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初三数学二次函数教案及练习

时间:2018-06-27


学习目标与 1、 考点分析 学习重点 难 点 讲练结合 1、

教学方法

1、

考点详解

1.定义:一般地,如果 y ? ax 2 ? bx ? c(a, b, c 是常数, a ? 0) ,那么 y 叫做 x 的二次函数. 2.二次函数的表示方法:数表法、图像法、表达式. 3.二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式: ① y ? ax 2 ( a ? 0) ; ② y ? ax 2 ? k ;( a ? 0) ③ y ? a?x ? h ? ( a ? 0) 顶点式);
2

④ y ? a?x ? h ? ? k ; a ? 0) (
2

⑤ y ? ax 2 ? bx ? c .它们的图像都是对称轴平行于(或重合) y 轴的抛物线. 4.各种形式的二次函数的图像性质如下表: 函数解析式 开口方向
y ? ax 2 y ? ax 2 ? k
y ? a? x ? h ?
2

对称轴
x ? 0 ( y 轴)

顶点坐标 (0,0) (0, k ) ( h ,0) (h ,k )

2

y ? a?x ? h ? ? k

当a ? 0时 开口向上 当 a ? 0时 开口向下

x ? 0 ( y 轴)
x?h

x?h

y ? ax 2 ? bx ? c

x??

b 2a

(?

b 4ac ? b 2 , ) 2a 4a

5.抛物线 y ? ax 2 ? bx ? c 中的系数 a, b, c
1

(1) a 决定开口方向: 几个不同的二次函数,如果二次项系数 a 相同,那么抛物线的开 口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同. 当 a ? 0 时,抛物线开口向上,顶点为 其最低点;当 a ? 0 时,抛物线开口向下,顶点为其最高点. (2) b 和 a 共同决定抛物线对称轴的位置:当 b ? 0 时,对称轴为 y 轴;当 a 、 b 同号时, 对称轴在 y 轴左侧;当 a 、 b 异号时,对称轴在 y 轴右侧. (3) c 决定抛物线与 y 轴交点位置:当 c ? 0 时,抛物线经过原点; 当 c ? 0 时,相交于 y 轴的正半轴;当 c ? 0 时,则相交于 y 轴的负半轴. 第1页 6.求抛物线的顶点、对称轴的方法
b 4ac ? b 2 b ? 4ac ? b 2 ? ? ( ) (1)公式法: y ? ax 2 ? bx ? c ? a? x ? ,顶点是 ? , ,对称轴是 ? 2a ? 4a 2a 4a ?
2

直线 x ? ?

b . 2a
2

(2)配方法:运用配方的方法,将抛物线 y ? ax 2 ? bx ? c 的解析式化为 y ? a?x ? h ? ? k 的 形式,得到顶点为( h , k ),对称轴是直线 x ? h .其中 h ? ?
b 4ac ? b 2 ,k ? . 2a 4a

(3)运用抛物线的对称性:抛物线是轴对称图形,所以对称点的连线的垂直平分线就是抛 物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.. 7.用待定系数法求二次函数的解析式 (1)一般式: y ? ax 2 ? bx ? c .已知图像上三点或三对 x 、 y 的值,通常选择一般式. (2)顶点式: y ? a?x ? h ? ? k .已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.
2

(3)两点式:已知图像与 x 轴的交点坐标 x1 、 x 2 ,通常选用交点式: y ? a?x ? x1 ??x ? x2 ? . 8.抛物线与 x 轴的交点 设二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标 x1 、 x 2 ,是对应一元二次 方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的两个实数根.抛物线与 x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的 根的判别式来判定: (1) b2 ? 4ac ? 0 ? 抛物线与 x 轴有两个交点; (2) b2 ? 4ac ? 0 ? 抛物线与 x 轴有一个交点(顶点在 x 轴上) ; (3) b2 ? 4ac ? 0 ? 抛物线与 x 轴没有交点.
2

9.二次函数的应用

2、

典例分析

例 1:已知函数 y=mx∣m-2∣+x-2 是二次函数,则 m 等于 例 2:把函数 y=5x2+10mx+n 的图象向左平移 2 个单位,向上平移 3 个单位,?所得图象的函 数解析式为 y=5x2+30x+44,则 m=_______,n=_______. 例3:知一抛物线与x轴的交点是 A(?2,0) 、B(1,0) ,且经过点C(2,8) 。 (1)求该抛物线的解析式; (2)求该抛物线的顶点坐标。

例 4:已知二次函数 y=-x2+2x+m 的部分图象如图 3 所示,则关于 x 的一元二次方程 y -x2+2x+m=0 的解为 .

O

1 图3

3

x

例 5:将 y=x2-2x+3 化成 y=a (x-h)2+k 的形式,则 y=____。

3、

习题巩固
2 2 4 x ; ③y ? x 2 中,图象在同一水平线上的开口大小顺序用题号表示应 3 3
B.①>③>② D.②>①>③

1、在二次函数①y=3x2;② y ? 该为( ) A.①>②>③ C.②>③>①

2、将抛物线 y ?

1 2 x 向右平移 3 个单位,再向上平移 2 个单位,所得的抛物线的解析式为______. 3
2

3、抛物线 y ? 3( x ? 3) 与 x 轴交点为 A,与 y 轴交点为 B,求 A、B 两点坐标及⊿AOB 的面积.

3

4、二次函数 y ? a?x ? h ? 的图象如图:已知 a ?
2

1 ,OA=OC,试求该抛物线的解析式为______.. 2

5、已知函数 y ? mx ? (m ? m) x ? 2 的图象关于 y 轴对称,则 m=________;
2 2

6、二次函数 y ? ax ? c ?a ? 0? 中,若当 x 取 x1、x2(x1≠x2)时,函数值相等,则当 x 取 x1+x2 时,函
2

数值等于
2

. )

7、函数 y ? ax 与 y ? ?ax ? b 的图象可能是(

A.
2

B.

C.

D.

8、二次函数 y ? x ? bx ? c 的图象沿 x 轴向左平移 2 个单位,再沿 y 轴向上平移 3 个单位,得到的图象 的函数解析式为 y ? x ? 2 x ? 1 ,则 b 与 c 分别等于(
2



A、6,4

B、-8,14
2

C、-6,6

D、-8,-14 )

9、二次函数 y ? x ? 2 x ? 1 的图象在 x 轴上截得的线段长为( A、 2 2 10、抛物线 ① ③ > >0;② B、 3 2 C、 2 3 D、 3 3

的图角如图,则下列结论: ; ).

; ④<1.其中正确的结论是(

(A)①② (B)②③ (C)②④ (D)③④ 11、通过配方,写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标: (1) y ?

1 2 x ? 2x ? 1; 2
2

(2) y ? ?3x ? 8 x ? 2 ;
2

(3) y ? ?

1 2 x ? x?4 4


12、函数与 y ? ax ? b y ? ax ? bx ? c 的图象如图所示,则下列选项中正确的是( A、 ab ? 0, c ? 0 C、 ab ? 0, c ? 0 B、 ab ? 0, c ? 0 D、 ab ? 0, c ? 0
2

13、二次函数 y ? a ( x ? 4) ,当自变量 x 由 0 增加到 2 时,函数值增加 6.(1)求出此函数关系式.(2) 说明函数值 y 随 x 值的变化情况.

4

14、已知二次函数 y=2x2+4x-6. (1)将其化成 y=a(x-h)2+k 的形式; (2)写出开口方向,对称轴方程,顶点坐标; (3)求图象与两坐标轴的交点坐标; (4)画出函数图象; (5)说明其图象与抛物线 y=x2 的关系; (6)当 x 取何值时,y 随 x 增大而减小; (7)当 x 取何值时,y>0,y=0,y<0; (8)当 x 取何值时,函数 y 有最值?其最值是多少? (9)当 y 取何值时,-4<x<0; (10)求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形面积.

15、把抛物线 y ? ?2 x ? 4 x ? 1 沿坐标轴先向左平移 2 个单位,再向上平移 3 个单位,问所得的抛物线
2

有没有最大值,若有,求出该最大值;若没有,说明理由.

16、某商场以每台 2500 元进口一批彩电.如每台售价定为 2700 元,可卖出 400 台,以每 100 元为一个价 格单位,若将每台提高一个单位价格,则会少卖出 50 台,那么每台定价为多少元即可获得最大利润?最 大利润是多少元?

17、二次函数 y = ax + bx + c 的最大值是 - 3a ,且它的图象经过 (- 1, - 2) ,(1, 6) 两点,求 a 、b 、c

2

5

18、试求抛物线 y = ax + bx + c 与 x 轴两个交点间的距离( b2 - 4ac > 0 )

2

19、已知二次函数的图象与 x 轴交于 A(-2,0) 、B(3,0)两点,且函数有最大值是 2. (1) 求二次函数的图象的解析式; (2) 设次二次函数的顶点为 P,求△ ABP 的面积.

20、以 x 为自变量的函数 y ? ? x ? (2m ? 1) x ? (m ? 4m ? 3) 中,m 为不小于零的整数,它的图象与 x
2 2

轴交于点 A 和 B,点 A 在原点左边,点 B 在原点右边.(1)求这个二次函数的解析式;(2)一次函数 y=kx+b 的图象经过点 A,与这个二次函数的图象交于点 C,且 S?ABC =10,求这个一次函数的解析式.

6


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