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2.1.3 函数单调性(2课时)

时间:2015-04-19


函数的单调性
教学目标

(2 课时教案)

(1)知识目标:使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念,初步掌握利用函数图象和 单调性定义判断、证明函数单调性的方法. (2)能力目标:通过对函数单调性定义的探究,渗透数形结合的数学思想和方法,培养学 生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力;通过对函数单调性的证明,提高学生的 推理论证能力. 教学重点、难点 重点:理解函数单调性的定义;判断、证明函数的单调性. 难点:归纳并抽象函数单调性的定义. 教学过程 第一课时 一、新课导入 分别作出函数 y ? x ? 2 , y ? ? x ? 2 , y ? x2 ? 1 的图像, 问题 1:这三个函数图象,从左自右图像分别怎么变化? (上升还是下降) 问题 2:对于这三个函数,当自变量 x 从小到大变化时,函数值 y 的变化情况如何? 问题 3:前两个函数 f ( x) 在定义域 I 内的图像,对于该区间上任意两个自变量 x1 和 x2 ,当

x1 < x2 时, f ( x1 ) 与 f ( x2 ) 的大小关系如何?试总结函数 y ? x2 ? 1 。
问题 4:考虑如何描述增函数、减函数的定义? 二、新课内容 在 函 数

y?

?f ?
? y(

的 图 象 上 任 取 两 点 x
2

A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )

, 记

x?

2

x ?, 1 x

f) ? x (

1

,x ) f? 2

? 1y

y

定义:一般的,设函数 y ? f ( x) 的定义域为 A ,区间 M ? A ,如果取区间 M 中的任意两 个 值 x1 , x2 , 改 变 量 当 x ? x2 ? x1 ? 0 , 则 当 y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 时 , 就 称 函 数

y ? f ( x) 在区间 M 上是增函数;如图所示

当 y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 时,就称函数 y ? f ( x) 在区间 M 上是减函数;如图所示

注:1、函数单调性是定义域某个区间上的性质,是函数的局部性质。 2、 强调必须是对于 M 上的任意两个自变量的值 x1 , 当 x1 < x2 时,都有 f ( x1 ) < f ( x2 ) (或 x2 ,

f ( x1 ) > f ( x2 ) ),

定义:如果一个函数在某个区间 M 上是增函数或减函数,就说这个函数在这个区间 M 上 具有单调性,区间 M 叫做函数的单调区间。 例 1 如图是定义在闭区间[—5,5]上的函数 y ? f ( x) 的单调区间, 以及在每一区间上, 函数

y ? f ( x) 是增函数还是减函数?
解: (略) 设计意图:(从“形”的角度理解单调性的定义,要求能根据图像说明一个函数的单调区间, 会写单调区间,不能并起来)

例 2 函数 y ? 解: (略)

1 函数的定义域是什么, 根据的图像判断其单调性, 并用定义证明你的结论. x

设计意图:从“形”和“数”的角度理解单调性的定义,要求学生会用定义证明一个函数的 单调性。培养数形结合的数学思想和方法。 (普通班可以给学生总结一下一次函数 y ? ax ? b 、二次函数 y ? ax ? bx ? c 、反比例函
2

数y?

k 的单调性,具体略) 。 x

例 3 已知函数 f ? x ? ? x3 ? x ,判断其单调性,并证明。 解: (略) 设计意图:让学生体会并思考证明函数单调性的过程,能否归结成几个步骤? 总结:利用定义确定或证明函数 f ( x) 在给定的区间 M 上的单调性的一般步骤: 分析:实质就是比较大小 证明步骤: 1. 2. 3. 4. 5. 取值:任取区间 M 上的任意两个自变量的值 x1 , x2 ,不妨设 x1 ? x2 ; 作差: f ? x1 ? ? f ? x2 ? ; 变形:通常是因式分解、通分、配方、分母有理化等; 定号:判断差 f ? x1 ? ? f ? x2 ? 的正负,有时需要根据因式分几种情况讨论; 结论:指出函数 f ( x ) 在给定的区间 M 上的单调性.

练习 1 课本 46 页 A-3,4 例 4 已知 f ? x ? ?

3x ,试确定在 x>0 时的单调区间。 x ? x ?1
2

(设计意图:需要分几种情况讨论,较难) 解: (略) 小结:这节课我们学习了函数单调性的定义,要特别注意定义中“给定区间”、“属于”、“任 意”、“都有”这几个关键词语;在写单调区间时不经轻易用并集的符号连结;最后在用定义 证明函数的单调性时, 应该注意证明的四个步骤。 要求从形与数两方面深刻理解单调性的概 念,初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法.

第二课时(单调性的应用及抽象函数单调性) 复习单调性定义及判断单调性的步骤。 一.已知单调性求字母参数的取值范围。 例 5 已知函数 y ? x2 ? 2(a ?1) x ? 2 ,
1 若在区间 ( ??, 4] 上,函数是减函数, ○ ,求 a 的取值范围。 2 若函数的单调减区间是 ( ??, 4] ,求 a。 ○

解: (略) (设计意图: ;利用单调性确定参数的范围,注意区分两小题的不同) 练习 已知函数 y ? 3x2 ? 2(a ?1) x ? b ,在区间 (??,1) 上是减函数, ,求 a 的取值范围。

(a ? ?2)

a ? x ?1 ? x, 例 6 若函数 f ( x) ? ? 在 ? 0, ??? 上是单调递减函数,则 a 的取值范围是 ? ? ax ? 1, 0 ? x ? 1 ?
解:由各段函数都是单调递减得 a ? 0 ,在 x ? 1 处还应满足 ?a ? 1 ? a 得 a ?

1 ,综上得 2

0?a?

1 2

二.抽象函数的单调性 例 7 已知定义在 ? 0, ??? 上的函数 f ( x ) ,满足 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ,当 x>1 时,

f ( x ) ? 0 ,判断 f ( x) 的单调性。
解:在 ? 0, ??? 上任取 0 ? x1 ? x2 , f ? x2 ? ? f ? 得 f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ?

? x2 ? ?x ? ? x1 ? ? f ? 2 ? ? f ? x1 ? ? x1 ? ? x1 ?

? x2 ? ? ? 0 ,即 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,所以 f ( x) 在 ? 0, ??? 单调递减。 ? x1 ?

练习

已 知 f ( x ) 是 定 义 在 ? 0, ??? 上 的 增 函 数 , 满 足 f ( xy) ? f ( x)?

f ( y) ,且

f ( 2)? 1 ,求 f (1) 、 f (4) 的值;若 f ( x ? 3) ? 2 ,求 x 的取值范围。
解:令 x ? 1, y ? 2 ,则 f (1? 2) ? f (1) ? f (2) ,得 f (1) ? 0 令 x ? 2, y ? 2 ,则 f (2 ? 2) ? f (2) ? f (2) ? 2 ,得 f (4) ? 2

由 f ( x ? 3) ? 2 得

f ( x ? 3) ? f ? 4?

又因为 f ( x ) 是定义在 ? 0, ??? 上的增函数 所以 0 ? x ? 3 ? 4 得 x ? ? 3,7? 三.利用单调性求函数最值 函数最值定义: (B 版教材没有,但 A 版有) 一般地,设函数 y ? f ( x) 的定义域为 A,若存在实数 M ? R 满足: (1)对应任意的 x ? A ,都有 f ( x) ? M ; (2)存在 x0 ? A ,使得

f ( x0 ) ? M ;

那么就称 M 是函数 y ? f ( x) 的最大值。 (函数的最小值让学生仿照最大值写) 思考: 某同学在求函数 f ( x) ? x ? x , x ?[1,4] 的值域时,计算出 f (1) ? 2, f (4) ? 6 ,就直接 得值域为 [2,6] 。他的答案对吗,他这么做的理由是什么? 解 : 他 的 答 案 是 正 确 的 , 因 为 函 数 y ? x 和 y ? x 在 [1,4] 上 都 是 增 函 数 , 所 以

f ( x) ? x ? x , x ?[1,4] 也是增函数,而且,这个函数的图像是连续不断的,因此求出最大
值和最小值就可以得到值域了。

例 8 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 总有 f ( x) ? f ( y) ? f ( x ? y) , 且当 x>0 时,f ( x) ? 0 ,

2 f (1) ? ? ,求证 f ( x) 是减函数;求 f ( x) 在[-3,3]上的最值。 3
(设计意图:拔高难度,通过单调性求最值) 解: (略) 练习 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 总有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? 1,且当 x>0 时,

f ( x) ? 1 , f (2) ? ?3 ,
(1)求证 f ( x ) 在 R 上是减函数; (2)求 f ( x ) 在[-1,1]上的最值 (3)若 f ( x ) 的定义域为[-7,7],求解 f (2 x ? 1) ? ?7 。

是否补充函数单调性的判断方法?除定义外还有复合函数单调性, 单调性相同的和函数单调 性等 判断下列函数的单调性:

y ? x? x?2
y ? x? 1 x

y ? 2? x
小结:理解函数最值的概念,求抽象函数的单调性和最值。 作业:练习册


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