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湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2016届高三2月联考数学文科试题

时间:2016-02-04


荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟

2016 届高三 2 月联考

数 学(文科)试 题
本试卷共 4 页,总分 150 分,考试用时 120 分钟。

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的) 1.已知集合 A ? ?x | y ? lg(2 ? x)? ,集合 B ? ?x | ?2 ? x ? 2? ,则 A ? B ? ( A. ?x | x ? ?2? 2.已知 B. )

?x | ?2 ? x ? 2?

C. ?x | ?2 ? x ? 2? )

D. ?x | x ? 2?

a ? 2i ? b ? i ? a, b ? R ? ,其中 i 为虚数单位,则 a ? b ? ( i
B. ? 2 C. ?1

A. ? 3

D.1

3.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半, 六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还。”其意思为:“有一个人走 378 里路,第一天健步行走, 从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了 6 天后到达目的地,请问第二天走了( A.192 里 B.96 里 C.48 里 D.24 里 ) 4.已知 p , q 是两个命题,那么“ p ? q 是真命题”是“ ? p 是假命题”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 5.已知函数 f ( x) ? sin( x ? A.函数 B.函数 C.将函数 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

?
2

) , g ( x) ? cos( x ?

?
2

) ,则下列结论中正确的是(



的最小正周期为 的最大值为 2 的图象向左平移 单位后得 的图象

D.将函数

的图象向右平移

单位后得

的图象

6.已知抛物线 x 2 ? ?4 5 y 的焦点与双曲线

x2 y2 ? ? 1 的一个焦点重合,则该双曲线的离心率为( a 4
C.



A.

5 2

B. 5

5 3 3

D.

3 5 5

7.设曲线 y ?

2 a 2 ? 1 sin x ( a ? R )上任一点 ( x, y ) 处切线斜率为 g ( x) ,则函数 y ? x g ( x) 的部分图象可以

高三数学(文科)第 1 页 (共 6 页)

为(



A

B )

C

D

8.执行如图所示的程序框图,则输出的结果是(

D1

俯视图

C1
P

A1

B1

侧视图

D

C
A
正视图

B

第 9 题图

A.7 D.19

B . 12

C.

17

9.如图,在正四棱柱 ??CD ? ?1?1C1D1 中, AB ? 1, AA 1 ? 2 ,点 ? 是平面 ?1?1C1D1 内的一个动点,则三棱 锥 P ? ABC 的正视图与俯视图的面积之比的最大值为( A.1 B.2 C. ) D.

1 2

1 4

10. 已知 f ? x ? 是奇函数并且是 R 上的单调函数, 若函数 y ? f (2 x 2 ? 1) ? f (? ? x) 只有一个零点, 则实数 ? 的 值是( A. ) B.

1 4

1 8

C.

?

7 8

D. ?

3 8


11.已知 a , b 为两个平面向量,若 a ?

? 2 b , a ? b 与 a 的夹角为 ,则 a ? b 与 b 的夹角为( 6

高三数学(文科)第 2 页 (共 6 页)

A.

? 4

B.

? 3

C.

? 2? 或 3 3

D.

? 3? 或 4 4


? a ln x ? x 2 ? 2( x ? 0) ? 12.若函数 f ( x ) ? ? 1 的最大值为 f (?1) ,则实数 a 的取值范围( x? ?a ( x ? 0) ? x ?
A. [0,2e 2 ] B. [0,2e 3 ] C. (0,2e 2 ] D. (0,2e 3 ]

二.填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.一只蜜蜂在一个半径为 3 的球体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与球的表面的距离均大于 1,称 其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为 .

?x ? 0 ? 14.若 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ,则 x ? y 的取值范围是________. ?2 x ? y ? 3 ?
15.已知抛物线方程为 y 2 ? ?4 x ,直线 l 的方程为 2 x ? y ? 4 ? 0 ,在抛物线上有一动点 A ,点 A 到 y 轴的距 离为 m ,点 A 到直线 l 的距离为 n ,则 m ? n 的最小值为 . .

16.已知数列 ?an ? 为等差数列,其前 n 项和为 S n ,若 S k ?2 ? ?4 , S k ? 0 , S k ?2 ? 8 ,则 k = 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,且 (1)求角 B 的大小;

cos B cos C ?? . b 2a ? c

(2)若 b ? 13 , a ? c ? 4 ,求 ?ABC 的面积.

18.(本小题满分 12 分) 某学校高三年级有学生 500 人,其中男生 300 人,女生 200 人,为了研究学生的数学成绩是否与性别有关, 现采用分层抽样的方法,从中抽取了 100 名学生,先统计了他们期中考试的数学分数,然后按性别分为男、 女两组,再将两组学生的分数分成 5 组:[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150]分 别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.

频率 组距 0.0350 0.0325 0.0200 0.0250

频率 组距

0.0050 O
100 110 120 130 140 150 分数

0.0050 O
100 110 120 130 140 150 分数

(1)从样本中分数小于 110 分的学生中随机抽取 2 人,求两人恰好为一男一女的概率;
男生 女生

2 列联表,并 判断是否 (2)若规定分数不小于 130 分的学生为“数学尖子生”,请你根据已知条件完成 2×

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有 90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”? P(K2≥k0) k0 0.100 2.706 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828
2 附: K ?

n(ad ? bc)2 , (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

19.(本小题满分 12 分) 如图,空间几何体 ADE ? BCF 中,四边形 ABCD 是梯形,四边形 CDEF 是矩形,且平面 ABCD ⊥平面

CDEF ,AD ? DC ,AB ? AD ? DE ? 2, EF ? 4 ,M 是线段 AE
上的动点. (1)试确定点 M 的位置,使 AC //平面 MDF ,并说明理由; (2)在(1)的条件下,平面 MDF 将几何体 ADE ? BCF 分成两部 分, 求空间几何体 M ? DEF 与空间几何体 ADM ? BCF 的体积之比;
E D F M C A B

20.(本小题满分 12 分) 如图,已知椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的 四 个 顶 点 分 别 为 A1 , A2 , B1 , B2 , 左 右 焦 点 分 别 为 F1 , F2 , 若 圆 C : 2
PF1 PF2 ? 5,
y
y
C?

( x ? 3) 2 ? ( y ? 3) 2 ? r 2 ( 0 ? r ? 3 )上有且只有一个点 P 满足
(1)求圆 C 的半径 r ; (2)若点 Q 为圆 C 上的一个动点,直线 QB1 交椭圆于点 D , 交直线 A2 B2 于点 E ,求

B2
E

D

Q

DB 1 EB 1

的最大值;

A1

O
B1

A2

x
x

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ( x 2 ? a ? 1)e x ( a ? R )有两个不同的极值点 m, n , (m ? n) ,且 m ? n ? 1 ? mn , (1)求实数 a 的取值范围;(2)当 x ? ?0,2? 时,设函数 y ? m f ( x) 的最大值为 g ( m) ,求 g ( m) ;
A

C

O

D

B

P

E

高三数学(文科)第 4 页 (共 6 页)

22-24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.

22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示, PA 为圆 O 的切线, A 为切点, PO 交圆 O 于 B , C 两点, PA ? 20 , PB ? 10 , ?BAC 的角 平分线与 BC 和圆 O 分别交于点 D 和 E . (1)求证: AB ? PC ? PA ? AC ; (2)求 AD ? AE 的值.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? x ? 2 cos t ? 以坐标原点为极点,以 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C 的参数方程为 ? (t 为 ? ? y ? 2 sin t
参数). (1)曲线 C 在点 ?1,1? 处的切线为 l ,求 l 的极坐标方程; (2)点 ? 的极坐标为 ? 2 2,

? ?

??

? ,且当参数 t ??0, ? ? 时,过点 ? 的直线 m 与曲线 C 有两个不同的交点, 4?

试求直线 m 的斜率的取值范围.

24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ? x ? ? 2x ? 1 ? x ? 4 . (1)解不等式: f ? x ? >0; (2)若 f ? x ? ? 3 x ? 4 ? m 对一切实数 x 均成立,求 m 的取值范围.

高三数学(文科)第 5 页 (共 6 页)

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2016 届高三 2 月联考
文科数学参考答案
一、 选择题: 1 B 2 A 3 B 4 A 5 D 6 A 7 B 8 B 9 B 10 C 11 D 12 B

二、

填空题:
8 27

13、 三、

14、 ?? 3,0?

15、

6 5 ?1 5

16、6

解答题:
cos B cos C cos B cos C ?? ?? ,由正弦定理得: , b 2a ? c sin B 2 sin A ? sin C
2分

17. 试题解析:(1)∵

∴ 2 sin A cos B ? sin C cos B ? cos C sin B ? 0 , ∵ A ? B ? C ? ? , ∴ 2 sin A cos B ? sin A ? 0 , ∵ sin A ? 0, ,∴ cos B ? ? ∵ 0 ? B ? ? ,∴ B ? 4分 5分 6分

1 , 2

2? . 3
2? 代入 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B , 3

(2)将 b ? 13 , a ? c ? 4 , B ?

即 b 2 ? (a ? c) 2 ? 2ac ? 2ac cos B , ∴ 13 ? 16 ? 2ac (1 ? ) ,可得 ac ? 3 , 于是, S ?ABC ?

8分 10 分 12 分

1 2

1 3 ac sin B ? 3 2 4

19. 试题解析:(1)解:由已知得,抽取的 100 名学生中,男生 60 名,女生 40 名 分数小于等于 110 分的学生中, 男生人有 60×0.05 = 3(人),记为 A1,A2,A3;女生有 40×0.05 = 2(人),记为 B1,B2 从中随机抽取 2 名学生,所有的可能结果共有 10 种,它们是:(A1,A2),(A1,A3), (A2,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2) 其中,两名学生恰好为一男一女的可能结果共有 6 种,它们是:(A1,B1),(A1,B2), (A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2), 4分 2分

高三数学(文科)第 6 页 (共 6 页)

故所求的概率 P ?

6 3 ? 10 5

6分

(2)解:由频率分布直方图可知, 在抽取的 100 名学生中,男生 60×0.25 = 15(人),女生 40×0.375 = 15(人) 据此可得 2×2 列联表如下: 数学尖子生 男生 女生 合计 15 15 30 非数学尖子生 45 25 70 合计 60 40 100 9分
2 所以得 K ?

7分

n(ad ? bc) 2 100(15 ? 25 ? 15 ? 45) 2 25 ? ? ? 1.79 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 60 ? 40 ? 30 ? 70 14

11 分

因为 1.79 < 2.706. 所以没有 90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”. 12 分

20.试题解析:(Ⅰ)当 M 是线段 AE 的中点时,AC//平面 MDF,证明如下: 连结 CE 交 DF 于 N,连结 MN,由于 M、N 分别是 AE、CE 的中点, 所以 MN//AC,又 MN 在平面 MDF 内, 所以 AC//平面 MDF (Ⅱ)将几何体 ADE-BCF 补成三棱柱 ADE- B?CF , 三棱柱 ADE- B?CF 的体积为 V ? S
△ADE

1分

4分 6分

· CD=

1 ? 2? 2? 4 ? 8 2

8分

? 2? ? 2 ? 则几何体 ADE-BCF 的体积 VADE ? BCF ? V三棱柱ADE ? B?CF ? VF ? BB?C ? 8 ? ? ? ? 2 
又 三棱锥 F-DEM 的体积 V三棱锥F ? DEM ? ∴ 两几何体的体积之比为

1 ?1 3 ?2

? ?

20 3

10 分

1 ?1 4 ? ? ? ? 2  ? 4 ? ?1 ? 3 ?2 3 ?

11 分

4 20 4 1 ? )= :( 3 3 4 3

12 分

21. 试题解析::(1)依题意得, F1 (?1,0), F2 (1,0), 设点 P( x, y) ,由

PF1 PF2
3 2

? 5 得:

( x ? 1) 2 ? y 2
2 2

3 5 ? 5 ,化简得 ( x ? ) 2 ? y 2 ? , 2 4 ( x ? 1) ? y

∴点 P 的轨迹是以点 ( ,0) 为圆心,

5 为半径的圆, 2

3分

又∵点 P 在圆 C 上并且有且只有一个点 P ,即两圆相切,
高三数学(文科)第 7 页 (共 6 页)

当两圆外切时,圆心距

3 5 5 ? ? r ? r ? 5 ? (0,3) ,成立 2 2

当两圆内切时,圆心距 ∴r ?

3 5 5 ?r? ? r ? 2 5 ? (0,3) ,不成立 2 2
5分

5

(2)设直线 QB1 为 y ? kx ? 1 , 由d ?

3k ? 3 ? 1
2

? 1 11? ? 5 得, k ? ? , ? ?2 2 ? k ?1

6分

联立 ?

y ? kx ? 1 ,消去 y 并整理得: (2k 2 ? 1) x 2 ? 4kx ? 0 , 2 2 x ? 2 y ? 2 ? ?
4k , 2k 2 ? 1
7分

解得点 D 的横坐标为 x D ?

把直线 QB1 : y ? kx ? 1 与直线 A2 B2 : x ? 2 y ?

2 联立解得点 E 横坐标 x E ?

2 2 2k ? 1
1 ?

8分

DB1
所以 EB1

?

x D 2k 2 ? 2 k 2k ? 1 ? ? 1? 2 ? 1? 2 xE 2k ? 1 2k ? 1

1 2k ? 1 ? 2 2k ? 1 ?2

? 1?

2 2?2

1? 2 11 分 2

(∵求最大值,显然 2k ? 1 为正才可能取最大,) 当且仅当 k ? 1 ?

2 ? 1 11? ? , ? 时,取等号, 2 ? ?2 2 ?
1? 2 ; 2
12 分



DB 1 EB 1

的最大值为

22. 试题解析:(1)0 令 f ?( x) ? 0 得, x 2 ? 2 x ? a ? 1 ? 0 由题意:△ ? 4 ? 4(1 ? a) ? 4a ? 0 即 a ? 0 , 且 m ? n ? ?2, mn ? 1 ? a, (m ? n) , ∵ m ? n ? 1 ? mn ,∴ a ? 1 ? 3 , ∴0 ? a ? 4 , (2)又∵ f ?(m) ? (m2 ? 2m ? a ? 1)em ? 0 , ∴ a ? m 2 ? 2m ? 1, ∴ 0 ? m 2 ? 2m ? 1 ? 4 ∴ ? 3 ? m ? 1且m ? ?1 , 又∵ m ? n ,∴ ? 3 ? m ? ?1

1分 2分

4分

6分

8分

y ? m( x 2 ? a ? 1)e x ? m( x 2 ? m2 ? 2m)e x

高三数学(文科)第 8 页 (共 6 页)

y? ? m( x 2 ? 2x ? m2 ? 2m)e x ? m( x ? m)(x ? m ? 2)e x
①当 ? 3 ? m ? ?2 时, y ? m f ( x) 在 ?0,?m ? 2? 上递增, ?? m ? 2,2?在上递减, ∴当 x ? ?m ? 2 时, g (m) ? ymax ? (2m ? 4m)e
2 ? m? 2

10 分

②当 ? 2 ? m ? ?1 时, y ? m f ( x) 在 ?0,2? 上递减, ∴当 x ? 0 时, g (m) ? ymax ? ?m ? 2m ,
3 2

∴ g (m) ? ?

?(2m 2 ? 4m)e ? m?2 , ? 3 ? m ? ?2 3 2 ? 2 ? m ? ?1 ? ? m ? 2m ,

12 分

22. 试题解析:(Ⅰ)∵ PA 为 圆 O 的切线, ??PAB ? ?ACP, 又 ?P 为公共角, ∴ ?PAB ∽ ?PCA ,∴ AB ? PC ? PA ? AC (2)∵ PA 为圆 O 的切线, BC 是过点 O 的割线, ? PA2 ? PB ? PC , 4分 6分

? PC ? 40, BC ? 30 又∵ ?CAB ? 900 , ? AC 2 ? AB 2 ? BC 2 ? 900
又由(Ⅰ)知

AB PA 1 ? ? ? AC ? 12 5 AC PC 2

AB ? 6 5 ,
8分 10 分

连接 EC ,则 ?CAE ? ?EAB, ?ACE ∽ ?ADB , ∴

AB AD ? AD ? AE ? AB ? AC ? 6 5 ?12 5 ? 360 ? AE AC

? ? x ? 2 cos t , 23. 试题解析:(Ⅰ) ? ? x 2 ? y 2 ? 2 点 C (1,1) 在圆上,故切线方程为 x ? y ? 2 y ? 2 sin t , ? ?

2分

? ? sin ? ? ? cos ? ? 2 ,切线的极坐标方程: ? sin(? ?

?
4

)? 2

5分

(Ⅱ) y ? k ( x ? 2) ? 2 与半圆 x 2 ? y 2 ? 2( y ? 0) 相切时

| 2k ? 2 | 1? k 2

? 2
8分

? k 2 ? 4k ? 1 ? 0
设点 B (? 2 ,0)

? k ? 2 ? 3 , k ? 2 ? 3 (舍去)
K AB ? 2?0 2? 2 ? 2? 2 ,

故直线 m 的斜率的取值范围为 (2 ? 3 ,2 ? 2 ] .

10 分

24.试题解析:
(Ⅰ)当 x ? 4时, f ( x) ? 2 x ?1 ? ( x ? 4) ? x ? 5 ? 0, 得x ? ?5, 所以x ? 4 成立 当? 2分 4分

1 ? x ? 4时, f ( x) ? 2 x ? 1 ? x ? 4 ? 3 x ? 3 ? 0得x ? 1, 所以1 ? x ? 4成立 2

当 x ? ? 时, f ( x) ? ? x ? 5 ? 0得x ? ?5 ,所以 x< ? 5 成立

1 2

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综上,原不等式的解集为 x x>1或x< ? 5  (Ⅱ) f ( x) ? 3 x ? 4 ? 2x ? 1 ? 2 x ? 4 ? 2x ? 1 ? (2x ? 8) ? 9 当?

?

?

6分 9分 10 分

1 ? x ? 4 时等号成立所以, m ? 9 2

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