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东莞市2010届东华高级中学高三文科数学三模拟试题

时间:2012-12-21


东莞市 2010 届高三文科数学模拟试题(三)
东华高级中学康逢永老师提供 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 开始

(1 + i) 2 1. 复数 等于( i2
A. 2

) B. ? 2 C. ? 2i 输入 x D. 2i )

2.已知直线 l 、 m 和平面 ? 、 ? ,下列四个命题中,真命题的个数是( ①若 l ∥ ? , m ∥ ? ,则 l ∥ m ;②若 ? ∥ l , ? ∥ l ,则 ? ∥ ? ; ③若 ? ? l , ? ? l ,则 ? ∥ ? ;④若 l ? ? , m ? ? ,则 l ∥ m . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 )

i?0 x ? 3x ? 2
i ? i ?1 x ? 109 ?


3.已知 {an } 为等差数列,且 a7 ? 2a4 ? ?1 , a3 ? 0 ,则公差 d ? ( A. ? 2

1 B.- 2

1 C. 2



D. 2 )

4.在右面的程序框图中,若 x ? 5 ,则输出的 i 的值是( A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

输出 i 结束

5.如图,一个体积为 12 3 的正三棱柱的三视图如图所示, 则这个三棱柱的左视图的面积为( A. 6 3 C. 8 3 B. 8 D. 12 )

6.“ m ? 1 ”是“直线 (m ? 2) x ? m y ? 1 ? 0 与直线 (m ? 2) x ? (m ? 2) y ? 3 ? 0 相互垂 直”的( ) B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分必要条件 C..必要而不充分条件

2 2 7.已知两点 A(?2, 0), B(0, 2) , C 是圆 x ? y ? 4x ? 4 y ? 6 ? 0 上任意一点, 点 则点 C 到直线 AB 距离

的最小值是( A. 2 2

) B. 3 2 C. 3 2 ? 2 D. 4 2

3 8.设 min{ p, q } 表示 p , q 两者中的较小者,若函数 f ( x) ? min{ ? x, log2 x} ,则满足 f ( x) ? 0 的 x
的取值范围是( )

A. (0,1) ? (3,??)

B. (1,3)

C. (??,1) ? (3,??)

D. (0,1) ? ( ,?? )

5 2

x2 y2 9. 已知点 F 是双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点, E 是该双曲线的右顶点, F 且垂直于 x 轴 点 过 a b
的直线与双曲线交于 A, B 两点,若 ?ABE 是直角三角形,则该双曲线的离心率等于( A. )

3

B. 2

C. 3

D. 4

10.已知函数 f (t ) 是奇函数且是 R 上的增函数, x, y 满足不等式 f ( x2 ? 2x) ? ? f ( y 2 ? 2 y) , x 2 ? y 2 若 则 的最大值是( A. 3 ) B. 2 2 C. 8 D. 12

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11.已知向量 a ? (4,2) ,向量 b ? (x,3) ,且 a// b ,则 x ?
? ?
? ?

.

?x ? y ? 1 ? 0 ? 12.若实数 x, y 满足不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则函数 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?y ? 0 ?

.

13. 已知集合 A ? ( x, y ) y ? x ? 1 , x, y ? R , B ? ( x, y ) y ? ax ? 2, x, y ? R , 若集合 A ? B 有且只 有一个元素,则实数 a 的取值范围是 ▲选做题(考生只能从中选做一题) 14.在极坐标系中,点 A( 2, 距离为 . .

?

?

?

?

7? ? 2 ) 到直线 ? sin(? ? ) ? 的 4 4 2

15.已知⊙ O 的割线 PAB 交⊙ O 于 A, B 两点,割线 PCD 经过圆心, 若 PA ? 3 , AB ? 4 , PO ? 5 ,则⊙ O 的半径为___________. 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分) 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin ?x ? 3 sin ?x ? sin(?x ?
2

?
2

) ( ? ? 0 )的最小正周期为 ? .

(Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)求函数 f (x) 在区间 [0,

2? ] 上的取值范围. 3

(Ⅲ)函数 f (x) 的图象可由 y ? sin x 的图象经过怎样的变化得到?

17.(本小题满分 12 分) 某校高三(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏,但可见部 分如下,据此解答如下问题: (Ⅰ)求全班人数; (Ⅱ)求分数在 [80,90) 之间的人数;并计算频率分布直方图中 [80,90) 间的矩形的高; (Ⅲ)若要从分数在 [80,100] 之间的试卷中任取两份分析学生失分情况,在抽取的试卷中,求至少有 一份分数在 [90,100] 之间的概率. 茎 5 6 7 8 9 5 8 叶 6 8 2 3 3 5 6 8 9 1 2 2 3 4 5 6 7 8 9

18. (本小题满分 14 分) 在三棱锥 P ? ABC 中,?PAC 和 ?PBC 是边长为 2 的等边三角形,AB ? 2 ,O, D 分别是 AB, PB 的中点. (Ⅰ)求证: OD ∥平面 PAC ; (Ⅱ)求证:平面 PAB ⊥平面 ABC ; (Ⅲ)求三棱锥 P ? ABC 的体积.

P

D A

C O
B
19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ?

1 3 x ? x 2 ? ax ? b(a, b ? R ). 3

(Ⅰ) 若 a ? 3 ,试确定函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ) 若函数 f ( x ) 在其图象上任意一点 ( x0 , f ( x0 )) 处切线的斜率都小于 2a ,求实数 a 的取值范围.
2

20. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直 2 a b 2

线 x ? y ? 2 ? 0 相切. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 P(4,0) , M , N 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点,连结 PN 交椭圆 C 于另一 点 E ,求直线 PN 的斜率的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,证明直线 ME 与 x 轴相交于定点.

21. (本小题满分 14 分) 位于函数 y ? 3 x ? 坐标构成以 ?

13 的图象上的一系列点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ),?, Pn ( xn , yn ),? ,这一系列点的横 1 4

5 为首项, ? 1 为公差的等差数列 ?xn ? . 2

(Ⅰ)求点 Pn 的坐标; (Ⅱ)设抛物线 C1 , C2 , C3 ,?, Cn ,? 中的每一条的对称轴都垂直于 x 轴,对于 n ? N 第 n 条抛物线 C n
*

的顶点为 Pn ,抛物线 C n 过点 Dn (0, n 2 ? 1) ,且在该点处的切线的斜率为 k n . 求证:

1 1 1 1 . ? ??? ? k1k 2 k 2 k 3 k n?1k n 10

东莞市 2010 届高三文科数学模拟试题(三) 参考答案及评分标准
一、选择题(共 10 题,每小题均只有一个正确答案,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 C 2 B 3 B 4 C 5 A 6 B 7 A 8 A 9 B 10 C

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11. 6 ; 12. 2 ; 13. (??, ?1] ? [1, ??) ; 14.

2 ; 2

15. 2

三、 (本大题共 6 小题,满分 80 分) 16. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ?

1 ? cos 2?x ? 3 sin ?x ? cos ?x 2

?

3 1 1 sin 2?x ? cos 2?x ? 2 2 2

? sin( 2?x ?

?
6

)?

1 2

????????????3 分

? f (x) 的最小正周期为 ? ,且 ? ? 0
? 2? ?? 2?
????4 分

?? ? 1

(Ⅱ)解: f ( x) ? sin( 2 x ?

?
6

)?

1 2

? x ? [0,

2? ], 3 4? ], 3

? 2 x ? [0, ? 2x ?

?
6

? [?

? 7?
6 , 6

]

??????5 分

? sin( 2 x ?

?

1 ) ? [? ,1] 6 2
????????7 分

3 ? f ( x) ? [0, ] 2
即 f (x) 在区间 [0,

2? 3 ] 上的取值范围是 [ 0, ] . 3 2

????????8 分

(Ⅲ)解:把 y ? sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 再把所得函数的图象向右平移

1 倍(纵坐标不变) , 2

? 个单位, 12
1 个单位,可得到 f (x) 的图象. 2
????12 分

再把所得函数的图象向上平移

17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由茎叶图知:分数在 [50,60) 之间的频数为 2 . 由频率分布直方图知:分数在 [50,60) 之间的频率为 0.008 ? 10 ? 0.08 . 所以,全班人数为

2 ? 25 人. ?????????4 分 0.08

(Ⅱ)解:分数在 [80,90) 之间的人数为 25 ? 2 ? 7 ? 10 ? 2 ? 4 人 ??????6 分 故分数在 [80,90) 之间的频率为

4 ? 0.16 25 0.16 ? 0.016 . ???????8 分 10

所以频率分布直方图中 [80,90) 间的矩形的高为

(Ⅲ)将 [80,90) 之间的 4 个分数编号为 1,2,3,4 ; [90,100] 之间的 2 个分数编号为 5,6 . 则在 [80,100] 之间的试卷中任取两份的基本事件为:

(1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) , (3,4) , (3,5) , (3,6) ,
(4,5) , (4,6) , (5,6) 共 15 个. ??????????????10 分
其中,至少有一个在 [90,100] 之间的基本事件有 9 个, 故至少有一份分数在 [90,100] 之间的概率是

9 3 ? .?????????12 分 15 5
P

18. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)? O, D 分别为 AB, PB 的中点,

? OD ∥ PA
又 PA ? 平面 PAC , OD ? 平面 PAC

?OD ∥平面 PAC . ????????????5 分
(Ⅱ)连结 OC , OP

D A

? AC ? CB ? 2 , O 为 AB 中点, AB ? 2 ,
?OC ⊥ AB , OC ? 1 .

C O
B

同理, PO ⊥ AB , PO ? 1 . 又 PC ? 2 ,? PC 2 ? OC 2 ? PO2 ? 2 ,

??POC ? 90? ,? PO ⊥ OC .
? PO ⊥ OC , PO ⊥ AB , AB ? OC ? O ,

? PO ⊥平面 ABC .
又? PO ? 平面 PAB ,? 平面 PAB ⊥平面 ABC . ??????????????10 分 (Ⅲ)由(Ⅱ)可知 OP 垂直平面 ABC

? OP 为三棱锥 P ? ABC 的高,且 OP ? 1

?VP ? ABC ?

1 1 1 1 S ?ABC ? OP ? ? ? 2 ? 1 ? . ??????????14 分 3 3 2 3

19. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:当 a ? 3 时, f ( x) ? ?

1 3 x ? x 2 ? 3x ? b , 3
??????????2 分

所以 f / ( x) ? ? x 2 ? 2 x ? 3 ,

由 f / ( x) ? 0 ,解得 ? 1 ? x ? 3 , 由 f / ( x) ? 0 ,解得 x ? ?1 或 x ? 3 , ????????4 分 ??????6 分

所以函数 f ( x ) 的单调增区间为 (?1,3) ,减区间为 (??,?1) 和 (3,??) . (Ⅱ)解:因为 f ?( x) ? ? x2 ? 2x ? a ,

由题意得: f ?( x) ? ? x2 ? 2 x ? a ? 2a2 对任意 x ? R 恒成立,??????????8 分 即 ? x ? 2 x ? 2a ? a 对任意 x ? R 恒成立,
2 2

设 g ( x) ? ? x2 ? 2 x , 所以 g ( x) ? ? x2 ? 2 x ? ?( x ?1)2 ? 1, 所以当 x = 1 时, g ( x) 有最大值为 1 ,
2 2

??????????10 分

因为对任意 x ? R , ? x ? 2 x ? 2a ? a 恒成立,

1 , ??????????13 分 2 1 所以,实数 a 的取值范围为 {a | a ? 1 或 a ? ? } . ??????????14 分 2
2 所以 2a ? a ? 1 ,解得 a ? 1 或 a ? ?

20. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由题意知 e ?

c 3 , ? a 2

所以 e ?
2

c2 a 2 ? b2 3 ? ? ,即 a 2 ? 4b2 , 2 2 a a 4

? a ? 2b
又因为 b ?

2 ? 1 ,? a ? 2 1?1
x2 ? y 2 ? 1 .????????????????4 分 4

故椭圆 C 的方程为 C :

(Ⅱ)由题意知直线 PN 的斜率存在,设直线 PN 的方程为 y ? k ( x ? 4) .

? y ? k ( x ? 4), ? 由 ? x2 得 (4k 2 ? 1) x2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ? 4 ? 0 . 2 ? ? y ? 1. ?4
由 ? ? (?32k 2 )2 ? 4(4k 2 ? 1)(64k 2 ? 4) ? 0 , 得 12k ? 1 ? 0 ,
2

① ????6 分

??

3 3 ????????????8 分 ?k? 6 6 3 3 ,0) ? (0, ) .?????9 分 6 6

又 k ? 0 不合题意,所以直线 PN 的斜率的取值范围是: (? (Ⅲ)设点 N ( x1 , y1 ) , E( x2 , y2 ) ,则 M ( x1 , ? y1 ) . 直线 ME 的方程为 y ? y2 ?

y2 ? y1 ( x ? x2 ) . x2 ? x1

令 y ? 0 ,得 x ? x2 ?

y2 ( x2 ? x1 ) .????????????????11 分 y2 ? y1 2 x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) . ② x1 ? x2 ? 8

将 y1 ? k ( x1 ? 4) , y2 ? k ( x2 ? 4) 代入整理,得 x ?

32k 2 64k 2 ? 4 由①得 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? 代入② 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1
整理,得 x ? 1 .????????????????????????13 分 所以直线 ME 与 x 轴相交于定点 (1, 0) .??????????????14 分

21. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由于 Pn 的横坐标构成以 ?

5 为首项, ? 1 为公差的等差数列 ?xn ? , 2 5 3 故 xn ? x1 ? (n ? 1)d ? ? ? (n ? 1) ? ?n ? . ???????3 分 2 2 13 又 Pn ( xn , y n ) 位于函数 y ? 3 x ? 的图象上, 4 13 3 13 5 ? 3(?n ? ) ? ? ?3n ? . 所以 y n ? 3 x n ? ??????5 分 4 2 4 4 3 5 所求点 Pn ( xn , y n ) 的坐标为( ? n ? ,?3n ? ) . ??????6 分 2 4

(Ⅱ)证明:由题意可设抛物线 C n 的方程为 y ? an ( x ? xn )2 ? yn , 即 y ? an ( x ? n ? ) ? 3n ?
2

3 2

5 . 4
2

由抛物线 C n 过点 Dn (0, n 2 ? 1) ,于是有 n ? 1 ? an ( n ? ) ? 3n ?
2

3 2

5 . 4

由此可得 an ? 1, y ? ( x ? n ? ) ? 3n ?
2

3 2

5 . 4

??????9 分

故 kn ? y?

x ?0

3 ? 2( x ? n ? ) 2

x ?0

? 2n ? 3 .

所以

1 k n?1k n

?

1 1 1 1 ? ( ? )(n ? 2) , (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3

???? 11 分

于是

1 1 1 1? 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ?( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) k1k 2 k 2 k 3 k n?1k n 2 ? 5 7 7 9 2n ? 1 2n ? 3 ? ?
1 1 1 1 ( ? )? . 2 5 2n ? 3 10

?


1 1 1 1 . ???????14 分 ? ??? ? k1k 2 k 2 k 3 k n?1k n 10


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