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2009届全国百套名校高三数学模拟试题分类汇编

时间:2010-09-19

2009 届全国百套名校高三数学模拟试题分类 汇编 11 概率与统计
试题收集:成都市新都一中 肖宏 三、解答题 1 、 ( 辽宁省大连市第二十四中学 2009 届高三高考模拟 ) 有一种舞台灯,外形是正六棱柱 ABCDEF—A1B1C1D1E1F1,在其每一个侧面上(不在棱上)安装 5 只颜色各异的彩灯,假 若每只灯正常发光的概率是 0.5,若一个面上至少有 3 只灯发光,则不需要维修,否则需 要更换这个面. 假定更换一个面需 100 元,用 ξ 表示维修一次的费用. (1)求面 ABB1A1 需要维修的概率; (2)写出 ξ 的分布列,并求 ξ 的数学期望. 解:(1) P 1 ? C5 ( ) ? C5 ( ) ? C5 ( ) ?
3 5 4 5 5 5

1 2

1 2

1 2

1 …………………………6 分 2

(2)因为 ? ~ B (6, )

1 2

1 3 15 5 15 3 , P6 (1) ? , P6 (2) ? , P6 (3) ? , P6 (4) ? , P6 (5) ? , 64 32 64 16 64 32 1 P6 (6) ? , 64 P6 (0) ?
ξ P 0 100 200 300 400 500 600

1 64

3 32

15 64

5 16

15 64

2 32

1 64

………………………………………………10 分

E? ? 100 ? 6 ?

1 ? 300 (元)………………………………………………12 分 2

2、(天津市汉沽一中 2008~2009 学年度高三第四次月考试题)将一个半径适当的小球放入如图 所示的容器最上方的入口处,小球将自由下落.小球在下落过程中,将 3 次遇到黑色障碍物,最后 1 落入 A 袋或 B 袋中.已知小球每次遇到黑色障碍物时向左、右两边下落的概率都是 . 2 (Ⅰ)求小球落入 A 袋中的概率 P ( A) ; (Ⅱ)在容器入口处依次放入 4 个小球,记 ? 为落入 A 袋中小球的个数,试求 ? ? 3 的概率和 ? 的数学期望 E? . 解: (Ⅰ)解法一:记小球落入 B 袋中的概率 P ( B ) ,则 P( A) ? P( B) ? 1 ,
B

A

由于小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落,小球将落入 B 袋,所以

1 1 1 P( B) ? ( ) 3 ? ( ) 3 ? ‘????????????????????????? 2 分 2 2 4 1 3 ? P ( A) ? 1 ? ? . ???????????????????????? 5 分 4 4
解法二:由于小球每次遇到黑色障碍物时,有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右 下落时小球将落入 A 袋.

1 3 1 1 3 ? P( A) ? C3 ( ) ? C32 ( )3 ? , ???????????? 5 分 2 2 4 3 (Ⅱ)由题意, ? ~ B ( 4, ), 所以有 ?????????????????? 7 分 4 27 3 3 3 1 1 P (? ? 3) ? C 4 ( ) ( ) ? , ??????????????? 10 分 4 4 64 3 ? E? ? 4 ? ? 3 . ???????????? 12 分 4
3、(重庆市大足中学 2009 年高考数学模拟试题)甲、乙两个箱子中装有大小相同的小球,甲箱 中有 2 个红球和 2 个黑球,乙箱中装有 2 个黑球和 3 个红球,现从甲箱和乙箱中各取一个小 球并且交换。 (1)求交换后甲箱中刚好有两个黑球的概率。(6 分) (2)设交换后甲箱中黑球的个数为 ? , 求 ? 的分布列和数学期望。(6 分)

解:()第一类:记 1 “取出的两个球都是黑球”为事件A1. ? P ( A1 ) ?
1 1 C2 C2 1 ? ??? 2分 1 1 C4C5 5

第二类:记“取出的两个球都是红球”为事件A2 . ? P ( A2 ) ?
1 1 C2 C3 3 ? ??? 4分 1 1 C4C5 10

1 3 1 ? P ? ? ? ??? 6分 5 10 2 (2)? 可能取1, 2,3, ?? 7分 3 1 1 且P (? ? 1) ? , P(? ? 2) ? , P(? ? 3) ? 10 2 5 ??的分布列为? 1 2 3 3 1 1 P ???10分 10 2 5 19 ? E? ? ???12分 10

4、(2009 届福建省福鼎一中高三理科数学强化训练综合卷一)下表为某班英语及数学成绩的分 布.学生共有 50 人,成绩分 1~5 五个档次.例如表中所示英语成绩为 4 分、数学成绩为 2 分 的学生为 5 人.将全班学生的姓名卡片混在一起,任取一枚,该卡片同学的英语成绩为 x ,数 学成绩为 y 。设 x, y 为随机变量(注:没有相同姓名的学生) (1) x ? 1 的概率为多少? x ? 3且y ? 3 的概率为多少? (2) (理) a ? b 等于多少?若 y 的期望为 值 . 解: (1)P( x ? 1) ? 6分 (

133 ,试确定 a , b 的 50

y

数学 5 1 1 2 1 0 4 3 0 1 b 0 3 2 1 7 0 6 1 0 5 9 0 1 1 1 1 3 a 3

1? 3 ?1 1 8 4 ? , P( x ? 3, y ? 3) ? ? ; 50 10 50 25
2 )

x
5 4 英 3 语 2 1

5 35 10 a ? b ? 7 ? ? (理) P( x ? 2) ? 1 ? P( x ? 1) ? P( x ? 3) ? 1 ? ? 50 50 50 50 ? a?b ? 3 ①;---------9 分 5 b?4 15 15 8 ? a 133 ? 4? ? 3 ? ? 2 ? ? 1? ? 又 5? 50 50 50 50 50 50 ? a ? 4b ? 9 ②; - --------11 分 结合①②可得 a ? 1 , b ? 2 . ---------12 分

5、(四川省成都市高中数学 2009 级九校联考)某单位组织 4 个部门的职工旅游,规定每个部门 只能在峨眉山、泰山、华山 3 个景区中任选一个,假设各部门选择每个景区是等可能的. (Ⅰ)求 3 个景区都有部门选择的概率; (Ⅱ)求恰有 2 个景区有部门选择的概率. 解:某单位的 4 个部门选择 3 个景区可能出现的结果数为 34.由于是任意选择,这些结果出现 的可能性都相等. (I)3 个景区都有部门选择可能出现的结果数为 C4 ? 3! (从 4 个部门中任选 2 个作为 1 组,
2

另外 2 个部门各作为 1 组,共 3 组,共有 C 4 ? 6 种分法,每组选择不同的景区,共有 3!
2

种选法),记“3 个景区都有部门选择”为事件 A1,那么事件 A1 的概率为 P(A1)=
2 C4 ? 3! 4 ? . 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 4 9 3

6分 (II)解法一:分别记“恰有 2 个景区有部门选择”和“4 个部门都选择同一个景区”为事件

3 1 ? ,事件 A2 的概率为 4 27 3 4 1 14 ? . 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 P(A2)=1-P(A1)-P(A3)= 1 ? ? 9 27 27
A2 和 A3,则事件 A3 的概率为 P(A3)= 6分 6、(四川省成都市高中数学 2009 级九校联考)在一次篮球练习课中,规定每人投篮 5 次,若投 2 中 2 次就称为“通过”若投中 3 次就称为“优秀”并停止投篮。已知甲每次投篮投中概率是 。 3 (1)求甲恰好投篮 3 次就“通过”的概率; (2)设甲投中篮的次数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列及期望 E? 。

解:①前 2 次中恰有一次投中且第 3 次也投中, P ? p2 (1) ?

2 8 ? …………5 分 3 27

?
p

0

1

2

3



1 10 40 243 243 243

64 81

……………………………………5 分

E? ?

74 …………………………2 分 27

7、(江苏省常州市 2008-2009 高三第一学期期中统一测试数学试题)某校从参加高一年级期末 考试的学生中抽出 60 名学生, 将其成绩 (是不小于 40 不大于 100 的整数) 分成六段 ?40,50? ,

?50,60? … ?90,100? 后画出如下部分
(1)求第四小组的频率,并补全这个频率分布直方图. (2) 观察频率分布直方图图形的信息,估计这次考试的及格 率(60 分及以上为及格)和平均分. 解:(1)因为各组的频率和等于 1,故第四组的频率:

f4 ? 1 ? (0.025 ? 0.015 ? 2 ? 0.01 ? 0.005) ?10 ? 0.3
直方图如右所示 6′

3′

(2)依题意,60 及以上的分数所在的第三、四、五、六组, 频率和为

(0.015 ? 0.03 ? 0.025 ? 0.005) ?10 ? 0.75
9′

所以,抽样学生成绩的合格率是 75 %.. 利用组中值估算抽样学生的平均分

45 ? f1 ? 55 ? f 2 ? 65 ? f3 ? 75 ? f 4 ? 85 ? f5 ? 95 ? f6
= 45 ? 0.1 ? 55 ? 0.15 ? 65 ? 0.15 ? 75 ? 0.3 ? 85 ? 0.25 ? 95 ? 0.05 =71 估计这次考试的平均分是 71 分
2 3

12′

8、(江苏省常州市 2008-2009 高三第一学期期中统一测试数学试题)一个盒子装有六张卡 片,上面分别写着如下六个定义域为 R 的函数:f1(x)=x,f2(x)=x ,f3(x)=x ,f4(x)=sinx,

f5(x)=cosx,f6(x)=2.
(1)现从盒子中任取两张卡片,将卡片上的函数相加得一个新函数,求所得函数是奇函

数的概率; (2)现从盒子中进行逐一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一张记有偶函数的 卡片则停止抽取,否则继续进行,求抽取次数 ? 的分布列和数学期望. 解:(1)记事件 A 为“任取两张卡片,将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”,由题意知

C32 1 P( A) ? 2 ? . C6 5
(2)ξ 可取 1,2,3,4.

4′

P(? ? 1) ?

1 1 1 C3 C3 C3 1 3 ? , P ( ? ? 2 ) ? ? ? , 1 1 1 C6 2 C6 C5 10
1 1 1 1 1 1 1 C3 C3 C3 C3 C2 C2 C1 3 1 ; ? ? ? , P ( ? ? 4 ) ? ? ? ? ? 1 1 1 1 1 1 1 C6 C5 C4 20 C6 C5 C4 C3 20

P(? ? 3) ?

8′

故 ξ 的分布列为 ξ P 1 2 3 4

1 2

3 10

3 20

1 20

E? ? 1 ?

1 3 3 1 7 ? 2 ? ? 3? ? 4? ? . 2 10 20 20 4

答:ξ 的数学期望为 .

7 4

10′

9、(广东省北江中学 2009 届高三上学期 12 月月考)旅游公司为 3 个旅游团提供 4 条旅游线路, 每个旅游团任选其中一条. (Ⅰ)求 3 个旅游团选择 3 条不同的线路的概率; (Ⅱ)求选择甲线路旅游团数的分布列和期望. 解:(1)3 个旅游团选择 3 条不同线路的概率为:P1=
3 A4 3 ? ??4 分 3 8 4

(2)设选择甲线路旅游团数为ξ ,则ξ =0,1,2,3??????5 分 P(ξ =0)=
33 27 ? 4 3 64
1 C3 ?3 9 ? 3 64 4

P(ξ =1)=

1 C3 ? 32 27 ? 64 43

P(ξ =2)=

P(ξ =3)=

3 C3 1 ? ??????9 分 3 64 4

∴ξ 的分布列为: ξ 0
27 64

1
27 64

2
9 64

3
1 64

??????10 分

P
∴期望 Eξ =0×
27 27 9 1 3 +1× +2× +3× = ??????12 分 64 64 64 64 4

10、(广东省佛山市三水中学 2009 届高三上学期期中考试)某研究机构准备举办一次数学新课 程研讨会,共邀请 50 名一线教师参加,使用不同版本教材的教师人数如下表所示 版本 人数 人教 A 版 人教 B 版 苏教版 北师大版 20 15 5 10 (1)从这 50 名教师中随机选出 2 名,问这 2 人使用相同版本教材的概率是多少? (2)若随机选出的 2 名教师都使用人教版教材,现设使用人教 A 版教材的教师人数为 ? ,求 随机变量 ? 的分布列和数学期望
2 解:(1)50 名教师中随机选出 2 名的方法数为 C50 ? 1225,

选出的 2 人所使用版本相同的方法数为
2 2 2 2 =190+105+10+45=350, C20 ? C15 ? C5 ? C10

? 2 人所使用版本相同的概率为
(2)?

350 2 ? ---------------------------------6 分 1225 7

P(? ? 0) ?

2 C15 3 ? , 2 C35 17

1 1 C20 ? C15 60 , P(? ? 1) ? ? 2 119 C35 2 C10 38 -----------------------------------------9 分 ? 2 C35 119

P(? ? 2) ?

? 随机变量 ? 的分布列是

?
P

0

1

2

3 17

60 119

38 119

? E? ?

3 60 38 8 ?0? ?1 ? ? 2 ? -------------------------12 分 17 119 119 7

11、(四川省成都市 2009 届高三入学摸底测试)已知甲、乙两名射击运动员各自独立地射击 1

1 1 次,命中 10 环的概率分别为 、x(x> );且运动员乙在两次独立射击中恰有 1 次命中 10 环的 2 2 概率为

4 . 9

(Ⅰ)求 x 的值; (Ⅱ)若甲、乙两名运动员各自独立地射击 1 次,设两人命中 10 环的次数之和为随机 变量 ? ,求 ? 的分布列及数学期望. 解:(Ⅰ)由 C2 x (1 ? x ) ?
1

4 1 2 ,又 x ? ,解得 x ? ; 9 2 3
1 2

(Ⅱ)

?
p

0

1 6

1 2

1 3

1 1 7 ? E? ? 1? ? 2 ? ? 2 3 6

12、(河南省实验中学 2008-2009 学年高三第二次月考)一个不透明的口袋内装有材质、重量、 大小相同的 7 个小球,且每个小球的球面上要么只写有数字“08”,要么只写有文字“奥运”. 假定每个小球每一次被取出的机会都相同,又知从中摸出 2 个球都写着“奥运”的概率是

1 。 7

现甲、乙两个小朋友做游戏,方法是:不放回从口袋中轮流摸取一个球,甲先取、乙后取, 然后甲再取,直到两个小朋友中有 1 人取得写着文字“奥运”的球时游戏终止,每个球在每 一次被取出的机会均相同. (1)求该口袋内装有写着数字“08”的球的个数; (2)求当游戏终止时总球次数不多于 3 的概率. 解(1)设该口袋内装有写着“08”的球的个数为 n 个。 依题意得
2 C7 1 ?n ? ,解之得 n=4 2 7 C7

所以该口袋内装有写着“08”的球的个数为 4 个。 ?????????6 分 (2)当游戏终止时,总取球次数是 1 的概率等于

3 , 7 4 3 2 当游戏终止时,总取球次数是 2 的概率等于 ? ? , 7 6 7 4 3 3 6 当游戏终止时,总取球次数是 3 的概率等于 ? ? ? , 7 6 5 35 3 2 6 31 ? 所以,当游戏终止时,总取球次数不多于 3 的概率为 ? ? ??14 分 7 7 35 35

13、(湖北省武汉市教科院 2009 届高三第一次调考)有 A、B、C、D、E 共 5 个口袋,每个口 袋装有大小和质量均相同的 4 个红球和 2 个黑球,现每次从其中一个口袋中摸出 3 个球,规 定:若摸出的 3 个球恰为 2 个红球和 1 个黑球,则称为最佳摸球组合。

(1)求从口袋 A 中摸出的 3 个球为最佳摸球组合的概率; (2)现从每个口袋中摸出 3 个球,求恰有 3 个口袋中摸出的球是最佳摸球组合的概率。 解: (1) 从口袋 A 中摸出的 3 个球为最佳摸球组合即为从口袋 A 中摸出 2 个红球和 1 个黑球, 其概率为

P?

2 1 C4 ? C2 3 ? . 3 C6 5 ????????????(6 分)

(2)由题意知:每个口袋中摸球为最佳组合的概率相同,从 5 个口袋中摸球可以看成 5 次独立重复试难,故所求概率为

3 2 216 3 P ? C5 ? ( )3 ? ( ) 2 ? 5 5 625 ??????????????(12 分)
14、(湖北省武汉市教科院 2009 届高三第一次调考)在某校运动会中,甲、乙、丙三支足球队 进行单循环赛(即每两队比赛一场)共赛三场,每场比赛胜者得 3 分,负者得 0 分,没有平 1 1 1 局。在每一场比赛中,甲胜乙的概率为 ,甲胜丙的概率为 ,乙胜丙的概率为 ; 3 4 3 (1)求甲队获第一名且丙队获第二名的概率; (2)设在该次比赛中,甲队得分为 ? , 求? 的分布列和数学期望。 解:(1)设用队获第一且丙队获第二为事件 A,则

1 1 1 1 P( A ) ? ? ? ? (1 ? ) ; 3 4 3 1 8 ???????????????( 6 分)
(2) ? 可能的取值为 0,3,6;则

1 1 1 P(? ? 0) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? , 3 4 2 甲两场皆输: 1 1 1 1 5 P(? ? 3) ? ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? 3 4 4 3 12 甲两场只胜一场: 1 1 1 P(? ? 6) ? ? ? 3 4 12 甲两场皆胜:

? ? 的分布列为

?

0

3

6

P

1 2

5 12

1 12

1 E? ? 0 ? 2

5 1 7 ? 3 ? 6 ? ? ? 1 2 1 2 ??????????( 4 12 分)

15、(黑龙江哈尔滨三中 2008 年 12 月高三月考)袋中有 3 个白球,2 个红球和若干个黑球 (球的大小均相同),从中任取 2 个球,设每取得一个黑球得 0 分,每取得一个白球得 1 分,

1 每取得一个红球得 2 分,已知得 0 分的概率为 . 6 (1)求袋中黑球的个数及得 2 分的概率; (2)设所得分数为 ?, 求E? .
2 CX 1 解:(1)设黑球 x 个,则 2 ? ,解得 x=4……………………………………4 分 C 5? X 6

P (? ? 2) ?

11 ………………………………………………………………6 分 36

(2) ? 可取 0,1,2,3,4

1 6 1 P(? ? 3) ? 6 P(? ? 0) ?
局比赛中,甲获胜的概率为 p 。

1 3 1 P (? ? 4) ? 36 P (? ? 1) ?

P (? ? 2) ? E? ?

11 36

14 ……………………12 分 9

16、(湖北黄陂一中 2009 届高三数学综合检测试题)甲,乙两人进行乒兵球比赛,在每一

(1)如果甲,乙两人共比赛 4 局,甲恰好负 2 局的概率不大于其恰好胜 3 局的概率,试求 p 的 取值范围; (2)若 p ?
1 ,当采用 3 局 2 胜制的比赛规则时,求甲获胜的概率; 3

1 (3)如果甲,乙两人比赛 6 局,那么甲恰好胜 3 局的概率可能是 吗? 3

解:设每一局比赛甲获胜的概率为事件 A,则 0 ? P ( A) ? 1
2 2 3 3 P (1 ? P )2 ? C4 P (1 ? P ) ????????????????2 分 (1)由题意知 C4

3 即 6 P 2 (1 ? P )2 ? 4 P 3 (1 ? P ) 解得 P=0 或 ? P ? 1 ?????????????4 分 5

(2)甲获胜,则有比赛 2 局,甲全胜,或比赛 3 局,前 2 局甲胜 1 局,第 3 局甲胜,故
1 1 7 2 1 2 1 1 ????????????????????8 分 P ? C2 ( ) ? C2 (1 ? ) ? 3 3 3 3 27
3 3 P (1 ? P )3 ???9 分 (3)设“比赛 6 局,甲恰好胜 3 局”为事件 C 则 P(C)= C6

当 P=0 或 P=1 时,显然有 P (C ) ? 又当 0<P<1 时, P(C ) ?
? 20[ P(1 ? P )]3 ? 20[(

1 ???????????????????10 分 3

6? 5? 4 3 P (1 ? P )3 ? 20 P 3 (1 ? P )3 3? 2?1

P ?1? P 2 3 1 20 1 ) ] ? 20( )6 ? ? ??????????11 分 2 2 64 3

1 故甲恰好胜 3 局的概率不可能是 .????????????????????12 分 3

17、(甘肃省兰州一中 2008—2009 高三上学期第三次月考)一袋中装有 6 张同样的卡片,上面 分别标出 1,2,3,4,5,6,现从中随机取出 3 张卡片,以ξ 表示取出的卡片中的最大 标号。 (I)求ξ 的分布列; (II)求 Eξ 。 解:(I)ξ 的可能取值为 3,4,5,6, ????1 分

P(? ? 3) ?

1 ? 0.05; 3 C6
2 C4 ? 0.3; 3 C6

P(? ? 4) ?

C32 3 ? ? 0.15; 3 C6 20
????9 分

P(? ? 5) ?

P(? ? 6) ?

C52 10 ? ? 0.5. 3 20 C6
5 0.3

所以ξ 的分布列为 ξ P 3 0.05 4 0.15 6 0.5

????10 分 (II)Eξ =0.05×3+0.15×4+0.3×5+0.5×6=5.25 ????12 分 18、(广东省广州市 2008-2009 学年高三第一学期中段学业质量监测)某商场准备在国庆节期 间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从 2 种服装商品,2 种家电商品,3 种日用商品中,选出 3 种商品进行促销活动. (Ⅰ)试求选出的 3 种商品中至少有一种是日用商品的概率; ( Ⅱ ) 商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售 , 即在该商品现价的基础上将价格提高 150 元,同时,若顾客购买该商品,则允许有 3 次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都获得数额为 m 的奖金.假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是 定为多少元,才能使促销方案对商场有利?
3 解: (Ⅰ)从 2 种服装商品,2 种家电商品,3 种日用商品中,选出 3 种商品一共有 C7 种选法,.选出的

1 ,请问:商场应将每次中奖奖金数额 m 最高 2

3 种商品中没有日用商品的选法有 C 4 种, 所以选出的 3 种商品中至少有一种日用商品的概率 为 P ? 1?
3 C4 31 .??4 分 ? 3 C7 35

3

( Ⅱ ) 顾 客 在 三 次 抽 奖 中 所 获 得 的 奖 金 总 额 是 一 随 机 变 量 , 设 为 X, 其 所 有 可 能 值 为 0, m ,2 m ,3 m .??6 分

1 ?1? ?1? X=0 时表示顾客在三次抽奖中都没有获奖,所以 P? X ? 0? ? C ? ? ? ? ? ? , ??7 分 8 ? 2? ? 2?
0 3

0

3

3 ?1? ?1? 同理可得 P? X ? m? ? C ? ? ? ? ? ? , ??8 分 8 ? 2? ? 2?
1 3

1

2

?1? ?1? 3 P? X ? 2m? ? C ? ? ? ? ? ? , ??9 分 ? 2? ? 2? 8
2 3

2

1

3? 1 ? P? X ? 3m? ? C3 ? ? ? 2?

3

1 ?1? ? ? ? ? . ??10 分 8 ? 2?

0

于 是 顾 客 在 三 次 抽 奖 中 所 获 得 的 奖 金 总 额 的 期 望 值 是

1 3 3 1 EX ? 0 ? ? m ? ? 2m ? ? 3m ? ? 1.5m .??12 分 8 8 8 8
要使促销方案对商场有利 ,应使顾客获奖奖金总额的期望值不大于商场的提价数额 ,因此应有 1.5m ? 150 ,所以 m ? 100 , ?? 13 分 故商场应将中奖奖金数额最高定为 100 元,才能使促销方案对商场有利. ?? 14 分 19、(四川省成都市高 2009 届高中毕业班第一次诊断性检测)某果园要将一批水果用汽车 从所在城市甲运至销售商所在城市乙,已知从城市甲到城市乙只有两条公路,且运费由果园 承担. 如果果园恰能在约定日期(× 月× 日)将水果送到,则销售商一次性支付给果园 20 万元,若 在约定日期前送到,每提前一天销售商将多支付给果园 1 万元;若在约定日期后送到,每迟 到一天,销售商将少支付给果园 1 万元. 为保证水果新鲜度,汽车只能在约定日期的前两天出发,且只能选择其中一条公路运送 水果,已知下表内的信息 统 计 信息 汽车行驶路线 不堵车的情况下 到达 城市乙所需时间 (天) 公路 1 公路 2 2 1 堵车的情况下到 达 城市乙所需时间 (天) 3 4 率 1 10 1 2 堵 车的 概 费 (万 元) 1.6 0.8 运

(1)记汽车走公路 1 是果园获得的毛利润为 ξ(万元),求 ξ 的分布列和数学期望 Eξ; (2)假设你是果园的决策者,你选择哪条公路运送水果有可能让果园获得的毛利润更多? (注:毛利润=销售商支付给果园的费用-运费). 解:(1)汽车走公路 1 时,不堵车时果园获得的毛利润 ξ=20-1.6=18.4 万元 堵车时果园获得的毛利润 ξ=20-1.6-1=17.4 万元 ∴汽车走公路 1 是果园获得的毛利润 ξ 的分布列为 ξ P 18.4 9 10 17.4 1 10 ??3' 9 1 ∴Eξ=18.4× +17.4× =18.3 万元 10 10 (2)设汽车走公路 2 时果园获得的毛利润为η ??5'

不堵车时果园获得的毛利润η =20-0.8+1=20.2 万元 堵车时果园获得的毛利润η =20-0.8-2=17.2 万元 ∴汽车走公路 1 时果园获得的毛利润 ξ 的分布列为 η P 20.2 1 2 17.2 1 2 ??8' 1 1 ∴Eη =20.2× +17.2× =18.7 万元 2 2 ∵Eξ<Eη ∴应选择公路 2 运送水果有可能使得果园获得的毛利润更多. ??12' ??10'

20、 (湖南省衡阳市八中 2009 届高三第三次月考试题)2008 年中国北京奥运会吉祥物由 5 个 “中 国福娃”组成,分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮。现有 8 个相同的盒子,每个盒 子中放一只福娃,每种福娃的数量如下表: 福娃名称 数量 贝贝 1 晶晶 2 欢欢 3 迎迎 1 妮妮 1

从中随机地选取 5 只。 (1)求选取的 5 只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率; (2)若完整地选取奥运会吉祥物记 100 分;若选出的 5 只中仅差一种记 80 分;差两种记 60 分;以此类推。设ξ 表示所得的分数,求ξ 的分布列和期望值。 解:(1)选取的 5 只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率

P?

1 1 C2 ? C3 6 3 ? ? . 5 56 28 C8

100,80,60,40. (2) ?的取值为
P(? ? 100) ?
1 1 C2 ? C3 3 ? ; 5 28 C8

2 1 1 3 2 C32 (C 2 ? C3 ? C2 ? C32 ) ? C3 ? (C 2 ? C32 ) 31 P(? ? 80) ? ? ; 56 C85

P(? ? 60) ?

1 2 1 3 3 C3 (C 2 ? C32 ? C 2 ? C3 ) ? C32 ? C3 18 9 ? ? ; 5 56 28 C8

P(? ? 40) ?

2 3 C2 ? C3 1 ? . 5 56 C8

ξ 的分布列为:

ξ P

100

80

60

40

3 28 300 2480 540 40 E? ? ? ? ? ? 75. 28 56 28 56

31 56

9 28

1 56

21、(广东省高明一中 2009 届高三上学期第四次月考)盒中有 6 只灯泡,其中 2 只次品,4 只正品,有放回地从中任取两次,每次取一只,试求下列事件的概率: (1)取到的 2 只都是次品; (2)取到的 2 只中正品、次品各一只; (3)取到的 2 只中至少有一只正品。 解:从 6 只灯泡中有放回地任取两只,共有 62=36 种不同取法????? 2 分 (1)取到的 2 只都是次品情况为 22=4 种,因而所求概率为
4 1 ? ????4 分 36 9

(2) 由于取到的 2 只中正品、 次品各一只有两种可能: 第一次取到正品, 第二次取到次品; 4? 2 2? 4 4 及第一次取到次品,第二次取到正品。因而所求概率为 P ? ????8 ? ? 36 36 9 分 (3)由于“取到的两只中至少有一只正品”是事件“取到的两只都是次品”的对立事件, 因而所求概率为 P ? 1 ?
1 8 ? 9 9

????12 分

22、 (2009 年广东省广州市高三年级调研测试)一厂家向用户提供的一箱产品共 10 件, 其中 有 2 件次品,用户先对产品进行抽检以决定是否接收. 抽检规则是这样的:一次取一件产品检查(取出的产品不放回箱子),若前三次没有抽查 到次品, 则用户接收这箱产品;若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检,并且用户拒绝接收这箱 产品. (1)求这箱产品被用户接收的概率; (2)记抽检的产品件数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望. 解:(1)设“这箱产品被用户接收”为事件 A , P( A) ? 3分 即这箱产品被用户接收的概率为 分 (2) ? 的可能取值为 1,2,3. 分 ??5

8? 7 ? 6 7 ? . 10 ? 9 ? 8 15

??

7 . 15

??4

P?? ? 1? =

2 1 ? , 10 5 8 2 8 , P?? ? 2? = ? ? 10 9 45 8 7 28 , P?? ? 3? = ? ? 10 9 45

??8

分 ∴ ? 的概率分布列为:

?
P
∴ E? =

1

2

3

1 5

8 45

28 45

??10 分

1 8 28 109 ?1 ? ?2? ?3 ? . 5 45 45 45

??12 分

23、(广西桂林十八中 06 级高三第二次月考)甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛: 第 一局由甲、乙参加而丙轮空,以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛,而前一 局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满 6 局时停止.设在每 局中参赛者胜负的概率均为错误!不能通过编辑域代码创建对象。,且各局胜负相互独 立.求: (1)打满 3 局比赛还未停止的概率; (2) 比赛停止时已打局数错误! 不能通过编辑域代码创建对象。 的分别列与期望 E 错误! 不能通过编辑域代码创建对象。. 解:令错误!不能通过编辑域代码创建对象。分别表示甲、乙、丙在第 k 局中获胜. (Ⅰ)由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知,打满 3 局比 赛还未停止的概率为 错误!不能通过编辑域代码创建对象。…………………………4 分 (Ⅱ)错误!不能通过编辑域代码创建对象。的所有可能值为 2 ,3 , 4 , 5 ,6 , 且……………………………5 分 错误!不能通过编辑域代码创建对象。 错误!不能通过编辑域代码创建对象。 错误!不能通过编辑域代码创建对象。 错误!不能通过编辑域代码创建对象。 错误!不能通过编辑域代码创建对象。……9 分 故有分布列 错 误 不 通 编 域 码 2 ! 能 过 辑 代 创 3 4 5 6

建对 象。 错 误! 不能 通过 编辑 域代 码创 建对 象。 P

错 误! 不能 通过 编辑 域代 码创 建对 象。

错 误! 不能 通过 编辑 域代 码创 建对 象。

错 误! 不能 通过 编辑 域代 码创 建对 象。

错 误! 不能 通过 编辑 域代 码创 建对 象。

错 误! 不能 通过 编辑 域代 码创 建对 象。 ..............10 分

从而错误!不能通过编辑域代码创建对象。(局)……..12 分 24、(河南省实验中学 2008-2009 学年高三第一次月考)某汽车驾驶学校在学员结业前,对 学员的驾驶技术进行 4 次考核,规定:按顺序考核,一旦考核合格就不必参加以后的考核,
1 否则还需参加下次考核。 若学员小李独立参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为 的等 8

差数列,他参加第一次考核合格的概率不超过
9 。 32

1 ,且他直到参加第二次考核才合格的概率为 2

(1)求小李第一次参加考核就合格的概率 p1 ; (2)求小李参加考核的次数 ? 的分布列和数学期望。 解:(1)根据题意,得 (1 ? p1 )( p1 ? ) ? ∵ p1 ?

1 8

9 1 5 ,解得 p1 ? 或 p1 ? . 32 4 8

1 1 1 ,∴ p1 ? ,即小李第一次参加考核就合格的概率为 ………(5 分) 2 4 4 1 3 1 5 , , , , 4 8 2 8

(2)由(1)的结论知,小李四次考核每次合格的概率依次为 ∴ P (? ? 1) ?

1 9 1 3 1 15 , P (? ? 2) ? , P (? ? 3) ? (1 ? )(1 ? ) ? ? ……(8 分) 4 32 4 8 2 64
………………………………(10 分)

1 3 1 15 P(? ? 3) ? (1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) ?1 ? 4 8 2 64

∴小李参加测试的次数 ? 的数学期望为

1 9 15 15 157 E? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? ………(12 分) 4 32 64 64 64
25、(广东省湛江师范学院附中 2009 年高考模拟试题)某工厂在试验阶段大量生产一种零件.这 种零件有 A、B 两项技术指标需要检测,设各项技术指标达标与否互不影响.若有且仅有一 项技术指标达标的概率为
5 11 ,至少一项技术指标达标的概率为 .按质量检验规定:两项 12 12

技术指标都达标的零件为合格品. (Ⅰ)求一个零件经过检测为合格品的概率是多少? (Ⅱ)任意依次抽出 5 个零件进行检测,求其中至多 3 个零件是合格品的概率是多少? (Ⅲ)任意依次抽取该种零件 4 个,设 ? 表示其中合格品的个数,求 E? . 解:(Ⅰ)设 A 、 B 两项技术指标达标的概率分别为 P1 、 P2
? 由题意得: ? ? ? P 1 ? (1 ? P 2 ) ? (1 ? P 1) ? P 2 ? 5 12

…………2 分

…………5 分

?1 ? (1 ? P ) ? (1 ? P )? ? 11 1 2 ? ? 12

1 3 2 2 3 解得: P . , P2 ? 或 P , P2 ? ,∴ P ? P 1P 2 ? 1 ? 1 ? 2 4 3 3 4 1 即,一个零件经过检测为合格品的概率为 . 2

…………7 分

(Ⅱ)任意抽出 5 个零件进行检查,其中至多 3 个零件是合格品的概率为
13 ?1? 5?1? 1 ? C ? ? ? C5 ? ? ? 2 2 16 ? ? ? ?
4 5 5 5

…………10 分 …………13 分

1 1 (Ⅲ)依题意知 ? ~B(4, ), E? ? 4 ? ? 2 . 2 2

26、(广东省湛江市实验中学 2009 届高三第四次月考)从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加 演讲比赛。 (Ⅰ)所选 3 人中至少有 1 名女生的概率; (Ⅱ)设随机变量 ? 表示所选 3 人中的女生人数。写出 ? 的分布列并求出 ? 的数学期望。 (Ⅰ)解:设所选三人中至少有 1 名女生的事件为 A …………1 分 P(A)= 1 ?
3 C4 1 4 …………4 分 ? 1? ? 3 5 5 C6

(Ⅱ)ξ 可能取的值为 0,1,2, …………5 分 P(ξ=k)=
k 3? k C2 C4 3 C6

k=0,1,2 …………8 分

ξ 的分布列为 ξ 0 1 2

1 3 1 …………10 分 5 5 5 1 3 1 ∴Eξ= 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 1 ……………………12 分 5 5 5
P 27、(福建省莆田第四中学 2009 届第二次月考)甲、乙两人各进行 3 次射击,甲每次击中目 1 2 标的概率为 ,乙每次击中目标的概率 , 2 3 (I)记甲击中目标的次数为 ξ,求 ξ 的概率分布及数学期望 Eξ; (II)求乙至多击中目标 2 次的概率; (III)求甲恰好比乙多击中目标 2 次的概率. 解:(I)P(ξ=0)= C3 ( ) ?
0 3

1 3 1 1 3 ,P(ξ=1)= C3 ( ) ? , 8 2 8 3 1 2 1 3 3 1 3 P(ξ=2)= C3 ( ) ? ,P(ξ=3)= C3 ( ) ? , 2 8 2 8
ξ P 0 1 2 3

1 2

ξ 的概率分布如下表:

1 8
1 2

3 8

3 8

1 8

Eξ = 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? (或 Eξ=3· =1.5); (II)乙至多击中目标 2 次的概率为 1- C3 ( ) =
3

1 8

3 8

3 8

1 ? 1.5 , 8

2 3

3

19 ; 27

(III)设甲恰比乙多击中目标 2 次为事件 A,甲恰击中目标 2 次且乙恰击中目标 0 次为事件 B1,甲恰击中目标 3 次且乙恰击中目标 1 次为事件 B2,则 A=B1+B2,B1,B2 为互斥事件.

3 1 1 2 1 P( A) ? P( B1 ) ? P( B2 ) ? ? ? ? ? 8 27 8 9 24 1 所以,甲恰好比乙多击中目标 2 次的概率为 . 24
28、 (湖北省百所重点中学 2009 届高三联考)2008 年中国北京奥运会吉祥物由 5 个 “中国福娃” 组成,分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮。现有 8 个相同的盒子,每个盒子中放一 只福娃,每种福娃的数量如下表: 福娃名称 数量 贝贝 1 晶晶 2 欢欢 3 迎迎 1 妮妮 1

从中随机地选取 5 只。 (1)求选取的 5 只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率; (2)若完整地选取奥运会吉祥物记 100 分;若选出的 5 只中仅差一种记 80 分;差两种记 60 分;以此类推。设ξ 表示所得的分数,求ξ 的分布列和期望值。 解:(1)选取的 5 只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率

P?

1 1 C2 ? C3 6 3 ? ? . 5 56 28 C8

??????4 分

(2) ?的取值为 100,80,60,40.

??????5 分

1 1 C2 ? C3 3 P(? ? 100) ? ? ; 5 28 C8

P(? ? 80) ? P(? ? 60) ?

2 1 1 3 2 C32 (C 2 ? C3 ? C2 ? C32 ) ? C3 ? (C 2 ? C32 ) 31 ? ; 56 C85 1 2 1 3 3 C3 (C 2 ? C32 ? C 2 ? C3 ) ? C32 ? C3 18 9 ? ? ; 5 56 28 C8

P(? ? 40) ?
ξ 的分布列为 ξ P

2 3 C2 ? C3 1 ? . 5 56 C8

??????9 分

100

80

60

40

3 28

31 56

9 28

1 56
??????11 分

300 2480 540 40 E? ? ? ? ? ? 75. 28 56 28 56

??????13 分

29、(江苏省赣榆高级中学 2009 届高三上期段考)连续投掷一枚质量均匀的硬币,10 次中出现 正面的次数记为 x . (1)求随机变量 x 的数学期望 E ( x) ; (2)求 10 次投掷中出现正面次数多于出现背面次数的概率 P( x ? 5) .

1 ? 5; 2 1 193 6 7 8 9 10 (2) P( x ? 5) ? (C10 ? C10 ? C10 ? C10 ? C10 ) ? 10 ? , 答:略. 512 2
解:(1)由题意可知 x ~ B (10, ) ,故 E ( x) ? np ? 10 ? 30、(四川省万源市第三中学高 2009 级测试)2008 年 5 月 12 日四川省汶川发生 8.0 级地震, 通往灾区的道路全部中断。5 月 12 日晚,抗震救灾指挥部决定从水路(一支队伍).陆路(东 南西北四个方向各一支队伍).空中(一支队伍)同时向灾区挺进。已知在 5 月 13 日,从水 1 1 路抵达灾区的概率是 ,从空中抵达灾区的概率是 ,从陆路每个方向抵达灾区的概率都是 2 4 1 .(Ⅰ)求在 5 月 13 日从水路或空中有队伍抵达灾区(即从水路和空中至少有一支队伍抵 2 达灾区)的概率;(Ⅱ)求在 5 月 13 日至少有 4 支队伍抵达灾区的期望。 解(Ⅰ)设“队伍从水路抵达灾区”为事件 A,“队伍从空中抵达灾区”为事件 B, ∴5 月 13 日从水路或空中抵达灾区的概率为

1 2

1 1 5 P ? 1 ? 1 ? P( A) ? 1 ? P( B) ? 1 ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 2 4 8

?

??

?

——————————5 分

答:5 月 13 日从水路或空中有队伍抵达灾区的概率为 (Ⅱ)设 5 月 13 日抵达灾区的队伍数为 ? ,则

5 。 8

——————————6 分

1 1 3 25 3 1 3 1 2 1 P(? ? 4) ? C 54 ( ) 4 ? ? C5 ( ) ( ) ? , 2 2 4 2 2 4 128 1 3 1 1 1 8 P(? ? 5) ? ( ) 5 ? C54 ( ) 4 ? ? , 2 4 2 2 4 128 1 1 1 P (? ? 6) ? ( ) 5 ? , 2 4 128 25 8 1 73 ? 5? ? 6? ? ∴ E? ? 4 ? . 128 128 128 64
答:5 月 13 日至少有 4 支队伍抵达灾区的期望为

——————————7 分 ——————————8 分 ——————————9 分 ——————————11 分

73 。 ——————————12 分 64

31、(天津市汉沽一中 2008~2008 学年度第五次月考)学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至 少会一项,已知会唱歌的有 2 人,会跳舞的有 5 人,现从中选 2 人.设 ? 为选出的人中既会唱 歌又会跳舞的人数,且 P (? ? 0) ? (I) 求文娱队的人数; (II) 写出 ? 的概率分布列并计算 E? . 解:设既会唱歌又会跳舞的有 x 人,则文娱队中共有(7-x)人,那么只会一项的人数是 (7-2 x)人. (I)∵ P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? 1 ? P(? ? 0) ? ∴ P (? ? 0) ?

7 . 10

7 , 10

3 .??????????????3 分 10



2 C7 3 ? 2x ? . 2 C 7?x 10



(7 ? 2x)(6 ? 2x) 3 ? . (7 ? x )(6 ? x ) 10
??????????????5 分

∴x=2.

故文娱队共有 5 人.??????????????7 分 (II) ? 的概率分布列为

?
P

0

1

2

3 10

4 5

1 10

P(? ? 1) ?

1 C1 4 2 ? C4 ? ,??????????????9 分 2 5 C5

C2 1 P(? ? 2) ? 2 ? ,??????????????11 分 2 C5 10
∴ E? ? 0 ?

3 4 1 ? 1? ? 2 ? =1. 10 5 10

??????????13 分

32、(湖北省武汉市第四十九中学 2009 届高三年级十月月考)盒中有大小相同的 10 个球,其中 标号为 1 的球 3 个,标号为 2 的球 4 个,标号为 5 的球 3 个,第一次从盒中任取一个球,放 回后第二次再任取一球(假设取到每球的可能性都相等),记第一次与第二次取到球的标号 之和为 ? 。 (1)求随机变量 ? 的分布列; (2)求 E ? 解:(1) ξ P 2 3 4 6 7 10

9 100

24 100

16 100

18 100

24 100

9 100
??9分

(2) E? ? 5.2 ???12分 33、(山西省太原五中 2008—2009 学年度高三上学期 10 月月考)某项选拔共有两轮考核.第一 轮笔试,设有五道选择题,每题答对得 20 分,答错或不答得 0 分,总分达到 60 分者进入第 二轮考核,否则即被淘汰;第二轮面试,面试成绩服从正态分布 N (60,102 ) ,两轮总分达到 150 分及以上者即被录用.已知某选手能正确回答第一轮的每一道题的概率都是 的各题能否正确回答互不影响,求该选手: (I)笔试成绩ξ 的分布列与数学期望; (II)被录用的概率(参考数据:在标准正态分布中 ?(1) ?

1 ,且两轮中 2

21 49 , ?(2) ? , ?(3) ? 1 ) 25 50

1 18.解(I) P (? ? 20 k ) ? C 5k ( ) 5 (k=0,1,2,3,4,5) 2
分布列:(算对一个概率给 1 分)

?
P

0
1 32

20
5 32

40
10 32

60
10 32

80
5 32

100
1 32

数学期望为 E? ? 50?????????6 分 (II)∵面试成绩η 服从正态分布 N (60,102 ) ,两轮总分达到 150 分者即被录用. ∴被录用的概率为 P(ξ=60)· P(η≥90) + P(ξ=80)· P(η≥70)+P(ξ=100)· P(η≥50) ???????9 分

=

10 5 1 [1-φ (3)]+ [1-φ (1)]+ [1-φ (-1)] ???????11 分 32 32 32
800

= 41

被录用的概率为 41 ???????12 分
800

2 34、 (四川省成都七中 2009 届高三零诊模拟考试)某人上楼梯,每步上一阶的概率为 ,每步上二 3 1 阶的概率 ,设该人从台阶下的平台开始出发,到达第 n 阶的概率为 Pn. 3 (I) (II) 求 P2; 该人共走了 5,求该人这 5 步共上的阶数?的数学期望. 解:(Ⅰ)P2=

2 2 1 7 ? + = 3 3 3 9

6分

(Ⅱ)该人共走五步,共上的阶数?取值为 5,6,7,8,9,10,的分布列为: ? 5 6
1 ( C5

7

8
3 1 ( ) C5 3 3 2 2 ( ) 3

9

10

C50 (
p

1 3

2 5 ) 3
E?=

)(

2 4 ) 3

1 C52 ( ) 3 2 2 3 ( ) 3

C54 (
)4(

1 3

5 ( C5

2 ) 3

1 3

)5

20 3

6分

35、(四川省成都市新都一中高 2009 级数学理科 12 月考试题)高三(1)班的一个研究性学习 1 小组在网上查知,某珍稀植物种子在一定条件下发芽成功的概率为 ,该研究性学习小组又分 2 成两个小组进行验证性实验, (Ⅰ)第一小组做了 5 次这种植物种子的发芽实验(每次均种下一粒种子),求他们的 实验至少有 3 次成功的概率;

(Ⅱ)第二小组做了若干次发芽实验(每次均种下一粒种子),如果在一次实验中种子 发芽成功就停止实验,否则将继续进行下次实验,直到种子发芽成功为止,但发芽实验的次 数最多不超过 5 次,求第二小组所做种子发芽实验的次数的概率分布列和期望 解:(I)该事件为 5 次独立重复试验发生 3 次或 4 次或 5 次
1 5 1 5 ∴P=P5(3)+P5(4)+P5(5) = (C53 ? C54 ? C5 )( ) ? 2 2

?6 分

(II) ? 的可能取值分别为 1,2,3,4,5 分布列如下:

???7 分

?
P

1

2

3

4

5

1 2

1 4

1 8

1 16

1 16
????12 分

??10 分

E ? = 1?

1 1 1 1 1 31 ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 5? ? 2 4 8 16 16 16

36、(四川省绵阳市高中 2009 级第二次诊断性考试)在 2008 年北京奥运会羽毛球女单决赛中, 中国运动员张宁以 2∶1 力克队友谢杏芳,蝉联奥运会女单冠军.羽毛球比赛按“三局两胜制” 的规则进行(即先胜两局的选手获胜, 比三结束), 且各局之间互不影响.根据两人以往的交战成 绩分析,谢杏芳在前两局的比赛中每局获胜的概率是 0.6,但张宁在前两局战成 1∶1 的情况 下,在第三局中凭借过硬的心理素质,获胜的概率为 0.6,若张宁与谢杏芳在下次比赛中相遇. (1)求张宁以 2∶1 获胜的概率; (2)设张宁的净胜局数为 ξ,求 ξ 的分布列及 Eξ. 解:(1)张宁以 2∶1 获胜,意味着前两局战成 1∶1,第三局张宁胜. P(1)=C21× 0.6× (1-0.6)× 0.6=0.288 (2)ξ 的所有可能值为-2,-1,1,2, P(ξ=-2)=0.6× 0.6=0.36, 1 P(ξ=-1)=C2 × 0.6× (1-0.6)× (1-0.6)=0.192, 1 P(ξ=1)=C2 × 0.6× (1-0.6)× 0.6=0.288, P(ξ=2)=(1-0.6)× (1-0.6)=0.16, ∴ξ 的分布列为 -2 -1 ξ 1 2 P 0.36 0.192 0.288 0.16 ∴Eξ=-2× 0.36+(-1)× 0.192+1× 0.288+2× 0.16=-0.304 12' 37、(苍山诚信中学· 理科)已知 10 件产品中有 3 件是次品. (I)任意取出 3 件产品作检验,求其中至少有 1 件是次品的概率; (II)为了保证使 3 件次品全部检验出的概率超过 0.6,最少应抽取几件产品作检验? (解)(1)任意取出 3 件产品作检验,全部是正品的概率为 至少有一件是次品的概率为 1 ?
3 C7 7 …………3 分 ? 3 C10 24

7 17 ? . ……………………6 分 24 24

(2)设抽取 n 件产品作检验,则 3 件次品全部检验出的概率为
n ?3 C7 7! 6 10! 由 n ? 0.6,即 ? ? , (n ? 3)!(10 ? n)! 10 n!(10 ? n)! C10

3 n ?3 C3 C7 . ………8 分 n C10

整理得: n(n ? 1)(n ? 2) ? 9 ? 8 ? 6 ,……………………10 分

? n ? N , n ? 10,

∴当 n=9 或 n=10 时上式成立.…………11 分

答:任意取出 3 件产品作检验,其中至少有 1 件是次品的概率为

17 ; 为了保证使 3 件次 24

品全部检验出的概率超过 0.6,最少应抽取 9 件产品作检验.………………12 分 38、 (临沂一中· 理科)在 2006 年多哈亚运会中, 中国女排与日本女排以“五局三胜”制进行决赛, 根据以往战况,中国女排每一局赢的概率为 3 .已知比赛中,第一局日本女排先胜一局,在这

5

个条件下, (Ⅰ)求中国女排取胜的概率; (Ⅱ)设决赛中比赛总的局数为 ? ,求 ? 的分布列及 E? .(两问均用分数作答) (解)(Ⅰ)解:中国女排取胜的情况有两种: ①中国女排连胜三局; ②中国女排在第 2 局到第 4 局中赢两局,且第 5 局赢.……………………2 分 故中国女排取胜的概率为
2 3 2 p ? ( 3 )3 ? C3 ( ) ? 2 ? 3 …………………………………………………4 分 5 5 5 5

? 27 ? 162 ? 297 . 125 625 625
故所求概率为 297 . ………………………………………………………………5 分

625

(Ⅱ)比赛局数 ? ,
2 则 P(? ? 3) ? ( 2 ) ? 4 ;

5

25

1 P(? ? 4) ? C2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ( 3)3 ? 51 ; 5 5 5 5 125 1 P(? ? 5) ? C3 ? 2 ? ( 3)2 ? 2 ? C32 ( 3)2 ? 2 ? 3 ? 270 ? 54 . ………………8 分 5 5 5 5 5 5 625 125

? 的分布列为: ?
P

3

4

5

4 25

51 125

54 125
……………………10 分

E? ? 3 ?

4 51 54 534 .……………………………………………12 分 ? 4? ? 5? ? 25 125 125 125

39、(临沂高新区· 理科)甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头,它们在一昼 夜内任何时刻到达是等可能的. (1)如果甲船和乙船的停泊时间都是 4 小时,求它们中的任何一条船 不需要等等码头 空出的概率; (2)如果甲船的停泊时间为 4 小时,乙船的停泊时间是 2 小时,求它们中的任何一条船 不需要等待码头空出的概率. (解)(1)设甲、乙两船到达时间分别为 x、y,则 O≤x<24,0≤y<24 且 y-x>4 或 y-x<-4

?0 ? x ? 24, ? 作出区域 ?0 ? y ? 24, ? y - x ? 4,或y - x ? ?4. ?
设“两船无需等待码头空出”为事件 A,则

4分

1 2 ? ? 20 ? 20 25 2 P(A)= ? . 24 ? 24 36
满足 x-y>2.

6分

(2)当甲船的停泊时间为 4 小时,两船不需等待码头空出,则 8分

设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件 B,画出区 域.

?0 ? x ? 24, ? ?0 ? y ? 24, ? y ? x ? 4, 或x ? y ? 2. ?

10 分

1 1 ? 20 ? 20 ? ? 22 ? 22 442 221 2 P(B)= 2 ? ? . 12 分 24 ? 24 576 288
40、(重庆市万州区 2009 级高三第一次诊断性试题)2008 年中国北京奥运会吉祥物由 5 个 “中国福娃”组成,分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮.现有 8 个相同的盒子,每个盒子 中放一只福娃,每种福娃的数量如下表: 福娃名称 数量 从中随机地选取 5 只. 贝贝 1 晶晶 1 欢欢 1 迎迎 2 妮妮 3

(I)求选取的 5 只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率; (II)若完整地选取奥运会吉祥物记 10 分;若选出的 5 只中仅差一种记 8 分;差两种记 6 分;以此类推. 设ξ 表示所得的分数,求ξ 的分布列及数学期望. 解:(Ⅰ)选取的 5 只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率
1 1 C2 ? C3 6 3 P? ? ? . 5 56 28 C8

………………5 分

(Ⅱ) ?的取值为 10,8, 6, 4

…………………6 分

P(? ? 10) ?

1 1 C2 ? C3 3 ? ; 5 28 C8

2 1 1 3 2 C32 (C 2 ? C3 ? C2 ? C32 ) ? C3 ? (C 2 ? C32 ) 31 P(? ? 8) ? ? ; 56 C85

P(? ? 6) ?

1 2 1 3 3 C3 (C 2 ? C32 ? C 2 ? C3 ) ? C32 ? C3 18 9 ? ? ; 5 56 28 C8

P(? ? 4) ?
ξ 的分布列为: ξ

2 3 C2 ? C3 1 ? . 5 56 C8

…………10 分

10 P

8

6

4

3 28

31 56

9 28
…………13 分

1 56

E? ?

30 248 54 4 ? ? ? ? 7.5 28 56 28 56

41、 (广东省汕头市潮南区 08-09 学年度第一学期期末高三级质检)把一颗骰子投掷两次, 第一次出现的点数记为 a,第二次出现的点数记为 b,给定方程组

?ax ? by ? 3 ? ?x ? 2 y ? 2
(1) 试求方程组只有一解的概率; (2) 求方程组只有正数解(x>0,y>0)的概率。 解 : ( 1 ) 当 且 仅 当 a?

b b 时 , 方 程 组 有 唯 一 解 . 因 a? 的可能情况为 2 2

a ? 1, b ? 2或a ? 2, b ? 4或a ? 3, b ? 6 三种情况………………………………3 分
而先后两次投掷骰子的总事件数是 36 种,所以方程组有唯一解的概率

P ?1 ?

3 11 ? ……………………………………………………………………6 分 36 12

(2)因为方程组只有正数解,所以两直线的交点在第一象限,由它们的图像可知

?3 ?3 ?1 ? ?1 ? ?b ?b 或? ………………………………………………………………9 分 ? ?2 ? 2 ?2 ? 2 ? ? ?a ?a
解得(a,b)可以是(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(3,1), (3,2),(4,1),(4,2),(5,1),(5,2),(6,1),(6,2),所 以 方 程 组 只 有 正 数 解 的 概 率

P?

13 ………………………………………………………………………13 分 36
1 1 , 是方程 x2-5x + 6 = 0 p1 p2

42、(重庆奉节长龙中学 2009 年高考数学预测卷二)两个人射击,甲射击一次中靶概率是 p1, 乙射击一次中靶概率是 p2,已知

5 的根,若两人各射击 5 次,甲的方差是 4 . ?1? 求 p1、p2 的值; ?2? 两人各射击 2 次,中靶至少 3 次就算完成目的,则完成目的的概率是多少? ?3? 两人各射击一次,中靶至少一次就算完成目的,则完成目的的概率是多少? 解析:?1? 由题意可知 ? 甲 ~ B(5, p1), ∴ D? 甲 = 5p1 ?1-p1? = 1 3 . 3分 ?2? 两类情况:共击中 3 次概率 C
2 2

5 1 1 1 1 ? p12-p1 + = 0 ? p1 = .2 分;又 · = 6,∴ p2 = 4 4 2 p1 p 2

1 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 0×C
2 2

1 2

1 2 ? 3 ?1? 3 ?1+C
2 2

1 2

1 1 ? 2 ? 1 ? 2 ? 1×C

2 2

1 1 1 ? 3 ? 2? 3 ? 0 = 6 ;

共击中 4 次概率 C

1 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 0×C

1 2 1 ? 3 ? 2 ? 3 ? 0 = 36 . 6 分

1 1 7 所求概率为 6 + 36 = 36 . 8 分 ?3? 设事件 A, B 分别表示甲、 乙能击中. ∵ A, B 互相独立 (9 分) , ∴ P??A· ?B ? = P??A ? P??B ? = ?1-P?A? ??1-P?B? ? = ?1-p1??1-p2? = 为所求概率. 12 分 评析:这一类型的试题在连续几年的新课程卷都出现了,重点考查了分类讨论的数学思想, 体现了《考试说明》所要求的创新意识和实践能力以及运用数学知识解决实际问题的能 力.该题仍然是常规题,要求考生耐心细致,审题能力较强,并善于利用材料进行分析说 明. 1 2 1 2 × = (11 分) , ∴ 1-P??A· ?B ? = 2 3 3 3

43、(浙江省杭州市 2009)19.(本题 14 分)设集合 P ? {b,1} , Q ? {c,1,2} , P ? Q .用 随机变量 ? 表示方程 x ? bx ? c ? 0 实根的个数 (重根按一个计) , 若 b, c ? {1,2,3,4,5,6,7,8,9} .
2

(1)求方程 x ? bx ? c ? 0 有实根的概率;
2

(2)求 ? 的分布列和数学期望. 解:(1)∵ P ? Q 当 b ? 2 时, c ? 3,4,5,6,7,8,9 ; 当 b ? 2 时, b ? c ? 3,4,5,6,7,8,9 .基本事件总数为 14. 记“方程有实根”为事件 A, 若使方程有实根,则 ? ? b ? 4c ? 0 ,即 b ? c ? 4,5,6,7,8,9 ,共 6 种.
2

--- 2 分 --- 3 分

--- 2 分

∴ P ( A) ?

6 3 ? . 14 7

--- 2 分

(2) ? 的分布列

?
P

0

1

2

--- 3 分

8 14
11 . 14

1 14

5 14
--- 2 分

E? ?

44、(温州市部分省重点中学 2009 理) 在汶川大地震后对唐家山堰塞湖的抢险过程中,武警官兵准备用射击的方法引爆从湖坝 上游漂流而下的一个巨大的汽油罐.已知只有 5 发子弹,第一次命中只能使汽油流出,第二次命 中才能引爆.每次射击是相互独立的,且命中的概率都是 (Ⅰ)求油罐被引爆的概率; (Ⅱ)如果引爆或子弹打光则停止射击,设射击次数为 ? . 求 ? 的分布列及 E? .( 结果用分数表示) 解:

2 . 3

(1)设命中油罐的次数为X,则当X ? 0或X ? 1时,油罐不能被引爆. 2 1 P( X ? 0) ? (1 ? )5 ? , 3 243 2 2 10 1 P( X ? 1) ? C5 ? ? (1 ? ) 4 ? , 3 3 243 ?油罐被引爆的概率P ? 1 ? P( X ? 0) ? P( X ? 1) ? 232 .??? (6分) 243

(2)射击次数? 的取值为2,3, 4,5. 2 2 4 P (? ? 2) ? ? ? , 3 3 9 2 2 2 8 1 P (? ? 3) ? C2 ? (1 ? ) ? ? , 3 3 3 27 2 2 2 4 1 P (? ? 4) ? C3 ? (1 ? ) 2 ? ? , 3 3 3 27 P (? ? 5) ? 1 ? P (? ? 2) ? P(? ? 3) ? P(? ? 4) 4 8 4 1 ? 1? ( ? ? )? . 9 27 27 9 因此, ? 的分布列为:
ξ P 2 3 4 5

4 9

8 27

4 27

1 9

4 8 4 1 79 ? E? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? .???? (14分) 9 27 27 9 27
45、(温州市部分省重点中学 2009) 现有 8 名数理化成绩优秀者,其中 A1,A2,A3 数学成绩优秀, B1,B2,B3 物理成绩优 秀, C1,C2 化学成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各 1 名,组成一个小组代 表学校参加竞赛. (Ⅰ)求 C1 被选中的概率; (Ⅱ)求 A 1和 B 1 不全被选中的概率. 解:(Ⅰ)从 8 人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各 1 名, 其一切可能的结果组成的基本事件空间

? ? { ( A1,B1,C1 ), ( A1,B1,C2 ), ( A1,B2,C1 ) , ( A1,B2,C2 ), ( A1,B3,C1 ) ,

( A1,B3,C2 ) , ( A2,B1,C1 ), ( A2,B1,C2 ), ( A2,B2,C1 ) , ( A2,B2,C2 ) ,

( A2,B3,C1 ) , ( A2,B3,C2 ) , ( A3,B1,C1 ), ( A3,B1,C2 ), ( A3,B2,C1 ) , ( A3,B2,C2 ), ( A3,B3,C1 ), ( A3,B3,C2 ) }
由 18 个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽取的机会均等, 因此这些基本事件的发生是等可能的. 用 M 表示“ C1 恰被选中”这一事件,则

M ? { ( A1,B1,C1 ) , ( A1,B2,C1 ) , ( A1,B3,C1 ) , ( A2,B1,C1 ) , ( A2,B2,C1 ) ,

( A2,B3,C1 ) , ( A3,B1,C1 ) , ( A3,B2,C1 ) , ( A3,B3,C1 ) }
事件 M 由 9 个基本事件组成,因而 P ( M ) ?

9 1 ? .??????7 分 18 2

(Ⅱ)用 N 表示“ A1 , B1 不全被选中”这一事件, 则其对立事件 N 表示“ A1 , B1 全被选中”这一事件, 由于 N ? { ( A ,B1,C1 ), ( A1,B1,C2 ) },事件 N 有 2 个基本事件组成, 1 所以 P ( N ) ?

2 1 ? , 18 9 1 8 ? .??????14 分 9 9

由对立事件的概率公式得 P( N ) ? 1 ? P( N ) ? 1 ?

46、(浙江省嘉兴市理) 一袋中有 m(m∈N*)个红球,3 个黑球和 2 个自球,现从中任取 2 个球. (Ⅰ)当 m=4 时,求取出的 2 个球颜色相同的概率; (Ⅱ)当 m=3 时,设ξ 表示取出的 2 个球中黑球的个数,求ξ 的概率分布及数学期望; (Ⅲ)如果取出的 2 个球颜色不相同的概率小于 解:(1)设“取出的 2 个球颜色相同”为事件 A P(A)= (2) ξ P 0 1 2
2 2 C4 ? C32 ? C 2 5 ? 2 18 C9

2 ,求 m 的最小值. 3

4(分)

5 14

15 28

3 28
7(分)

Eξ =0×

15 3 3 5 +1× +2× = 28 28 4 14

9分

(3)设“取出的 2 个球中颜色不相同”为事件 B,则

P(B)=

1 1 1 1 1 C1 2 x C3 ? C x C 2 ? C3 C 2 ? 2 3 C x ?5

11 分

∴x2-6x+2>0 ∴x>3+ 7 或 x<3- 7 ,x 的最小值为 6. 14 分

47、(宁波市理)(本题 14 分)在一个盒子中,放有标号分别为 1 , 2 , 3 的三张卡片,现从 这个盒子中,有放回 地先后抽得两张卡片的标号分别为 x 、 y ,记 ? ? x ? 2 ? y ? x . ... (1)求随机变量 ? 的最大值,并求事件“ ? 取得最大值”的概率; (2)求随机变量 ? 的分布列和数学期望. (Ⅰ)? x 、 y 可能的取值为 1 、 2 、 3 ,

? x ? 2 ? 1, y ? x ? 2 , ? ? ? 3 ,且当 x ? 1 , y ? 3 或 x ? 3 , y ? 1 时, ? ? 3 . ????4 分 因此,随机变量 ? 的最大值为 3 . ? 有放回抽两张卡片的所有情况有 3 ? 3 ? 9 种, 2 ? P (? ? 3) ? . ????????????????7 分 9 (Ⅱ) ? 的所有取值为 0 , 1 , 2 , 3 .?????????????8 分 ?? ? 0 时,只有 x ? 2 , y ? 2 这一种情况, ? ? 1 时,有 x ? 1 , y ? 1 或 x ? 2 , y ? 1 或 x ? 2 , y ? 3 或 x ? 3 , y ? 3 四种情况, ? ? 2 时,有 x ? 1 , y ? 2 或 x ? 3 , y ? 2 两种情况. 1 4 2 ? P (? ? 0) ? , P(? ? 1) ? , P(? ? 2) ? . ????11 分 9 9 9 则随机变量 ? 的分布列为: ? 0 3 1 2 1 4 2 2 P 9 9 9 9
????????????????????????12 分 因此,数学期望 E? ? 0 ?

1 4 2 2 14 ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? .????14 分 9 9 9 9 9

48、(台州市 2008 学年第一学期理)(本题满分 14 分)某商场在七月初七举行抽奖促销活 动, 要求一男一女参加抽奖, 抽奖规则是:从装有 3 个白球和 2 个红球的箱子中每次随机地 摸出一个球,记下颜色后放回. 若 1 人摸出一个红球得奖金 10 元,1 人摸出 2 个红球得奖 金 50 元. 规定:一对男女中男的摸一次,女的摸二次.令 ? 表示两人所得奖金总额. (1)求 ? =20 时的概率; (2)求 ? 的数学期望.
解 : (1)? ? 20 对应的事件为:男的摸到红球且女的一次摸到红球,

2 3 2 2 2 3 24 P(? ? 20) ? ? ? ? ? ? ? . 5 5 5 5 5 5 125
( 2) P (? ? 0) ? P (? P (? P (? P (? 3 3 3 27 ? ? ? ?? 6分 5 5 5 125 2 3 3 3 2 3 54 ? 10) ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ?? 7分 5 5 5 5 5 5 125 24 ? 20) ? ??8分 125 3 2 2 12 ? 50) ? ? ? ? ?? 9分 5 5 5 125 2 2 2 8 ? 60) ? ? ? ? ??10分 5 5 5 125

??????5 分

?

0

10

20

50

60

27 54 125 125 P 2100 84 所以 E? ? ? =16.8 ??14分 125 5

24 125

12 125

8 125

49、(浙江省 09 年高考省教研室第一次抽样测试数学试题(理))甲从装有编号为 1,2,3, 4,5 的卡片的箱子中任意取一张,乙从装有编号为 2,4 的卡片的箱子中任意取一张,用 ?1 ,

?? (? ? ? ) ?1 分别表示甲、乙取得的卡片上的数字.(1)求概率 P( ?1 ? ?2 );(2)记? ? ? 1 1 2 , ?? 2 (?1 ? ?2 ) 求 ? 的分布列与数学期望. 解析: (1) 记 “ ? 1 ? ?2 ” 为事件 A,( ?1 , ? 2 ) 的取值共有 10 种情况, 满足 ?1 ? ?2 的 ( ?1 , ? 2 )
的取值有以下 4 种情况:(3,2),(4,2),(5,2),(5,4),所以 P ( A) ? (2)随机变量? 的取值为 2,3,4,5,? 的分布列是

2 ; 5

?
P

2

3

4

5

1 10 1 1 1 1 37 ? 4? ? 5? ? 所以? 的期望为 E? ? 2 ? ? 3 ? 5 10 2 5 10

1 5

1 2

1 5

50、(2008 学年第一学期十校高三期末联考数学试题(理))(本小题满分 14 分)在“自选模 块”考试中,某试场的每位同学都选了一道数学题,第一小组选《数学史与不等式选讲》 的有 1 人,选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的有 5 人,第二小组选《数学史与不等 式选讲》的有 2 人,选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的有 4 人,现从第一、第二两 小组各任选 2 人分析得分情况. (Ⅰ)求选出的 4 人均为选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的概率; (Ⅱ)设 ? 为选出的 4 个人中选《数学史与不等式选讲》的人数,求 ? 的分布列和 数学期望. 解:(Ⅰ)设“从第一小组选出的 2 人均考《矩阵变换和坐标系与参数方程》”为事件 A,“从第二小组选出的 2 人均考《矩阵变换和坐标系与参数方程》”为事件 B.由于事 件 A、B 相互独立, 且 p( A) ?

C52 2 ? , 2 C6 3

P( B) ?

2 C4 2 ? .??4 分 2 C6 5

所以选出的 4 人均考《矩阵变换和坐标系与参数方程》的概率为

(Ⅱ)设 ? 可能的取值为 0,1,2,3.得

2 2 4 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? ? ? ??????????? 7 分 3 5 15
1 1 1 2 4 C 2 C2 C5 ? C4 C4 22 , P(? ? 1) ?? 5 , ? ? ? ? 2 2 2 2 15 C6 C6 C6 C6 45 1 c5 1 1 . 2? 2 c6 c6 45

P (? ? 0 ) ?

p(? ? 3) ?

p(? ? 2) ? 1 ? p(? ? 0) ? p(? ? 1) ? p(? ? 3) ?

? 的分布列为 ?
P

2 9

????? 11 分

0

1

2

3

4 45

22 45

2 9

1 45
????14 分

∴ ? 的数学期望 E? ? 0 ?

4 22 2 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ?1 15 45 9 45

51 、( 2009 年浙江省杭州市第一次高考科目教学质量检测数学试题)设集合 P ? {b,1} ,

Q ? {c,1,2} , P ? Q , 若 b, c ?{2,3,4,5,6,7,8,9} .
(Ⅰ) 求 b = c 的概率; (Ⅱ)求方程 x ? bx ? c ? 0 有实根的概率.
2

解:(Ⅰ) ∵ P ? Q , 当 b ? 2 时, c ? 3,4,5,6,7,8,9 ; 当 b ? 2 时, b ? c ? 3,4,5,6,7,8,9 .基本事件总数为 14. 其中,b = c 的事件数为 7 种. 所以 b=c 的概率为 --- 4 分

1 . 2

---- 3 分

(Ⅱ) 记“方程有实根”为事件 A, 若使方程有实根,则 ? ? b ? 4c ? 0 ,即 b ? c ? 4,5,6,7,8,9 ,共 6 种.
2

--- 4 分 --- 3分

∴ P ( A) ?

6 3 ? . 14 7

52、(宁波市 2008 学年度第一学期高三期末数(理))在一个盒子中,放有标号分别为 1 , 2 ,

3 的三张卡片,现从这个盒子中,有放回 地先后抽得两张卡片的标号分别为 x 、 y ,记 ...

? ? x?2 ? y? x .
(1)求随机变量 ? 的最大值,并求事件“ ? 取得最大值”的概率;

(2)求随机变量 ? 的分布列和数学期望. 解:(Ⅰ)? x 、 y 可能的取值为 1 、 2 、 3 ,

? x ? 2 ? 1, y ? x ? 2 , ? ? ? 3 ,且当 x ? 1 , y ? 3 或 x ? 3 , y ? 1 时, ? ? 3 . ????4 分 因此,随机变量 ? 的最大值为 3 . ? 有放回抽两张卡片的所有情况有 3 ? 3 ? 9 种, 2 ? P (? ? 3) ? . ????????????????7 分 9 (Ⅱ) ? 的所有取值为 0 , 1 , 2 , 3 .?????????????8 分 ?? ? 0 时,只有 x ? 2 , y ? 2 这一种情况, ? ? 1 时,有 x ? 1 , y ? 1 或 x ? 2 , y ? 1 或 x ? 2 , y ? 3 或 x ? 3 , y ? 3 四种情况, ? ? 2 时,有 x ? 1 , y ? 2 或 x ? 3 , y ? 2 两种情况. 1 4 2 ? P (? ? 0) ? , P(? ? 1) ? , P(? ? 2) ? . ????11 分 9 9 9 则随机变量 ? 的分布列为: ? 0 3 1 2 1 4 2 2 P 9 9 9 9
????????????????????????12 分 因此,数学期望 E? ? 0 ? 53、

1 4 2 2 14 ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? .????14 分 9 9 9 9 9


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