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高三数学二轮复习精品课件(课标版)专题3 第11讲 推理与证明_图文

时间:2013-02-22

第11讲

推理与证明

第11讲

推理与证明

第11讲 │ 主干知识整合
主干知识整合
1.推理 (1)归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征(或性 质), 推出该类事物的全部对象都具有这些特征(或性质)的推理, 或者由个别事实概括出一般结论的推理,叫做归纳推理(简称归 纳).归纳推理是由特殊到一般、部分到整体的推理.(2)类比推 理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知 特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理,叫做类比推理 (简称类比).类比推理是由特殊到特殊的推理.(3)演绎推理: 演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定 理等),按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程,是根据一 般性的真命题(或逻辑规则)导出特殊性命题为真的推理.

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2.数学证明 (1)直接证明:分析法和综合法是两种思路相反的证明推理 方法:分析法是倒溯,综合法是顺推.分析法侧重于结论提供 的信息,综合法则侧重于条件提供的信息,把两者结合起来, 全方位地收集、储存、加工和运用题目提供的全部信息,才能 找到合理的解题思路.没有分析,就没有综合,分析是综合的 基础,它们相辅相成是对立统一的. (2)间接证明:反证法是一种间接证明命题的方法,它从命 题结论的反面出发,引出矛盾,从而肯定命题的结论. 3.数学归纳法 分两步:首先证明当 n 取第一个值 n0(例如 n0=1)时结论正 确;然后假设当 n=k(k∈N+,k≥n0)时结论正确,证明当 n=k +1 时结论也正确.

第11讲 │ 要点热点探究
要点热点探究

?

探究点一 合情推理与演绎推理 例 1 [2011· 江西卷] 观察下列各式:55 =3125,56 =15625,57 = 78125,?,则 52011 的末四位数字为( ) A.3125 B.5625 C.0625 D.8125

D 【 解 析 】 ∵ 55 = 3125,56 = 15625,57 = 78125,58 = 390625,59=1953125,510=9765625,?, ∴5n(n∈Z 且 n≥5)的末四位数字呈周期性变化, 且最小正 周期为 4,记 5n(n∈Z 且 n≥5)的末四位数为 f(n),则 f(2011) =f(501×4+7)=f(7), ∴52011 与 57 的末四位数相同,均为 8125.故选 D.

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给出若干数字按如图 11-1 所示排成倒三角形,其中 第一行各数依次是 1,2,3,?,2011,从第二行起每个数分别等于 上一行左、右两数之和,最后一行只有一个数 M,则这个数 M 是 ( )

A.2012· 2009 2 C.2010· 2011 2

图 11-1 B.2011· 2010 2 D.2010· 2007 2

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A 【解析】 第一行公差为 1;第二行公差为 2;??;第 2010 行公差为 22009, 2011 行只有 M, 第 发现规律, M=(1+2011)· 2009. 得 2 或从第一行为 1,2,3 及 1,2,3,4,5 的两个“小三角形”结合选项归纳 得结果为(3+1)×21 及(5+1)×23,猜一般规律为(n+1)· n-2. 2

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例 2 有对称中心的曲线叫做有心曲线,过有心曲线中心的弦 叫做有心曲线的直径. 定理: 如果圆 x2+y2=r2(r>0)上异于一条直径 两个端点的任意一点与这条直径两个端点连线的斜率存在,则这两 x2 y2 条 直 线 的 斜 率 乘 积 为 定 值 - 1. 写 出 该 定 理 在 有 心 曲 线 m + n = 1(mn≠0)中的推广________________________.

【分析】 根据给出的概念,设出曲线上点的坐标,根据 点在曲线上和斜率公式推证.

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x2 y2 m+ n =1(mn≠0)上异于一条直径两个端点的任意一点,与这 n 条直径两个端点的连线斜率乘积等于-m 【解析】 设直径两端 点分别为 A(x1,y1),B(-x1,-y1),C(x0,y0)为曲线上异于 A,B y0-y1 y0+y1 的任意一点,则 kACkBC= · ,由于点 A,C 在曲线上, x0-x1 x0+x1 2 y0-y1 y0+y1 x2 y0 x2 y2 n 0 1 1 所以m+ n =1,m+ n =1,两式相减得 · =-m. x0-x1 x0+x1

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若等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,前 n 项的和 ?Sn? S d ? ?为等差数列,且通项为 n=a1+(n-1)· .类似地, 为 Sn,则数列 n n 2 ? ? 请完成下列命题:若各项均为正数的等比数列{bn}的首项为 b1,公 比为 q,前 n 项的积为 Tn,则________________________.

数列{ Tn}为等比数列,且通项为 Tn=b1( q)n 1 【解析】 等差数列的加法类比为等比数列的乘法. 结 论是:数列{ Tn}为等比数列,且通项为 Tn=b1( q)n 1. n n


n

n



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例 3 [2011· 福建卷] 设 V 是全体平面向量构成的集合,若映 射 f:V→R 满足: 对任意向量 a=(x1,y1)∈V,b=(x2,y2)∈V,以及任意 λ∈R, 均有 f(λa+(1-λ)b)=λf(a)+(1-λ)f(b). 则称映射 f 具有性质 P. 现给出如下映射: ①f1:V→R,f1(m)=x-y,m=(x,y)∈V; ②f2:V→R,f2(m)=x2+y,m=(x,y)∈V; ③f3:V→R,f3(m)=x+y+1,m=(x,y)∈V. 其中,具有性质 P 的映射的序号为________.(写出所有具有 性质 P 的映射的序号)

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①③ 【解析】 设 a=(x1,y1)∈V,b=(x2,y2)∈V,则 λa+(1-λ)b=λ(x1,y1)+(1-λ)(x2,y2)=(λx1+(1-λ)x2,λy1+ (1-λ)y2), ①f1(λa+(1-λ)b)=λx1+(1-λ)x2-[λy1+(1-λ)y2] =λ(x1-y1)+(1-λ)(x2-y2)=λf1(a)+(1-λ)f1(b), ∴映射 f1 具有性质 P; ②f2(λa+(1-λ)b)=[λx1+(1-λ)x2]2+[λy1+(1-λ)y2], λf2(a)+(1-λ)f2(b)=λ(x2 +y1 ) + (1-λ)(x2 + y2 ), 1 2 ∴f2(λa+(1-λ)b)≠λf2(a)+(1-λ)f2(b), ∴ 映射 f2 不具有性质 P; ③f3(λa+(1-λ)b)=λx1+(1-λ)x2+(λy1+(1-λ)y2)+1 =λ(x1+y1+1)+(1-λ)(x2+y2+1)=λf3(a)+(1-λ)f3(b), ∴ 映射 f3 具有性质 P. 故具有性质 P 的映射的序号为①③.

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? 探究点二 直接证明与间接证明

例 4 [2011· 重庆卷] 设实数数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn+1=an+1Sn(n∈N*). (1)若 a1,S2,-2a2 成等比数列,求 S2 和 a3; 4 (2)求证:对 k≥3 有 0≤ak+1≤ak≤3.

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2 ?S2=-2a1a2, 【解答】 (1)由题意? 得 S2=-2S2, 2 ?S2=a2S1=a1a2, 由 S2 是等比中项知 S2≠0.因此 S2=-2. -2 S2 2 由 S2+a3=S3=a3S2 解得 a3= = =3. S2-1 -2-1 (2)证法一:由题设条件有 Sn+an+1=an+1Sn, an+1 Sn 故 Sn≠1,an+1≠1 且 an+1= ,Sn= , Sn-1 an+1-1 ak-1 ak-1+ ak-1-1 Sk-1 ak-1+Sk-2 a2-1 k 从而对 k≥3 有 ak= = = = 2 .① Sk-1-1 ak-1+Sk-2-1 ak-1 ak-1-ak-1+1 ak-1+ -1 ak-1-1 ? 1? 3 因 a2-1-ak-1+1=?ak-1-2?2+4>0 且 a2-1≥0,由①得 ak≥0. k k ? ? ? ? a2-1 4 4 k 要证 ak≤3,由①只要证 2 ≤3, ak-1-ak-1+1 4 即证 3a2-1≤4(a2-1-ak-1+1),即(ak-1-2)2≥0,此式明显成立.因此 ak≤3(k≥3). k k a2 k 最后证 ak+1≤ak,若不然 ak+1= 2 >a , ak-ak+1 k ak 又因 ak≥0,故 2 >1,即(ak-1)2<0.矛盾. ak-ak+1 因此 ak+1≤ak(k≥3).

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(2) 证法二:由题设知 Sn+1=Sn+an+1=an+1Sn,
故方程 x2-Sn+1x+Sn+1=0 有根 Sn 和 an+1(可能相同). 因此判别式 Δ=S2 +1-4Sn+1≥0. n an+ 2 又由 Sn+2=Sn+1+an+2=an+2Sn+1 得 an+2≠1 且 Sn+1= . an+2-1 a2 +2 4an+2 n 因此 - ≥0,即 3a2 +2-4an+2≤0, 2 n ?an+2-1? an+2-1 4 4 解得 0≤an+2≤3.因此 0≤ak≤3(k≥3). Sk-1 由 ak= ≥0(k≥3),得 Sk-1-1 ? Sk-1 ? ? Sk-1 ? -1? Sk ? S2-1 -1?=ak ak+1-ak= -ak=ak? ? k -1 ? Sk-1 ?akSk-1-1 ? ?Sk-1-1 ? ak ak =- 2 =-? 1?2 3≤0, Sk-1-Sk-1+1 ?Sk-1- ? + 2? 4 ? 因此 ak+1≤ak(k≥3).

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? 探究点三 数学归纳法

n 例 5 已知数列{an}满足关系式 an+1=a +2,n∈N*,且 a1=2. n (1)求 a2,a3,a4; (2)求证: n+1≤an< n+1+1; 1 1 1 (3)求证: n+1-1<a +a +?+a <2( n+3- 3). 1 2 n

5 14 43 【解答】 (1)由题意,知 a2=2,a3= 5 ,a4=14.

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n (2)由 an+1=a +2 及 a1=2,知 an>0.
n

下面用数学归纳法证明: ①当 n=1 时,a1=2 满足 1+1≤a1< 1+1+1,成立. ②假设当 n=k(k∈N*)时, k+1≤ak< k+1+1 成立,则 k k 当 n=k+1 时,ak+1=a +2> +2= k+1+1. k k+1+1 k k ak+1=a +2≤ +2. k+1 k k 下面用分析法证明: +2< k+2+1. k+1 k 欲证 +2< k+2+1,只需证 k+ k+1<( k+1) k+2, k+1 只需证(k+ k+1)2<[( k+1) k+2]2,只需证 2 k+1>0,此式显然成立. k k k 所以 +2< k+2+1 成立.从而 ak+1=a +2≤ +2< k+2+1. k+1 k+1 k 由①②可知,对一切 k∈N*, n+1≤an< n+1+1 成立.

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(3)证明:由(2),知 而 1 1 1 <a ≤ , n+1 n+1+1 n

1 1 ≥ = n+1- n, n+1+1 n+1+ n 1 2 2 = < =2( n+3- n+2), n+1 ? n+1?+? n+1? n+3+ n+2 1 所以 n+1- n<a <2( n+3- n+2), n 1 1 1 ? ? ? ? 所以 ?? 2- 1?? +?+ ?? n+1- n?? < a + a +?+ a <2( 4- 3)+? 1 2 n +2( n+3- n+2), 1 1 1 所以 n+1-1<a +a +?+a <2( n+3- 3). 1 2 n

第11讲 │ 要点热点探究

第11讲 │ 要点热点探究

1 1 已知函数 fn(x)=3x3-2(n+1)x2+x(n∈N*),数列{an} 满足 an+1=f′n(an),a1=3. (1)求 a2,a3,a4; (2)根据(1)猜想数列{an}的通项公式,并证明; 1 1 1 3 (3)求证: + +?+ <2. ?2a1-5?2 ?2a2-5?2 ?2an-5?2

第11讲 │ 要点热点探究
【解答】 (1)f′n(x)=x2-(n+1)x+1(n∈N*), a1=3,又 an+1=a2 -(n+1)an+1,∴a2=a2-2a1+1=4, n 1 2 a3=a2-3a2+1=5,a4=a3-4a3+1=6. 2 (2)猜想 an=n+2,用数学归纳法证明. 当 n=1 时显然成立, 假设当 n=k(k∈N*)时,ak=k+2, 则当 n=k+1(k∈N*)时, ak+1=a2-(k+1)ak+1=(k+2)2-(k+1)(k+2)+1, k =k+3=(k+1)+2, ∴当 n=k(k∈N*)时,猜想成立. 根据数学归纳法对一切 n∈N*,an=n+2 均成立,

第11讲 │ 要点热点探究
(3)当 k≥2 时,有 1 ? 1 1 1 1? 1 ? - =2?2k-3 2k-1?, 2= 2< ? ?2ak-5? ?2k-1? ?2k-1??2k-3? ? ? 所以 n≥2 时,有
n 1 1 =1+ ? ? ?2a -5?2 ?2ak-5?2 k =1 =2 k k n

? 1 1 ?? 1? ?1 1? 1?? ?? ? <1+2? 1-3?+?3-5?+?+?2n-3-2n-1?? ?? ? ? ? ?? ? ?? 1 ? 1? 1 3 ? =1+2?1-2n-1?<1+2=2. ? ? ? 1 3 又 n=1 时, 2=1< . 2 ?2a1-5?

故对一切 n∈N ,有 ?
* k=1

n

1 3 < 2. ?2ak-5?2

第11讲 │ 规律技巧提炼
规律技巧提炼
1.合情推理的精髓是“合情”,即得到的结论符合“情理”,其中主 要是归纳推理与类比推理.归纳推理是由部分得到整体的一种推理模式.类 比推理是由此及彼的推理模式;演绎推理是一种严格的证明方式. 2.直接证明的最基本的两种证明方法综合法和分析法,这两种方法也 是解决数学问题时常见的思维方式.在实际解题时,通常先用分析法寻求解 题思路,再用综合法有条理地表述解题过程. 3.数学归纳法是证明与正整数有关的数学命题的一种方法,在遇到与 正整数有关的数学命题时,要考虑是否可以使用数学归纳法进行证明,但也 要注意并不是所有的与正整数有关的数学命题都可以使用数学归纳法进行 证明的;在可以使用数学归纳法进行证明的数学命题中,要准确使用数学归 纳法证明命题的格式,特别要注意在证明过程中一定要使用归纳假设..

第11讲 │ 教师备用例题

教师备用例题

备选理由: 1 难度不大, 例 主要说明出现在考题中的 合情推理试题, 其结论不是漫无目的的; 2 是递推数列 例 中的不等式问题,这里主要是使用数学归纳法进行证明, 这个题目具有较大的难度.

第11讲 │ 教师备用例题
例 1 在 Rt△ABC 中,若∠C=90° ,AC=b,BC a2+b2 =a,则△ABC 外接圆半径 r= . 2 运用类比方法, 若三棱锥的三条侧棱两两互相垂 直且长度分别为 a,b,c,则其外接球的半径 R= ________. a2+b2+c2 【答案】 2 【解析】 作一个在同一个顶点处棱长分别为 a,b,c 的 长方体,则这个长方体的体对角线的长度是 a2+b2+c2,故 a2+b2+c2 这个长方体的外接球的半径是 ,这也是所求的三 2 棱锥的外接球的半径.

第11讲 │ 教师备用例题
1 例 2 [2010· 全国卷Ⅰ] 已知数列{an}中, 1=1, n+1=c-a . a a n 5 1 (1)设 c=2,bn= ,求数列{bn}的通项公式; an-2 (2)求使不等式 an<an+1<3 成立的 c 的取值范围.
an-2 5 1 1 2an 4 【解答】 (1)an+1-2=2-a -2= 2a , = = + an+1-2 an-2 an-2 n n 2,即 bn+1=4bn+2, ? 2? 2 1 bn+1+3=4?bn+3?.又 a1=1,故 b1= =-1. ? ? a1-2 ? 2? 1 ?bn+ ?是首项为- ,公比为 4 的等比数列. 所以数列 3? 3 ? 2 1 n- 1 1 n-1 2 bn+3=-3· ,bn=-3· -3. 4 4

第11讲 │ 教师备用例题
(2)a1=1,a2=c-1,由 a2>a1 得 c>2. 用数学归纳法证明:当 c>2 时 an<an+1. 1 当 n=1 时,a2=c-a >a1,命题成立; 1 ②假设当 n=k 时,ak<ak+1, 1 1 则当 n=k+1 时,ak+2=c- >c-a =ak+1. ak+1 k 故由①②知,当 c>2 时 an<an+1. c+ c2-4 当 c>2 时,令 α= , 2 1 1 由 an+a <an+1+a =c 得 an<α. n n 10 10 当 2<c≤ 3 时,an<α≤3;当 c> 3 时,α>3,且 1≤an<α. 1 1 1 于是 α-an+1=a α(α-an)≤3(α-an),α-an+1≤3n(α-1). n α-1 10 当 n>log3 时,α-an+1<α-3,an+1>3,因此 c> 3 不符合要求. α-3 ? 10? ? 所以 c 的取值范围是?2, 3 ?. ? ? ?

第11讲 │ 教师备用例题
??高考命题者说 【考查目标】 本题考查数列的通项公式及前 n 项和公式,考查数学归 纳法的应用, 综合考查考生运用数列知识, 进行运算求解和推理论证的能力. 【命制过程】 试题用数列{an}的相邻两项之间的关系定义数列元素间的 关系,这是考生熟悉的.引入数列{bn},一方面使利用递推关系求数列通项 公式的难度控制在教学要求的范围内, 利于中学的教学; 另一方面使问题(2) 的解决有了多个切入点,使考查目标得以实现. 1 5 1 【解题思路】 (1)将 an+1=c-a =2-a 适当变形, 可得 bn+1=4bn+2.(2) n n 用数学归纳法. 【试题评价】 试题以数列的递推关系呈现,通过巧妙设计,将递推关 系求通项公式的难度控制在教学的基本范围内, 问题(2)的设计既体现了试题 的选拔功能,又利于中学教学. (引自高等教育出版社 2011 年大纲版的《高考理科试题分析》第 116 页 第 22 题)


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