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《与名师对话》高中数学人教版A版选修2-3课件 1.2.1-2 排列的应用_图文

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第2课时 排列的应用 自 主 预 习 学习目标 1.进一步理解排列的意义,并 能用排列数公式进行运算. 2.能用所学的排列知识和具 体方法正确解决简单的实际 问题. 3.通过实例分析过程体验数 学知识的形成和发展,总结 数学规律,培养学习兴趣. 目标解读 1.重点是掌握排列应用 题常用的方法:直接法 (包括特殊元素处理法、 特殊位置处理法、捆绑 法、插空法等),间接 法. 2.难点是解决与排列有 关的实际问题. 排列问题的判断 判断一个具体问题是不是排列问题主要看从 n 个元素中 取出 m 个元素后,在安排 m 个元素时,是 有序 还是 无序 , 有序 就是排列, 无序 不是排列.也就是说排列问题与元素 的 顺序有关 ,与顺序无关的不是排列. 一般地,我们把 m<n 时的排列叫选排列,m=n 时的排列 叫全排列. 问题思考:列举法是否适合所有的排列问题? 提示:列举法只适用于元素较少的排列问题,而对于元素 较多的排列问题,由于排列数较大,列举法并不适用. 要 点 导 学 要点一 特殊元素(位置)的排列问题 排列问题的实质是“元素”占“位置”的问题, 有限制条 件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不能排在某个位 置上或某个位置不排某些元素, 解决该类问题的方法主要是按 “优先”原则,即优先排特殊元素或优先满足特殊位置.总的 来说,解决这类问题有直接法和间接法两种,具体分析时可以 按位置来分析,也可以先考虑特殊元素,各种方法可以相互验 证. 3 名男生,4 名女生,按照不同的要求排队, 求不同的排队方案的方法种数. (1)全体站成一排,其中甲只能在中间或两端; (2)全体站成一排,其中甲、乙必须在两端; (3)全体站成一排,其中甲不在最左端,乙不在最右端; (4)全体站成两排,前排 3 人,后排 4 人,其中女生甲和女 生乙排在前排,另有 2 名男生丙和丁因个子高要排在后排. 【思路启迪】 根据特殊元素(位置)“优先”的原则分类 解决. 【解】 (1)(特殊元素优先法)先考虑甲有 A1 再考 3种方案, 6 虑其余六人全排列,故 N=A1 A 3 6=2 160(种). (2)(特殊元素优先法)先安排甲、 乙有 A2 再安排其 2种方案, 5 余 5 人全排列,故 N=A2 · A 2 5=240(种). (3)方法一: (特殊元素优先法): 按甲是否在最右端分两类: 第一类,甲在最右端有 N1=A6 6(种), 第二类,甲不在最右端时,甲有 A1 5个位置可选,而乙也 5 1 1 5 有 A1 5个位置,而其余全排列 A5,有 N2=A5A5A5, 1 1 5 故 N=N1+N2=A6 + A 6 5A5A5=3 720(种). 方法二:(间接法): 无限制条件的排列数共有 A7 7,而甲在左端或乙在右端的 5 排法都有 A6 ,且甲在左端且乙在右端的排法有 A 6 5, 6 5 故 N=A7 - 2A + A 7 6 5=3 720(种). 方法三:(特殊位置优先法):按最左端优先安排分步. 6 对于左端除甲外有 A1 种排法,余下六个位置全排有 A 6 6, 5 1 6 1 5 但减去乙在最右端的排法 A 1 A 种,故 N = A A - A 5 5 6 6 5A5 =3 720(种). (4)将两排连成一排后原问题转化为女生甲、 乙要排在前 3 个位置,男生丙、丁要排在后 4 个位置,因此先排女生甲、乙 2 有 A2 种方法,再排男生丙、丁有 A 3 4种方法,最后把剩余的 3 名同学排好有 A3 3种方法. 2 3 故 N=A2 · A · A 3 4 3=432(种). 对于特殊元素或特殊位置的排列问题, 要先处理特殊元素 或先处理特殊位置, 再去排其他元素. 当用直接法比较麻烦时, 可以先不考虑限制条件,把所有的排列数算出,再从中减去全 部不符合条件的排列数,这种方法也称为“间接法”,但必须 注意要不重复,不遗漏. 用 0,1,2,3,4,5 这六个数字组成无重复数字 的整数,求满足下列条件的数各有多少个. (1)六位数; (2)六位奇数. 解:(1)(间接法):0,1,2,3,4,5 六个数字共能形成 A6 6种不同 5 的排法,当 0 在首位时不满足题意,故可以组成 A6 - A 6 5=600 个没有重复数字的六位数. (2)方法一(位置分析法):①从个位入手:个位数排奇数, 即从 1,3,5 中选 1 个有 A1 3种方法,首位数排除 0 及个位数余下 的 4 位数字中选 1 个有 A1 4种方法,余下的数字可在其他位置 1 1 4 全排列有 A4 种方法, 由分步乘法计数原理, 共有 A · A · A 4 3 4 4=288 个不同的六位奇数. ②从首位入手:对首位排奇数还是非 0 偶数分两类进行. 1 第 1 类, 首位排奇数, 有 A1 种选择, 再个位排奇数有 A 3 2种 方法, 其余位置全排列有 A4 则共有 A1 A1 A4 4种. 3· 2· 4=144 种方法. 1 4 第 2 类,首位排非 0 偶数,共有 A1 · A · A 2 3 4=144 种方法. 根据分类加法计数原理,共有 144+144=288 个六位奇 数. 方法二(元素分析法):0 不在两端有 A1 4种排法.从 1,3,5 1 4 中选 1 个排在个位,剩下的 4 个数字全排列.故共有 A1 · A · A 4 3 4 =288 个六位奇数. 要点二 元素“相邻”的排列问题 相邻问题是排列问题中常见的类型, 其解决方法是“捆绑 法”,模型为将 n 个不同元素排成一排,其中某 k 个元素排在 相邻位置上,求不同排法种数的方法是:先将这 k 个元素“捆 绑在一起”,看成一个整体,当作一个元素同其他元素一起排 n k 1 列,共有 An -k+1种排法;然后再将“捆绑”在一起的元素“内 - + k 部”进行

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