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高中数学课时作业----必修4

时间:2019-01-23

目录 第一章 三角函数 课时 1 任意角…………………………………………………1 课时 2 弧度制…………………………………………………3 课时 3 任意角的三角函数(1)…………………………………5 课时 4 任意角的三角函数(2)…………………………………7 课时 5 同角三角函数的基本关系……………………………9 习题课(1)………………………………………………………11 课时 6 三角函数的诱导公式(1)………………………………13 课时 7 三角函数的诱导公式(2)………………………………15 课时 8 正弦、余弦函数的图象………………………………17 课时 9 三角函数的周期性……………………………………19 课时 10 正弦函数、余弦函数的图象与性质(1)……………21 课时 11 正弦函数、余弦函数的图象与性质(2)……………23 课时 12 正切函数的性质与图象……………………………25 课时 13 函数 y=Asin(wx+ ? )的图象(1)……………………27 课时 14 函数 y=Asin(wx- ? )的图象(2)……………………29 习题课(2)………………………………………………………31 课时 15 三角函数模型的简单应用(1)………………………33 课时 16 三角函数模型的简单应用(2)………………………35 课时 17 本章复习……………………………………………37 第二章 平面向量 课时 1 平面向量的实际背景及基本概念……………………39 课时 2 向量加法运算及其几何意义…………………………41 课时 3 向量减法运算及其几何意义…………………………43 课时 4 向量数乘运算及其几何意义…………………………45 课时 5 向量共线定理…………………………………………47 课时 6 平面向量基本定理……………………………………49 习题课(3)………………………………………………………51 课时 7 平面向量的坐标表示及坐标运算(1)…………………53 课时 8 平面向量的坐标表示及坐标运算(2)…………………55 课时 9 平面向量的数量积……………………………………57 课时 10 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(1)………59 课时 11 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(2) ………61 习题课(4)…………………………………………………………63 课时 12 平面向量应用举例……………………………………65 课时 13 本章复习………………………………………………67 第三章 三角恒等变换 课时 1 两角和与差的余弦……………………………………69 课时 2 两角和与差的正弦、余弦(1)…………………………71 课时 3 两角和与差的正弦、余弦(2)…………………………73 课时 4 两角和与差的正切(1)…………………………………75 课时 5 两角和与差的正切(2)…………………………………77 课时 6 辅助角公式……………………………………………79

课时 7 二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)…………………81 课时 8 二倍角的正弦、余弦、正切公式(2)…………………83 习题课(5)………………………………………………………85 课时 9 简单的三角恒等变换…………………………………87 课时 10 本章复习………………………………………………89 附:第一章检测卷 第二章检测卷 第三章检测卷 模块测试卷(1) 模块测试卷(2) 参考答案与点拨 第一章 三角函数 课时 1 任 意 角 1.以下有四个命题:①小于 90°的角是锐角;②第一象限的角一定不是负角;③锐角 是第一象限的角;④第二象限的角必大于第一象限的角.其中,正确命题的个数是 ( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 2.若角 2a 与 140。的终边相同,则 a=____, 3.与-1215°角的终边相同且绝对值最小的角是____. 4.在“①145°,②510°,③-390°,④-880°”这四个角中,第二象限角是____. (请 填写正确的序号) 5.若将时钟拨慢 30 分钟,则时针转了____,分针转了____. 6.在直角坐标系中,若角α 与角β 的终边互相垂直,那么α 与β 的关系式为____. 7.在 O°到 360°范围内,找出与下列各角终边相同的角,并指出它们是第几象限角: (1)440° ; (2)1410° ; (3) - 464° 10'. 8.写出与下列各角终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式-360°≤α ≤360°的 元素α 写出来: (1) 30°; (2)-15°. 9.已知α 是第三象限角,请问 180°-α 是第几象限角? 10.在图 1-1-1 所示的平面直角坐标内分别画出在下列范围内的角: (1)k.360°-30°<x<k·360°+75°(k∈Z);(2)k·360°-135°<x<k·360°+135°(k ∈Z).

11.若θ 角的终边与 168°角的终边相同,求在[0°,360°)内终边与 同的角. 12.已知角α 是第二象限角,试确定 2α 、

? 角的终边相 3

a 所在的象限. 2

13.写出终边在 y 轴上的角的集合;终边在 x 轴上的角的集合,

课时 2 弧 度 制 1.若角 a∈(-2 ? ,-

3 ,则角α 终边所在象限是____. ?) 2

2.若扇形的圆心角是 2rad,它所对的弧长为 4cm,则这个扇形的面积是____. 3.与-

33 33 ? 终边相同的最小正角是____;与 ? 终边相同且绝对值最小的角是____. 4 4 k? ? ? + ,k∈Z},B={x|x=k ? ± , k∈Z,则集合 A 与集合 B 的 2 4 4

4.三角形的三个内角大小之比为 2:5:8,则各角的弧度数是____. 5.已知 A={x|x=

关系是____. 6.若将时钟拨慢 10 分钟,则分针转过的弧度数为____. 7.将下列各角化成 2kπ +α (0≤α <2π ,k∈Z)的形式,并指出角的终边所在的象 限: (1)

21 23 ? ; (2)1590°; (3) ? . 4 2

8.若α =4,则α 是第几象限角? 9.已知扇形的周长是 5cm,面积是 1cm2,求扇形圆心角的弧度数. 10.如图 1-2-1 所示,写出终边在下列阴影部分内的角的集合. (用弧度制)

11.已知一扇形的周长为 40cm,当它的半径和圆心角取什么值时,才能使扇形的面积 最大?最大面积是多少? 12.若角θ 的终边与

6 ? ? 角的终边相同,求在[0,2π )内终边与 角的终边相同的角. 3 7 2? 弧长到达 Q 点,则 Q 的 3

课时 3 任意角的三角函数(1) 1.点 P 从(1,0)出发,沿单位圆 x2+y2=1 逆时针方向运动 坐标为( ) A.(-

1 1 1 3 3 3 3 1 , ) B. ( ,- ) C. (- ,) D. ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2

2.已知角α 的终边经过点 P(12α ,5α )(α <0),则 sina____. 3.已知θ 是第三象限角,且 cos

? ? ,则 的终边所在象限是____. 2 2

4.化简 a cos 2? ? b sin
2 2

7? 9? ? ab cos 3? ? ab sin 结果为____. 2 2

5.函数 y ?

sin x | cos x | tan x 的值域是____. ? ? | sin x | cos x | tan x |
2 5 ,则α =____. 5

6.已知角α 的终边过点 P(α ,1+3α ),且 cos a ? ?

7.已知角α 的终边上一点 P 到 x 轴、y 轴的距离之比为 4:3,且 COSα <0,求 COS α - sinα 的值. 8.角α 的终边上一点 P(4t,-3t)(t≠0),求 2sinα +COSα 的值. 9.已知角α 的终边在直线 y ? 3x 上,求 sinα 的值. 10.判断下列各式的符号: (1) cos

19 7? ? 25 ? ; (2) sin 3 ? cos 4 ? tan 5 . ? ? sin ? ? ? ? ? tan 6 12 ? 3 ?

11.已知α 是第三象限角,试判定 sin(cosα )·cos(sinα )的符号. 12 .若角 α 的终边与直线 y = 3x 重合且 sina<0 ,又 P(m , n) 是 α 终边上一点,且

| OP |? 10 ,求 m-n 的值.
课时 4 任意角的三角函数(2) 1.在△ABC,中,若 cosA·tanB·sinC<0,则这个三角形一定是____三角形. 2.已知α ∈(0,π ) ,在 sina.cosα ,tanα ,tan 3.若θ 为第一象限角,则能确定为正值的是 A. sin

a 中,有可能取负值的是____. 2

( )

? D. cos 2? 2 2 a a a 4.若角α 是第四象限角,且 | cos |? ? cos ,则 是第____象限角. 2 2 2 3 sin 2 a ? 1 ,则角α 是第____象限角. 5.若 ( ) 4
? 2
B. cos C. tan 6.已知命题:①若 sinα ·tanα <0,则α 是第二或第四象限的角;②若α >β ,cos α <cosβ ;③若 tanα =tanβ ,则α 、β 的终边相同;④若θ 是第二象限的角,则 sin(cosθ ) <0.则上述命题中错误命题的序号是____. 7.作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线. (1) ? ; (2) ?

?

5 3

5 ?. 6 1 ,请在单位圆中画出满足条件的角α 终边的范围,并由此写 2

8.若角α 满足 sin a ≥

出角α 的集合. 9.写出满足下列条件的角的集合: (1) sin a >

1 3 ; (2) cos a ≥ ; (3)tanα >1. 2 2

10.已知|sinθ |=-sinθ ,|cosθ |=- cosθ ,且 sinθ .cosθ ≠0,判断点 P(tan θ ,sinθ )在第几象限? 11.求函数 y ? 1 ? 2cos x ? lg(2sin x ?1) 的定义域. 12.求下列三角函数值.

3 5 sin 4? ? cos ? ? tan 3? ? sin ? ? cos 5? 2 2
课时 5 同角三角函数的基本关系 1.已知 cos a ? ? 2.已知 sin a ?

3 ,0<α <π ,那么 tanα =____. 5

5 ,则 sin4α ? cos4α 的值为____. 5

3.若α 是第二象限角,则化简 tan a ?

1 ? 1 ? ____. sin 2 a

4.若 180°<α <360°,则化简 5.若 sin ? cos ? ?

1 ? cos a 1 ? cos a ? ? ____. 1 ? cos a 1 ? cos a

1 cos ? ,则 tan ? ? 的值是____. 2 sin ? 1 ? ? 6.已知 cos a sin a ? , ? a ? ,那么 cosα ? sinα =____. 8 4 1 4 7.已知 sin a ? ? ,并且角α 是第四象限角,分别求 cosα ,tanα 的值. 5
2 8.化简:(1) 1 ? sin ( ?40 ) ;

(2)

1 ? 2sin10 cos10 sin10 ? 1 ? sin 2 10

9.已知 sin a ? cos a ? sin3α +cos3α .

1 ,且 0<α <π ,求: (1) sinα cosα ; (2)sinα +cosα ; (3) 5

1 ? 2sin x cos x 1 ? tan x ? . cos 2 x ? sin 2 x 1 ? tan x tan a ? ?1 ,求下列各式的值: 11 .已知 tan a ? 6 2 cos a ? 3sin a (2) . 3cos a ? 4sin a
10.证明:

(1) sin a ? 3sin α cos α + 4cos2 α ;
2

12. 已知方程 8x2+6kx+2k+1=0 的两个实根是 sinθ 和 cosθ (其中 sinθ > cosθ ). (1) 求 k 的值; (2)求 tanθ 的值. 习题课(1) 1.已知角α 的终边与角-690°的终边关于原点对称,则绝对值最小的角α 是____. 2.若α 在第三象限,则 tan

a 的符号是____. 2

3.已知扇形的面积为

3? ,半径为 1,则扇形的圆心角是____. 8 4 ,求 m 的值____. 5

4.已知角α 的终边经过点 P(-8m,-6cos60°) ,且 cos a ? ? 5.已知 sin a ?

2 5 ? , ? a ? ? ,则 tanα ____. 2 5 ? ?

6 .下列各命题:① ?a | a ? k? ?

?

? ? ? ? , k ? Z ? ? ?? | ? ? ?k? ? ,k ? Z ? ;② sin0 ° 6 6 ? ? ?

=cos90°;③ tan ? ?

? 7? ? ? ? 0 ;④cos(sinα )>0;⑤tan180°=0;⑥sin270°=1.其中,正 ? 2 ?

确命题序号为____(将所有正确命题的序号都填上)

1 ,求 sin3θ -cos3θ 的值. 2 cos a 1 ? sin a ? 8.求证: . 1 ? sin a cos a
7.已知 sin ? ? cos ? ? 9.已知 sinα <0,tanα >0. (1)求角α 的取值范围; (2)求

a 终边所在象限. 2

10 .已知 sin θ 、 cos θ 是关于 x 的方程 x2 - α x + α = 0( α ∈ R )的两个根. (其 中, cot ? ?

1 ) (1)求 sin3θ +cos3θ 的值; (2)求 tanθ +cotθ 的值. tan ?

11.若一扇形的周长为 20cm,则当圆心角α 等于多少弧度时,这个扇形的面积最大? 最大面积是多少? 12.已知 sin ? cos a ? ?

2 ?1 ,求值: (1) sinαcosα; (2) 2

cos a sin a ? 1 1 ? tan 2 a 1? tan 2 a

课时 6 三角函数的诱导公式(1) 1.sin2(π +α ) - cos(π +α )cos(—a)+1 的值为 A.1 B.2sin2α C.0 D.2 2.角α 与α +π 的终边关于____对称,角α 与π —α 的终边关于____对称,角α 与— α 的终边关于____对称,

35 ? ? ____. 6 3 4.若 cos ? a ? ? ? ? ,π <α <2π ,则 sin(—α —27c)=____. 5
3.求值: sin 5.若α ,β 满足α —β =π ,则下列各式:①sinα =sinβ ;②cosα =cosβ ;③tanα =tanβ ;④cotα =cotβ 中正确的式子的序号是____. 6.已知函数 f ( x) ? cos

x ,有下列四个等式: 2

①f(2π -x)=f(x);②f(2π +x)=f(x);③f(-x)=f(x);④f(4π +x)=f(x), 其中成立的等式有____. (要求将所有正确命题序号都填上)

7 .计算: (1)sin600 °+ tan240 °;

(2) tan

9 11 12 ? ? sin(? ? ) ? cos ? ? tan 4? ; 4 6 5

(3)sin(-1320°)·cos1110°+cos(-1020°)·sin750°. 8.已知 sin(α -π )=2cos(α -2π ),求 9.已知 cos(? ? a) ? ? (1)sin(2π -α ); (2)

sin(3? ? a) ? 5cos(?a) 的值. 2 cos(? ? a) ? sin(a ? ? )

1 ,计算: 2

sin[a ? (an ? 1)? ] ? sin[a ? (2n ? 1)? ] (k ? z ) . sin(a ? 2n? ) ? cos(a ? 2n? )

10.已知函数 f(x)=α sin(π x+α )+bcos(π x+β ),其中α ,b,α ,β 都是非零实数, 又知 f(2007)=-1,求 f(2008)的值. 11.化简

sin(k? ? a) ? cos[(k ? 1)? ? a] , k ? Z ,k∈Z. sin[(k ? 1)? ? a] ? cos(k? ? a) sin(? ? a) cos(2? ? a) tan(?a ? 2? ) . tan(?a ? ? )sin(3? ? a)

12.已知α 是第三象限角,且 f (a) ? (1)化简 f(α ); (2)若 sin a ? ? ,求 f(α ) ; (3)若 a=-1860°,求 f(α ). 课时 7 三角函数的诱导公式(2) 1. sin(3? ? 5) ? cos(5 ? 2.已知 sin(

3 5

?
2

) ? =____.

1 ? ? x) ? ? ,那么 cos( ? x) ? =____. 4 5 4 3 cos(3? ? a)sin(a ? ? ) 2 ? =____. 3.化简

?

sin(a ? ) cos(?? ? a) 2

?

4.sin2(π +α )-cos(π +α )cos(-α )+1 的值为____. 5.若 f(sinx)=cosx,则 f(cosx)=____. 6.在斜三角形中,有下列各式: ①sin(A+B)-sinC;②cos(A+B)+cosC;③tanB+tan(A+C);④sin2(A+B)+cos2C; ⑤

tan 2 ( A ? B) ; tan 2 C
⑥ sin(

A? B C ) ? cos . 2 2 1 ? ,且α 是第四象限角,求 cos(a ? ) 的值. 5 2

其中值为常数的表达式的序号是____(要求将所有符合条件的命题序号都填上) 7.已知 cos a ?

8.已知 f (a ) ? (1)化简 f(α );

sin(? ? a) cos(2? ? a) tan( ?a ? cot(?a ? ? ) sin(?? ? a)

3? ) 2

(2)若α 是第三象限角,且 cos( a ? (3)若 a ? ?

31? ,求 f(α )的值. 3 15 13 sin( ? ? a) ? 3cos(a ? ? ) 8? 7 7 ) ? a ,求 9.设 tan( a ? 的值. 20 22 7 sin( ? ? a) ? cos(a ? ? ) 7 7
10.已知 sin(θ +kπ )=-2cos(θ +kπ ),k∈Z.

3? 1 ) ? ,求 f(α )的值; 2 5

4sin ? ? 2 cos ? 1 2 2 2 ;(2) sin ? cos ? . 5cos ? ? 3sin ? 4 5 3? ? ? ) 和 3 cos(?a) ? ? 2 cos(? ? ? ) , 11. 已知 sin(3? ? a ) ? 2 cos( 且 0<α < 2
求:(1) π ,0<β <π ,求α 和β 的值. 课时 8 正弦、余弦函数的图象 1.下列函数图象相同的是 ( ) A.y=sinx 与 y=sin(2π -x) B.y=|sinx|与 y=sin|x| C.y=sinx 与 y=sin(-x) D.y=sinx 与 y=sin(π -x) 2.函数 y ? 2 cos( x ? 3.函数 y ? sin( x ?

?
6

) 取得最大值时,自变量 x 的集合是____.

?
4

) 的单增区间是____.

4.函数 y=cos(sinx)是____函数. (填“奇”或“偶” ) 5.函数 y ? sin

1 x 的图象的对称轴的方程是____. 2 1 的 x 的取值范围是____. 2

6.利用正弦函数图象求解:在 x∈[0,2x]时,满足 sin x ≥ ? 7.画出下列函数在一个周期上的图象: (1) y ? 2sin(2 x ?

?
4

);

(2) y ? cos( x ?

1 2

?
3

).

8.求下列函数图象的对称轴方程和对称中心坐标: (1) y ? 5sin( x ?

1 2

?

1 ? ) ; (2) y ? cos(2 x ? ) . 3 3 6

9.函数,f(x)=sinx+2|sinx|,x∈[0,2π ]的图象与直线 y=k 有且仅有两个不同的 交点,则 k 的取值范围是____. 10.若集合 M ? ?? | sin ? ? N____.

? ?

1 1 ? ? ? , 0 ? ? ? ? ? , N ? ?? | cos ? ? , 0 ? ? ? ? ? ,则 M∩ 2 2 ? ? ?

11.利用“五点法”作出 y ? sin( x ?

?

? 5 ), ( x ? [ , ? ]) 图象. 2 2 2

12.已知函数 y=2cosx(0≤x≤2π )的图象和直线 y=2 围成一个封闭的平面图形,求这个 封闭图形的面积. 课时 9 三角函数的周期性 1.函数 y=cos4x 的周期为____. 2.函数 y=5tan(2x+1)的周期是____. 3.函数 y=3sin2ax(α ≠0)的周期为____.

sin x 的周期是____. tan x 1 x ?? ( A ? 0) 的最小正周期为 3π ,则 A=____. 5.已知正切函数 y ? tan 2 A
4.函数 y ? 6.若函数 y ? 3cos( wx ?

?

3

) 的周期为 T,且 T∈(2,3),则正整数 w____. 3? ? 的 函 数 , 且 当 x ? [? , ? ) 时 , 2 2

7 . 设 f(x) 是 定 义 域 为 R , 且 最 小 正 周 期 为

? ? ? ?x? 0 15? ?co sx , ) 的值. f ( x) ? ? 求 f (? 2 5 ? ?sin x, 0 ? x ? ?
? ,其中 w>0,则 w=____. 6 5 k ? 2 3 9.已知函数 f ( x) ? cos( x ? ) ,如果使 f(x)的最小正周期在 ( , ) 内,求正整数 k 3 4 3 4
8. (2008·江苏) f ( x) ? cos( wx ?

?

) 的最小正周期为

的值. 10.一机械运动中,某质点离开平衡位置的位移 x(cm)与时间 t(s)之间的函数关系如图 1-9-1 所示. (1)求该函数的周期. (2)求 t=37.5s 时,该质点离开平衡位置的位移.

11.定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数,若 f(x)的最小正周期是π ,且当

? 1 x ? [0, ] 时,f(x)=sinx,求 f ( x) ? 的解集. 2 2
12.(1)已知 f(x+1)=-f(x),求证:f(x)是周期函数,并求出它的一个周期; (2)已知

f ( x ? 2) ? ?

1 ,求证:f(x)是周期函数,并求出它的一个周期. f ( x)

课时 10 正弦函数、余弦函数的图象与性质(1)

[? 1. 函数 y=cos2x 在下列区间上是减函数的是 A.
D. [

? ?

?
2

, ] 4 4

[ B.

? 3?
4 , 4

]

[0, C.

?
2

]

,? ]

2.函数 y ? cos(

?
4

? x) 的单调增区间是____.

3.使函数 y=cosx 是增函数,且 y=sinx 是减函数的区间是____.

? ? ? 为周期的奇函数,且 f ( ) ? 1 ,则 f ( ) ? =____. 3 6 2 3 1 5.设函数 f(x)=A+Bsinx,若 B<0 时,f(x)的最大值是 ,最小值是 ? ,则=____, 2 2
4.若 f(x)是以 B=____.

? w? 1) 6 .若函数 f(x) = 2sinwx(0 < w < 1) 在区间 f ( x) ? 2 sinwx (0 上的最大值是
[0, ],则 w=____. 3
7.函数 y=kcosx+b 的最大值为 2,最小值为-4,求 k,b 的值. 8.已知函数 f ( x) ?

?

2 sin( ? 2 x) ? 1 . (1)求函数 f(x)的最大、最小值以及取最大、 4

?

最小值时相应 x 的取值集合; (2)写出函数 f(x)的单调增区间. 9.若奇函数 f(x)在 x>0 时,f(x)=sinx-cosx,求 x<0 时,f(x)的解析式. 10.判断下列函数的奇偶性:f(x)=xsin(π +x). 11.求函数 y=|sinx|的单调区间与周期 T. 12.求函数 y ?

1 ? 2 sin( ? x) 的单调区间. 2 4 3

课时 11 正弦函数、余弦函数的图象与性质(2) 1.函数 y ? 3sin(2 x ? A.4π B.2π

?
6

) 的最小正周期是 ( )
D.

C.π

? 2

2.下列函数中,奇函数的个数是 ( ) ①y=x2sinx: ;②y=sinx x∈[0,2π ];③ y ? cos( x ? A.1 B.2 C.3 D.4 3.下列 4 个函数中,既是 (0,

?
2

), x ? [?? , ? ] ;④y=xcosx.

?
2

) 上的增函数,又是以π 为周期的偶函数是 ( )

A. y=sin|x| B.y=|sinx| C.y=|cos2x| D.y=cosx. 4.函数 y ? sin | x | 的图象 ( ) A.关于点 ( 于直线 x ? ?

?
3

? ? ? , 0) 对称 B.关于点 ( ? , 0) 对称 C.关于直线 x ? 号对称 D.关 12 6 3

号对称

5.(2009·广东卷文)函数 y ? 2cos ( x ?
2

?
4

) ?1 是 ( )
C.最小正周期为

A.最小正周期为π 的奇函数 B.最小正周期为π 的偶函数 奇函数 D.最小正周期为

? 的偶数 2

? 的 2

6.函数 y=sin|x|sinx 的值域是____. 7.已知 k<-4,则函数 y=-2sin2x+kcosx+2-k 的最小值是____. 8.已知 f(x)=α x+bsin3+3,且 f(-3)=7,则 f(3)=____. 9.函数 y ? sin x 2 的定义域、值域分别为____、____. 10. (2009·全国卷 I 理)如果函数 y=3cos(2x+ ? )的图象关于点 ( 么 | ? | 的最小值为( ) A.

4? , 0) 中心对称,那 3

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2

11.判断下列函数的奇偶性: (1) f(x)=cos(2π -x)-x3·sinx;

1 ? sin x ? cos 2 x (2) f ( x) ? . 1 ? sin x
12.函数 f(x)=-sin2x;+sinx+a,若 1 ? f ( x) ? 的取值范围. 13.求函数 y ? sin x ? a cos x ?
2

17 时,一切 x∈R 恒成立,求实数α 4

1 3 a ? 的最大值为 1 时α 的值. 2 2

课时 12 正切函数的性质与图象 1.满足 tanx=1 的 x 的集合是____. 2.函数 f ( x) ? a tan 3x ? bx ? 7 的定义域是____.
3

3.已知 f(x)=atan3x-bx3+7,且 f(1)=14,则 f(-l)____. 4. 下列函数中, 同时满足: ①在 (0,

?
2

) 上递增; ②以 2π 为周期; ③是奇函数的是 ( ) 1 x 2
D.y=-tanx

A.y=tanx B.y=|tanx| C. y ? tan

5.满足不等式 tan2x≤-1 的 x 的取值范围是____.

5 5 8 8 1 ? 7.求函数 y ? 3 tan( x ? ) 图象的对称中心坐标. 2 4
6.比较 sin ? , cos ? , tan ? 的大小. 8.求函数 y ? tan(2 x ?

5 8

?

3

) 的单调区间.

9.作出函数 y=|tanx|的图象,并判断它的奇偶性和单调性.

10 .函数 f(x)= tan ω x( ω > 0) 图象的相邻的两支截直线 y ?

?
4

所得线段长为

f ( ) 的值是 ( ) 4
A.0 B.1 C -1 D. 11.若 x ? [

?

? ,则 4

? ?

? 4

, ] 时, k ? tan(2 x ? ) ? 0 恒成立,求实数 k 的取值范围. 6 3 3

?

12. (2009·全国卷Ⅱ理)若将函数 y ? tan(wx ? 长度后,与函数

?

? 的图象重合,则ω 的最小值为 ( ) 6 1 1 1 1 A. B. C. D. 6 4 3 2 课时 13 函数 y=Asin(ω x+ ? )的图象(1) ? ? 1. 先将函数 y ? 5sin( ? 3 x) 的周期扩大为原来的 2 倍, 再将新函数的图象向右平移 6 3
2.已知 f ( x ) ? sin( x ?

4

)(w ? 0) 的图象向右平移詈个单位

个单位,则所得图象的解析式为____.

?
2

) ,则将 f(x)的图象向____平移____个单位得到 g(x)=sinx 的

图象。 3.已知函数 y= tan(2x+ ? )的图象过点 (

? , 0) ,则 ? 的值为____. 12

4.函数 y= 2+sinx(x∈(0,2π ])的图象与直线 y=2 的交点的个数是____. 5.若函数 y=Asin(ω x+ ? )(A>0,ω >0| ? |π 的图象如图 1-13-1 所示,则它的解 析式为____.

6. (2009· 浙江理)如图 1-13-2, 已知α 是实数, 则函数 f(x)=1+asinx 的图象不可能是 ( )

A.

B.

C.

D.

7.已知定义在 [0, 求α ,b 的值.

?

] 上的函数 f ( x) ? 2a sin(2 x ? ) ? b 的最大值为 1,最小值为-5, 2 3

?

8.如何由 y ?

1 ? sin(2 x ? ) 的图象得到 y=sinx 的图象? 3 3 9.如图 1-13-3,设函数 f(x)=sin(2x+ ? )(-π < ? <0) ,y=f(x)图象的一条对称轴是

直线 x ?

?

8 (1)求 ? ;
(2)求函数 y=f(x)的单调增区间; (3)画出函数 y=f(x)在区间[0,π ]上的图象.



10. (2009·山东卷理)将函数 y=sin2π 的图象向左平移 位,所得图象的函数解析式是 A.y=cos2x B.y=2cos2x ( ) C. y ? 1 ? sin(2 x ?

? 个单位,再向上平移 1 个单 4
D.y=2sin2x

?
4

)

课时 14 函数 y= Asin(ω + ? )的图象(2) 1.为了得到函数 y ? 2sin( ? 上所有的点 ( )

x ? ) ,x∈R 的图象,只需把函数 y=2sinx,z∈R 的图象 3 6

? 1 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 3 6 ? 1 B.向右平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 3 6 ? C.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) 6 ? D.向右平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) 6 ? 2. 函数 y=sin2x 的图象, 向右平移 ? ( ? >0)个单位, 得到的图象恰好关于 x ? 对称, 6 则 ? 的最小值为( ) 5 11 11 A. ? B. ? C. ? D.以上都不对 12 6 12
A.向左平移

3.函数 y ? A sin( wx ? ? )( w ? 0,| ? |? 表达式为( ) A . y ? ?4sin( D. y ? 4sin(

?
2

, x ? R) 的部分图象如图 1-14-1 所示,则函数

?

?

x? ) 8 4

?

x? ) 8 4

?

B . y ? 4sin(

?

x? ) 8 4

?

C . y ? ?4sin(

?

x? ) 8 4

?

? 个单位,所得函数的解析式为____. 6 6 ? 5. 若函数 f(x)=2sin(ω x+ ? ), x∈R (其中ω >0,| ? |? ) 的最小正周期是π , 且? , 2
4.将函数 y ? sin(2 x ?

?

) 的图象向左平移

则=____,____. 6.已知函数 y=Asin(ω + ? )+b 的一部分图象如图 1-14-2 所示,若 A>0,ω >0,| ? | <π ,则 ? =____.

7.函数 y=|cosx|-2cosx 的值域是____. 8. 若函数 y=sin(2x+θ )的图象向左平移 y ? sin(2 x ? ? ) 个单位后恰与 y=sin2x 的图象 重合,则θ 的最小正值是 ( ) A.

9.若函数 f(x)=Asin(ω x+ ? )(A,ω >0,0≤ ? <2π )图象上的一个最高点是(2,

4? 3

B.

? 3

C.

5? 6

D.

5? 3

2) ,由这个最高点到相邻最低点的一段曲线与 x 轴交于点(6,0),求这个函数的解析式.
10. 已知函数 f ( x) ? a sin(2 x ?

?
3

) ? 1( a ? 0) 的定义域为 R, 若当 ?

7? ? ? x ? ? 时, 12 12

f(x)的最大值为 2. (1)求α 的值; (2)试用五点法作出该函数的图象,并求出该图象对称中心的坐标和对称轴的方程. 11. (2008· 湖南) 函数 f ( x) ? sin 2 x ? 3 sin x cos x 在区间 [

? ?

, ] 上的最大值是 ( ) 4 2

A.1 B.

1? 3 2

C.

3 2

D. 1 ? 3

12. (2009·天津卷文)已知函数 f ( x) ? sin( w x ?

?
4

)( x ? R, w ? 0) 的最小正周期为π ,
( )

将 y=f(x)的图象向左平移| ? |个单位长度, 所得图象关于 y 轴对称, 则 ? 的一个值是 A.

? 2

B.

3? 8

C.

? 4

D.

? 4

习题课(2) 1.设函数 f ( x) ? 2sin( x1-x2|的最小值为 ( )

?

x ? ) .若对任意 x∈R,都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则| 2 5

?

A.4 B.2 C.1 D.

1 2

2. (2009·重庆卷文)下列关系式中正确的是 ( ) A . sin11°< cos10 °< sin168 ° B . sin168 °< sin11 °< cos10 ° C. sin11 °< sin168°<cos10° D. sin168°<cos10°<sin11° 3.定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数.若 f(x)的最小正周期是π ,且当

? 5? x ? [0, ] 时,f(x)=sinx,则 f ( ) 的值为____. 2 3
4.函数 y ? cos(2 x ?

?

6

) 的图象的对称中心是____.

5 . (2009 ·四川卷文 ) 已知函数 f ( x) ? sin( x ? A.函数 f(x)的最小正周期为 2π

?
2

)( x ? R ) ,下面结论错误的是

(

)

B.函数 f(x)在区间 [0,

?
2

] 上是增函数 C.函数 f(x)的图

象关于直线 x=0 对称 D。函数 f(x)是奇函数 6.已知函数 f ( x) ? A,[-1,1] B. [ ?

1 1 (sin x ? cos x) ? | sin x ? cos x | ,则 f(x)的值域是 ( ) 2 2
D. [?1, ?

2 2 ,1] C. [?1, ] 2 2

2 ] 2

7.电流强度 I(安)随时间 t(秒)变化的函数 I ? A sin( w t ? 图习 1-2-1 所示,当 t ?

?
6

)(a ? 0, w ? 0 的图象如

1 秒时,电流强度是____安。 50

8.已知关于 x 的方程 cos2-sinx+α =0,当 0<x≤

? 时有解,求α 的取值范围, 2 ? 9.设函数 f(x)=sin(2x+ ? )(-π < ? <0) ,y=f(x)图象的一条对称轴是直线 x ? . 8 (1)求 ? ;
(2)求函数 y=f(x)的单调增区间; (3)画出函数 y=f(x)在区间[0,π ]上的图象. 10.已知函数 f(x)=x2+2xsinθ -1, x ? [? (1)当 ? ?

3 1 , ]. 2 2

?
6

时,求 f(x)的最大值和最小值;

(2)若 f(x)在 [?

3 1 , ] 上是单调函数,且θ ∈[0,2π )求θ 的取值范围. 2 2

11.已知函数 f(x) =cos2x-asinx+b(a>0,6∈R)的最大值为 0,最小值为-4,求α 、b 的值. 12.已知函数 f ( x) ? ?2a sin(2 x ?

?

? 3? ) ? 2a ? b , x ? [ , ] ,是否存在常数α 、b∈ 6 4 4

Q,使得 f(x)的值域为 [? 3, 3 ?1]? 若存在,求出α 和 b;若不存在,请说明理由. 13. (2009·天津卷理)已知函数 f ( x) ? sin( w x ?

?
4

( x ? R, w ? 0) 的最小正周期为π ,

为了得到函数 g(x)=cosω x 的图象,只要将 y=f(x)的图象 ( ) A.向左平移 D.向右平移

? 个单位长度 4

? ? ? 个单位长度 B 向右平移 个单位长度 C.向左平移 个单位长度 8 8 4

课时 15 三角函数模型的简单应用(1) 1.已知有下列命题: ①小明将慢 15 分钟的手表拨到准时,分钟转过 90°;②若角α 的终边在第一象限,则 角α 为正角;③若角α 的终边在第四象限,则角α 为正角,其中,正确命题的个数是____ 个.

2.将函数 y=sin3x 的图象向右平移詈个单位,再向上平移 1 个单位,则所得图象的函 数解析式为____. 3.一弹簧振子的位移 y 与时间 t 的函数关系为 y=Asin(ω t+ ? ) (A>0,ω >0),若已 知此振动的振幅为 3,周期为

2? ? ,初相为 ,则这个函数的表达式为____. 7 6

4.大座钟的钟摆每 2 秒完成一次完整的摆动,钟摆与它的静止位置所成的最大角为 10°,若钟摆与它的静止位置所成的角θ 按简谐振动的方式改变,则角θ (单位:度)与时 间 t(单位:秒)之间的函数关系为____. (当钟摆处于竖直位置时,开始计时) 5.一物体相对于某一固定位置的位移 y(cm)和时间 t(s)之间的一组对应值如下表所示: t y 0 -4.0 0.1 -2.8 0.2 0.0 0.3 2.8 0.4 4.0 0.5 2.8 0.6 0.0 0 .7 -2.8 0.8 -4.0

则可以近似地描述该物体的位移 y 和时间 t 之间关系的一个三角函数为____. 6.每当你的心脏跳动时,血压就会升高,而在两次跳动之间,血压就会降低,某人的 血压与时间的关系可由函数 p(t)=90+20sin120π t 来模拟. (1)求此函数的振幅、周期和频率; (2)画出此函数的图象; (3)如果一个人正在锻炼,他的心脏跳动加快了,这会怎样影响 p 的周期和频率? 7.弹簧挂着的小球做上下振动,它在时间 t(秒)内离开平衡位置(就是静止时的位 置)的距离 h(cm)由函数关系 h ? 3sin(2t ?

?
4

) 决定.

(1)求小球开始振动时的位置; (2)求小球上升到最高点和下降到最低点的位置; (3)经过多长时间小球往返一次? (4)每秒内小球往返多少次? 8. (2008·海南)已知函数 y= 2sin(ω x+ ? )(ω >0)在区间[0,2π ]的图象如图 1-15-1, 那么ω 等于 ( ) A.1 B.2 C.

1 2

D.

1 3

9.(2008·天津)把函数 y=sinx(x∈R)的图象上所有点向左平行移动 把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 是 ( )

? 个单位长度,再 3

1 倍(纵坐标不变) ,得到的图象所表示的函数 2

A. y ? sin(2 x ? D. y ? sin(2 x ?

?
3

), x ? R

B. y ? sin( ?

2? ), x ? R 3

x 2

?
6

), x ? R

C. y ? sin(2 x ?

?
3

), x ? R

课时 16 三角函数模型的简单应用(2) 1. (2008· 全国工)为得到函数 y ? cos(2 x ? A.向左平移

?
3

) 的图象, 只需将函数 y=sin2X 的图象 ( )

5? 5? 5? 个长度单位 B.向右平移 个长度单位 C.向左平移 个长度 12 12 6 5? 单位 D.向右平移 个长度单位 6
2.用作调频无线电信号的载波以 y=α sin(1.83×108π t)为模型,其中 t 的单位是秒, 则此载波的周期为____秒,频率为____赫兹. 3.下表是某市 1971~2001 年各月平均气温(℃). 月份 x 平均气温 Y 1 -5.9 2 -3.3 3 2 . 2 4 9. 3 5 15.1 6 20.3 7 22. 8 8 22 .2 9 18.2 10 11 .9 11 4.3 12 -2 .4

写出一个适合这些数据的函数模型的表达式____. 4.如图 1-16-1,函数 y ? cos x | tan x | ( ?

?
2

?x?

?
2

) 的大致图象是

5 . 某 工 厂 使 用 交 流 电 的 电 流 强 度 I(A) 随 时 间 t(s) 变 化 的 函 数 为

I ? 10sin(100? t ?

2? 7 ) .求电流强度变化的周期和频率,以及当 t ? s 时的电流强度. 3 120 6.如图 1-16-2 是正弦函数 f(x)=Asin(ω x+ ? ) (A>0,ω >0)的一个周期的图象.
(1)写出 f(x)的解析式. (2)若 g(x)与 f(x)的图象关于直线 x=2 对称,写出 g(x)的解析式,

7.已知某海滨浴场的海浪高度 y(米)是时间 t(0≤t≤24,单位:小时)的函数,记 作:y=f(x). 下表是某日各时的浪高数据: t(时) 0 y(米) 1.5 3 1.0 6 0.5 9 1.0 12 1.5 15 1 18 0.5 21 0.99 24 1.5

经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数 y=Aconsω +b. (1)根据以上数据,求出函数 y=Acosω t+b 的最小正周期 T、振幅 A 及函数表达式: (2)依据规定,当海浪高度高于 1 米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一 天内的上午 8:00 时至晚上 20:00 时之间,有多少时间可供冲浪者进行运动?

0 ?? ? 8. (2009. 陕西卷理)已知函数, f(x)=Asin(ω + ? ), x∈R (其中 A>0, ω >0,
的图象与 x 轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为

?
2



M(

2? ? ? , ?2) 。(1)求 f(x)的解析式;(2)当 x ? [ , ] 时,求 f(x)的值域. 3 12 2
课时 17 本章复习 1.角α 的终边经过点 P(?1, ? 5) ,则 sinα =____. 2.已知 tan(? ? a ) ? 3.函数 y ? tan( A.? x | x ?

? ,且图象上一个最低点为 2

?
4

1 sin a ? cos a ,则 =___. 3 sin a ? cos a

? x) 的定义域是 ( )

? ?

?

? ? ? ? ? ? ? , x ? R ? B.? x | x ? ? , x ? R ? C.? x | x ? k? ? , k ? Z , x ? R ? 4 4 4 ? ? ? ? ?
3? ? , k ? Z , x ? R? 4 ?

D. ? x | x ? k? ?

? ?

4.在(0,2π )内,使 sinx>cosx 所立的 x 取值范围是____. 5.函数 y ? cos(

?
3

? 2 x) 的单调递减区间是____.

6.已知α 是第二象限角,下列四个不等式:

a a a a a a a a a ? sin ? cos ; ② sin ? cos ? tan ; ③ tan ? cos ? sin ; 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a a a ④ cos ? tan ? sin .可能成立的是____. 2 2 2
① tan 7.化简:

sin(? ? a) cos(3? ? a) tan(?a ? ? ) tan(4? ? a) sin(5? ? a)

8.已知

x2 y2 x y x y cos ? ? sin ? ? 1 , sin ? ? cos ? ? 1 ,求证: ? 2 ? 2. 2 a b a b b a

9.已知 sinα 、sinβ 是方程 8x2-6kx+2k+1=0 的两根,且α 、β 终边互相垂直,求 k 的值. 10.已知函数 f ( x) ?

2 sin(2 x ? ) , 4

?

(1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求函数 f(x)在区间 [
2

? 3?
8 , 4

] 上的最小值和最大值。

5 3 ? a ? (0 ? x ? ) 的最大值. 8 2 2 12.已知函数 y=Asin(ω x+ ? )+b(A>0,ω >0,0≤ ? <2π )在同一周期内有最 ? 7? , ?3) ,求此函数的解析式. 高点 ( ,1) 和最低点 ( 12 12 13 . (2009 ·陕西卷文 ) 已知函数 f(x) = Asin ( ω x + ? ) , x ∈ R (其中 A > 0 , ω > ? 2? , ?2) . 0. 0 ? ? ? )的周期为π ,且图象上—个最低点为 M ( 2 3
11.求函数 y ? sin x ? a cos x ? (1)求 f(x)的解析式;(2)当 x ? [0,

?

12

] ,求,f(x)的最值.

第二章 平面向量 课时 1 平面向量的实际背景及基本概念 1.判断题: (1)零向量是唯一没有方向的向量. ( ) (2)与非零向量α 共线的单位向量有且只有一个. ( ) (3)相等的向量一定是共线向量. ( ) (4)不相等的向量一定不共线. ( ) (5)任何一个非零向量均存在一个与之同向的单位向量.

( )

(6)向量 AB 与向量 CD 共线,则 A,B,C,D 四点共线. ( ) (7)向量 AB 与 BA 的长度相等。 ( ) (8)相互平行的两个非零向量方向相同或相反. ( ) 2.如图 2-1-1,四边形 ABCD 是平行四边形,则在分别以 A,B,C,D,O 为起终点 的向量中, 与 AD 相等的向量是____, 与 AB 相等的向量是____, 与 AO 相等的向量是____, 3.在直角坐标系 xOy 中,已知| OP |=2,则点 P 的轨迹构成的图形是____.

4.看 e 是单位向量,则|e|=____. 5.已知四边形 ABCD 是菱形,| AB | =1,∠BAD=

? ,则 | BD | =____,| AC | =____. 3

6.下列命题中,不正确的有____(写出所有不正确命题的序号) . ①若|α |=0,则α =0; ②若|α |>|b|,则α >b; ③若α ∥b,b∥c,则α ∥c; ④若|α |=|b|,则α ∥b. ⑤若 a=b,b=c,则 a=c 7.在直角坐标系中,已知 | OA | =2, OA 与 x 轴正方向成 60°,与 y 轴正方向所成的 角为 150°,试作出 OA . 8.下列命题正确的是 ( ) A.a 与 b 共线,b 与 c 共线,则 a 与 c 也共线 B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点 C.向量 a 与 B 不共线,则 a 与 b 非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行 9.已知向量α .b 是两个非零向量, AO , BO 分别是与α ,b 同方向向的单位向量, 则以下各式正确的是 ( ) A. AO = BO B. AO = BO 或 AO = ? BO C. AO =1 D. | AO | = | BO |

10.判断下列命题是否正确,不正确的说明理由. (1)若向量α 与 b 同向,且|α |>|b|,则α >b; (2)若向量|α |=|b|,则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反; (3)对于任意向量|α |=|b|,且α 与 b 的方向相同,则α =b; (4)由于零向量 0 方向不确定,故 0 不能与任意向量平行; (5)向量 AB 与向量 CD 是共线向量,则 A,B,C,D 四点在一条直线上; (6)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量. 11. 某人从 A 点出发向西走了 200m 到达 B 点, 然后改变方向, 向西偏北 60°走了 450m 到达 C 点,最后又改变方向,向东走了 200m 到达 D 点. (1)作出向量 AB , BC , CD (1cm 表示 200m); (2)求 DA 的模, 12.如图 2-1-2,设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心,写出图中与向量 OA 相等的向量. 变式一:是否存在与向量 OA 长度相等、方向相反的向量? 变式二:与向量 OA 共线的向量有哪些? 课时 2 向量加法运算及其几何意义 1.一个人向东走了 10m,又向南走了 10m,则这个人的位移是____. 2.下列命题中,正确的是____.

①若α 为任意非零向量, 则有 O∥α ; ②对共线的向量α , b, 有|α +b|=|α |+| b|; ③两非零向量的和可以是零; ④任一非零向量的方向都是唯一的. 3.已知 | AB | =6, | BC | =4,则 | AC | 的取值范围为____. 4.在平行四边形 ABCD 中,下列结论中正确的是:____. ① AB = CD ;② AD + AB = AC ;③ AB + DA = BD ;④ AD + CB =0. 5.化简 AB + CD + BC =____. 6.已知正方形 ABCD 的边长为 1, AB =α , AC =c, BC =b,则|α +b+c|=____. 7.在四边形 ABCD 中,根据图 2-2-1 所示,用一个向量填空: (1)α +b=____; (2)b+c=____; (3)c 十 d____; (4)α +b+c+d=____.

8.如图 2-2-2,已知在直角三角形 ABC 中(∠B=90°) ,试作出向量:CB + CA , AC + AB .

9.已知在矩形 ABCD 中,宽为 2,长为 2 3 , AB =α , BC =b, BD =c,试作出向 量α +b+c,并求出该向量的模. 10.如图 2-2-3,已知四边形 ABCD 是梯形,AB∥CD,E,F,G,H 分别是 AD,BC, AB 与 CD 的中点,则 EF 等于____.

11.已知两个力 F1,F2 的夹角是直角.如图 2-2-4,且知它们的合力 F 与 F1 的夹角为 60°,|F|=10N.求 F1 和 F2 的大小,

课时 3 向量减法运算及其几何意义 1.若 OA =α , OB =b,则 a-b=____. 2.下列命题中,假命题为____. ①若α -b-0,则α =b; ②若α ,b 反向,则|α +b|=|α |-|b|; ③若α ,b 同向,则|α +b|=|α |+|b|; ④若α =b,则α ,b 所在直线重合. 3.任给两向量α ,b,则下列式子恒成立的有________. ①|α +b|≥|α |+|6|; ②|α -b|≥|α |-|b|; ③|α -b|≤|α |+|b|; ④|α -b|≤|α |-|b|. 4.已知α ∥b,且|α | =|b|=2,则|α 十 6|+|α -b|=____. 5. (1)( AB - CD )-( AC - BD )=____; (2) ( PQ - MQ )+( QO - QM )=____. 6.如图 2-3-1 所示,D 是△ABC 的边 AB 上的中点,则向量 CD = ( )

A.- BC +

1 BA 2

B.- BC -

1 BA 2

C. BC -

1 BA 2

D. BC +

1 BA 2

7.在水流速度为 4km/h 的河流中,有一艘船沿与水流垂直的方向以 8km/h 的速度 航行,则船自身航行的速度的大小为____km/h. 8.如图 2-3-2,已知向量α ,b,c.

求作:(1)α -b;

(2)α+b-c.

9.求证:在四边形 ABCD 中, AB + CD = AD + CB . 10.如图 2-3-3,点 P 为□ABCD 平面内异于 A,B,C,D 的任意一点; PA =α , PB =b, PC =c,试用α ,b,c 表示 PD .

11.在下列各命题中,正确的命题是____. ①若向量α 与 b 方向相反,且|α |>|b|,则α +b 与α 方向相同; ②若向量α 与 b 方向相反,且|α |>b,则α -b 与 b 方向相同; ③若向量α 与 b 方向相同,且|α |>b 易,则 b-α 与α 方向相同; ④若向量α 与 b 方向相同,且|α |>|b|,则α -b 与α 方向相同,

12.如图 2-3-4,已知点 O 是□ABCD 的对角线 AC 与 BD 的交点, 若 AB =α ,BC = b, OD =c,试证明:c+α -b= OB .

13.某人在静水中游泳,速度为 4 3km / h . (1)如果他径直游向河对岸,水的流速为 4km/h,他实际沿什么方向前进?速度大小为 多少? (2) 他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进?他实际前进的速度大小为多 少? 14. (2009.湖南卷文)如图 2-3-5,D,E,F 分别是△ABC 的边 AB,BC,CA 的中点, 则( ) A . AD + BE + CF = 0 D. BD ? BE ? FC ? 0 B . BD ? CF ? DF ? 0 C . AD ? CE ? CF ? 0

课时 4 向量数乘运算及其几何意义 1.已知λ ∈R,α ≠0,则下列命题正确的是____. ①当λ >0 时,λ α 与α 方向相同; ②存在实数λ ,λ α 与α 不共线; ③|λ α |=α |α |; ④当非零向量λ α 与α 方向相反时,λ <0. 2. 已知四边形 ABCD 中 AB ?

1 DC , 且| A D | |? B C| 2

, 则四边形 ABCD 的形状是____.

3.若 AB =3e1, CD =-5e1,且 | AD |?| BC | ,则四边形 ABCD 的形状是____.

4.在□ABCD 中, AB =α , AD =b,N 为 AC 上的一点且 AN =3 NC ,M 为 BC 的中 点,则 MN =____. (用α ,b 表示) 5.(1)若 2x+3(x+α ) =0,则 x=____; (2)若 2(x+α )-3(x-b)=0,则 x____. 6.计算:(1)(-3)×5α ; (2)4(α +b)-3(α -b)-8α ; (3)(5α -4b+c)-2(3α -2b+c). 7.如图 2-4-1,点 M 为△ABC 中 Bc 边上的中点,求证: AM ?

1 ( AB ? AC ) . 2

8.如图 2-4-2,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,且 AB=2CD,M,N 分别是 AB,CD 的 中点,已知 AB =α , AD =b,试用α ,b 表示 BC , MN .

9.已知□ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 交于 E,O 是□ABCD 所在平面内的任意一 点. 求证: OA ? OB ? OC ? OD ? 4OE . 10.已知 D,E,F 分别为△ABC 的边 BC,CA,AB 的中点,且 BC =α ,CA =b.有 如下结论: ① AD ? ?

1 1 1 1 a ? b ;② BE ? a ? b ;③ CF ? ? a ? b . 2 2 2 2 1 1 BC , CN ? CD , 3 3

其中正确结论的序号为____.

OB =b 为边作□OADB,BM ? 11. 如图 2-4-3, 以向量 OA =α ,
用α ,b 表示 OM 、 ON 、 MN .

12.(2008·全国 I)在△ABC 中, AB =c, AC =b.若点 D 满足 BD =2 DC ,则 AD 等于 ( ) A.

2 1 b? c 3 3

B. c ?

5 3

2 b 3

C.

2 1 b? c 3 3

D. b ?

1 3

2 c 3

课时 5 向量共线定理 1.已知 3x+2(α -2x)=5α ,则 x=____. 2.已知向量α 与 b 方向相反,|α |=4,|b|=2,则α ____b. 3.已知向量α 、b,且 AB =α +2b, BC =5α +6b, CD =7α -2b,则一定共线的三 点是 ( ) A.A、B、D B.A、B、C C.B、C、D D.A、C、D 4.下列各命题中正确的是____. ①若 a≠λ b,则 a,b 不共线(λ ∈R); ②b=3α (α 为非零向量),则α ,b 共线; ③若 m=3α +4b, n ?

3 a ? 2b ,则 m∥n; ④若α +b+c=0,则α +b=-c. 2

5.

a 称为非零向量α 的单位向量,它的长度是___,它的方向与α 的方向____. |a|

6. 如图 2-5-1, 已知 D 为△ABC 的边 BC 上的中点, E 是 AD 上的一点, 且 AE =3 ED , 若 AD =α ,则 EA + EB + EC =____. (用α 表示)

7.试把满足α =3x-2y,b=-4x+3y 的向量 x,y 用α ,b 表示出来, 8.设两个非零向量 e1,和 e2 不共线. (1)如果 AB =e1-e2, BC =3e1+2e2, CD =-8e1-2e2,求证:A、C、D 三点共线;

(2)如果 AB =e1+e2, BC =2e1-3e2, CD =2e1-ke2,且 A、C、D 三点共线,求 k 的值. 9.如图 2-5-2,P 为△ABC 中 BC 边上一点,BP:PC-5:2,已知 AB =α , AC =b, 试用α ,b 表示 AP .

10.已知 e1,e2 不共线,α =λ e1-e2,b=e1-λ e2.若α ∥b,求λ 的值. 11. (2008·辽宁)已知 0,A,B 是平面上的三个点,直线 AB 上有一点 C,满足 2 AC + CB =0,则 OC = A. 2 OA - OB ( ) C.

B.- OA +2 OB

2 1 OA ? OB 3 3

D. ? OA ?

1 3

2 OB 3

12.在△ABC 中,AD,BE,CF 分别是 BC,CA,AB 边上的中线,G 是它们的交点, 则下列等式中正确的是____.

2 1 BE ; ② DG ? AG 3 2 1 2 1 ③ OG ? ?2 FG ; ④ DA ? FC ? BC . 3 3 2
① BG ? 13 . O 是 平 面 上 一 定 点 , A,B,C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 , 动 点 P 满 足

OP ? OA ? ? (

AB AC ,则 P 的轨迹一定经过△ABC 的 ( ) ? ) ,λ ∈[0,+∞) | AB | | AC |

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 14. (2009·北京卷理)已知向量α 、b 不共线,c=kα +b(k∈R),d-a-b,如果 c∥d, 那么 ( ) A. k=1 且 c 与 d 同向 B.k=1 且 c 与 d 反向 C.k=-1 且 c 与 d 同向 D.k=-1 且 c 与 d 反向 课时 6 平面向量基本定理 1.以下关于基底的说法正确的是____. ①任意两个非零平面向量可以作为平面向量的一组基底; ②△ABC 中, AB , AC 可以作为平面向量的一组基底; ③平面向量可以有不止一组基底; ④e1,e2 为平面向量的一组基底,α =λ e1+μ e2,则λ μ ≠0. 2.如果 e1,e2 是平面内所有向量的一组基底,若实数λ ,μ 满足λ e1+μ e2=0,则λ =____.

3.若α ,b 不共线,(λ α 十μ b)∥2a(λ ,μ ∈R),则λ ,μ 满足的关系为____. 4. (2007·全国Ⅱ)在△ABc 中,已知 D 是 AB 边上的一点,若 AD -2 DB , CD =

1 CA ? ? CB ,则λ =____. 3
5.△ABC 中,若 D、E 依次是有向线段 AB 上的三等分点,则以 CB =e1, CA =e2 为基底时,CE=____ 6.已知向量 e1,e2 不共线,实数 x、y 满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2 则 x-y=____. 7.如图 2-6-1,已知平面上三点 O,A,B,如果 OP =α OA +β OB ,且α +β -1,那 么 P 点的位置在何处?请说明理由.

8.已知向量 a=2e1-3e3,b= 2e1+3e2,其中 e1 与 e2 不共线,向量 c=2e1-9e2,问是否存在 这样的非零实数λ 、μ ,使向量 d=λ a+μ b 与 c 共线? 9. (2008·湖南)设 D、E.F 分别是△ABC 的三边 BC、CA.AB 上的点,且 DC =2

BD , CE =2 EA , AF =2 FB ,则 AD ? BE ? CF 与 BC

( )

A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直 10.若α ,b 是不共线的两向量,且 AB=λ 1a+b,AC=a+λ 2b(λ 1,λ 2∈R),若 A,B, C 三点共线,则λ 1,λ 2 满足关系____. 11.如图 2-6-2,已知四边形 ABCD 中, AB =α -2b, CD =5α -8b,对角线 AC,BD 的中点分别为 E,F,求 EF .

12. (2009·山东卷理)设 P 是△ABC 所在平面内的一点, BC + BA =2 BP ,则 ( ) A. PA ? PB ? 0 B. PC ? PA ? 0 C. PB ? PC ? 0 D. PA ? PB ? PC ? 0

习题课(3) 1.四边形 ABCD 中, AB = DC , | AB |?| AD | ,则此四边形的形状为____. 2. (2006·临沂第一次调研)已知△ABC 的三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P 满足

PA ? PB ? PC ? AB ,则点 P 与△ABC 的关系为 ( )
A.P 在△ABC 内部 B.P 在△ABC 外部 C.P 在 AB 边所在直线上 D.P 是 AC 边的一个三等分点 3.下列说法正确的是____. ①方向相同或相反的向量是平行向量; ②零向量的长度为 0; ③相等向量是长度相等且方向相同的向量; ④共线向量是在同一条直线上的向量. 4.化简 PQ ? OM ? QO ? MQ 的结果是____. 5.下列各命题中,真命题是____. ①若 b=3a(a≠0),则 a,b 共线; ②若 a+b+c=0,则 a+b=-c; ③若 x- 2a - 3b,y=3a-2b,则 x∥y; ④若存在λ ∈R,使λ =λ b 成立,则 a=b. 6.在□ABCD 中,若| | AB ? AD |?| AB ? AD | ,则∠DAB=____. 7.已知向量α ,b 不共线, AB =a+5b, BC = -2a+8b, CD =3(a-b),判断 A,B,C, D 四点中是否存在三点共线的情况,如果存在,请予以证明;如果不存在,请说明理由. 8.在△ABC 中,设 D 为 BC 边的中点,求证: 3 AB ? 2BC ? CA ? 2 AD . 9.在△ABC 中, AD ?

1 AB ,DE∥BC,与边 AC 相交于点 E,△ABC 的中线 AM 与 4

DE 相交于点 N,如图习 2 -3-1,设 AB -a, AC =b,试用 a 和 b 表示 DN .

10.如图习 2-3-2,在△ABC 中,点 M 是 BC 的中点,点 N 在边 AC 上且 AN =2NC:, 设 AM 与 BN 交于点 P,且 BP=APN,求λ 的值.

11.如图习 2-3-3,已知在□ABCD 中,AH=HD,BF=MC= 试用 a、b 分别表示 AM 、 MH 、 AF .

1 BC,设 AB =a, AD =b, 4

12.如图习 2-3-4,在□ABCD 中,BE=

1 1 BA,BF= BD,求证:E,F,C 三点共线. 3 4

13. (2009· 宁夏、 海南卷理) 已知 O, N, P 在△ABC 所在平面内, 且| OA |=| OB | =| OC |, NA + NB + NC =0,且 PA · PB = PB · PC = PC · PA ,则点 O,N, P 依次是△ABC 的 ( ) A.重心 外心 垂心 B.重心 外心 内心 C.外心 重心 垂心 D.外心 重心 内心 课时 7 平面向量的坐标表示及坐标运算(1) 1.已知 a=(3,-1) ,b=(-1,2) ,则向量 4a+b 的坐标是____. 2.已知平行四边形 ABCD 中, AD =(3,7), AB =(-2,3) ,对角线 AC,BD 交于 O,则 CO =____ 3.已知向量 AB =(6,1), BC =(2,4), CD =(-2,-3),则 DA=____. 4.设向量 a=(1,-3),b=(-2,4) ,c=(-1,- 2).若表示向量 4a、4b-2c、2(a-c)、d 的

有向线段首尾相接能构成四边形,则向量 d 为 ( ) A.(2,6) B.(-2,6) C.(2,-6) D.(-2,-6) 5.若点 A(-1,2),B(2,3),C(3,-1),且 AD -2 AB - BC ,则点 D 的坐标为____. 6.如图 2-7-1. (1)已知平行四边形 ABCD 的三个点 A(3,-2) ,B(5,2),C(-1,4),则 D 点的坐标是 ____. (2)已知平行四边形三个顶点分别为(3,-2) ,(5,2), (-1,4) ,则第四个顶点的坐标 为____.

7.已知|a| =10,b=(3,-4) ,且 a∥b,求 a. 8.已知 A(1, -2) , B(2 , 1) ,C(3, 2)和 D(-2 , 3) ,以 AB 、 AC 为一组基底来表示

AD ? BD ? CD .
9.已知向量 a= (2x- y+1,x-1- y-2),b=(2,-2) ,x、y 为何值时,(1)a=b;(2)a∥b. 10.若向量 a=(1,1),b=(1,1),c= (-1,2),则 c=____. (用 a,b 表示) 11.已知:点 A(2,3),B(5,4),C(7,10),若 AP ? AB ? ? AC(? ? R) ,试求λ 为 何值时, (1)点 P 在第一、三象限角平分线上? (2)点 P 在第三象限内? 12. (2008·安徽)在平行四边形 ABCD 中,AC 为一条对角线,若 AB =(2,4), AC = (1,3),则 BD = ( )

A. (-2,-4) B. (-3,-5) C.(3,5) D.(2,4) 13.(2009·湖北卷文)若向量 a-(1,1),b=(1,1),c=(4,2),则 c= ( ) A 3a+b B.3a-b C.- a+3b D.a+3b 课时 8 平面向量的坐标表示及坐标运算(2) 1.与向量(12,5)平行的单位向量为________. 2. (2008·全国Ⅱ)设向量 a=(1,2),b=(2,3),若向量λ a 十 b 与向量 c=(-4,-7)

共线,则λ =____. 3.已知点 A(1,1),B(-1,5).若 AC ?

1 AB , AD ? 2 AB ,则 CD 的坐标为____. 2

4.若向量 a=(4,-2),向量 b=(x,5),且 a∥6,则 x=____. 5.已知 a=(3,2),b=(2,π ) ,若向量λ a+b 与 a+λ b 平行,则λ =____. 6.已知有下列四组向量: ①e1=(-1,2) ,e2=(4,-2); ②e1=(-3,2) ,e2=(6,-4); ③e1=(2,-3) ,e2= ( , ? ) ; ④e1=(3,-4) ,e2=(6,8). 其中,能作为平面内所有向量的基底的有____. (填写符合要求的序号) 7.若 A(2,-2),B(4,-6) ,C(z,-4)三点共线,求实数 x 的值. 8.已知三个点 P(-2,1) ,Q(1,4),M(4,-3),E 是 PQ 上的点且 PE ? 至 F,使 | EF |?

1 2

3 4

1 EQ ,延长 ME 2

1 | FM | ,求 F 点的坐标. 4

9.已知向量 e1,e2 不共线, (1)若 AB =e1 -e2, BC =2e1-8e2, CD =3e1+3e2,求证:A,B,D 三点共线. (2)若向量λ e1 -e2 与 e1-λ e2 共线,求实数λ 的值. 10.设 k∈R,下列向量中,与向量(1,-1)不可能平行的向量是____. ①(k,k-2) ; ②(-k,k-2) ; 2 2 ③(k +1,k -1); ④(k2 +1,1-k). 11. a=(1,2),b=(-3,2) ,当 k 为何值时,ka+b 与 a-3b 平行?平行时它们是同向 还是反向? 课时 9 平面向量的数量积 1.(2008·北京)已知向量 a 与 b 的夹角为 120°,且|a|=|b|=4,那么 b(2a+b) 的值为____. 2.若正三角形 ABC 的边长为 2,则 AB ? BC ? AC ? AB ? AC =____. 3.若|a|=1,|b|=2,c=a+b 且 c⊥a,则向量 a 与 b 的夹角为____. 4. 已知向量 a、 b 的夹角为 45°, 且|a|=4,( a ? b ) · (2a -3b) =12, 则|b|=____; b 在 a 方向上的投影等于__________. 5.已知|a|=3,|b|=4,(a+kb)⊥(a-kb),那么实数 k 的值为________. 6.|a|=3,|b|=4,向量 a、b 的夹角为 60°,则|a-2b|=____. 7.已知|a|=4,|b|=3,根据下列条件,求 a·b: (1)a∥b;(2)a⊥b;(3)a 与 6 的 夹角为 60°. 8.已知向量 a,b 的夹角为 120°,且|a|=3,|b|=4.求(a+b)· (a-2b) . 9.已知 a、b 是两个非零向量,且|a|=|b|=|a-b|,求 a 与 a+b 的夹角. 10.已知非零向量 a,b 满足 b= 2 ,且(a-b) ·(a+b)=

1 2

1 3 . (1)求|a|;(2)a·b= , 4 2

求向量 a 与 b 的夹角θ 的值. 11. (2007·苏锡常镇统考)已知平面上三个向量 a、b、c 的模均为 1,它们之间的夹 角均为 120°. (1)求证: (a-b)⊥c; (2)若|ka+b+c|>1(k∈R),求五的取值范围. 12.已知|a|=3,|b|=2,a 与 b 的夹角为 60°,c=3a+5b,d=ma - 3b. (1)当 m 为何值时,c 与 d 垂直? (2)当 m 为何值时,c 与 d 共线? 13. (2009·全国卷 I 文)设非零向量 a、b、c 满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则<a,b >= ( ) A 150° B.120° C. 60° D. 30° 14. (2009·陕西卷文)在△ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=1,点 P 在 AM 上且满足 学 PA ? ?2 PM ,则 PA . ( PB ? PC) 等于 A. ( )

4 9

B.

4 3

C. ?

4 3

D. ?

4 9

课时 10 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(1) 1.已知 a=(2,-1),b=(3,4),则 a·b=____. 2.向量 a=(2,-1)与向量 b=(1,3)的夹角为____. 3.已知向量 a=(2,t),b=(1,2),若 t=t1 时,a∥t;t=t2 时,a⊥b,则 ( ) A. t1 =-4,t2-1 B.t1=-4,t2=1 C.t1=4,t2=-1 D.t1=4,t2=1 4.△ABC 中,∠C=90°, AB =(k,1), AC =(2,3),则 k 的值为____. 5. (2009· 浙江卷文) 已知向量 a=(1, 2), b=(2, - 3). 若向量 c 满足(c+a)∥b, c⊥ (a+b), 则 c= ( ) A. ( , )

7 7 9 3

B. ( ?

7 7 ,? ) 3 9

C. ( , )

7 7 3 9

D. ( ?

7 7 ,? ) 9 3

6.(2009 北京卷文)已知向量 a=(1,0),b=(0,1),c=ka+b(k∈R),d=a-b,如果 c∥d, 那么 ( ) A.k=1 且 c 与 d 同向 B.k=1 且 c 与 d 反向 C.k= -1 且 c 与 d 同向 D.k= -1 且 c 与 d 反向 7.已知 a=(2,1),b=(-1,3) ,若存在向量 c 使得 a·c=4,b·c=-9,试求向量 c 的坐标. 8.已知 a=(-2,-1) ,b=(λ ,1).若 a 与 b 的夹角为钝角,求λ 的取值范围. 9.已知 a=(3,4),b=(2,-1),若向量 a+λ b 与 2a-b 垂直,求实数λ 的值. 10. (2008·天津)已知平面向量 a=(2,4),b-(-1,2) .若 c=a-(a·b)b,则|c|____. 11.已知 a=( 3 ,-1) ,b=(

1 3 , ) ,且存在实数 k 和 t,使得 x=a+(t2-3)b,y=-ka 2 2

k ? t2 +tb,且 x⊥y,试求 的最小值. t
12. (2009·广东卷理)一质点受到平面上的三个力 F1,F2,F3(单位:牛顿)的作用 而处于平衡状态, 已知 F1, F2 成 60°角, 且 F1, F2 的大小分别为 2 和 4, 则 F3 的大小为 ( )

A.6 B.2 C. 2 5

D. 2 7

课时 11 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(2) 1.向量 a=(-2,1) ,b=(2,4),则向量 a 与 b 的夹角是____. 2.已知向量 a=(1,0),6=(2,-1) ,若λ a-b 与 a 垂直,则实数λ =____. 3.设 e1,e2 是两个互相垂直的单位向量,且 a= 3e1+2e2,b=-3e1+4e2,则 a.b=____. 4.已知向量 a=(-2,2) ,b=(5,k) ,若|a+b|不超过 5,则 k 的取值范围是____. 5. (2008·陕西)关于平面向量 a,b,c.有下列三个命题:①若 a·b=a·c,则 b=c.② 若 a=(1,k) ,b=(-2,6),a∥b,则 k= -3.③非零向量 a 和 b 满足|a|=|b|=|a-b|,则 a 与 a+b 的夹角为 60°,其中真命题的序号为____. (写出所有真命题的序号) 6 .已知平面上三点 A , B , C 满足| AB | =3 ,| BC |= 4 ,| CA | =5 ,则 =____. AB ? BC ? BC? CA? CA ? AB 7.已知 O 为坐标原点,i,j 分别为与 x 轴、y 轴方向相同的单位向量, OA =2i+2j,

OB =4i+j,在 x 轴上有一点 P,使 AP · BP 取得最小值,求 P 点的坐标及此时∠APB 的余
弦值. 8. (2009·辽宁卷理)平面向量 a 与 b 的夹角为 60°,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b| = ( ) A. 3 B. 2 3 C.4 D.12

9.已知平面向量 a=( 3 ,-1) ,b=(

1 3 , ) . 2 2

(1)证明:a⊥b; (2)若存在不同时为零的实数 k 和 t,使 x=a+(t-3)b,y=-ka 十 tb,且 x⊥y,试求函数 关系式 k=f(t). 10.已知向量 a=(sinθ ,1) ,b=(1,cosθ ),-

? ? <θ < .若 a⊥b,求θ . 2 2

11. (2009·江苏卷)设向量 a= (4COSa,sinol),b=(sinβ ,4cosβ ),c=(cosβ ,-4sin β ) , (1)若 a 与 b-2c 垂直,求 tan(a+β )的值;(2)求|b+c|的最大值;(3)若 tanatanβ =16, 求证:a∥b, 习题课(4) 1.已知 a=(cosa,sina),b=(cosβ .sinβ ),则 ( ) A.a⊥b B.a∥b C. (a+b)⊥(a-b) D.a,b 夹角为 a+b 2.已知□ABCD 中,AC∩BD=E,设 AB =e1, AD =e2,用 e1,e2 表示 ED =____. 3.已知向量|a|=5,且 a=(3,x -1),x∈N*,与向量 a 垂直的单位向量是____. 4.已知点 A(-1,5)和向量 a=(2,3),若 AB =3a,则点 B 的坐标为____.

5.已知向量 a=(3,4),b=( sin a,cos a)且 a∥b,则 tan a=____. 6.向量 a=(1,3),在向量 b=(3,4)方向上的投影为____. 7.已知|a|= 3 ,|b|=1,|a-b| =1,求|a-2b|的值, 8.如图习 2-4-1,| OA |=1,| OB |= 3 ,| OC |=2,∠AOB=∠BOC=30°, 请用 OA , OB 表示 OC . 9.若(a+b)·(2a-b),(a-2b)·(2a+b),试求 a,b 的夹角的余弦值. 10.求证:△ABC 的三条高交于一点, 11. P 是△ABC 所在平面上一点,若 PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ,则 P 是△ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 12.已知|a|=2|b|≠0,且关于 x 的方程 x2+|a|x+a·b=0 有实根,则 a 与 b 的夹 角的取值范围是 ( ) A.[0,

? ? ? 2? ? ] B.[ ,π ] C.[ , ] D.[ ,π ] 3 6 3 3 6

课时 12 平面向量应用举例 1.若质点 A 在平面上做匀速直线运动,速度为 y=(2,-1) ,当时间单位 t=0 时,点 A 在(-1,3)处,则当 t=5 时,点 A 的坐标为____. 2.已知 F1=i+2j,F2=2i+3j,F3=3i-4j,i,j 为互相垂直的单位向量,若 F1,F2,F3 共 同作用于一个物体上,使物体从点 A(1,2)移到点 B(3,1),则合力所做的功为____. 3.已知点 A(-1,7) , B(7,1),点 C 在 x 轴上, 且∠ACB=90°, 则点 C 的坐标为____. 4.已知 A(2,-2),B(5,1),C(1,5).则∠BAC 的余弦值为____.

? 5 . 在 △ ABC 中 , 有 命 题 : ① A B? A C

B; C ② AB ? BC ? CA ? 0 ; ③ 若

( A B? A C )? ( A B ?

ABC 为等腰三角形;④若 AC ? AB ? 0 ,则△ABC 为 A)C ? ,则△ 0

锐角三角形.上述命题正确的是 ( ) A.①② B.①④ C.②③ D.②③④

BC =a, CA =b, 6. 在边长为 2 的正三角形 ABC 中, 设 AB =c, 则 a· b+b· c+c· a=____.
7.已知△ABC 的三个顶点为 A(-2,1) ,B(6,-3),C(0,5).若 AD 为内角平分线, 求与 AD 同向的单位向量. 8.在△ABC 中,AB=(2,3),AC=(1,k) ,且△ABC 的一个内角为直角,求实数 k 的值. 9.如图 2-12-1,正方形 OABC 两边 AB,BC 的中点分别为 D 和 E,求∠DOE 的余弦 值.

10.已知矩形相邻的两个顶点是 A(-1,3),B(-2,4) ,若点 D 在 x 轴上,求另外两个 顶点 C、D 的坐标. 11.已知 a+b+c=0,且|a|=3,|b|=5,|c|=7,则向量 a 与 b 的夹角为____. 12. 已知|a|=4,|b|=3, (2a- 3b)· (2a+b)=61. (1)求 a 与 b 的夹角θ ; (2)求|a+b|; (3)若 AB =a, AC =b,作三角形 ABC,求△ABC 的面积. 13 . (2009 ·湖南卷文 ) 如图 2-12-2 ,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起,若 ,求 x、y. AD ? x AB? y AC

课时 13 本章复习 1 . 有 如 下 四 个 命 题 : ① AB ? BA ? 0 ; ② 0 ? AB ? 0 ; ③ AB ? AC ? BC ; ④ (写出所有正确命题的序号) ( AB ? BC) ? AC 是一个向量.其中真命题是____. 2.(2006.湖北)已知非零向量 a、b,若 a+2b 与 a-2b 互相垂直,则

|a| =___. |b|

3.若 AB =(1,2), AC =(k,1),则当 k=____时,∠ABC=90°. 4.已知向量 a,b 的夹角为 120°,且|a|=2,|b|=5,则(2a-b)·a=____. 5. 已知 e1, e2 是平面上一组基底, 若 a=e1+λ e2, b= - 2λ e1 -e2, 且 a, b 共线, 则λ =____. 6. (2008·江西)直角坐标平面上三点 A(1,2)、B(3,-2)、C(9,7),若 E、F 为线段 BC 的三等分点,则 AE ? AF =____. 7,设 a,b 是不共线的两个向量,已知 AB =2a+kb, BC =a+b, CD =a-2b,若 A,B,D 三点共线,求 k 的值.

8.已知三个向量 a,b,c 两两夹角都为 60°,且|a|=1,|b| =2,|c|=3,求| a+b+c|. 9.如图 2 -13-1,向量 OA 、 OB 、 OC 的长度分别为 2、 3 、1,∠AOB=120°, ∠AOC=150°,则 OC =____ OA +____ OB .

10.已知 a,b,c 三个向量在同一平面内,其中 a=(1,2). ①若|c|=2 5 ,且 c∥a,求 c 的坐标;

②若|b|=

5 ,且 a+2b 与 2a 一 b 垂直,求 a 与 b 的夹角. 2

11.已知|a=4,|b|=2,且(n,b)-120°, (1)求|2a-b|; (2)求(a-26) ·(a+b); (3)求 a 与 a+b 的夹角. 12.已知平面上三个向量 a,b,c 的模均为 1,它们相互之间的夹角均为 120°. (1)求证:(a-b) ⊥c; (2)若|ka+b+c|>1(k∈R),求 k 的取值范围. 13. (2009.全国卷 I 理)设 a、b、c 是单位向量,且 a·b=0,则(a-c)·(b-c)的最小值 为 ( ) A.-2 B. 2 -2 C.-1 D.1- 2 第三章 三角恒等变换 课时 1 两角和与差的余弦 1. sin30°sin15°- cos30°cos15°=____. 2.若 A,B 是△ABC 的两内角,且 cosA·cosB>sinA·sinB,则△ABC 的形状是____. 3.cos75°- cos15°的值等于____. 4.已知 sinθ = ?

5 3? ? ,θ ∈(π , ) ,那么 cos(θ ? )=___. 2 4 13

5.已知 sinasinβ =1,那么 cos(a+β )=____. 6.cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为____. 7.不查表求值:

sin 40 ? 2cos 70 . sin 50

? 5 )= ,求 cosa 的值, 13 6 ? 4 3? ? 9.已知 sin( +a)=- ,a∈(π , ) ,求 cos( -a) . 5 2 2 3
8.已知 a 为锐角,且 cos (a+ 10.已知 sin(a-β ) =0,求证:cos(a-2β ) =cosa.

? 3? 12 3 <β <a< ,cos(a-β )= ,sin(a+β )= ? ,求,cos2a 的值. 4 13 5 2 4 5 12.在△ABC 中,已知 sinA= ,cosB= ,求 cosC 的值. 5 13
11.已知 课时 2 两角和与差的正弦、余弦(1) 1.下列等式中成立的序号是____.

1 ; 2 1 ②sin13°cos17°-cos13°sin17°= ; 2
①cos80°cos20°- sin80°sin20°= ③sin700°cos25°+sin25°sin20°=

2 ; 2 3 . 2

④sin140°cos20°+sin50°sin20°= 2.sin

? ? 3 5 ) ,β ∈( ,π ) ,且 sin(a+β )= ,cosβ = ? ,那么 sma____. 5 2 2 13 3 5 4.在△ABC 中,已知 sinA= cosB= ,则 sinC=____. 5 13
3.已知 a∈(0, 5.已知 sin(a+β )=

25? 11? 11? 5? cos -cos sin 的值是____. 6 12 6 12

1 1 tan a ,sin(a-β )= ,求 =___. 2 3 tan ?

6.以下各命题中,真命题是____. (写出所有正确命题的序号) ①不存在无数多组 a,β ,使得 cos(a+β ) =cosacosβ +sinasinβ ; ②存在无数多组 a,β ,使得 cos(a-β ) =cosacosβ -sinasinβ ; ③对任意的 a,β ,cos(a-β )=cosacosβ -sinasinβ ; ④不存在 a,β ,使 sin(a-β )≠sinacosβ -cosasinβ . 7.求证:sin(a+β )sin(a-β )=sin2a-sin2β

? 1 3 <β <π 且 sina= sinβ = ,求 sin(a+β )的值 4 4 2 ? 1 a 2 ? a?? 9.已知 cos(a- )= ? ,sin( -β )= ,且 0<β < <a<π 求 sin 的值. 9 2 3 2 2 2
8.已知 0<a< 10.已知 sina+sinβ +siny=0,COSa+COSβ +cosy=0,求 COS(a-β )值. 11.已知 0<a<β <

? 5 3 ,cos(a+β )= ? ,sin(a-β )= ? ,求 sin2β 的值. 5 2 13

课时 3 两角和与差的正弦、余弦(2)

1 ,则(sina+sinβ )2+(cosa+cosβ )2=____. 3 3 5 2.在△ABC 中,cosA= ,sinB = ,则 sin(A+B)=____. 5 13
1.若 cos(a-β )= 3.如果 tana、tanβ 是方程 x2-3x-3=0 的两根,则

sin(a ? ? ) =____. cos(a ? ? )

4.化简 sin163°sin223°+sin253°sin313°=____. 5.若 COS(a=β )=

1 1 ,COS(a-β )= ,求 tana·tanβ =____. 2 3

6.(2008·上海)函数 f(x)= 3 sinx+sin(

? +x)的最大值是____. 2

7.若 a、β 都是锐角,且 sina= 8.化简:sin(x+

5 10 ,sinβ = 求 a+β 的值. 5 10

? ? 2? )+2sin(x- ) ? 3 cos( -x) . 3 3 3 3 5 9.在△ABC 中,cosA= ,cosB= ,求 cosC 的值. 5 13 ? 3 ? ? 3 3 5 10.已知 <a< π ,0<β < ,cos( -a)= ,sin( π +β )= ,求 sin(a+β ) 4 5 4 13 4 4 4
的值. 11. (2008·广东)已知函数 f(x)=Asin(x+ ? ) (A>0,0< ? <π ),x∈R 的最大值是 1,其 图象经过点 M(

? 1 , ) . 3 2
? 3 12 ) ,且 f(a)= ,f(β )= ,求 f(a-β )的值. 5 13 2

(1)求 f(x)的解析式; (2)已知 a,β ∈(0,

课时 4 两角和与差的正切(1) 1.若 tan(a+β )=

2 ? 1 ? ,tan(β ? )= ,则 tan(a+ ) =____. 5 4 4 4

2.

1 ? tan15 ? ____. 1 ? tan15
1 ,tan(β -a)=-2,则 tanβ =____. 3

3.已知 A,B 是锐角,且(1+tanA) (1+tanB) =2,则 A+B=____. 4.若 tana=

5.求值:tan24°+tan36°+ 3 tan24°·tan36°=____. 6. (1+tan44°) (1=tan43°) (1+tan2°) (1+tan1°)=____. 7.已知 tana+tanβ =2,tan(a+β )=4,tana<tanβ ,求 tana、tanβ 的值. 8.在△ABC 中,已知 A+C=2B,求 tan

A C A C +tan + 3 tan tan 的值. 2 2 2 2

1 2 ,tan(a-β )= ? ,求 tan(β - 2a). 2 3 1 1 1 10.已知 a、β 、γ 都是锐角,且 tana= ,tanβ = tanr ,求 a+β +γ 的值. 2 5 8
9.已知 tana= 11.已知 tana、tanβ 是方程 3x2+5x-7=0 的两根,求下列各式的值: (1)tan(a+β ); 12.化简 ( ? (2)

sin(a ? ? ) ; (3) COS2(a+β ). cos(a ? ? )

? x ) ? tan( ? ) 的值为 ( ) 4 4 2 x x A.tanx B.2tanx C.tan D.2tan 2 2
x 2
课时 5 两角和与差的正切(2) 1.已知 a∈(

?

? 3 ? ,π ) ,sina= ,则 tan(a+ )=____. 5 2 4

2.在△ABC 中,若 tanAtanB>1,那么△ABC 是____三角形.

1 ? tan a ? ? 2 ? 3 ,则 tan( +a)=____. 1 ? tan a 4 5 4.若 a 是第二象限角,且 sina= ,tan(a+β )=1,则 tanβ ____. 13
3.已知 5.求值:

sin15 ? cos15 =____. sin15 ? cos15
1 1 + =30,则 tan(x+y)____. tan x tan y

6.tanx+tany=25,

7.已知 tana=

1 1 ? 3? ,tanβ = ,且 a∈(0, ) ,β ∈(π , ) ,求 a+β 的值. 2 3 2 2

8.计算:

tan 20 ? tan 40 ? tan120 的值. tan 20 ? tan 40

9.已知 tana、tanβ 是方程 x2-4x-2=0 的两个实根,求 COS2(a+β )+2sin(a+β )cos(a+β ) 2sin2(a+β )的值, 10.在△ABC 中,求证:tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC. 11.已知锐角△ABC 中,sin(A+B)= 12.已知-

? ? ? ? <a< ,- <β < ,且 tana,tanβ 是方程 x2+6x+7=0 的两个根,求 a+β 2 2 2 2

3 1 tan A ,sin(A-B)= ,求 . 5 5 tan B

的值. 课时 6 辅助角公式 1.化简

1 3 cosx ? sinx=___. 2 2

2.化简 2 cosx ? 6 sinx=____.

3.要使 sina ? 3 cosa=

4m ? 6 有意义,则实数 m 的取值范围是____. 4?m ? 4 7? 4. (2008·山东)已知 cos(a ? )+sina= )的值是 ( ) 3 ,则 sin (a+ 6 5 6
A. ?

2 3 5

B.

2 3 5

C. ?

4 5

D.

4 5

? ? -x)+ cos( 6 -x)____. 3 3 ? ? 6.求函数 y= 3 sinx+cosx,x∈[ ? , ]的值域. 2 2 ? ? 7.求值: 3 cos -sin . 12 12
5.化简: 2 sin( 8.已知向量 a=(cosθ ,sinθ ),向量 b=( 3 ,-1),求|2a-b|的最大值. 9.设函数 f(x)= 3 sin2x+cos2x+a+1(a 为实常数)在区间[0, 数 a 的值. 10.已知函数 y=sinx+cosx 给出以下 4 个命题: ①若 x∈[0, ②直线 x=

? ]上的最小值为-4,求实 2

? 是函数 y=sinx+cosx 图象的一条对称轴; 4 ? 5 ③在区间[ , π ]上,函数 y=sinx+cosx 是增函数; 4 4
④函数 y=sinx+cosx 的图象可以由 y= 2 sinx 的图象向右平移 其中正确命题的序号是____. 11. (2008·上海)函数 f(x)= 3 sinx+sin(

? ]则 y∈(0, 2 ]; 2

? 个单位而得到. 4

? +x)的最大值是____. 2

课时 7 二倍角的正弦、余弦、正切公式(1) 1. (cos A. ?

? ? ? ? -sin ) (cos +sin )等于 ( ) 12 12 12 12
B. ?

3 2

1 2

C.

1 2

D.

3 2

2.化简(sin280°-sin210°)2+COS270°的值为____.

1 ? ? ,且 <a< ,则 COSa - sina 的值是____. 8 4 2 ? ? 4.设 5π <θ <6π ,cos =a,则 sim =____. 2 4
3.若 sinacosa= 5.若

cos 2a

sin(a ? ) 4

?

??

2 ,则 COSa+sina=____. 2

6.化简:2 1 ? sin8 ? 2 ? 2cos8 7.已知 (

?

? 1 ? ? a) sin( ? a) ? ,a∈( ,π ) ,求 sin4a 的值. 4 4 6 2
? 1 sin 2 a ? cos 2 a +a)= ,求 的值. 2 4 1 ? cos 2 a

8.已知 tan(

9.求函数 y= 2cos2x+2 3 sinxcosx 的最值. 10.求证:

sin 2 x sin x ? x ? ? an( ? ) . 1 ? cos 2 x 1 ? sin x 4 2
17? 1? t , g(x)=cosx· f(sinx)+sinx· f(cosx),x∈ (π , ) . 12 1? t

11. (2008· 湖北) 已知函数 f(t)=

(1)将函数 g(x)化简成 Asin(wx+ ? )+B(A>0,w>0, ? ∈[0,2π )的形式; (2)求函数 g(x)的值域. 课时 8 二倍角的正弦、余弦、正切公式(2) 1.若 sina+cosa= ? 2 ,则 tana+

1 = ( ) tan a

A.1 B.2 C.-1 D.-2 2.函数 y=cos2x-sin2x+2sinxcosx 的最小值是________.

1 1 ? sin 2a ,则 =____. 2 sin 2 a ? cos 2 a 5 4.已知θ 为第三象限角,且 sin4θ +COS4= ,则 sin2 ? =____. 9
3.已知 tana= ? 5.求值:sin50°(1+ 3 tan10°)=____. 6. (2008·广东)已知函数 f(x)=(sinx- cosx)sinx,x∈R,则 f(x)的最小正周期是____. 7.已知 a,β ∈(0,π ) ,COS(a ? 8.化简:

?
2

)= ?

a 3 2 2 ,sin( -β )= ,求 COS(a+β ). 2 3 3

1 ? sin 2? ? cos 2? 1 ? cos 2? ? sin 2? ? . 1 ? sin 2? ? cos 2? 1 ? cos 2? ? sin 2?

9.(2008·天津)已知函数 f(x)=2cos2wx+2sinwxcoswx+1(x∈R,w>0)的最小值正周期是

? . 2
(1)求 w 的值; (2)求函数 f(x)的最大值,并且求使 f(x)取得最大值的 x 的集合. 10.如果 cos22θ =

1 ,则求 COS4θ +sin4θ +sin2·COS2θ 的值. 4 1 ? sin 4a ? cos 4a 11.化简: = ( ) 1 ? sin 4a ? cos 4a 1 1 2 A.tan2a B. C. D. tan 2 a tan a tan a

12.化简:sin2x· (1+tanx·tan

x )结果应为 ( ) 2

A.2sinx B.2cosx C.2sin2x-2sinx D.tanx 13. (2009·广东卷理)已知向量 a=(sinθ ,-2)与 b=(1,cosθ )互相垂直,其中θ ∈(0,

? ) . 2
? 10 ,0< ? < ,求 cos ? 的值. 2 10
( )

(1)求 sinθ 和 cosθ 的值;(2)若 sin(θ ?? )=

习题课(5) 1.已知 A(cos80°,sin80°),B(cos20°,sin20°),则|AB|的值是 A.

1 2

B.

2 2

C.

3 2

D.1

2.若

3? 1 1 1 1 <a<2π ,则 ? ? cos 2a =____. 2 2 2 2 2

3.已知 f(x)=2cos2x+ 3 sin2x+a(a∈R),若 f(x)在[ ? 3,则 a 的值为____. 4.化简: 2 1 ? sin8 ? 2 1 ? sin8 =________.

?
6



? ]上最大值与最小值之和为 6

5.已知 k<-4,则函数 y= cos2x+k(cosx-1)的最小值是 A.1 B.-1 C.2k+1 D.-2k+1 6. 若函数 f(x)=cos2x-cosx+1 (π ≤x≤

( )

3? ) 的最大值为 M, 最小值为 m, 则 M+m=____. 2

sin 2 x ? sin(2 x ? ) 3 的最小正周期. 7.求函数 y= ? cos 2 x ? cos(2 x ? ) 3
8.(2008·北京)已知函数 f(x)=sin2wx+ 3 simwxsin(wx+ (1)求 w 的值; (2)求函数 f(x)在区间[0,

?

? (w>0)的最小正周期为 ? . 2

2? ]上的取值范围. 3

9. (2009· 重庆卷文) 设函数 f(x)=(sinwx+COSwx)2+2cos2wx(w>0)的最小正周期为 (1)求 w 的最小正周期. (2)若函数 y=g(x)的图象是由 y=f(x)的图像向右平移 调增区间. 10.已知函数 f(x)=2cosxsin (x+ (1)求函数 f(x)的最小正周期;

2? . 3

? 个单位长度得到.求 y=g(x)的单 2

? ) ? 3 sin2x+sinxcosx. 3

(2)求函数 f(x)的最大值及最小值; (3)写出函数 f(x)的单调递增区间. 11. (2008·福建)已知向量 m=(sinA,cosA),n=( 3 ,-1) ,m·n=1,且 A 为锐角. (1)求角 A 的大小; (2)求函数 f(x)=cos2x+4cosAsinx(x∈R)的值域. 12.求函数 f(x)一 sinx+cosx+sinx·cosx 的最大值、最小值. 13. (2009·湖南卷文)已知向量 a=(sinθ ,cosθ -2 sinθ ),b=(1,2). (1)若 a∥b,求 tanθ 的值; (2)若|a|=|b|,0<θ <π ,求θ 的值. 课时 9 简单的三角恒等变换 1.已知 a,β ,a+β 都是锐角,记 P=sin(a+β ),Q= sina+sinβ ,R=COSa+COSβ ,则 P,Q,R 的大小关系是____. (用“<”连接) 2.若 sin(a+β )sin(a-β )=2m(m≠0),则 COS2a- COS2β =____. 3.已知 tanx=-3,则 sin2x=____,cos2x=____. 4. (2008·海南)

3 ? sin 70 = ( ) 2 ? cos 2 10
C.2 D.

A.

1 2

B.

2 2

3 2

5.已知

2sin ? ? cos ? =-5,则 tan2θ =____. sin ? ? 3cos ?

6.化简:COS2a+cos2(a-β )-2COSaCOSβ cos(a-β )=____. 7.求 tan9°- tan27°- tan63°+tan81°的值. 8. (2008·四川)求函数 y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x 的最大值与最小值. 9.已知 tana,tanβ 是方程 7x2- 8x+1=0 的两根. (1)求 tan

a?? 的值; 2 x x x cos -2 3 sin2 + 3 . 4 4 4

(2)若 a,β 均为锐角,求 sin(a+β )的值. 10. (2008·陕西)已知函数 f(x)=2sin (1)求函数 f(x)的最小正周期及最值; (2)令 g(x)=f(x+ 11.函数 y= A .[ ?

? ) ,判断函数 g(x)的奇偶性,并说明理由. 3

1 sin2x+sin2x,x∈R 的值域是 ( ) 2

1 3 3 1 2 1 2 1 2 2 , ] B.[ ? , ] C.[ ? + , + ] D.[ ? , ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

12.已知函数 f(x)=sin2x+2sinxcosx+3cos2x,x∈R.求: (1)函数 f(x)的最大值及取得最大值的自变量 x 的集合; (2)函数 f(x)的单调增区间.

13. (2009·湖北卷理)已知函数 f(x)=f( 课时 10 本章复习

? ? )cos+sinx,则,f( )的值为____. 4 4

1 ,则 COS2a-Sin2β 的值为____. 3 C 2.在△ABC 中,若 sinAsinB=cos2 2 ,则△ABC 是____三角形.
1.已知 COS(a+β )COS(a-β )= 3.已知 2a+β =π ,则 y=cosβ - 6sina 的值域是____. 4.化简: (sin 5.y+sin(x+

? ? )sin(x+ )的最小正周期 T____,最小值为____. 3 2 2? 1 6.已知 a-β = ,且 cosa+cosβ = ,则 COS(a+β )等于____. 3 3
7.(2007·青岛)已知 sinθ 、cosθ 是关于 x 的方程 x2-ax+a=0(a∈R)的两个根. (1)求 sin3θ +cos3θ 的值; (2)求 tanθ +cotθ 的值. 8 . (2009 ·福建卷 文 ) 已知函 数 f(x)=sin(wx+ ? ) ,其 中 w>0 , | ? | < cos

a a ? a +cos )2+2sin2( ? )=____. 2 2 4 2

? 3? ,cos ? -sin sin ? =0,求 ? 的值; 4 4
(2)在(1)的条件下,若函数 f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于

? . (1) 若 2

? 求函数 f(x) 3

的解析式;并求最小正实数 m,使得函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位所对应的函数是偶 函数, 9. 已知向量 m= (cosθ , sinθ ) 和 n=( 2 -sinθ ,cosθ ), θ ∈(π , 2π )且|m+n|= 求 cos(

8 2 , 5

? ? + 的值. 2 8 ? 4 10.已知 0<a< ,sina= 5 2
(1)求

5? sin 2 a ? sin 2a 的值;(2)求 tan(a ? )的值. 2 4 cos a ? cos 2a

11.设向量 a=(sinx,COSx),b=(cosx,COSx) ,x∈R,函数 f(x)=a·(a+b). 1)求函数 f(x)的最大值与最小正周期;

3 成立的 x 的取值集合. 2 ?x ?x ? ? )-2cos2 8 +1. 12. (2009·重庆卷理)设函数 f(x)=sin( 4 6
(2)求使不等式 f(x)≥ (1)求 f(x)的最小正周期. (2)若函数 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称,求当 x∈[0,

4 ]时,y=g(x)的最大 3

值.


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