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根据条件判断三角形的形状

时间:2012-08-19

2001 年第 8 期              数 学 通 讯

5

根据条件判断三角形的形状

张桃生
(华中科技大学同济附中 ,武汉  430030)

中图分类号 :O124. 1     文献标识码 :A     文章编号 :0488 - 7395 (2001) 08 - 0005 - 01

  根据条件判断三角形的形状特征 , 这是一类常

见的问题. 本文介绍解决这一类问题的常用方法.

1  利用符号法则  

例 1  在三角形 A B C 中 , 已知 sin A cosB < 0 , 则

三角形 AB C 的形状是

(   )

(A) 锐角三角形.   (B) 直角三角形.

(C) 钝角三角形.

(D) 不确定.

解  ∵ sin A cosB < 0 , 注意到 sin A > 0 恒成立 ,

∴cosB < 0 , ∴ B 必为钝角 ,故选 (C) .

2  利用三角变形  

例 2  关于

x 的方程 x2 -

xcos A cos B - cos2

C 2

= 0 有一根为 1 ,则 △A B C 一定是

(   )

(A) 等腰三角形. (B) 直角三角形.

(C) 锐角三角形.

(D) 钝角三角形.

解   ∵ 关 于 x 的 方 程 x2 - xcos A cosB -

cos2

C 2

= 0有一根为

1,

∴1 - cos A cosB - cos2

C 2

=0,

∴ sin2

C 2

-

cos A cos B

=0,

∴1 - cos C - 2cos A cosB = 0 ,

1 - cos C - cos ( A + B ) - cos ( A - B ) = 0 ,

∴cos( A - B ) = 1 ,从而 A = B ,故选 ( A ) .

3  利用正弦定理  

例 3  在 △A B C 中 , a2tg B = b2tg A , 则 △A B C



(   )

(A) 等腰三角形.   (B) 等腰直角三角形.

(C) 直角三角形.

(D) 等腰或直角三角形.

解  由已知得

a2

·sin B co s B

=

b2

·sin cos

A A

,

即 a·sinaA ·cos A = b·sinbB ·cos B , 利用正弦定理化简知 , a·cos A = b·cosB ,

∴2 R sin A ·cos A = 2 R sin B ·cosB ,

∴ sin2 A - sin2 B = 0 ,

∴cos( A + B ) ·sin ( A - B ) = 0 ,

∴cos( A + B ) = 0 ,或 sin ( A - B ) = 0 ,

∴A

+

B

π =2

,或

A

=

B

,故选 ( D) .

4  利用余弦定理  

例 4  已知在 △A B C 中 , a - b = c·cosB - c·

cos A ,试判断 △A B C 的形状.

解  由已知等式和余弦定理得

a-

b

=

c·a2

+ c2 2 ac

b2 -

c·b2

+ c2 2 bc

a2 ,

∴2 ab( a - b) = b( a2 + c2 - b2) - a( b2 + c2 - a2) ,

∴ ( a3 - b3) + ( a2 b - ab2 ) - ( ac2 - bc2 ) - 2 ab

·( a - b) = 0 ,即 ( a - b) ( a2 + b2 - c2) = 0 ,

∴ △AB C 为等腰三角形或直角三角形.

以下习题供同学们练习 :

1  在三角形 A B C 中 , 若 sin A = 2cosB sin C , 则此三

角形的形状

(   )

(A) 是等腰三角形 ,但不一定是等边三角形.

(B) 是等边三角形.

(C) 是不等腰的直角三角形.

(D) 是边长互不相等的三角形.

2  已知 sin A ∶sin B ∶sin C = 2∶3∶4 , 则这个三角形是

三角形 .

3  已知 b = asin C , c = asin (90°- B ) , B < 90°, 则这

个三角形是

三角形 .

4  已知 B = 30°, c = 150 , b = 50 3 ,则这个三角形是

三角形 .

5  已知 sin A = 2sin Bcos C , 则这个三角形是

三角形 .

(答案 :1  (A) ;2  钝角 ;3  等腰 ;4  直角或等腰 ;

5  等腰)

收稿日期 :2001 - 02 - 01 作者简介 :张桃生 (1946 —) ,男 ,湖北天门人 ,华中科技大学同济附中高级教师.


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