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根据条件判断三角形的形状

时间:2012-08-19


2001 年第 8 期               学 通 讯 数

5

根据条件判断三角形的形状
张桃生
( 华中科技大学同济附中 , 武汉   430030)

中图分类号 :O124. 1      文献标识码 :A      文章编号 :0488 - 7395 ( 2001) 08 - 0005 - 01

   根据条件判断三角形的形状特征 , 这是一类常 见的问题 . 本文介绍解决这一类问题的常用方法 .
1  利用符号法则  

∴ 2 R sin A ? A = 2 R sin B ? B , cos cos ∴ sin2 A - sin2 B = 0 , ∴ cos ( A + B ) ? ( A - B ) = 0 , sin ∴ cos ( A + B ) = 0 , 或 sin ( A - B ) = 0 , π , 或 A = B , 故选 ( D ) . 2 4  利用余弦定理   ∴A + B = 例 4  已知在 △A B C 中 , a - b = c ? B - c ? cos
cos A , 试判断 △A B C 的形状 .

例1  在三角形 A B C 中 , 已知 sin A cos B < 0 , 则 三角形 A B C 的形状是
( A) 锐角三角形 .   (B) 直角三角形 . ( C) 钝角三角形 . ( D) 不确定 .
(    )

解  ∵ sin A cos B < 0 , 注意到 sin A > 0 恒成立 , ∴ cos B < 0 , ∴ B 必为钝角 , 故选 ( C) .
2  利用三角变形  
C

解  由已知等式和余弦定理得
a +c - b b +c - a a - b = c? - c? , 2 ac 2 bc 2 2 2 2 ∴ 2 ab ( a - b) = b ( a + c - b ) - a ( b + c2 - a2 ) ,
2 2 2 2 2 2

例2  关于 x 的方程 x 2 - x cos A cos B - cos2
= 0 有一根为 1 , 则 △A B C 一定是 ( A) 等腰三角形 . ( C) 锐角三角形 .
C

2

(    )

(B) 直角三角形 . ( D) 钝角三角形 .

∴ ( a3 - b3 ) + ( a2 b - ab2 ) - ( ac2 - bc2 ) - 2 ab
( ? a - b) = 0 , 即 ( a - b) ( a2 + b2 - c2 ) = 0 ,

解   ∵ 关 于 x 的 方 程 x 2 - x cos A cos B cos2 2 = 0有一根为 1 ,
C

∴ △A B C 为等腰三角形或直角三角形 . 以下习题供同学们练习 :
1  在三角形 A B C 中 , 若 sin A = 2cos B sin C , 则此三

∴ 1 - cos A cos B - cos2 ∴ sin2
C

2

=0,

角形的形状
( A) 是等腰三角形 ,但不一定是等边三角形. (B) 是等边三角形 . ( C) 是不等腰的直角三角形 . ( D) 是边长互不相等的三角形 .

(    )

- cos A cos B = 0 , 2 ∴ 1 - cos C - 2cos A cos B = 0 , 1 - cos C - cos ( A + B ) - cos ( A - B ) = 0 ,

∴ cos ( A - B ) = 1 , 从而 A = B , 故选 ( A ) .
3  利用正弦定理  

2  已知 sin A ∶ B ∶ C = 2 ∶ ∶ , 则这个三角形是 sin sin 3 4

三角形 .
2 2

例 3  在 △A B C 中 , a tg B = b tg A , 则 △A B C 是
( C) 直角三角形 .
(    )

3  已知 b = asin C , c = asin ( 90° B ) , B < 90°则这 ,

个三角形是 三角形 .

三角形 .

( A) 等腰三角形 .   (B) 等腰直角三角形 . ( D) 等腰或直角三角形 . sin B sin A 解  由已知得 a2 ? = b2 ? , cos B cos A

4  已知 B = 30° c = 150 , b = 50 3 , 则这个三角形是 , 5  已知 sin A = 2sin B cos C , 则这个三角形是

三角形 .
( 答案 :1  ( A) ; 2   钝角 ; 3   等腰 ; 4   直角或等腰 ;

即 a? ? A = b? ? B , cos cos sin A sin B 利用正弦定理化简知 , a? A = b? B , cos cos

a

b

5  等腰)

收稿日期 :2001 - 02 - 01 ) 作者简介 :张桃生 ( 1946 — , 男 , 湖北天门人 , 华中科技大学同济附中高级教师 .


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