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“《数学周报》杯”2010年全国初中数学竞赛试题及参考答案

时间:2010-03-24


中国教育学会中学数学教学专业委员会

"《数学周报》杯"2010 年全国初中数学竞赛试题 《数学周报》 "《数学周报》杯"2010 年全国初中数学竞赛参考答案 《数学周报》 年全国初中数学竞赛参考答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会 "《数学周报》杯"2010 年全国初中数学竞赛试题 《数学周报》
一 题 号 1~5 得 分 6~10 11 12 13 14 二 三 总 分

评卷人 复查人
答题时注意: 1. 用圆珠笔或钢笔作答; 2. 解答书写时不要超过装订线; 3. 草稿纸不上交.

一, 选择题 (共 5 小题, 每小题 7 分, 35 分. 共 每道小题均给出了代号为 A,B,C,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的 括号里,不填,多填或错填都得 0 分) a b a+b 1.若 = 20, = 10 ,则 的值为( ) . b c b+c 11 21 110 210 (A) (B) (C) (D) 21 11 21 11 1 2 2.若实数 a,b 满足 a ab + b + 2 = 0 ,则 a 的取值范围是 ( ) . 2 (A)a≤ 2 (B)a≥4 (C)a≤ 2 或 a≥4 (D) 2 ≤a≤4
3.如图,在四边形 ABCD 中,∠B=135°,∠C=120°,AB= 2 3 ,BC= 4 2 2 , CD= 4 2 ,则 AD 边的长为( (A) 2 6 (C) 4 + 6 ) .

(B) 4 6 (D) 2 + 2 6

(第 3 题)

4.在一列数 x1,x2,x3, ……中,已知 x1 = 1 ,且当 k≥2 时,
k 1 k 2 xk = xk 1 + 1 4 4 4

(取整符号 [ a ] 表示不超过实数 a 的最大整数,例如 [ 2.6] = 2 , [ 0.2] = 0 ) ,则 x2010 等于 ( ) . (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

5.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,等腰梯形 ABCD 的顶点坐标分别为 A(1,1) , B(2,-1) ,C(-2,-1) ,D(-1,1) 轴上一点 P(0,2)绕点 A 旋转 180°得点 .y P1,点 P1 绕点 B 旋转 180°得点 P2,点 P2 绕点 C 旋转 180°得 点 P3,点 P3 绕点 D 旋转 180°得点 P4,……,重复操作依次得 到点 P1,P2,…, 则点 P2010 的坐标是( (A) (2010,2) (B) (2010, 2 ) (C) (2012, 2 ) (D) (0,2)
(第 5 题)

) .

二,填空题(共 5 小题,每小题 7 分,共 35 分)
6.已知 a= 5 -1,则 2a3+7a2-2a-12 的值等于 .

7.一辆客车,一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶.在某 一时刻,客车在前,小轿车在后,货车在客车与小轿车的正中间.过了 10 分钟,小轿车追 上了货车;又过了 5 分钟,小轿车追上了客车;再过 t 分钟,货车追上了客车,则 t = . 8.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,多边形 OABCDE 的顶点坐标分别是 O(0,0) , A(0,6) ,B(4,6) ,C(4,4) ,D(6,4) ,E(6,0) .若直线 l 经过点 M(2,3) ,且 将多边形 OABCDE 分割成面积相等的两部分,则直线 l 的函数表达式是 .

(第 9 题) (第 8 题)

9.如图,射线 AM,BN 都垂直于线段 AB,点 E 为 AM 上一点,过点 A 作 BE 的垂线 AC 分别交 BE,BN 于点 F,C,过点 C 作 AM 的垂线 CD,垂足为 D.若 CD=CF,则

AE = AD

.

10.对于 i=2,3,…,k,正整数 n 除以 i 所得的余数为 i-1.若 n 的最小值 n 0 满足

2000 < n 0 < 3000 ,则正整数 k 的最小值为

.

三,解答题(共 4 题,每题 20 分,共 80 分)
11.如图,△ABC 为等腰三角形,AP 是底边 BC 上的高,点 D 是线段 PC 上的一点, BE 和 CF 分别是△ABD 和△ACD 的外接圆直径,连接 EF. 求证: tan ∠PAD =

EF . BC

(第 11 题)

12.如图,抛物线 y = ax + bx (a > 0)与双曲线 y =
2

k 相交于点 A,B. 已知点 A 的坐标 x

为(1,4) ,点 B 在第三象限内,且△AOB 的面积为 3(O 为 坐标原点). (1)求实数 a,b,k 的值; (2)过抛物线上点 A 作直线 AC‖x 轴,交抛物线于另一点 C,求所有满足△EOC∽△AOB 的点 E 的坐标.

(第 12 题)

13.求满足 2 p + p + 8 = m 2m 的所有素数 p 和正整数 m.
2 2

14.从 1,2,…,2010 这 2010 个正整数中,最多可以取出多少个数,使得所取出的数中 任意三个数之和都能被 33 整除?

"《数学周报》杯"2010 年全国初中数学竞赛参考答案 《数学周报》 年全国初中数学竞赛参考答案
一,选择题 1. 答案:D 答案: a +1 a+b b 20 + 1 210 由题设得 = = = 11 b + c 1+ c 1+ 1 b 10 2. 答案:C 答案:
因 为 b 是 实 数 , 所 以 关 于 b 的 一 元 二 次 方 程 b ab +
2

1 a + 2 = 0 的判别式 2

1 =( a )2 4 × 1× ( a + 2) ≥0,解得 a≤ 2 或 a≥4. 2
3. 答案:D 答案:
如图,过点 A,D 分别作 AE,DF 垂直于直线 BC,垂足分别为 E,F. 由已知可得 BE=AE= 6 ,CF= 2 2 ,DF=2 6 ,于是 EF =4+ 6 . 过点 A 作 AG⊥DF,垂足为 G.在 Rt△ADG 中,根据勾股定理得 AD =

(4 + 6) 2 + ( 6) 2 = (2 + 24)2 = 2 + 2 6 .

4. 答案:B 答案:
由 x1 = 1 和 xk = xk 1 + 1 4

k 1 k 2 可得 4 4

x1 = 1 , x2 = 2 , x3 = 3 , x4 = 4 ,
x5 = 1 , x6 = 2 , x7 = 3 , x8 = 4 ,
…… 因为 2010=4×502+2,所以 x2010 =2.

5. 答案:B 答案:
由已知可以得到,点 P , P2 的坐标分别为(2,0)(2, 2 ) , . 1 记 P2 a2, 2 ) ,其中 a2 = 2, b2 = 2 . ( b 根据对称关系,依次可以求得:

P3 (4 a2,-2-b2 ) , P4 (2 + a2 , + b2 ) , P5 ( a2 , 2 b2 ) , P6 (4 + a2 ,2 ) . 4 b
,即 P ( 4 × 2 + a2 , b2 ) , 令 P6 ( a6 , b2 ) ,同样可以求得,点 P 的坐标为( 4 + a6 , b2 ) 10 10 由于 2010=4 × 502+2,所以点 P2010 的坐标为(2010, 2 ) .

二,填空题
6. 答案:0 答案:
由已知得 (a+1)2=5,所以 a2+2a=4,于是 2a3+7a2-2a-12=2a3+4a2+3a2-2a-12=3a2+6a-12=0.

7. 答案:15 答案:
设在某一时刻,货车与客车,小轿车的距离均为 S 千米,小轿车,货车,客车的速度分 别为 a,b,c (千米/分) ,并设货车经 x 分钟追上客车,由题意得

10 ( a b ) = S , 15 ( a c ) = 2S ,

① ②

x (b c ) = S .



由①②,得 30 b c) S ,所以,x=30. ( =

故 t = 30 10 5 = 15 (分) .

1 11 8. 答案: y = x+ 答案: 3 3
如图,延长 BC 交 x 轴于点 F;连接 OB,AF ;连接 CE,DF,且相交于点 N. 由已知得点 M(2,3)是 OB,AF 的中点,即点 M 为矩形 ABFO 的中心,所以直线 l 把矩形 ABFO 分成面积相等的两部分.又因为点 N (5,2)是矩形 CDEF 的中心,所以, 过点 N(5,2)的直线把矩形 CDEF 分成面积相等的两部分. 于是,直线 MN 即为所求的直线 l . 设直线 l 的函数表达式为 y = kx + b ,则

2k +b = 3, 5k + b = 2,

1 k = 3 , 1 11 解得 ,故所求直线 l 的函数表达式为 y = x + . 3 3 b = 11 . 3 9. 答案: 答案:

5 1 2

(第 9 题)

见题图,设 FC = m, AF = n . 因为 Rt△AFB∽Rt△ABC,所以 AB = AF AC .
2

又因为 FC=DC=AB,所以 m 2 = n( n + m), 即

n n ( )2 + 1 = 0 , m m

解得

n 5 1 n 5 1 = ,或 = (舍去) . m 2 m 2
AE AE AF n = = = = AD BC FC m

又 Rt△ AFE ∽Rt△ CFB ,所以

5 1 AE 5 1 , 即 = . 2 AD 2

10. 答案: 9
3 因为 n + 1 为 2,, ,k 的倍数,所以 n 的最小值 n0 满足

n0 + 1 = [ 2,, ,k ] , 3
其中 [ 2,, ,k ] 表示 2,, ,k 的最小公倍数. 3 3 由于 [ 2,, , ] = 840,2,, , ] = 2520, 3 8 [ 3 9

3 10 [ 2,, , ] = 2520,2,, , ] = 27720 , [ 3 11
因此满足 2000 < n0 < 3000 的正整数 k 的最小值为 9 .

三,解答题
11. 证明:如图,连接 ED,FD. 因为 BE 和 CF 都是直径,所以 ED⊥BC, FD⊥BC, …………(5 分)

因此 D,E,F 三点共线. 连接 AE,AF,则

∠AEF = ∠ABC = ∠ACB = ∠AFD ,
所以,△ABC∽△AEF. …………(10 分)

作 AH⊥EF,垂足为 H,则 AH=PD. 由△ABC∽△AEF 可得

从而 所以

EF AH = , BC AP EF PD = , BC AP PD EF tan ∠PAD = = . AP BC

…………(20 分)

12. 解: (1)因为点 A(1,4)在双曲线 y = 所以 k=4. 故双曲线的函数表达式为 y = 设点 B(t,

k 上, x

4 . x

4 ) t < 0 ,AB 所在直线的函数表达式为 y = mx + n ,则有 , t
解得 m =

4 = m + n, 4 t = mt + n,

4 4(t + 1) ,n = . t t
4(t + 1) ,故 t

于是,直线 AB 与 y 轴的交点坐标为 0,

1 (t + 1) 4 S AOB = × (1 t ) = 3 ,整理得 2t 2 + 3t 2 = 0 , 2 t 1 解得 t = 2 ,或 t= (舍去) .所以点 B 的坐标为( 2 , 2 ) . 2
因为点 A,B 都在抛物线 y = ax 2 + bx (a > 0)上,所以

a + b = 4, a = 1, 解得 …………(10 分) 4a 2b = 2, b = 3.
(2)如图,因为 AC‖x 轴,所以 C( 4 ,4) ,于是 CO =4 2 . 又 BO=2 2 ,所以

CO = 2. BO

设抛物线 y = ax 2 + bx (a > 0)与 x 轴负半轴相交于点 D, 则点 D 的坐标为( 3 ,0). 因为∠COD=∠BOD= 45° ,所以∠COB= 90° . (i)将△ BOA 绕点 O 顺时针旋转 90° ,得到△ B′OA1 .这时,点 B′ ( 2 ,2)是 CO 的 中点,点 A1 的坐标为(4, 1 ). 延长 OA1 到点 E1 ,使得 OE1 = 2OA1 ,这时点 E1 (8, 2 )是符合条件的点. (ii) 作△ BOA 关于 x 轴的对称图形△ B′OA2 , 得到点 A2(1,4 ) 延长 OA2 到点 E2 , ; 使得 OE2 = 2OA2 ,这时点 E2(2, 8 )是符合条件的点. 所以,点 E 的坐标是(8, 2 ) ,或(2, 8 ). …………(20 分)

13. 解:由题设得 p (2 p + 1) = ( m 4)( m + 2) , 所以 p (m 4)( m + 2) ,由于 p 是素数,故 p (m 4) ,或 p (m + 2) . ……(5 分)

(1)若 p (m 4) ,令 m 4 = kp ,k 是正整数,于是 m + 2 > kp ,

3 p 2 > p (2 p + 1) = (m 4)(m + 2) > k 2 p 2 ,
故 k < 3 ,从而 k = 1 .
2

所以

m 4 = p, p = 5, 解得 m + 2 = 2 p + 1, m = 9.

…………(10 分)

(2)若 p (m + 2) ,令 m + 2 = kp ,k 是正整数. 当 p > 5 时,有 m 4 = kp 6 > kp p = p ( k 1) ,

3 p 2 > p (2 p + 1) = (m 4)(m + 2) > k (k 1) p 2 ,
故 k ( k 1) < 3 ,从而 k = 1 ,或 2. 由于 p (2 p + 1) = ( m 4)( m + 2) 是奇数,所以 k ≠ 2 ,从而 k = 1 .

于是 这不可能.

m 4 = 2 p + 1, m + 2 = p,

当 p = 5 时,m 2m = 63 ,m = 9 ; p = 3 ,m 2m = 29 , 当 无正整数解; p = 2 当
2 2

时, m 2m = 18 ,无正整数解.
2

综上所述,所求素数 p=5,正整数 m=9.

…………(20 分)

14. 解:首先,如下 61 个数:11, 11 + 33 , 11 + 2 × 33 ,…, 11 + 60 × 33 (即 1991)满 足题设条件. …………(5 分)

另一方面,设 a1 < a2 < < an 是从 1,2,…,2010 中取出的满足题设条件的数,对于 这 n 个数中的任意 4 个数 ai,a j,ak,am ,因为

33 (ai + ak + am ) ,

33 (a j + ak + am ) ,

所以

33 (a j ai ) .
…………(10 分)

因此,所取的数中任意两数之差都是 33 的倍数. 设 ai = a1 + 33d i ,i=1,2,3,…,n. 由 33 ( a1 + a2 + a3 ) ,得 33 (3a1 + 33d 2 + 33d3 ) , 所以 33 3a1 , 11 a1 ,即 a1 ≥11.

…………(15 分)

dn =
故 d n ≤60. 所以,n≤61. 综上所述,n 的最大值为 61.

an a1 2010 11 ≤ < 61 , 33 33

…………(20 分)


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