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2013届高考数学第一轮复习教案第35讲 曲线方程及圆锥曲线的综合问题

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2013 年普通高考数学科一轮复习精品学案
第 35 讲 曲线方程及圆锥曲线的综合问题
一.课标要求:

1.由方程研究曲线,特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等 式解决,要加强等价转化思想的训练; 2.通过圆锥曲线与方程的学习,进一步体会数形结合的思想; 3.了解圆锥曲线的简单应用。
二.命题走向

近年来圆锥曲线在高考中比较稳定, 解答题往往以中档题或以押 轴题形式出现,主要考察学生逻辑推理能力、运算能力,考察学生综 合运用数学知识解决问题的能力。 但圆锥曲线在新课标中化归到选学 内容,要求有所降低,估计 2007 年高考对本讲的考察,仍将以以下 三类题型为主。 1.求曲线(或轨迹)的方程,对于这类问题 ,高考常常不给出 图形或不给出坐标系, 以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法 和能力; 2.与圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题,这类问题的综 合型较大, 解题中需要根据具体问题、 灵活运用解析几何、 平面几何、 函数、不等式、三角知识,正确的构造不等式或方程,体现了解析几 何与其他数学知识的联系。 预测 2013 年高考: 1.出现 1 道复合其它知识的圆锥曲线综合题;

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2.可能出现 1 道考查求轨迹的选择题或填空题,也可能出现在 解答题中间的小问。
三.要点精讲
1.曲线方程

(1)求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下: 步 骤 含 义 说 明
[来源:学科网 ZXXK]

1、“建”:建立 建 立 适 当 的 直 角 (1) 所 研 究 的 问 题 已 给 出 坐 标 坐标系;“设”: 坐标系,用(x,y)表 设动点坐标。 系,即可直接设点。

示 曲 线 上 任 意 一 (2) 没有给出坐标系,首先要选 点 M 的坐标。 取适当的坐标系。

2、现(限):由 写 出 适 合 条 件 P 这是求曲线方程的重要一步, 应 限制条件, 列出 的 点 M 的 集 合 仔细分析题意, 使写出的条件简 几何等式。 P={M|P(M)} 明正确。

3、“代”:代换 用 坐 标 法 表 示 条 常常用到一些公式。 件 P(M),列出方 程 f(x,y)=0 4、“化”:化简 化方程 f(x,y)=0 为 要注意同解变形。 最简形式。 5、证明 证 明 化 简 以 后 的 化简的过程若是方程的同解变 方 程 的 解 为 坐 标 形,可以不要证明,变形过程中 的 点 都 是 曲 线 上 产生不增根或失根, 应在所得方 的点。 程中删去或补上(即要注意方程

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变量的取值范围)。
这五个步骤(不包括证明)可浓缩为五字“口诀”:建设现(限)代化”

(2)求曲线方程的常见方法: 直接法:也叫“五步法”,即按照求曲线方程的五个步骤来求解。 这是求曲线方程的基本方法。 转移代入法:这个方法又叫相关点法或坐标代换法。即利用动点 是定曲线上的动点,另一动点依赖于它,那么可寻求它们坐标之间的 关系,然后代入定曲线的方程进行求解。 几何法:就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法。
参数法:根据题中给定的轨迹条件,用一个参数来分别动点的坐标,间接地把坐标 x,y 联系起来,得到用参数表示的方程。如果消去参数,就可以得到轨迹的普通方程。 2.圆锥曲线综合问题 (1)圆锥曲线中的最值问题、范围问题 通常有两类: 一类是有关长度和面积的最值问题; 一类是圆锥曲线中有关的几何元素的 最值问题。这些问题往往通过定义,结合几何知识,建立目标函数,利用函数的性质或不等 式知识,以及观形、设参、转化、替换等途径来解决。解题时要注意函数思想的运用,要注 意观察、分析图形的特征,将形和数结合起来。

圆锥曲线的弦长求法:

设圆锥曲线 C∶f(x,y)=0 与直线 l∶y=kx+b 相交于 A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,则弦 长|AB|为:

若弦 AB 过圆锥曲线的焦点 F,则可用焦半径求弦长,|AB|=|AF|+|BF|.

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在解析几何中求最值, 关键是建立所求量关于自变量的函数关系, 再利用代数方法求出 相应的最值.注意点是要考虑曲线上点坐标(x,y)的取值范围。

(2)对称、存在性问题,与圆锥曲线有关的证明问题

它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法,以及定点、定值问题的判断 方法。

(3)实际应用题 数学应用题是高考中必考的题型,随着高考改革的深入,同时课 本上也出现了许多与圆锥曲线相关的实际应用问题,如桥梁的设计、 探照灯反光镜的设计、声音探测,以及行星、人造卫星、彗星运行轨 道的计算等。 涉及与圆锥曲线有关的应用问题的解决关键是建立坐标系, 合理 选择曲线模型, 然后转化为相应的数学问题作出定量或定性分析与判 断,解题的一般思想是:
建立坐标系 转化成数学问题

实际问题

数学模型方程

模型的解

翻译回去

讨论方程的解

(4)知识交汇题

[来源:学科网 ZXXK]

圆锥曲线经常和数列、三角、平面向量、不等式、推理知识 结合到一块出现部分有较 强区分度的综合题。

四.典例解析
题型 1:求轨迹方程

例 1 . 1 ) 一 动 圆 与 圆 x2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 外 切 , 同 时 与 圆 (

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x 2 ? y 2 ? 6 x ? 91 ? 0 内切,求动圆圆心 M 的轨迹方程,并说明它是什么

样的曲线。

[来源:学科网]

(2)双曲线 轨迹方程。

x2 ? y 2 ? 1 有动点 P , F1 , F2 是曲线的两个焦点,求 ?PF1 F2 的重心 M 的 9

解析: (法一) (1) 设动圆圆心为 M ( x, y ) , 半径为 R , 设已知圆的圆心分别为 O1 、O2 , 将圆方程分别配方得: ( x ? 3) ? y ? 4 , ( x ? 3) ? y ? 100 ,
2 2 2 2

当 ? M 与 ? O1 相切时,有 | O1M |? R ? 2 ① 当 ? M 与 ? O2 相切时,有 | O2 M |? 10 ? R ② 将 ①② 两 式 的 两 边 分 别 相 加 , 得

y

P
O1
O2

x

| O1M | ? | O2 M |? 12 ,
即 ③ 移项再两边分别平方得:

( x ? 3) 2 ? y 2 ? ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 12

2 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 12 ? x
2 2



两边再平方得: 3x ? 4 y ? 108 ? 0 ,

整理得

x2 y 2 ? ?1, 36 27 x2 y 2 ? ? 1 ,轨迹是椭圆。 36 27

所以,动圆圆心的轨迹方程是

2 2 2 2 (法二)由解法一可得方程 ( x ? 3) ? y ? ( x ? 3) ? y ? 12 ,

由以上方程知,动圆圆心 M ( x, y ) 到点 O1 (?3, 0) 和 O2 (3, 0) 的距离和是常数 12 ,所以 点 M 的轨迹是焦点为 O1 (?3, 0) 、O2 (3, 0) ,长轴长等于 12 的椭圆,并且椭圆的中心在坐标

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原点,焦点在 x 轴上, ∴ 2c ? 6 , 2a ? 12 ,∴ c ? 3 , a ? 6 , ∴ b ? 36 ? 9 ? 27 ,
2

∴圆心轨迹方程为

x2 y 2 ? ?1。 36 27

(2)如图,设 P, M 点坐标各为 P( x1 , y1 ), M ( x, y) ,∴在已知双曲线 方程中 a ? 3, b ? 1,∴ c ? 9 ? 1 ? 10
[来源:Z。xx。k.Com]

∴已知双曲线两焦点为 F1 (? 10, 0), F2 ( 10, 0) , ∵ ?PF1 F2 存在,∴ y1 ? 0
? x1 ? ( ? 10) ? 10 ?x ? ? x ? 3x 3 由三角形重心坐标公式有 ? ,即 ? 1 。 ? y1 ? 0 ? 0 ? y1 ? 3 y ?y ? ? 3 ?

∵ y1 ? 0 ,∴ y ? 0 。 已知点 P 在双曲线上,将上面结果 代入已知曲线方程,有
(3x) 2 ? (3 y ) 2 ? 1( y ? 0) 9
即所求重心 M 的轨迹方程为: x ? 9 y ? 1( y ? 0) 。
2 2

点评:定义法求轨迹方程的一般方法、步骤;“转移法”求轨迹方程的方法。 例 2.设 P 为双曲线 M 的轨迹方程是

x2 2 ? y =1 上一动点,O 为坐标原点,M 为线段 OP 的中点,则点 4


解析: (1)答案:x2-4y2=1 设 P(x0,y0) ∴M(x,y) ∴x?
x0 y ,y? 0 2 2

∴2x=x0,2y=y0

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4x2 ∴ -4y2=1 ? x2-4y2=1 4
点评:利用中间变量法(转移法)是求轨迹问题的重要方法之一。 题型 2:圆锥曲线中最值和范围问题

例 3. (1)设 AB 是过椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 中心的弦,椭圆的 a 2 b2

左焦点为 F1 ( ?c,0) ,则△ F1AB 的面积最大为( A. bc B. ab C. ac

) D. b 2

(2) 已知双曲线

x2 y2 F ? ? 1(a ? 0,b ? 0) 的左右焦点分别为 F1, 2, a 2 b2

点 P 在双曲线的右支上,且 | PF1 | ? 4| PF2 | ,则此双曲线的离心率的最大 值是( A.
4 3

) B.
5 3

C. 2

D.

7 2
x2 y2 ? ? 1 上一点, 25 9

(3)已知 A(3,2) 、B(-4,0) 是椭圆 ,P 则|PA|+|PB|的最大值为( A. 10 C. 10 ? 5 )

B. 10 ? 5 D. 10 ? 2 5

解析: (1) 如图, 由椭圆对称性知道 O 为 AB 的中点, 则△ F1OB 的面积为△ F1AB 面积的一半。 | OF1 | ? c , F1OB 边 OF1 上的高为 y B , 又 △ 而 y B 的最大值是 b,所以△ F1OB 的面积最大值为 cb 。所以△ F1AB 的面积最大值为 cb。
1 2

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点评:抓住△ F1AB 中 | OF1 | ? c 为定值,以及椭圆是中心对称图形。

(2)解析:由双曲线的定义, 得: | PF1 |?| PF2 | ? 2a , 又 | PF1 | ? 4| PF2 | ,所以 3| PF2 | ? 2a ,从而 | PF2 | ? a 由双曲线的第二定义可得
| PF2 | c ? , 2 a a x? c

2 3

5a 2 5a 2 c 5 所以 x ? 。又 x ? a,即 ? a ,从而 e ? ? 。故选 B。 3c 3c a 3
点评:“点 P 在双曲线的右支上”是衔接两个定义的关键, 也是不等关系 条件。利用这个结论得出关于 a、c 的不等式,从而得出 e 的取值范围。

5a 2 ? a 成立的 3c

(3)解析:易知 A(3,2)在椭圆内,B(-4,0)是椭圆的左 焦点(如图) ,则右焦点为 F(4,0) 。连 PB,PF。由椭圆的定义知:

| PB|?| PF | ? 10 ,

所以 | PB| ? 10?| PF| ,所以| PA|?| PB| ?| PA|?10?| PF| ? 10 ? (| PA|?| PF|) 。 由平面几何知识,
|| PA|?| PF || ?| AF | ,即 (| PA|?| PB|) min ? 10?| AF | ,

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而 | AF | ? (3 ? 4) 2 ? (2 ? 0) 2 ? 5 , 所以 (| PA|?| PB|) min ? 10 ? 5 。
点评:由△ PAF 成立的条件 || PA|?| PF || ?| AF | ,再延伸到特殊情形 P、A、F 共线,从 而得出 || PA|?| PF || ?| AF | 这一关键结论。

x2 2 例 4. (1)设 P 是椭圆 2 ? y ? 1? a ? 1? 短轴的一个端点, Q 为椭圆上的一个动点, a
求 PQ 的最大值。

(2)已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆,它的中心在原 点, 左焦点为 F (? 3, 0) ,右顶点为 D(2, 0) ,设点
? 1? A ? 1, ? . ? 2?

①求该椭圆的标准方程; ②若 P 是椭圆上的动点,求线段 PA 中点 M 的轨迹方程;
③过原点 O 的直线交椭圆于点 B, C ,求 ?ABC 面积的最大值。

(3)已知椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在 x 轴上,椭圆的短 轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,两准线间的距离为 l。 (Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)直线 l 过点 P(0,2)且与椭圆相交于 A、B 两点,当 ΔAOB 面积取得最大值时,求直 线 l 的方程。

解析: (1)依题意可设 P(0,1),Q(x,y),则 |PQ|= x2+(y-1)2 ,又 因为 Q 在椭圆上, 所以,x2=a2(1-y2), |PQ|2= a2(1-y2)+y2 -2y+1=(1-a2)y2 - 2y+1+a2,

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=(1-a2)(y-

1 1 2 2 2 ) - 2+1+a 。 1-a 1-a 1 1 时, |PQ|取最大值 2|≤1, 当 y= 1-a 1-a2

因为|y|≤1,a>1, 若 a≥ 2, 则| a2 a2-1 , a2-1

若 1<a< 2,则当 y=-1 时, |PQ|取最大值 2。

(2)①由已知得椭圆的半长轴 a=2,半焦距 c= 3 ,则半短轴 b=1, 又椭圆的焦点在 x 轴上, ∴椭圆的标准方程为
x2 ? y2 ? 1。 4

②设线段 PA 的中点为 M(x,y) ,点 P 的坐标是(x0,y0), x=
网] [来源:Zxxk.Com][来源:学科网][来源:学。科。网][来源:学+科+

x0 ? 1 2

x0 得 =2x-1



[来源:Zxxk.Com]

y=
y0 ? 2 1 2

y0 =2y-
1 2

由,点 P 在椭圆上,得

(2 x ? 1) 2 1 ? (2 y ? ) 2 ? 1 , 4 2

∴线段 PA 中点 M 的轨迹方程是 ( x ? ) 2 ? 4( y ? ) 2 ? 1 。 ③当直线 BC 垂直于 x 轴时,BC=2,因此△ ABC 的面积 S△ ABC=1。
x2 当直线 BC 不垂直于 x 轴时,说该直线方程为 y=kx,代入 ? y 2 ? 1 , 4

1 2

1 4

解得 B(

2 4k ? 1
2

,

2k 4k ? 1
2

),C(-

2 4k ? 1
2

,-

2k 4k 2 ? 1

),

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则 BC ? 4

1? k

2

k?

1 ? 4k 2

,又点 A 到直线 BC 的距离 d=
2k ? 1 1 AB ? d ? 。 2 1 ? 4k 2

1 2

1? k 2



∴△ABC 的面积 S△ ABC= 于是 S△ ABC= 由

4k 2 ? 4k ? 1 4k ? 1? 2 。 2 4k ? 1 4k ? 1

4k 1 ≥-1,得 S△ ABC≤ 2 ,其中,当 k=- 时,等号成立。 2 2 4k ? 1

∴S△ ABC 的最大值是 2 。

(3)解:设椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? c) a 2 b2

?b ? c ? 2 2a (Ⅰ) 由已知得 ? ?4 ? ? c ? ?a 2 ? b 2 ? c 2 ?

?a 2 ? 2 ? 2 x2 b ? 1 ∴所求椭圆方程为 ? y 2 ? 1 。 ? 2 ?c 2 ? 1 ?

(Ⅱ)解法一:由题意知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为
y ? kx ? 2, A( x , y1 ), B( x2 , y2 ) 1

? y ? kx ? 2 由 ? x 2 2 ,消去 y 得关于 x 的方程: (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 8kx ? 6 ? 0 , ? ? ? y ?1 ?2

由直线 l 与椭圆相交于 A、B 两点,?? ? 0 ? 64k 2 ? 24(1 ? 2k 2 ) ? 0 , 解得 k 2 ? 。
8k ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 2k 2 又由韦达定理得 ? , ? ?x ? x ? 6 ? 1 2 1 ? 2k 2 ?
?| AB |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?

3 2

1? k 2 16k 2 ? 24 。 2 1 ? 2k

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原点 O 到直线 l 的距离 d ?

2 1? k 2



? S? AOB ?

1 16k 2 ? 24 2 2 2k 2 ? 3 | AB | ?d ? ? . 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 16k 2 ? 24 两边平方整理得: 1 ? 2k 2

解法 1:对 S ?

, 4S 2 k 4 ? 4( S 2 ? 4)k 2 ? S 2 ? 24 ? 0 (*)
? ?16( S 2 ? 4) 2 ? 4 ? 4 S 2 ( S 2 ? 24) ? 0, ? 4 ? S2 1 ∵ S ? 0,? 2 ? 0 ,整理得: S 2 ? 。 ? 2 ? S 2 ? S ? 24 ?0 ? ? 4S 2

又 S ? 0 , ?0 ? S ?

2 2 ,从而 S? AOB 的最大值为 S ? , 2 2
14 。 2

此时代入方程(*)得 4k 4 ? 28k 2 ? 49 ? 0 ,? k ? ? 所以,所求直线方程为: ? 14 x ? 2 y ? 4 ? 0 。 解法 2:令 m ? 2k 2 ? 3(m ? 0) ,则 2k 2 ? m2 ? 3 。
?S ? 2 2m 2 2 2 ? ? 2 m ?4 m? 4 2 m

当且仅当 m ?

2 14 4 即 m ? 2 时, S max ? ,此时 k ? ? 。 2 2 m

所以,所求直线方程为 ? 14 ? 2 y ? 4 ? 0 解法二:由题意知直线 l 的斜率存在且不为零。 设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 则直线 l 与 x 轴的交点 D(? , 0) ,
2 k

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8k ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 2k 2 3 由解法一知 k 2 ? 且 ? , ? 2 ?x ? x ? 6 ? 1 2 1 ? 2k 2 ?

解法 1: S? AOB ? | OD | ? | y1 ? y2 |? | | ? | kx1 ? 2 ? kx2 ? 2 | = | x1 ? x2 |
? ( x 2 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x2

1 2

1 2 2 k

16k 2 ? 24 ? 1 ? 2k 2 ? 2 2 2k 2 ? 3 . 1 ? 2k 2

下同解法一. 解法 2: S? AOB ? S? POB ? S? POA ? ? 2? || x2 | ? | x1 || ?| x2 ? x1 |
下同解法一。 点评:文科 06 年高考主要考察了圆锥曲线的最值问题,主要是三角形的面积、弦长问 题。处理韦达定理以及判别式问题啊是解题的关键。 题型 3:证明问题和对称问题

1 2

2 2 2k 2 ? 3 。 1 ? 2k 2

x2 y2 例 5. (1)如图,椭圆 2 ? =1(a a b

>b>0)与过点 A(2,0)B(0,1)的直线有 且只有一个公共点 T,且椭圆的离心率 e=
3 . 2

(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)设 F 1 、 2 分别为椭圆的左、 F 右焦点, 为线段 AF 1 的中点, M 求证: ∠ATM=∠AF 1 T。

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(2)设 A, B 分别为椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a, b ? 0) 的左、右顶点,椭圆长 a 2 b2

半轴的长等于焦距,且 x ? 4 为它的右准线。 (Ⅰ) 、求椭圆的方程;
(Ⅱ) 、设 P 为右准线上不同于点(4,0)的任意一点,若直线 AP, BP 分别与椭圆相 交于异于 A, B 的点 M、N ,证明点 B 在以 MN 为直径的圆内。

(3)在平面直角坐标系 x O y 中,直线 l 与抛物线 y 2 =2 x 相交于 A、B 两点。 ①求证:“如果直线 l 过点 T(3,0) ,那么 OA ? OB =3”是真命题;
②写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由.
?? ? ?? ?

解析: (I)过点 A 、 B 的直线方程为 ? y ? 1. (1)
? x2 y2 ? 2 ? 2 ?1 因为由题意得 ? a b 有惟一解, ? ?y ? ? 1 x ?1 ? 2 ?

x 2

即 (b2 ? a 2 ) x 2 ? a 2 x 2 ? a 2 ? a 2b2 ? 0 有惟一解, 所以 ? ? a 2b2 (a 2 ? 4b2 ? 4) ? 0 又因为
1 a 2 ? 2, b 2 ? , 2
3 e? , 即 2

1 4

( ab ? 0 ) ,故 a2 ? 4b2 ? 4 ? 0.
a 2 ? b2 3 ? , 所 以 a2 4
a 2 ? 4b2 . 从 而 得

故所求的椭圆方程为 (II)由(I)得
c?

x2 ? 2 y 2 ? 1. 2
6 6 6 6 , 0), F2 ( , 0), 从而 M (1 ? , 0). , 故 F1 (? 2 2 4 2

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? x2 2 ? ? 2y ? 1 1 ?2 由? ,解得 x1 ? x2 ? 1, 所以 T (1, ). 2 ?y ? ? 1 x ?1 ? 2 ?

因为 tan ?AFT ? 1

6 2 1 ? 1, 又 tan ?TAM ? , tan ?TMF2 ? , 2 2 6

2 1 ? 6 2 ? 6 ? 1, 因此 ?ATM ? ?AFT . 得 tan ?ATM ? 1 1 2 1? 6

点评:本题主要考查直线与椭圆的位置关系、椭 圆的几何性质, 同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。
a2 (2) (Ⅰ)依题意得 a=2c, =4,解得 a=2,c=1,从而 b c

= 3. 故椭圆的方程为
x2 y2 ? ? 1. 4 3

(Ⅱ)解法 1:由(Ⅰ)得 A(-2,0) ,B(2,0).设 M(x0, y0). ∵M 1 ○ 又点 M 异于顶点 A、B, ∴-2<x0<2,由 P、A、M 三
-4 2

点 在 椭 圆 上 , ∴y0 =

3 4

( 4 - x02 ) .

M

1

A -2

2

B

4

点共线可以得

-1

N
-2

-3

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P(4,

6 y0 ). x0 ? 2

从而 BM =(x0-2,y0) ,
BP =(2,
6 y0 ). x0 ? 2

∴ BM · =2x0-4+ BP

6 y0 2 = (x02-4+3y02). x0 ? 2 x0 ? 2

2

2 ○

将○代入○,化简得 BM · = (2-x0). 1 2 BP
BP ∵2-x0>0,∴ BM · >0,则∠MBP 为锐角,从而∠MBN 为钝

5 2

角, 故点 B 在以 MN 为直径的圆内。 解法 2:由(Ⅰ)得 A(-2,0) ,B(2,0).设 M(x1,y1) ,N (x2,y2) , 则-2<x1<2,-2<x2<2,又 MN 的中点 Q 的坐标为(
y1 ? y 2 ) , 2 x1 ? x 2 , 2

依题意,计算点 B 到圆心 Q 的距离与半径的差
BQ -
2

x ? x2 y ?y 1 1 2 -2) 2 +( 1 2 ) 2 - [(x1 -x2)2 +(y1 MN =( 1 2 2 4 4

-y2)2] = ( x1 - 2) (x2 - 2) + y1y1

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3 ○ 又直线 AP 的方程为 y=
y2 ( x ? 2) , x2 ? 2 y1 ( x ? 2) ,直线 BP 的方程为 y= x1 ? 2

而点两直线 AP 与 BP 的交点 P 在准线 x=4 上, ∴
6 y1 6 y2 (x ? 2) y1 3 ? ,即 y2= 2 x1 ? 2 x 2 ? 2 x1 ? 2

4 ○

又点 M 在椭圆上,则

x1 y 3 2 2 ? 1 ? 1 ,即 y1 ? (4 ? x1 ) 4 3 4
2

2

2

5 ○

于是将○、 代入○, 4 ○ 5 3 化简后可得 BQ - MN = (2-x1 )( x2 ? 2) ? 0 .
2

1 4

5 4

从而,点 B 在以 MN 为直径的圆内。 点评:本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知 识,考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。 (3) 证明: ①设过点 T(3,0)的直线 l 交抛物线 y2=2x 于点 A(x1,y1)、 B(x12,y2). 当直线 l 的钭率下存在时,直线 l 的方程为 x=3,此时,直线 l 与抛物 线相交于 A(3, 6 )、B(3,- 6 ),∴ OA ? OB =3。 当直线 l 的钭率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x-3),其中 k≠0. y2=2x 当 y=k(x -3) 得 ky2-2y-6k=0,则 y1y2=-6.

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又∵x1= y 12 , x2= y 2 , 2 ∴ OA ? OB =x1x2+y1y2= ( y1 y 2 ) 2 ? y1 y 2 =3. 综上所述, 命题“如果直线 l 过点 T(3,0),那么 OA ? OB =3”是真命题. ②逆命题是: 设直线 l 交抛物线 y2=2x 于 A、 两点,如果 OA ? OB =3, B 那么该直线过点 T(3,0).该命题是假命题. 例如:取抛物线上的点 A(2,2),B( ,1),此时 OA ? OB =3, 直线 AB 的方程为 Y= (X+1),而 T(3,0)不在直线 AB 上. 点评:由抛物线 y2=2x 上的点 A(x1,y1)、B(x12,y2)满足 OA ? OB =3, 可得 y1y2=-6。或 y1y2=2,如果 y1y2=-6,可证得直线 AB 过点(3,0); 如果 y1y2=2, 可证得直线 AB 过点(-1,0),而不过点(3,0)。 例 6. (1)椭圆 C:
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点为 F1,F2,点 P 在 a 2 b2

1 2

1 2

1 4

1 2

2 3

椭圆 C 上,且 PF1 ? F1F2 ,| PF1 |? ,| PF2 |? (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

4 3

14 . 3

(Ⅱ)若直线 l 过圆 x2+y2+4x-2y=0 的圆心,交椭圆 C 于 A, B 两 点,且 A、B 关于点 M 对称,求直线 l 的方程。 (2)已知三点 P(5,2) F1 (-6,0) F2 (6,0) 、 、 。 (Ⅰ)求以 F1 、 F2 为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程; (Ⅱ)设点 P、F1 、F2 关于直线 y=x 的对称点分别为 P? 、F1' 、F2' , 求以 F1' 、 F2' 为焦点且过点 P? 的双曲线的标准 方程。 解析:(1)解法一: O

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(Ⅰ)因为点 P 在椭圆 C 上,所以 2a ? PF1 ? PF2 ? 6 ,a=3. 在 Rt△ PF1F2 中 , F1 F2 ? PF2 ? PF1 ? 2 5, 故 椭 圆 的 半 焦 距
2 2

c= 5 ,从而 b2=a2-c2=4,所以椭圆 C 的方程为

x2 y2 =1。 ? 9 4

(Ⅱ)设 A,B 的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2) 、 。 已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心 M 的坐标为(-2, 1). 从而可设直线 l 的方程为 y=k(x+2)+1, 代入椭圆 C 的方程得 (4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0. 因为 A,B 关于点 M 对称. 所以
x1 ? x2 18k 2 ? 9k ?? ? ?2. 2 4 ? 9k 2

解得 k ? , 所以直线 l 的方程为 y ? ( x ? 2) ? 1, 即 8x-9y+25=0. (经检验,所求直线方程符合题意) 解法二: (Ⅰ)同解法一.
2 (Ⅱ)已知圆的方程为 (x+2)+(y-1)2=5,所以圆心 M 的坐标为 (-

8 9

8 9

2,1). 设 A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).由题意 x1 ? x2 且

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x1 y ? 1 ? 1, ① 9 4

2

2

x2 y ? 2 ? 1, ② 9 4

2

2

由①-②得:

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? ? 0. 9 4



因为 A、B 关于点 M 对称,所以 x1+ x2=-4,y1+ y2=2。 代入③得
8 9
y1 ? y 2 8 8 = ,即直线 l 的斜率为 ,所以直线 l 的方程为 x1 ? x 2 9 9

y-1= (x+2) , 即 8x-9y+25=0。 (经检验,所求直线方程符合题意.) (2) ①由题意可设所求椭圆的标准方程为
x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0),其半 a 2 b2

焦距 c=6, 2a ? PF1 ? PF2 ? 112 ? 22 ? 12 ? 22 ? 6 5 ∴ a ? 3 5 ,b2=a2-c2=9。 所以所求椭圆的标准方程为
x2 y 2 ? ?1 45 9

②点 P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)关于直线 y=x 的对称点分别为点 P, (2,5)、F1,(0,-6)、F2,(0,6)。 设所求双曲线的标准方程为 由 题 意 知
x2 y 2 ? ? 1(a1 ? 0, b1 ? 0) 。 a12 b12









c1=6



2a1 ? P?F1? ? P?F2? ? 112 ? 22 ? 12 ? 22 ? 4 5 。
a1 ? 2 5 ,b1 =c1 -a1 =36-20=16. 所 以 所 求 双 曲 线 的 标 准 方 程 为
2 2 2

x2 y2 ? ? 1。 20 16

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点评:本小题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标 准方程、几 何性质等基础知识和基本运算能力。 题型 4:知识交汇题 例 7.已知点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ( x1 x2 ? 0) 是抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上的 两个动点, O 是坐标原点,向量 OA , OB 满足 OA ? OB ? OA ? OB .设圆 C 的 方程为
x 2 ? y 2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

(I) 证明线段 AB 是圆 C 的直径; (II)当圆 C 的圆心到直线 X-2Y=0 的距离的最小值为 的值。 解析:(I)证明 1: ? OA ? OB ? OA ? OB ,? (OA ? OB ) 2 ? (OA ? OB ) 2
??? 2 ? ??? ??? ??? 2 ??? 2 ? ? ? ? ??? ??? ??? 2 ? ? ? OA ? 2OA ? OB ? OB ? OA ? 2OA ? OB ? OB
??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ?

2 5 时, p 求 5

整理得: OA ? OB ? 0
? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0

??? ??? ? ?

设 M(x,y)是以线段 AB 为直径的圆上的任意一点,则 MA ? MB ? 0 即 ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0 整理得: x 2 ? y 2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0 故线段 AB 是圆 C 的直径 证明 2: ? OA ? OB ? OA ? OB ,? (OA ? OB ) 2 ? (OA ? OB ) 2
??? 2 ? ??? ??? ??? 2 ??? 2 ? ? ? ? ??? ??? ??? 2 ? ? ? OA ? 2OA ? OB ? OB ? OA ? 2OA ? OB ? OB
??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ?

???? ????

整理得: OA ? OB ? 0

??? ??? ? ?

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? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0 ……..(1)

设(x,y)是以线段 AB 为直径的圆上则 即
y ? y2 y ? y1 ? ? ?1( x ? x1 , x ? x2 ) x ? x2 x ? x1

去分母得: ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0 点 ( x1 , y1 ), ( x1 , y2 ), ( x2 , y1 )( x2 , y2 ) 满足上方程,展开并将(1)代入得:
x 2 ? y 2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0

故线段 AB 是圆 C 的直径 证明 3: ? OA ? OB ? OA ? OB ,? (OA ? OB ) 2 ? (OA ? OB ) 2
??? 2 ? ??? ??? ??? 2 ??? 2 ? ? ? ? ??? ??? ??? 2 ? ? ? OA ? 2OA ? OB ? OB ? OA ? 2OA ? OB ? OB
??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ?

整理得: OA ? OB ? 0
? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0 ……(1)

??? ??? ? ?

以线段 AB 为直径的圆的方程为
(x ? x1 ? x2 2 y ?y 1 ) ? ( y ? 1 2 )2 ? [( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ] 2 2 4

展开并将(1)代入得:
x 2 ? y 2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0

故线段 AB 是圆 C 的直径 (II)解法 1:设圆 C 的圆心为 C(x,y),则
x1 ? x2 ? ?x ? 2 ? ? ? y ? y1 ? y2 ? ? 2
? y12 ? 2 px1 , y2 2 ? 2 px2 ( p ? 0)

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? x1 x2 ?

y12 y2 2 4 p2

又因 x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0
? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2

y12 y2 2 ?? y1 ? y2 ? 4 p2
? x1 ? x2 ? 0,? y1 ? y2 ? 0
? y1 ? y2 ? ?4 p 2

x?

x1 ? x2 yy 1 1 ? ( y12 ? y2 2 ) ? ( y12 ? y2 2 ? 2 y1 y2 ) ? 1 2 2 4p 4p 4p

?

1 2 ( y ? 2 p2 ) p

所以圆心的轨迹方程为 y 2 ? px ? 2 p 2 设圆心 C 到直线 x-2y=0 的距离为 d,则
1 2 ( y ? 2 p2 ) ? 2 y | | x ? 2y | | y 2 ? 2 py ? 2 p 2 | p d? ? ? 5 5 5p |
? | ( y ? p)2 ? p 2 | 5p p 2 5 p ,由题设得 ? 5 5 5

当 y=p 时,d 有最小值
? p ? 2.

解法 2: 设圆 C 的圆心为 C(x,y),则
x ?x ? x? 1 2 ? ? 2 ? ? y ? y1 ? y2 ? ? 2

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? y12 ? 2 px1 , y2 2 ? 2 px2 ( p ? 0)

? x1 x2 ?

y12 y2 2 4 p2

又因 x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0
? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2

?? y1 ? y2 ?

y12 y2 2 4 p2

? x1 ? x2 ? 0,? y1 ? y2 ? 0
? y1 ? y2 ? ?4 p 2

x?

x1 ? x2 yy 1 1 ? ( y12 ? y2 2 ) ? ( y12 ? y2 2 ? 2 y1 y2 ) ? 1 2 2 4p 4p 4p

?

1 2 ( y ? 2 p2 ) p

所以圆心的轨迹方程为 y 2 ? px ? 2 p 2 设直线 x-2y+m= 0 到直线 x-2y=0 的距离为
m ? ?2
2 5 ,则 5

因为 x-2y+2=0 与 y 2 ? px ? 2 p 2 无公共点, 所以当 x-2y-2=0 与 y 2 ? px ? 2 p 2 仅有一个公共点时,该点到直线 x-2y=0 的距离最小值为
2 5 5

? x ? 2 y ? 2 ? 0? (2) ? 2 2 ? y ? px ? 2 p ? (3)

将(2)代入(3)得 y 2 ? 2 py ? 2 p 2 ? 2 p ? 0
?? ? 4 p 2 ? 4(2 p 2 ? 2 p) ? 0

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?p?0 ? p ? 2.

解法 3: 设圆 C 的圆心为 C(x,y),则
x1 ? x2 ? ?x ? 2 ? ? ? y ? y1 ? y2 ? ? 2

圆心 C 到直线 x-2y=0 的距离为 d,则
x1 ? x2 ? ( y1 ? y2 ) | 2 d? 5 |
? y12 ? 2 px1 , y2 2 ? 2 px2 ( p ? 0)

? x1 x2 ?

y12 y2 2 4 p2

又因 x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0
? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2

y12 y2 2 ?? y1 ? y2 ? 4 p2
? x1 ? x2 ? 0,? y1 ? y2 ? 0
? y1 ? y2 ? ?4 p 2

1 ( y12 ? y2 2 ) ? ( y1 ? y2 ) | | y12 ? y2 2 ? 2 y1 y2 ? 4 p( y1 ? y2 ) ? 8 p 2 | 4p ?d ? ? 5 4 5p |
? ( y1 ? y2 ? 2 p ) 2 ? 4 p 2 4 5p p 2 5 p ,由题设得 ? 5 5 5

当 y1 ? y2 ? 2 p 时,d 有最小值
? p ? 2.

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点评:本小题考查了平面向量的基本运算,圆与抛物线的方程.点 到直线的距离公式等基础知识,以及综合运用解析几何知识解决问题 的能力。 例 8.如图,对每个正整数 n ,
An ( xn , yn ) 是抛物线 x 2 ? 4 y 上的点, 过焦点

F 的 直 线 FAn 角 抛 物 线 于 另 一 点
Bn ( sn , tn。 )

(Ⅰ)试证: xn sn ? ?4(n ? 1) ; (Ⅱ) xn ? 2n , 取 并记 Cn 为抛物线上 分别以 An 与 Bn 为切点的两条切线的交点。 试证: FC1 ? FC2 ? ? ? FCn ? 2n ? 2? n?1 ? 1 ; 证明: (Ⅰ)对任意固定的 n ? 1, 因为焦点 F(0,1) , 所以可设直线 An Bn 的方程为 y ? 1 ? kn x, 将它与抛物线方程 x 2 ? 4 y 联立得: x 2 ? 4kn x ? 4 ? 0 , 由一元二次方程根与系数的关系得 xn sn ? ?4(n ? 1) . (Ⅱ) 对任意固定的 n ? 1, 利用导数知识易得抛物线 x 2 ? 4 y 在 An 处 的 切 线 的 斜 率 kA ?
n

xn , 故 x 2 ? 4 y 在 An 处 的 切 线 的 方 程 为 : 2

y ? yn ?

xn ( x ? xn ) ,……① 2

类 似 地 , 可 求 得 x 2 ? 4 y 在 Bn 处 的 切 线 的 方 程 为 :
y ? tn ? sn ( x ? sn ) ,……② 2
xn ? sn x2 ? s2 x2 s2 x? n n ? n ? n , 2 2 4 4

由②-①得: yn ? tn ? ?

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xn ? sn x2 ? s2 x ?s x ? n n ,? x ? n n ……③ 2 4 2

将③代入①并注意 xn sn ? ?4 得交点 Cn 的坐标为 ( 由两点间的距离公式得: FCn ? (
2

xn ? sn , ?1) . 2

xn ? sn 2 x2 s2 ) ?4? n ? n ?2 2 4 4

?

2 x xn 4 x 2 2 ? 2 ? 2 ? ( n ? ) 2 , ? FCn ? n ? . 4 xn 2 xn 2 xn

现在 xn ? 2n ,利用上述已证结论并由等比数列求和公式得:
FC1 ? FC2 ? ? ? FCn ? ? 1 1 1 1 ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) ? 2( ? ??? ) 2 x1 x2 xn

1 1 1 1 (2 ? 22 ? ? ? 2n ) ? 2( ? 2 ? ? ? n ) ? (2n ? 1) ? (2 ? 21? n ) ? 2 n ? 2 ? n ?1 ? 1. 2 2 2 2

点评:该题是圆锥曲线与数列知识交汇的题目。
五.思维总结

1.注意圆锥曲线的定义在解题中的应用,注意解析几何所研究 的问题背景平面几何的一些性质; 2.复习时要突出“曲线与方程”这一重点内容 曲线与方程有两个方面:一是求曲线方程,二是由方程研究曲线 的性质.这两方面的问题在历年高考中年年出现,且常为压轴题.因此 复习时要掌握求曲线方程的思路和方法, 即在建立了平面直角坐标系 后,根据曲线上点适合的共同条件找出动点 P(x,y)的纵坐标 y 和 横坐标 x 之间的关系式,即 f(x,y)=0 为曲线方程,同时还要注意 曲线上点具有条件,确定 x,y 的范围,这就是通常说的函数法,它 是解析几何的核心,应培养善于运用坐标法解题的能力,求曲线的常 用方法有两类:一类是曲线形状明确且便于用标准形式,这时用待定

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系数法求其方程;另一类是曲线形状不明确或不便于用标准形式表 示,一般可用直接法、间接代点法、参数法等求方程。二要引导如何 将解析几何的位置关系转化的代数数量关系进而转化为坐标关系, 由 方程研究曲线,特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式解决,要 加强等价转化思想的训练。 3.重视对数学思想、方法进行归纳提炼,达到优化解题思维、 简化解题过程 ①方程思想, 解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆 锥曲线, 因此把直线与圆锥曲线相交的弦长问题利用韦达定理进行整 体处理,就简化解题运算量。 ②用好函数思想方法 对于圆锥曲线上一些动点,在变化过程中会引入一些相互联系、 相互制约的量,从而使一些线的长度及 a,b,c,e 之间构成函数关 系,函数思想在处理这类问题时就很有效。 ③掌握坐标法 坐标法是解析几何的基本方法,因此要加强坐标法的训练。 ④对称思想 由于圆锥曲线和圆都具有对称性质,可使分散的条件相对集中, 减少一些变量和未知 量, 简化计算, 提高解题速度, 促成问题的解决。 ⑤参数思想 参数思想是辩证思维在数学中的反映,一旦引入参数,用参数来 划分运动变化状态,利用圆、椭圆、双曲线上点用参数方程形式设立

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或(x0、y0)即可将参量视为常量,以相对静止来控制变化,变与不 变的转化,可在解题过程中将其消去,起到“设而不求”的效果。 ⑥转化思想 解决圆锥曲线时充分注意直角坐标与极坐标之间有联系, 直角坐 标方程与参数方程,极坐标之间联系及转化,利用平移得出新系坐标 与原坐标之间转化,可达到优化解题的目的。 除上述常用数学思想外,数形结合、分类讨论、整体思想、构造 思想也是不可缺少的思想方法,复习也应给予足够的重视。

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