, a 2 ?

3 , b2 ? 2 , a2 ? b2 -------5 分 2

n ? 3 时, 2(bn ? a n ) ? 2 n ?
2 2

(n ? 1) 2 n 2 ? 2n ? 1 ? (1 ? 1) n ? 2 2
? n ? 1 n(n ? 2) ?[ ? 1] ? 0 -------7 2 3

0 1 2 3 ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ?

n 2 ? 2n ? 1 -------6 分 2

分 因为 an 、 bn ? 0 ,所以 n ? 3 时, an ? bn -------8 分 ⑶ Sn ?

b1 (1 ? q n ) ? ( 2 ? 1)(2 2 ? 1) -------9 分, 1? q
n

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?1 ? p ? log2 (1 ? c) -------11 分,解得 an ? p ? log2 (S n ?c) 恒成立,则有 ? ?2 ? p ? log2 (1 ? 2 ? 2 ? c)

c ? 2 ? 1, p ? log2 (2 ? 2 ) -------12 分
?n ? N , p ? log2 (S n ?c) ? log2 (2 ? 2 ) ? log2 [( 2 ? 1)(2 ? 1) ? ( 2 ? 1)]
?

n 2

? log2 [(2 ? 2 )( 2 ? 1) ? 2 ] ? log2 ( 2 ? 2 ) ?
所以,当 p ? log2 (2 ? 2 ) , c ? 分

n 2

n 2

n ?1 ? an -------13 分 2

2 ? 1 时, an ? p ? log2 (S n ?c) 恒成立-------14

10、 (2009 汕头一模)在等比数列{an}中,an>0 (n ? N ) ,公比 q ? (0,1),且 a1a5 + 2a3a5


+a 2a8=25, a3 与 as 的等比中项为 2。 (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=log2 an,数列{bn}的前 n 项和为 Sn 当

S S1 S 2 ? ? ? ? ? ? n 最大时,求 n 的值。 1 2 n

2 2 解: (1)因为 a1a5 + 2a3a5 +a 2a8=25,所以, a3 + 2a3a5 + a5 =25[来源:高&考%资(源#网]

又 an>o,?a3+a5=5,??????????2 分 又 a3 与 a5 的等比中项为 2,所以,a3a5=4 而 q ? (0,1) ,所以,a3>a5,所以,a3=4,a5=1, q ?

1 ,a1=16,所以, 2

?1? an ? 16 ? ? ? ?2?

n ?1

? 25?n ??????????6 分

(2)bn=log2 an=5-n,所以,bn+1-bn=-1, 所以,{bn}是以 4 为首项,-1 为公差的等差数列。。。。。9 分 。。。。

n(9 ? n) S n 9 ? n , ? 2 n 2 S S S 所以,当 n≤8 时, n >0,当 n=9 时, n =0,n>9 时, n <0, n n n Sn S S 当 n=8 或 9 时, 1 ? 2 ? ? ? ? ? 最大。 ??????????12 分 1 2 n 11、 (2009 深圳一模文)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a1 ? 1 ,且对任意正整数 n ,点
所以, S n ?

?an?1 , S n ? 在直线 2 x ? y ? 2 ? 0 上.
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(Ⅰ) 求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)是否存在实数 ? ,使得数列 ?S n ? ? ? n ? 若不存在,则说明理由.

? ?

? 为等差数列?若存在,求出 ? 的值; 2n ?

??

1 n 2? k 1 (Ⅲ)求证: ?? ? . 6 k ?1 (ak ? 1)(ak ?1 ? 1) 2
解:(Ⅰ)由题意可得:

2an?1 ? S n ? 2 ? 0.
n ? 2 时, 2an ? S n?1 ? 2 ? 0.
①─②得 2an?1 ? 2an ? an ? 0 ?

① ② ???????? 1 分

an?1 1 ? ?n ? 2? , an 2
???????? 3 分
n?1

? a1 ? 1, 2a2 ? a1 ? 2 ? a2 ?

1 2

1 ?1? ? ?an ? 是首项为 1 ,公比为 的等比数列,? an ? ? ? . ?????? 4 分 2 ?2?

1 2n ? 2 ? 1 . (Ⅱ)解法一:? S n ? 1 2 n?1 1? 2 1?
若 ?S n ? 则 S1 ? ? ?

?????? 5 分

? ?

? 为等差数列, 2n ?
, S 2 ? 2? ?

??

?
2

?
2
2

, S 3 ? 3? ?

?
23

成等差数列,

?????? 6 分

9? ? 3? 25? 3? 7 25? ? ? 3 9? ? 2 ? S2 ? ? S3 ? ? 2? ? ? ? , ? ? S1 ? ? ? 1? 4 ? 2 8 2 4 8 ? ?2 4 ?
得 ? ? 2. 又 ? ? 2 时, S n ? 2n ? ?????? 8 分

2 ? 2n ? 2 ,显然 ?2n ? 2? 成等差数列, 2n

故存在实数 ? ? 2 ,使得数列 ?S n ? ?n ?

? ?

? 成等差数列. ?????? 9 分 2n ?

??

1 2n ? 2 ? 1 . 解法二: ? S n ? 1 2 n?1 1? 2 1?

?????? 5 分

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? S n ? ?n ?

?
2
n

? 2?

1 2
n ?1

? ?n ?

?
2
n

? 2 ? ?n ? ?? ? 2?

1 . 2n

????? 7 分

欲使 ?S n ? ? ? n ?

? ?

? 成等差数列,只须 ? ? 2 ? 0 即 ? ? 2 便可. 2n ? ? ? ? 成等差数列. 2n ?

??

?????8 分

故存在实数 ? ? 2 ,使得数列 ?S n ? ?n ? (Ⅲ)?

??

?????? 9 分

1 1 1 1 1 ? k( ? ) ? 1 1 (a k ? 1)(a k ?1 ? 1) ( 1 ? 1)( 1 ? 1) 2 ?1 ?1 2 k ?1 2k 2k 2 k ?1

?? 10 分

??

n 1 2 ?k 1 ) ? ?( ? 1 1 k ?1 ( a k ? 1)(a kt ?1 ? 1) k ?1 ?1 ?1 2 k ?1 2k n

???? 11 分

?(

1 1 1 1 1 ? ) )? ( ? ) ?? ? ( 1 1 1 1 1 1?1 ?1 ?1 ?1 ?1 ?1 2t 2 k ?1 2 22 2

1

?

??

1 2k 1 1 ? ? k ? 1 1?1 2 ?1 2 ?1 2k 1 2x ? 在 x ? [1, ? ?) 上为增函数, x 1 2 ?1 ?1 2x

???? 12 分

又函数 y ?

?

21 2k ? k ? 1, 21 ? 1 2 ? 1

???? 13 分

2 1 2k 1 1 1 n 2? k 1 ? ? ? k ? ? 1? , ? ? ? . ??? 14 分 3 2 2 ?1 2 2 6 k ?1 (ak ? 1)(ak ?1 ? 1) 2

2009 年联考题
一、选择题 1.(北京市朝阳区 2009 年 4 月高三一模理)各项均不为零的等差数列 {an } 中,若
2 an ? an?1 ? an?1 ? 0(n ? N? , n ? 2) ,则 S2009 等于





A.0 答案 D

B.2

C.2009

D.4018

2. (北京市西城区 2009 年 4 月高三一模抽样测试理) 若数列 {an} 是公比为 4 的等比数列,
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且 a1 = 2 ,则数列 {log 2 an } 是( A. 公差为 2 的等差数列 C. 公比为 2 的等比数列 答案 A

) B. 公差为 lg 2 的等差数列 D. 公比为 lg 2 的等比数列

3. 2009 福州三中) ( 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, S7 ? 14 , a3 ? a5 的值为 若 则 ( A.2 答案 B B.4 C.7 D.8



4. (2009 厦门一中文) 在等差数列 ?an ? 中, a2 ? a8 ? 4 ,则 其前 9 项的和 S9 等于 ( A.18 答案 A B 27 C 36 D 9



2 5.(2009 长沙一中期末)各项不为零的等差数列 {an } 中, 2a3 ? a7 ? 2a11 ? 0 ,则 a7 的 ...

值为 ( A. 0 答案 B 6. (2009 宜春) 在等差数列 {an } 中,a1 ? a4 ? a7 ? 39 ,a3 ? a6 ? a9 ? 27 , 则数列 {an } 的前 9 项之和 S 9 等于 ( A.66 答案 B 7.(辽宁省部分重点中学协作体 2008 年高考模拟)设等差数列 {an } 的前 n 项和为 ) B.99 C.144 D..297 ) B.4 C. 0或 4 D. 2

S n , 若S 4 ? 8, S8 ? 20, 则a11 ? a12 ? a13 ? a14 ?
( A.18 答案:C. 二、填空题 ) B.17 C.16 D.15

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8.(北京市东城区 2009 年 3 月高中示范校高三质量检测理)已知等差数列 {an } 的公差

d ? 0 ,且 a1 , a3 , a9 成等比数列,则
答案

a1 ? a3 ? a9 的值为 a 2 ? a 4 ? a10



13 16

9.(2009 福州八中)已知数列 an ? ?

?n ? 1, n为奇数 则 a1 ? a100 ? ____ , ? n, n为偶数

a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? ? a99 ? a100 ? ____
答案 100. 5000; 10.(2009 宁乡一中第三次月考)11、等差数列 {an } 中, a1 ? a2 ? ? ? a9 ? 81 且

a2 ? a3 ? ? ? a10 ? 171 ,则公差 d =
答案 10 11.(2009 南京一模)已知等比数列 ?an ? 的各项均为正数,若 a1 ? 3 ,前三项的和为 21 , 则 a4 ? a5 ? a6 ? 答案 168 12.(2009 上海九校联考)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 Sn ? 2n ? 1 ,则

a8 ?
答案 128

.

三、解答题 13.(2009 龙岩一中)设正整数数列 {an } 满足: a1 ? 2, a2 ? 6 ,当 n ? 2 时,有
2 | an ? an ?1an ?1 |?

1 an ?1 . 2

(I) 求 a3 、 a4 的值; (Ⅱ)求数列 {an } 的通项; (Ⅲ) 记 Tn ?
* 9 12 22 32 n2 . ? ? ? ? ? ,证明,对任意 n ? N , Tn ? 4 a1 a2 a3 an

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解(Ⅰ) n ? 2 时, | a2 ? a1a3 |?
2

1 a1 ,由已知 a1 ? 2, a2 ? 6 ,得 | 36 ? 2a3 |? 1, 2

因为 a3 为正整数,所以 a3 ? 18 ,同理 a4 ? 54 ????????????2 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可猜想: an ? 2 ? 3n?1 。????????????????3 分 证明:① n ? 1, 2 时,命题成立; ②假设当 n ? k ? 1 与 n ? k 时成立,即 ak ? 2 ? 3k ?1 , ak ?1 ? 2 ? 3k ?2 。?????4 分 于是 | ak ? ak ?1ak ?1 |?
2

1 a2 1 ak ?1 ,整理得: | k ? ak ?1 |? ,???????????5 分 2 ak ?1 2

由归纳假设得: | 2 ? 3 ? ak ?1 |?
k

1 1 1 ? 2 ? 3k ? ? ak ?1 ? 2 ? 3k ? ,???????6 分 2 2 2

因为 ak ?1 为正整数,所以 ak ?1 ? 2 ? 3k ,即当 n ? k ? 1 时命题仍成立。 综上:由知①②知对于 ?n ? N ,有 an ? 2 ? 3n?1 成立.????????????7 分
*

22 32 n2 ? ? ? ? n?1 (Ⅲ)证明:由 2Tn ? 1 ? 3 32 3




2 12 22 (n ? 1) 2 n2 Tn ? ? 2 ? ? ? n?1 ? n 3 3 3 3 3 4 3 5 2n ? 1 n 2 Tn ? 1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? n 3 3 3 3 3 4 1 3 2n ? 3 2n ? 1 n 2 Tn ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? n ? n ?1 9 3 3 3 3 3



③式减④式得

⑤???????9 分



⑤式减⑥式得

8 2 2 2 (n ? 1) 2 n2 Tn ? 1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? ? n ?1 ???????11 分 9 3 3 3 3n 3

1 2 2 1 1 1 (n ? 1) n 3n ? (n ? 1) ? n ? ?1 ? 2(1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ) ? ? n ?1 ? ?1 ? 2 ? 1 3 3 3 3n 3 3n 3n ?1 1? 3
2 2

1?

1 (n ? 1) 2 n2 ? ?1 ? 3 ? n?1 ? ? n ?1 3 3n 3
则 Tn ?

2(n 2 ? 3n ? 6) ? 2? ? 2 ????13 分 3n ?1

9 .????????????????????14 分 4
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14.(2009 常德期末)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a1 ?

1 1 且 S n ? S n ?1 ? an ?1 ? ,数列 4 2

?bn ? 满足 b1 ? ?

119 且 3bn ? bn?1 ? n (n ? 2且n ? N ? ) . 4

(1)求 ?an ? 的通项公式; (2)求证:数列 ?bn ? an ? 为等比数列; (3)求 ?bn ? 前 n 项和的最小值. 解: (1)由 2Sn ? 2Sn?1 ? 2an?1 ? 1 得 2an ? 2an?1 ? 1, an ? an ?1 ? ∴ an ? a1 ? (n ? 1) d ?

1 ??2 分 2

1 1 n? ??????????????4 分 2 4 1 1 (2)∵ 3bn ? bn?1 ? n ,∴ bn ? bn ?1 ? n , 3 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 ∴ bn ? an ? bn ?1 ? n ? n ? ? bn ?1 ? n ? ? (bn ?1 ? n ? ) ; 3 3 2 4 3 6 4 3 2 4

1 1 1 3 bn ?1 ? an ?1 ? bn ?1 ? (n ? 1) ? ? bn ?1 ? n ? 2 4 2 4
∴由上面两式得

bn ? an 119 1 1 ? ? ?30 ? ,又 b1 ? a1 ? ? 4 4 bn ?1 ? an ?1 3

1 为公比的等比数列.???????8 分 3 1 n ?1 1 n ?1 1 1 1 n ?1 (3)由(2)得 bn ? an ? ?30 ? ( ) ,∴ bn ? an ? 30 ? ( ) ? n ? ? 30 ? ( ) 3 3 2 4 3
∴数列 ?bn ? an ? 是以-30 为首项,
bn ? bn ?1 ? 1 1 1 1 1 1 n ? ? 30 ? ( ) n ?1 ? (n ? 1) ? ? 30 ? ( ) n ? 2 2 4 3 2 4 3

1 1 1 1 1 = ? 30 ? ( ) n ? 2 (1 ? ) ? ? 20 ? ( ) n ? 2 ? 0 ,∴ ?bn ? 是递增数列 ???11 分 2 3 3 2 3
当 n=1 时, b1 ? ? 时, b4 ? 且 S3 ?

119 3 5 10 <0;当 n=2 时, b2 ? ? 10 <0;当 n=3 时, b3 ? ? <0;当 n=4 4 4 4 3

7 10 ? >0,所以,从第 4 项起的各项均大于 0,故前 3 项之和最小. 4 9

1 10 1 (1 ? 3 ? 5) ? 30 ? 10 ? ? ?41 ??????????13 分 4 3 12

1? 1 ? 2 ?? ? ?2 ? ? 5? (n ? 1) ? 5 ?

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