nbhkdz.com冰点文库

坐标系与参数方程讲义

时间:2016-06-26


坐标系与参数方程
考向一:伸缩变换 考向二:极坐标系与简单曲线的极坐标方程
极坐标与直角坐标的互化

? x ? ? cos? ? ? y ? ? sin ? '

?? 2 ? x 2 ? y 2 ? ? y ?tan? ? ( x ? 0) x ?


【例】点 M 的直角坐标是 (?1, 3) ,则点 M 的极坐标为( A. (2,

?
3

)

B. (2, ?

?
3

) C. (2,

2? ) 3

D. (2, 2k? ?

?
3

), (k ? Z )

【解析】 ? ? 所以 ? ?

? ?1?

2

?

? 3?

2

? 2 , tan ? ?

3 ? ? 3 ,因为点 ?1, 3 在第二象限, ?1

?

?

2? 2? ) .故 C 正确. .所以点 M 的极坐标为 (2, 3 3 5? ? ) 到直线 ? sin(? ? ) ? 4 的距离为( 【例】在极坐标系中,点 ( 2, 6 3
A.1 B.2 C.3 D.4



【 解 析 】 化 极 坐 标 为 普 通 直 角 坐 标 , 点 ( 2,

y ? 2sin

5? ?1 6

5? 5? ) 的坐标 x ? 2 cos ? ? 6 6


3 ,










(? 3,1)





? 1 3 1 3 ? sin(? ? ) ? ? ( sin ? ? cos ? ) ? y ? x?4 , 所 以直 线 普通 方程 为
3 2 2 2 2

3x ? y ? 8 ? 0 ,由点到直线的距离公式得 d ?

?3 ? 1 ? 8 3 ?1

? 2 ,故选 B.

【例】已知圆的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 2 y ? 0 .在以原点为极点, x 轴正半轴为
极轴的极坐标系中,该圆的方程为( ) A. ? ? 2cos ? B. ? ? 2sin ? C. ? ? ?2cos?
1

D. ? ? ?2sin ?

【 解 析 】 法 一 : 利 用 直 角 坐 标 与 极 坐 标 间 的 关 系 , 即 利 用

? cos? ? x, ? sin? ? y, ? 2 ? x2 ? y 2 ,进行代换,
圆的直角坐标方程为 x ? y ? 2 y ? 0 ,所以 ? ? 2? sin? ? 0 ,即 ? ? 2sin ? .
2 2 2 2 2 x 2 ? ? y ? 1? ? 1 法二:圆的直角坐标方程为 x ? y ? 2 y ? 0 ,即 ,
2



M ? ? ,? ?

是圆 C 上任一点, ?MOx ? ? ,若 ? 为钝角,则

sin ?? ? ? ? ? sin?

所以 2sin ? ? ? .

【练 1】以下各点坐标与点 M ( ?5, A. (5,?

?
3

) 不同的是(
C. (5,?

) D. ( ?5,? )

?
3

)

B. (5,

4? ) 3

2? ) 3

5? ) 3

【练 2】坐标系中,圆 ? ? ?2 sin ? 的圆心的极坐标是( A. (1,

? ) 2

B. (1, ?

?
2

)

C. ?1,0?

D. ?1, ? ?

【练 3】在极坐标中,点 ? 2 ,

? ?

??

? 到圆 ? ? 2 cos? 的圆心的距离为_____________ 4?
?

【 练 4 】 在 极 坐 标 系 中 , 经 过 点 (4, ) 且 与 极 轴 垂 直 的 直 线 的 极 坐 标 方 程 3 为 . 【练 5】在极坐标中,与圆 ? ? 4sin ? 相切的一条直线方程为 A. ? sin ? ? 2 B. ? cos ? ? 2 C. ? cos ? ? 4 D. ? cos ? ? ?4

【练 6】在极坐标系中,定点 A ?1,

? π? ? ,动点 B 在直线 ? cos? ? ? sin ? ? 0 上运动, ? 2?

当线段 AB 最短时,动点 B 的极坐标是 A. (

2 π , ) 2 4

B. (

2 3π , ) 2 4
2

C. (

3 π , ) 2 4

D. (

3 3π , ) 2 4

M (?5, ) ? M (5, ? ? ) ? M (5, ? ? ? 2? ) ? M (?5, ? 2? ) 3 3 3 3 【解析 1】因为 ,所以选 A.
2 2 2 2 【解析 2】 ? ? ?2sin ? ? ? ? ?2 ? sin ? ? x ? y ? ?2 y ? x ? ? y ? 1? ? 1 ,圆心为 2

?

?

?

?

? 0, ?1? ,极坐标为 (1, ? 2 )
【解析 3】将圆 ? ? 2 cos? 的化为直角坐标方程
2 ?? ? 2 ? 2 ? cos ? ? x 2 ? y 2 ? 2 x ? ? x ? 1? ? y 2 ? 1 ,点 ? ? 2 , ? 得直角坐标为 ?1,1? , 4? ?

?

则点 ?1,1? 到圆心 ?1,0 ? 的距离为 1 【解析 4】设所求直线上任一点 P( ? ,? ) ,则由题意得:

? ? cos? ? 4cos , ? cos? ? 2
3

【解析 5】根据题意可知圆 ? ? 4sin ? 的平面直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 ,化为 标 准 式 为 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 , 可 以 发 现 , 与 坐 标 轴 平 行 的 圆 的 切 线 为

x ? ?2, y ? 0, y ? 4 ,所以选项中满足条件的是 x ? 2, 即 ? cos? ? 2 ,故选 B.
【解析 6】 A 的直角坐标为 ? 0,1? ,线段 AB 最短即 AB 与直线 x ? y ? 0 垂直,设 B 的 直 角 坐 标 为 ? a, ?a ? , 则 AB 斜 率 为

?a ? 1 1 ?1 , a ? ? ,所以 B 的直角坐标为 a 2

2 3π ? 1 1? , ) .故选 B. ? ? , ? ,极坐标为 ( 2 4 ? 2 2?

考向三:直线与圆锥曲线的参数方程
【例】若直线 l 的参数方程为 ? ( A. ? )

? x ? ?2 ? 3t (t 为参数) ,则直线 l 的倾斜角的余弦值为 ? y ? 3 ? 4t
3 5 4 5

4 5

B. ?

3 5

C.

D.

【解析】化参数方程为普通方程 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 ,所以 k ? ?

4 4 ,即 tan ? ? ? ,从而 3 3

3 cos ? ? ? ,故选 B. 5
3

? x ? x0 ? at 【例】已知直线 ? (t 为参数)上两点 A,B 对应的参数值是 t1,t2,则|AB| ? y ? y0 ? bt

等于( ) A.|t1+t2| B.|t1-t2| C. a2 ? b2 | t1 ? t2 | D.
| t1 ? t2 | a 2 ? b2

am ? x ? x0 ? ? ? x ? x0 ? at a 2 ? b2 ? ?? ,t ? 【解析】依题意, ? ? y ? y0 ? bt ? y ? y ? bm 0 ? a 2 ? b2 ?

m a ? b2
2

,由直线参数方程几何

意义得 | AB |?| m1 ? m2 |? a2 ? b2 | t1 ? t2 | ,选 C. 【例】若点 P 为曲线 ? 离为( ) A. 2 ? 1 B. 2+1 C. 2 D.2

? x ? 1 ? cos ? ( ? 为参数)上一点,则点 P 与坐标原点的最短距 ? y ? 1 ? sin ?

【解析】

| OP |2 ? (1 ? cos ? ) 2 ? (1 ? sin ? ) 2 ? 3 ? 2(sin ? ? cos ? ) ? 3 ? 2 2 sin(? ? ) , 4
2 所以 | OP | 的最小值为: 3 ? 2 2 ,即 | OP | 的最小值为: 3 ? 2 2 ? 2 ? 1 .

?

【例】设 P ? x, y ? 是曲线 C : ?

? x ? ?2 ? cos? ( ? 为参数, 0 ? ? ? 2? )上任意一点,则 ? y ? sin ?

y 的取值范围是( ) x
A. ? ? 3, 3 ?

?

?

B. ??, ? 3 ? ? ? 3, ??

?

?

?

?

C. ? ?

? ?

3 3? , ? 3 3 ?

D. ? ??, ?

? ? ?

? 3? ? 3 ? ? ? , ?? ? ? 3 ? ? 3 ?

4

? x ? ?2 ? cos? C:? ? y ? sin ? ( ? 为 参 数 , 0 ? ? ? 2? ) 的 普 通 方 程 为 : 【解析】曲线

? x ? 2?

2

? y 2 ? 1, P ? x, y ?

是曲线

C : ? x ? 2? ? y2 ? 1
2

y 上任意一点,则 x 的几何意义就

是圆上的点与坐标原点连线的斜率, 如图:

y ? 3 3? ? ?? , ? x ? 3 3 ? .故选 C.

【 例 】 若 P (m, n) 为 椭 圆 ? 是 .

? x ? 3 cos? ? y ? sin ?

(?为参数) 上 的 点 , 则 m ? n 的 取 值 范 围

【解析】依题意可得 ?

? m ? 3 cos ? ? , ? ? n ? sin ?

? 3 ? 1 ?? ? ? m ? n ? 3 cos ? ? sin ? ? 2 ? cos ? ? sin ? ? 2sin ? ? ? ? , ? ? 2 ? 2 3? ? ? ?

?? ?? ? ? ?? ? R , ? sin ?? ? ? ? ? ?1,1? , ? 2sin ? ? ? ? ? ? ?2, 2? .即 m ? n ?? ?2, 2? 3? 3? ? ?

2 ? ? x ? 2 ? sin ? 【练 1】参数方程 ? ( ? 为参数)化为普通方程为( 2 y ? sin ? ? ?



A. y ? x ? 2 【练 2】直线 ? A. (4,3)

B. y ? x ? 2

C. y ? x ? 2(2 ? x ? 3)

D. y ? x ? 2(0 ? y ? 1)

?x ? 3 ? t , ( t 为参数)上与点 P(3, 4) 的距离等于 2 的点的坐标是 ?y ? 4 ? t
C. (2,5)
5

B. (?4,5) 或 (0,1)

D. (4,3) 或 (2,5)

【练 3】在直角坐标系 xOy 中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设 点 A,B 分别在曲线 C1 : ? 小值为_______. 【练 4】直线 ? 截得的弦长为

? x ? 3 ? cos? ( ? 为参数)和曲线 C2 : ? ? 1 上,则 AB 的最 ? y ? 4 ? sin ?

? x ? 3 ? 5cos ? ? x ? ?2 ? t (t为参数) 被圆 ? ? y ? ?1 ? 5sin ? ? y ? 1? t


(? 为参数,? ?[0,2? )) 所

【练 5】 直线 l 的斜率 k ? ?1 , 经过点 M 0 (2,?1) ,点 M 在直线 l 上, 以 M 0 M 的数量 t 为 参数,则直线 l 的参数方程为 .

2 ? ? ?x ? 2 ? s i n 【解析 1】由题: ? ? x ? 2 ?1? y ? 1 ? x ? y ? 2 ? 0 , 又 因 为 2 ? s ?1 ? y ? c o ?

sin ? ? ?0,1? ,故 x ? ?2,3?
【解析 2】根据直线参数方程中 t 的几何意义,可知满足条件的 t 的值为 ?1 ,所以对应 的点的坐标为 (4,3) 或 (2,5) ,故选 D. 【解析 3】 由参数方程与极坐标方程化普通方程为 ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 1 和 x 2 ? y 2 ? 1, 即求两个圆上点 A,B 间的最小距离,由圆的几何性质知, AB 的最小值等于圆心距去 掉两个半径,圆心距等于 5 ,所以 AB min ? 5 ?1 ?1 ? 3 ,所以答案应填:3. 【 解 析 4 】 由 题 意 , 得 直 线 与 圆 的 普 通 方 程 分 别 为 x ? y ?1 ? 0 与

2

?x ? 3?2 ? ? y ?1?2 ? 25
2 r 2 ? d 2 ? 2 25 ?

, 则 弦 心 距 d?

3 ?1 ? 1 2

?

3 , 则 弦 长 为 2

9 ? 82 . 2
2 2 ,代入直线的参数方程, , s i n? ? 2 2

0 【 解 析 5 】 ? ? 135 , 所 以 c o s ? ??

? 2 t, ?x ? 2 ? ? 2 ( t 为参数) . ? 2 ? y ? ?1 ? t ? ? 2

6

考向四:坐标系与参数方程综合
【例】在直角坐标系中,以坐标原点为极点, x 轴非负半轴为极轴且单位长度相同建立

? x ? 4 ? 2sin ? ? y ? ?2 ? 2cos ? ( ? 为参数)与曲线 ? 2 ? 4? cos? ? 21的交点个数为 极坐标系, ?
( A.0 ) B.1 C.2 D. 3

【解析】参数方程化为普通方程为 ? x ? 4 ? ? ? y ? 2 ? ? 4 ,圆心为 ? 4, ?2 ? ,半径为
2 2

r1 ? 2 ,曲线极坐标方程化直角坐标方程为 ? x ? 2 ? ? y 2 ? 25 ,圆心为 ? 2, 0 ? ,半径
2

r2 ? 5 ,所以圆心距 d ? 22 ? 22 ? 2 2 ? r2 ? r1 ,所以两圆内含,无交点
【例】在平面直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标 系.已知曲线 C 的方程为 ?

?x ? t2 , ? y ? 2t

( t 为参数),直线 l 的方程为

,若直线 l 交曲线 C 于 A , B 两点,F 为曲线 C k ? cos ? ? ? sin ? ? k ? 0( k 为实数) 的焦点,则

1 1 ? 的值为_________. AF BF

【解析】曲线 C 的方程为 ?

?x ? t2 , ? y ? 2t

( t 为参数) ,化为 y ? 4 x ,其焦点 F ?1 , 0? .直线 l
2

的方程为 k ? cos ? ? ? sin ? ? k ? 0( k 为实数) ,kx ? y ? k ? 0 , 化为 y ? k ? x ?1? . 设

A?x 1, y 1 ?, B x ?2 y, 2

? y ? k? x? 1? ? . 联 立 ? y 2 ? 4 x , 化 为 k 2 x 2 ? ? 4 ? 2 k 2? ?

x? k2 ? 0,

4 ? 2k 2 x1 ? x2 ? ,x1 x2 ? 1 .∴ AF ? x1 ? 1 , BF ? x2 ? 1.∴ k2

4 ? 2k 2 ?2 2 x1 ? x2 ? 2 1 1 1 1 k ? ? ? ? ? ? 1. 4 ? 2k 2 AF BF x1 ? 1 x2 ? 1 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 1? ?1 k2
7

【练 1】已知直线 ?

?x ? 2 ? t (t 为参数)与曲线 C : ? 2 ? 4? cos? ? 3 ? 0 交于 A, B 两 ?y ? 1? t
B.

点,则 AB ? ( )A. 1

1 2

C.

2 2

D. 2

【练 2】以平面直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种 坐标系中取相同的长度单位,已知直线 l 的参数方程是 ?

? x ? t ?1 , (t 为参数) ,圆 C 的 ?y ? t ?3
) D. 2 2

极坐标方程是 ? ? 4cos? 则直线 l 被圆 C 截得的弦长为( A. 14 B. 2 14 C. 2

【 解 析 1 】 将 直 线 化 为 普 通 方 程 为 x ? y ?1 ? 0 , 将 曲 线 C 化 为 直 角 坐 标 方 程 为

x2 ? y 2 ? 4x ? 3 ? 0 ,即 ? x ? 2 ? ? y 2 ? 1 ,所以曲线 C 为以 ? 2, 0? 为圆心,半径 r ? 1 的
2

圆.圆心 ? 2, 0 ? 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离 d ?
2

2 ? 0 ?1 1 ? ? ?1?
2 2

?

2 . 2

? AB ? 2 根据 d ? ? ? ? r ,解得 AB ? 2 .故 D 正确. 2 ? ?
2
2 【解析 2】直线的普通方程为 x ? y ? 4 ? 0 ,圆的直角坐标方程为 ? x ? 2 ? ? y ? 4 , 2

圆心到直线的距离 d ?

2?4

?l? ? 2 ?? ? ? d 2 ? r 2 ?l ? 2 2 2 ? 2?

2

考向五:简单最值问题
? x ? 1 ? cos ? ? 【例】设点 P 在曲线 ? sin? ? 2 上,点 Q 在曲线 ? ( 为参数)上,求| PQ |的 ? y ? sin ?
最小值( A.1 ) B.2 C.3 D.4

【解析】首先把两曲线化为直角坐标方程: y ? 2,( x ? 1) ? y ? 1,数形结合知过 x=1
2 2

的直线与圆相交的较近的两点间的距离就是
8

PQ

的最小值.

【例】已知直线 l : x ? y ? 4 ? 0 与圆 C : 值为_____________.

? ? xy??11??2cos 2sin?

,则 C 上各点到 l 的距离的最小

【解析】根据题意可知圆 C 为以 (1,1) 为圆心,以 2 为半径的圆,又圆心到直线的距离 为d ?

1 ?1 ? 4 2

? 2 2 ,所以圆 C 上各点到 l 的距离的最小值为 2 2 ? 2 .

? x ? ?4 ? cos ?, 【例】已知曲线 C1 的参数方程为 ? ? ? [?, 2? ] ,若以坐标原点 O 为极点,x ? y ? sin ?,

?? ? ? ? ? ?? 轴正半轴为极轴,曲线 C2 的极坐标方程为 ? sin ? ? ? ? ? 2 ? ? ? 0,? ? ?0, ? ? ,那么 4? ? ? 2 ?? ?
C1 上的点到曲线 C2 上的点的距离的最小值为 .

? x ? ?4 ? cos?, 2 ? ? [?, 2? ] 化成 ?x ? 4? ? y 2 ? 1 y ? 0 ,它表示以 ?? 4,0? 为 【解析】将 ? y ? sin ? , ?

圆 心 , 半 径 为

1

?? ? ? ? ? ?? 的 下 半 圆 ; ? sin ? ? ? ? ? 2 ? ? ? 0,? ? ?0, ? ? 化 为 4? ? ? 2 ?? ?

? s i ?n? ? c o? s? 2 ,即 x ? y ? 2 ? 0?0 ? x ? 2? ,它表示一条线段;作出两者图像,
由图像,得么 C1 上的点到曲线 C2 上的点的距离的最小值为 M ?0,2 ? 与 B?? 3,0? 间的距 离,即为 13 .

9

坐标系与参数方程小题综合练习
1. ? ?

?
4

( ? ? 0) 表示的图形是(
B.一条直线

) D.圆 ) D. y ? 1

A.一条射线

C.一条线段

2.化极坐标方程 ? 2 cos ? ? ? ? 0 为直角坐标方程为( A. x 2 ? y 2 ? 1或 y ? 1 B. x ? 1

C. x 2 ? y 2 ? 1或 x ? 1

3.极坐标方程 ? ? ?1??? ? ? ? ? 0 ? ? ? 0? 表示的图形是() A.两个圆 C.一个圆和一条射线 4.下列在曲线 ? A. ( , ? 2) B.两条直线 D.一条直线和一条射线 )

? x ? sin 2? (? 为参数) 上的点是( ? y ? cos ? ? sin ?
B. ( ?

1 2

3 1 , ) 4 2

C. (2, 3)

D. (1, 3)

5.在极坐标系中,设圆 C: ? ? 4cos ? 与直线 l : ? ? AB 为直径的圆的极坐标方程为( A. ? ? 2 2 sin(? ? )

?
4

( ? ? R) 交于 A,B 两点,求以

?
4

)

B. ? ? 2 2 sin(? ?

?
4

)

C. ? ? 2 2cos(? ?

?
4

)

D. ? ? 2 2 cos(? ?

?
4

)

6.极坐标系下,直线 ? cos( ? ? 7. 已知圆 C 的参数方程为 ?

?
4

) ? 2 与圆 ? ? 2 的公共点个数是________;

? x ? cos ? , (? 为参数) , 直线 l 的极坐标方程为 ? sin ? ? 1 , ? y ? 1 ? sin ? .


则直线 l 与圆 C 的交点的直角坐标为

4 ? x?a? t ? ? 5 8.在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数) .在极坐标系 ? y ? ?a ? 3 t ? 5 ?
(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位, 且以原点 O 为极点, 以 x 轴正半轴为极轴) 中, 圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos? ,若直线 l 平分圆 C 的周长,则 a = 9. 若点 P(3, m) 在以点 F 为焦点的抛物线 ? .

? x ? 4t 2 ? y ? 4t

( t 为参数) 上, 则 | PF | 等于______.

10 . 已知 圆 C 的 极坐标方程 为 ? ? 2 cos ? ? 2 3 sin ? ,则圆 心 C 的一个极 坐标 为 .
10

11.在极坐标系中,设曲线

C1 : ? ? 2sin? 与 C2 : ? ? 2cos? 的交点分别为 A , B ,
.

则线段 AB 的垂直平分线的极坐标方程为 12.设曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? a ? 4cos ? ( ? 是参数, a ? 0 ) ,直线 l 的极坐标方 ? y ? 1 ? 4sin ?

程 为 3? cos? ? 4? sin , 若 曲 线 C 与 直 线 l 只有 一 个 公共 点, 则 实数 a 的 值 ?? 5 是 . 13.在直角坐标系中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线

? x ? ?2 ? t 过点 P(?2, ?4) 的直线 l 的参数方程为 ? (t 为 C : ? sin 2 ? ? 2a cos? (a ? 0) . ? y ? ?4 ? t
参数) .设直线 l 与曲线 C 分别交于 M , N 两点.若 | PM |,| MN |,| PN | 成等比数列,则

a 的值为________.

11

参考答案
【解析 1】 ? ?

?
4

,表示一和三象限的角平分线 y ? x , ? ? 0 表示第三象限的角平分

线. y ? x, x ? 0 【解析 2】因为 ? 2 cos ? ? ? ? 0 ,所以 ? ? ? cos? ?1? ? 0 ,即 ? ? 0 或 ? cos ? ? 1 , 所以极坐标方程 ? 2 cos ? ? ? ? 0 为直角坐标方程为 x 2 ? y 2 ? 1或 x ? 1 . 【解析 3】方程

? ? ?1??? ? ? ? ? 0 ? ? ? 1或 ? ? ? ,

? ? 1 是半径为1 的圆, ? ? ? 是一条射线.故选 C.
?? 1 ? x ? 1 ? 3 1 【解析 4】由题意,得 ?? 2 ? y ? 2 ,逐一验证,得 ( ? , ) 满足要求. 4 2 ?1 ? x ? y 2 ?
【解析 5】以极点为坐标原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立直角坐标系,则由题意,得 圆 C 的 直 角 坐 标 方 程 x2 ? y 2 ? 4x ? 0 , 直 线 l 的 直 角 坐 标 方 程 y ? x . 由

? x2 ? y2 ? 4x ? 0 ?x ? 0 ?x ? 2 ,解得 ? 或? ,所以 A? 0 , 0?,B ? 2, 2? ,从而以 AB 为直 ? ?y ? x ?y ? 0 ?y ? 2
径的圆的直角坐标方程为 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 ,即 x2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y .将其化为极坐
2 2

标方程为: ? ? 2? ? cos? ? sin ? ? ? 0 ,即 ? ? 2 ? cos ? ? sin ? ? ? 2 2 sin ? ? ?
2

? ?

??
? 4?

【解析 6】直线 ? cos( ? ?

?
4
2

) ? 2 平面直角坐标方程为 x ? y ? 2 ? 0 ,圆 ? ? 2 的
2

平 面 直 角 坐 标 方 程 为 x ? y ? 2 , 此 时 圆 心 (0, 0) 到 直 线 x ? y ? 2 的 距 离

d?

0?0?2 1?1

? 2 ,等于圆的半径,所以直线与圆的公共点的个数为1 个.
2

2 【解析 7】圆 C 的普通方程为 x ? ? y ? 1? ? 1 ,直线 l 的普通方程为 y ? 1 ,所以交点

为 (?1,1) 【解析 8】将直线的参数方程化成普通方程可知 3x ? 4 y ? a ? 0 ,将圆的极坐标方程化 为直角坐标方程,可知 ( x ?1) ? y ? 1 ,根据题意,可知直线过圆心,即 3 ? a ? 0 ,
2 2

解得 a ? ?3 . 【解析 9】抛物线为 y ? 4 x , | PF | 为 P(3, m) 到准线 x ? ?1 的距离,即距离为 4.
2

12

【解析 10】由 ? ? 2cos ? ? 2 3sin

? ,得 ? 2 ? 2? cos ? ? 2 3? sin ? ,即圆的普通方

?? ? 2 o s ? ?1 ?? c ? 程为 x ? y ? 2x ? 2 3 y ? 0 , 则圆心坐标为 1, 3 , 令? , 解得 ? ?, ?? n i ?? 3 ?? s ? 3 ?
2 2

?

?

即圆心的一个极坐标为 ? 2,

? ?

??

?. 3?

【解析 11】曲线 C1 : ? ? 2sin ? 的普通方程为 x2 ? 2 x ? y 2 ? 0 ,曲线 C2 : ? ? 2cos ? 的普通方程为 x2 ? y 2 ? 2 y ? 0 ,所以 ?? 的方程为 ? x ? y ? 0 ,又易知 ?? 的垂直平 分线斜率为 ?1 ,经过圆 C1 的圆心 ?1,0 ? ,所以 ?? 的垂直平分线的方程为 y ? ? x ? 1 , 即为 ? sin ? ? ? cos ? ? 1 ,或化成 ? sin ? ? ?

? ?

??
2

2 . ?? 4? 2
2

【 解 析 12 】 曲 线 C 的 普 通 方 程 为 ? x ? a ? ? ? y ? 1? ? 16 , 直 线 l 的 普 通 方 程

3x ? 4 y ? 5 ? 0 , 直 线 l 与 圆 C 相 切 , 则 圆 心 ? a,1? 到 l 的 距 离

d?

3a ? 4 ? 5 ?4?a ?7 5
2

【解析 13】曲线 C : ? sin

? ? 2a cos? (a ? 0) ,则 ? 2 sin 2 ? ? 2a? cos? ,所以可得

直 角 坐 标 系 方 程 为 y ? 2ax , 将 直 线 的 参 数 方 程 代 入 抛 物 线 方 程 得 :
2

t 2 ? (8 ? 2a)t ? 16 ? 4a ? 0 t1 ? t2 ? 8 ? 2a, t1 ? t2 ? 16 ? 4a
若 | PM |,| MN |,| PN | 成等比数列,所以

| MN |2 ?| PM || PN |,?(t1 ? t 2 )2 ? (t1 ? t2 )2 ? 4t1t2 ? t1t2 ,
2 化简得 (4 ? a) ? 5(4 ? a) 又因为 a ? 0或a ? ?4 ,所以 a ? 1 .

13


赞助商链接

高中数学选修4—4(坐标系与参数方程)知识点总结

高中数学选修4—4(坐标系与参数方程)知识点总结 - 坐标系与参数方程 知识点 1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,...

《坐标系与参数方程》讲义

坐标系与参数方程讲义 - 《坐标系与参数方程》 一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求 1.坐标系: ① 理解坐标系的作用. ② 了解在平面直角...

坐标系与参数方程(知识点+选题)

坐标系与参数方程(知识点+选题) - 第一节 1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 坐标系 ?x′=λx,λ>0, ? 设点 P(x, y)是平面直角坐标系中的任意一点,...

极坐标与参数方程数学讲义

坐标与参数方程数学讲义_数学_高中教育_教育专区。极坐标与参数方程一、考纲要求 1.理解参数方程的概念, 了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义, 掌握...

选修4-4坐标系与参数方程高考复习讲义

选修4-4 坐标系与参数方程高考复习讲义河南省三门峡市卢氏县第一高级中学 山永峰 本部分是人教A版教材选修模块内容,主要对极坐标的概念、点 的极坐标及简单曲线...

参数方程讲义

参数方程讲义 - 坐标系与参数方程 一、知识点梳理 (一)平面直角坐标系中的伸缩变化 伸缩变换:设点 P( x, y ) 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 ? :...

人教版选修4-4坐标系与参数方程培优辅导讲义

人教版选修4-4坐标系与参数方程培优辅导讲义_数学_高中教育_教育专区。2017高考有原来的三选一改为2选一。二坐标系与参数方程相比不等式要简单一些。黄山市屯溪...

极坐标与参数方程讲义

坐标与参数方程讲义 - 自选模块:坐标系与参数方程 模块: 2、极坐标系的概念 在平面内取一个定点 O ,叫做极点 极点;自极点 O 极点 极轴;再选定一个长度...

高三理科参数方程和极坐标讲义

高三理科参数方程和坐标讲义_数学_高中教育_教育专区。教育学科教师辅导讲义学员学校: 学员姓名: 课题年级:高三 辅导科目:数学 课时数: 学科教师: 参数方程和极...

坐标系与参数方程常考题型及解析

坐标系与参数方程高考常考题型及解析随着高考改革的不但深入,考试内用也在不但改革,分为必修和选修两部分,选修部分 又分为高考必考部分和选考部分, 这是对部分...