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2019-2020学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.2 复数的几何意义学案新人教A版选修2-2.doc_图文

时间:2019-04-03

2019-2020 学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.2 复数的几何意义学案新人教 A 版选修 2-2
【学习目标】 1.理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的,能根据复数的代数形式描出其 对应的点及向量。 2.掌握复数的模的概念及其计算公式。 3.掌握复数的向量表示方法,初步掌握用复数表示复平面上的点的轨迹。 【能力目标】 复数与复平面内的点及向量能一一对应, 会复数的模及向量模的计算. 【重点难点】 理解复数的几何意义,根据复数的代数形式描出其对应的点及向量,根据复数的代数 形式描出其对应的点及向量。 【学法指导】 理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的,复数的模即对应向量的长度. 【学习过程】 一.【课前预习】 阅读教材 P104-P105, 复习: 1. 说出下列复数的实部和虚部,哪些是实数,哪些是虚数。

1 ? 4i,7 ? 2i,8 ? 3i,6, i, ?2 ? 0i,7i,0,0 ? 3i,3
2.复数 z ? ( x ? 4) ? ( y ? 3)i ,当 x, y 取何值时为实数、虚数、纯虚数? 3. 若 ( x ? 4) ? ( y ? 3)i ? 2 ? i ,试求 x, y 的值. 复数的几何意义知识概要: (1)思考:实数可以与数轴上的点一一对应,类比实数,复数能与什么一一对应呢? (分析复数的代数形式,因为它是由实部 a 和虚部 b 同时确定,即有顺序的两实数,不难想 到有序实数对或点的坐标) 结论:复数与平面内的点有序实数对一一对应. (2)复平面:以 x 轴为实轴, y 轴为虚轴建立直角坐标系,得到的平面叫复平面. 复数与复平面内的点一一对应.

(3)在复平面内描出复数 1 ? 4i,7 ? 2i,8 ? 3i,6, i, ?2 ? 0i,7i,0,0 ? 3i,3 分别对应的点. (先建立直角坐标系,标注点时注意纵坐标是 b 而不 是 bi ) 观察上例中我们所描出的点, 从中我们可以得出什么结论?

(4)实数都落在实轴上,纯虚数落在虚轴上,除原点外,虚轴表示纯虚数. 思考:我们所学过的知识当中,与平面内的点一一对应的东西还有哪些? (5)

复数Z ? a ? bi

一一对应

? 复平面内的点(a,b)



复数Z ? a ? bi

一一对应

? 平面向量OZ



复平面内的点(a,b) ? 平面向量OZ .
注意:人们常将复数 z ? a ? bi 说成点 Z 或向量 OZ ,规定相等的向量表示同一复数。 ( 6 )复数 z ? a ? bi 的模: z ? a ? bi ?

一一对应

a 2 ? b 2 对应平面向量 OZ的模 OZ ,即复数

z ? a ? bi 复平面内对应的点 Z ( a, b) 到原点的距离。
二. 【课堂学习与研讨】 ①复数与复平面内点的对应 例 1.已知复数 z ? (a ? 4) ? (2a ? 3)i ,其中 a ? R ,当复数 z 在复平面内对应的点 Z 满足
2

下列条件时,求 a 的值(或取值范围) (1) Z 在实轴上; (2)在第二象限;
2 解 : 因 为 z ? ( a ?4)? ( 2 a ? 3i, ) 所以复数 z 在复平面内对应的点 Z 的坐标为

(a2 ? 4, 2a ? 3) ;
(1)若点 Z 在实轴上,则有 2a ? 3 ? 0 ,解得 a ?

3 ; 2

??2 ? a ? 2 ?a2 ? 4 ? 0 3 ? (2)若点 Z 在第二象限,则有 ? ,即 ? 3 ,解得: ? a ? 2 。 2 a? ? 2a ? 3 ? 0 ? ? 2

小结:

动动手: (1) 已知复数 z ? (m 2 ? m ? 6) ? (m 2 ? m ? 2)i 在复平面内所对应的点位于第二象 限,求实数 m 的取值范围.

?m2 ? m ? 6 ? 0 ?(m ? 3)(m ? 2) ? 0 ? ?3 ? m ? 2 解:由已知 ? 2 ?? ?? ?m ? m ? 2 ? 0 ? (m ? 2)(m ? 1) ? 0 ?m ? 1或m ? ?2
即 ?3 ? m ? ?2 或 1 ? m ? 2 。 ②复数与复平面内向量的对应 例 2.在复平面上,点 A,B,C 对应的复数分别为 1 ? 4i , ? 3i ,2;O 为复平面的坐标原点; (1)求向量 AB ? OB , AC 对应的复数; (2)求平行四边形 ABCD 的顶点 D 对应的复数。 解: (1)由已知得 OA , OB , OC 对应的复数分别为 1 ? 4i , ? 3i ,2,于是 OA ? (1,4) ,

OB ? (0. ? 3) , OC ? (2,0) , 因 此 , AB ? OB ? (1,1) , AC ? OC ? OA ? (1, ?4) , 故
对应的复数为 1 ? i , AC 对应的复数为 1 ? 4i 。 AB ? OB (2)(方法一)由已知得点 A,B,C 的坐标分别为(1,4) , (0,-3) , (2,0) ;则 AC 的中点 为( 1.5, 2 ) ,由平行四边形的性质知 BD 的中点也是( 1.5 , 2 ) ,设 D( x0 , y0 ) ,则有

? 0 ? x0 3 ? ? ? x0 ? 3 ? 2 2 ,解得 ? ,故 D(3,7) ; ? ? y0 ? 3 ? ?3 ? y0 ? 2 ? ? 2
( 方 法 二 ) 由 已 知 得 OA ? (1, 4) , OB ? (0. ? 3) , OC ? (2,0) , 所 以 BA ? (1, 7),

BC ? (2,3) ,由平行四边形的性质得 BD ? BA ? BC ? (3,10) ,而 OB ? (0. ? 3) ,于是 D
(3,7) 。

小结:

试一试: 已知向量 OA 对应的复数是 4 ? 3i , 点 A 关于实轴的对称点为 A 将向量 OA 1, 1 平移, 使其起点移动到点 A,这时终点为 A2 ; (1)求向量 OA 1 对应的复数; (2)求点 A2 对应的复数。 解: (1)∵向量 OA 对应的复数是 4 ? 3i ,∴点 A 对应的复数也是 4 ? 3i , ∴点 A 坐标为(4,3) ,∴点 A 关于实轴的对称点 A ,故向量 OA 1 为(4,-3) 1 对应的复数是

4 ? 3i ;
(2)依题意知 OA 1 ? AA 2 ,而 OA 1 ? (4, ?3) , 设 A2 ( x, y) ,则有 (4, ?3) ? ( x ? 4, y ? 3) ,∴ x ? 8, y ? 0, ∴ 点 A2 对应的复数 8. ③复数的模及其应用 例 3.若复数 z ? (a ? 2) ? 2ai 的模等于 5 ,求实数 a 的值。
2 2 2 解:由已知得 (a ? 2) ? ( ?2a ) ? 5 ,即 5a ? 4a ? 1 ? 0 ,解得 a ?

1 或 a ? ?1 ,故实 5

数 a 的值等于 小结:

1 或 ?1 。 5

动动手: 已知复数 z1 ? 3 ? 4i, z 2 ? ?1 ? 5i ,试比较它们模的大小.

解: z1 ? 3 ? 4i ? 3 ? 4 ? 5 , z2 ? ?1 ? 5i ?
2 2

(?1) 2 ? 52 ? 26

三.【课堂检测】 1.下列命题中是假命题的是( D )

A.在复平面内,对应于实数的点都在实轴上; B.在复平面内,对应于纯虚数的点都在虚轴上; C.在复平面内,实轴上的点所对应的复数都是实数; D.在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数. 2. 已知复数 z1 ? 2 ? i, z 2 ? 1 ? 2i 在复平面内对应的点分别为 A,B 求向量 AB 对应的复数 z=( A.1-i C ) B.3+3i C.-1+i D.1+i )

3.复数 z1 ? 2 ? 2i, z 2 ? 3 ? i 在复平面内表示的两个点之间的距离是 ( B A. 5 B.

2

C.2

D.1

4.已知复数 z 的模为 2,则 z ? i 的最大值为( D ) A.1 B.2 C.4 D.3 .

5.复数 z1 ? 2a ? (a ? 1)i 表示的点在第一象限,则实数 a 的取值范围是 0 ? a ? 1

6.复数 z1 ? 1 ? 2i, z 2 ? ?2 ? i, z3 ? ?1 ? 2i ,它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个 顶点,求这个正方形的第四个顶点对应的复数.

参考答案: z4 ? 2 ? i 四.【课堂小结】 复数几何意义, ①复数与复平面内点的对应; (实部是横坐标,虚部是纵坐标) 即 z ? a ? bi ( a , b ? R )和复平面内的点 Z ( a, b) 一一对应; ②复数与复平面内向量的对应; (原点与复数的点所成向量就是复平面内对应的向量) 即复数 z ? a ? bi 对应向量 oz = ( a, b) ; ③ 复 数 的 模 及 其 应 用 。 即 复 数 z ? a ? b i的 模 : z ? a ? bi ?

a2 ? b2 就 是 向 量

OZ的模 OZ 。
【课外作业】 1.设 z ? a ? bi ( a , b ? R )和复平面内的点 Z ( a, b) 对应,当 a , b 满足什么条件时,点 Z 位于(1) 实轴上? (2)虚轴上(除原点外)? (3) 实轴上方?(4)虚轴左方?(5)第四象限? 参考答案:(1) b ? 0 , (2) a ? 0 ( b ? 0 ), (3) b ? 0 ,(4) a ? 0 ,(5) a ? 0, b ? 0 。 2. 已 知 复 数 z ? (m ? m ? 6) ? (m ? m ? 2)i 在 复 平 面 内 所 对 应 的 点 在 直 线
2 2

x ? 2 y ? 4 ? 0 上, 求实数 m 的值.
参考答案:由 (m ? m ? 6) ? 2(m ? m ? 2) ? 4 ? 0 得 m ? 1 或 m ? ?2 ;
2 2

3.已知

z1 ? a ? (a ? 3)i, z2 ? (2a ? 1) ? (2 ? a)i, 若 z1 ? z2 ,求实数 a 的取围.

2 2 参考答案:由 a ? (a ? 3) ?

(2a ? 1) 2 ? (2 ? a) 2 ,得 a ? ?1 ?

33 33 或 a ? ?1 ? 3 3

4.已知复数 z1 ? 3 ? 4i, z 2 ? ?1 ? 5i ,试比较它们模的大小. 参考答案: z1 ? 3 ? 4i ? 5, z2 ? ?1 ? 5i ?

26 ,所以 z1 ? z2 。

5.设 z ? C ,满足下列条件的点 Z 的集合是什么图形? (1) z =2 (2) 2< z ≤3 (3) z >1

参考答案: (1)以原点为圆心,半径等于 2 的圆周; (2)介于以原点为圆心,半径等于 2 的圆外且以原点为圆心,半径等于 3 的圆内的圆环; (3)以原点为圆心,半径等于 1 的圆 外部分;


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