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辽宁省辽宁师大附中2014届高三上学期期中考试 数学理试题 Word版含答案

时间:2013-12-18


2013?2014 学年度第一学期高三期中数学(理)试卷
命题人:田芳 校对人:张颖

一选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项符合题目要求) 1 设集合 A= ? x ?

? ?

1 ? ? x ? 2 ? ,B= x x 2 ? 1 ,则 A∪B= 2 ?

?

?





A. x 1 ? x ? 2 C. x x ? 2 2 复数

?

?

B. ? x ?

? ?

1 ? ? x ? 1? 2 ?

?

?
B. 1 ? 2i

D. x ?1 ? x ? 2

?

?
( )

3?i 等于 1? i
A. 1 ? 2i C. 2 ? i D. 2 ? i

3 下列命题错误的是

(

)

A.命题“若 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ”的逆否命题为“若 x ? 1 ,则 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ” B.若 p ? q 为假命题,则 p、q 均为假命题; C . 命 题 p : 存 在 x 0 ? R , 使 得 x 0 ? x 0 ? 1 ? 0 , 则 ?p : 任 意 x ? R , 都 有 x 2 ? x ? 1 ? 0
2

D. x ? 2 ”是“ x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件 “ 4 已知一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体的表面积为( A. 24+6π C. 28+6π B. 24+4π D. 28+4π )

5 已知两个不同的平面 ? 、 ? 和两条不重合的直线 m、n ,有下列 四个命题 ①若 m // n, m ? ? ,则 n ? ? ③若 m ? ? , m // n, n ? 其中正确命题的个数是 ②若 m ? ? , m ?

? , 则? // ?

? , 则? ? ?

④若 m // ? , ? ? ? ? n, , 则m // n ( ) )

A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 6 在△ABC 中,角 A、B 均为锐角,且 cosA>sinB,则△ABC 的形状是 ( A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
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→ → 7 已知 a , b 是不共线的向量,AB= ? a ? b ,AC= a ? ? b ,λ,μ∈R,那么 A、B、C 三点共线的充要条件为 ( ) A.λ+μ=2 B.λ-μ=1 C.λμ=-1 D.λμ=1 π 8 已知数列{an}为等差数列,其前 n 项和为 Sn,若 a4+a5+a6=4,则 cosS9 的值为( ) 1 2 1 2 A.2 B. 2 C.-2 D.- 2 9 若不等式 x2+ax-2>0 在区间[1,5]上有解, 则 a 的取值范围是 ( ) 23 23 A. (- , +∞) B. [- , 1] 5 5 23 C. (1, +∞) D. (-∞, - ] 5 10 设定义在 R 的函数 f (x) 同时满足以下条件:① f ( x) ? f (? x) ? 0 ;② f ( x) ? f ( x ? 2) ;

1 3 5 ③当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 2 x ? 1 。则 f ( ) ? f (1) ? f ( ) ? f (2) ? f ( ) ? 2 2 2
A. 1 B. 2( 2 ? 1) C. 2 ? 1
y





D.

3( 2 ? 1)

11 已知函数 f ( x) 的定义域为 [?2, ??) ,部分对应值如下表, f ?( x) 为 f ( x) 的导函数,函数 y= f ?( x) 的图象如右图所示: x f(x) -2 1 0 -1 4 1

-2

o

x

若两正数 a 、 b 满足 f (2a ? b) ? 1 ,则 A. ( , )
2 2

6 4 7 3

B. ( , )

3 7 5 3

b?3 的取值范围是 a?3 2 6 1 C. ( , ) D. (? ,3) 3 5 3





12 已知圆 x ? y ? 1 与 x 轴的两个交点为 A 、 B ,若圆内的动点 P 使 | PA | 、| PO | 、| PB | 成等比数列,则 PA ? PB 的取值范围为 A. ? 0, ? 2 ( C. (? ,0) )

? ?

1? ?

B. ? ? ,0 ? ? 2 ?

? 1

?

1 2

D. [?1, 0)

二、填空题:(本大题共 4 小题;每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中的横线上.) 13. 函数 f ( x) ? lg(

1? x ) 的定义域是 1? x



14. .已知 a ? (?3,2) , b ? (?1,0) ,向量 ? a ? b 与 a ? 2b 垂直,则实数 ? 的值为



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15 将函数 f ( x) ? 2sin(? x ? 象,若 y ? g ( x ) 在 [ ?

?
3

), (? ? 0) 的图象向左平移

, ] 上为增函数,则 ? 最大值为__ 6 4 16 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA 、 PB 、 PC 两两垂直,且
PA ? 3, PB ? 2, PC ? 1 .设 M 是底面 ABC 内一点,
定义 f ( M ) ? (m, n, p ) ,其中 m 、 n 、 p 分别是三棱 锥 M ? PAB 、 三棱锥 M ? PBC 、三棱锥 M ? PCA 的体积.若 f ( M ) ? ( , x, y ) ,且

? ?

? 个单位得到函数 y ? g ( x ) 的图 3?
___.

1 2

1 a ? ? 8 恒成立, x y

则正实数 a 的最小值为____ ________ 三解答题:(本大题共 6 小题共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤) 17(本小题满分 10 分) 4 设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,且 cosB=5,b=2. (1)当 A=30°时,求 a 的值; (2)当△ABC 的面积为 3 时,求 a+c 的值.

18(本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (2 sin x, sin x ? cos x) , b ? (cos x, 3 (cos x ? sin x)) , 函数 f ( x) ? a ? b ? 1 π π (1) 当 x∈?4,2?时,求 f(x)的最大值和最小值; ? ? (2) 求 f(x)的单调区间.

19(本小题满分 12 分) 5 1 1 已知等比数列{an}中,公比 q∈(0,1),a2+a4=4,a1a5=4,设 bn=2nan(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

20(本小题满分 12 分) (1) 已知函数 g(x)= x 2 ? 2 x +alnx 在区间(0,1)上单调递减,求实数 a 的取值范围.

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(2) 已知函数 f ( x) ? ln(ax ? 1) ?

1? x ( x ? 0, a ? 0) ,求 f ( x) 的单调区间; 1? x

21(本小题满分 12 分) 如图,正方形 ABCD 所在平面与平面四边形 ABEF 所在平面互相垂直,△ ABE 是 等腰直角三角形, AB ? AE , FA ? FE , ?AEF ? 45? (1)求证: EF ? 平面BCE ; (2)设线段 CD 的中点为 P ,在直线 AE 上是否存在一点 M ,使得 PM // 面BCE ? 若存在,请指出点 M 的位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由; (3) 求二面角 F ? BD ? A 的大小。

22(本小题满分 12 分) 已知:函数 f ( x) ? ln(2 ? 3 x) ?

3 2 x . 2

(1)求 f (x) 在[0,1]上的最大值;
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(2)若对任意实数 x ? [ , ] ,不等式 a ? ln x ? ln[ f ?( x) ? 3 x] ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)若关于 x 的方程 f ( x) ? ?2 x ? b 在[0,1]上恰有两个不同的实根, 求实数 b 的取值范围.

1 1 6 2

2013?2014 学年度第一学期高三期中数学(理)试卷答案
辽师附中 田芳;
一选择题: DDBAD;CDDAC;BB. 二填空题: 13) (?1,1) ; 三解答题: 14)

?

1 ; 7

15)

2;

16)

1;

4 3 17 解:(1)因为 cosB=5,所以 sinB=5.

a b a 10 由正弦定理sinA=sinB,可得sin30°= 3 . 5 所以 a=3.-------------------------------------5 分 1 3 (2)因为△ABC 的面积 S=2acsinB,sinB=5, 3 所以10ac=3,ac=10. 由余弦定理 b2=a2+c2-2accosB, 8 得 4=a2+c2-5ac=a2+c2-16,即 a2+c2=20. 所以(a+c)2-2ac=20,(a+c)2=40, 所以,a+c=2 10.---------------------------10 分 π 18 解:(1)f(x)=sin2x- 3cos2x+1=2sin?2x-3?+1.------------------3 分 ? ?
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π π π π π 2π ∵ ≤x≤ ,∴ ≤2x≤π,∴ ≤2x- ≤ , 4 2 2 6 3 3 π? π 1 ∴ ≤sin?2x-3?≤1,∴1≤2sin?2x-3?≤2, ? ? ? 2 π 于是 2≤2sin?2x-3?+1≤3, ? ? ∴f(x)的最大值是 3,最小值是 2.--------------6 分 π π π π 5π (2)由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z 得 2kπ- ≤2x≤2kπ+ ,k∈Z, 2 3 2 6 6 π 5π π 5π ∴kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z, 即 f(x)的单调递增区间为?kπ-12,kπ+12?,k∈Z, ? ? 12 12 π π 3π 同理由 2kπ+ ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z 得 2 3 2 5π 11π? ? f(x)的单调递减区间为?kπ+ ,kπ+ ?,k∈Z.----------12 分 12 12 ? ? 1 19 解:(1)由题意知:a2· 4=a1· 5=4, a a

?a +a =4 联立方程得:? 1 ?a ·a =4
5
2 4 2 4

.∵q∈(0,1),∴a2>a4,

1 1 ∴解方程组得 a2=1,a4=4,∴q=2,a1=2, 1 - 1 - ∴an=2×(2)n 1=(2)n 2.------------------5 分 1 - (2)由(1)知:an=(2)n 2, 1 - 所以 bn=n(2)n 1.---------------------------------7 分

1 1 1 1 - 1 - ∴Sn=1×(2)0+2×(2)1+3×(2)2+?+(n-1)·2)n 2+n(2)n 1,① ( 1 1 1 1 - 1 - 1 Sn=1×(2)1+2×(2)2+?+(n-2)(2)n 2+(n-1)· 2)n 1+n(2)n,② ( 2 1 1 1 1 1 - 1 - 1 ∴①-②得:2Sn=(2)0+(2)1+(2)2+?+(2)n 2+(2)n 1-n(2)n 1 1×[1-?2?n] 1 = -n(2)n, 1 1-2 1 - 1 - 1 - ∴Sn=4-(2)n 2-n(2)n 1=4-(n+2)(2)n 1.---------------------12 分 a 20 解:(1)∵ g(x)=x2+2x+alnx, 故 g′(x)=2x+2+ .---------------2 分 x ∵函数 g(x)在(0,1)上单调递减, ∴在区间(0,1)内, 2 a 2x +2x+a g′(x)=2x+2+ = ≤0 恒成立,--------------------4 分 x x 2 ∴a≤-(2x +2x)在(0,1)上恒成立 . ∵-(2x2+2x)在(0,1)上单调递减, ∴a≤-4 为所求.--------------------------------6 分

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(2)? f ?( x) ?

ax 2 ? a ? 2 (ax ? 1)(1 ? x) 2 -----------8 分
∴ ax ? 1 ? 0.

∵ x ? 0, a ? 0,

①当 a ? 2 时,在区间 (0, ??)上,f '( x) ? 0, ∴ f ( x) 的单调增区间为 (0, ??). -------9 分 ②当 0 ? a ? 2 时,由 f '( x) ? 0解得x ?

2?a 2?a ,由f '( x) ? 0解得x ? , a a

∴ f ( x)的单调减区间为(0,

2-a 2-a ), 单调增区间为( , ?).----------12 分 ? a a
E

21 (Ⅰ)因为△ABE 为等腰直角三角形,AB=AE, 所以 AE⊥AB. 又因为平面 ABEF⊥平面 ABCD,AE ? 平面 ABEF, 平面 ABEF∩平面 ABCD=AB, 所以 AE⊥平面 ABCD. 所以 AE⊥AD. D F

A

B

C ? P 因此,AD,AB,AE 两两垂直,以 A 为坐标原点,建立 如图所示的直角坐标系------3 分 设 AB=1, 则 AE=1,B(0,1,0) (1, 0, 0 ) , ,D E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ). 因为 FA=FE, 所以∠AFE= 90°. 从而 F (0, ? ∠AEF = 45°,

1 1 , ). 2 2 ??? ? ? ??? ? 1 1 ??? 所以 EF ? (0, ? , ) , BE ? (0, ?1,1) , BC ? (1, 0, 0) . 2 2 ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 1 1 EF ? BE ? 0 ? ? ? 0 , EF ? BC ? 0 . 2 2
所以 EF⊥BE, EF⊥BC. 因为 BE ? 平面 BCE,BC∩BE=B , 所以 EF⊥平面 BCE.-----------------------6 分 (Ⅱ)存在点 M,当 M 为 AE 中点时,PM∥平面 BCE. M ( 0,0,

???? ? 1 1 1 1 ), P ( 1, ,0 ). 从而 PM = (?1, ? , ) , 2 2 2 2 ???? ??? ? ? 1 1 1 1 于是 PM · EF = (?1, ? , ) · (0, ? , ? ) =0 2 2 2 2
所以 PM⊥FE,又 EF⊥平面 BCE,直线 PM 不在平面 BCE 内,

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故 PM∥平面 BCE. (Ⅲ) 设平面 BDF 的一个法向量为 n1 ,并设 n1 =(x,y,z).

????????????9 分

??

??

BD ? (1,?1,0) ,
?n1 ? BD ? 0 ? ? ?n1 ? BF ? 0 ?

3 1 BF ? (0,? , ) 2 2




?x ? y ? 0 ? ? 3 1 ? y? z ?0 ? 2 ? 2

( ,3) 取 y=1,则 x=1,z=3。从而 n1 ? 11, 。 (0,0,1) 取平面 ABD 的一个法向量为 n 2 ? 。
cos ? n1 , n2 ?? n1 ? n2 n1 ? n2 ? 3 11 ? 3 11 。 11

?? ?

?? ?

故二面角 F—BD—A 的大小为 arccos

3 11 。???????????12 分 11

f ?( x ) ?
22 解: (1) (舍)

3 ? 3( x ? 1)( 3 x ? 1) 1 ? 3x ? x? ? 2 ? 3x 3x ? 2 3 或 x ? ?1 ,令 f ( x ) ? 0 ,得

0? x?


1 1 ? x?1 ?( x ) ? 0 , f ( x ) 单调递增;当 3 ? 3 时, f 时, f ( x ) ? 0 , f ( x ) 单

1 1 ? f ( ) ? ln 3 ? 3 6 是函数在 [0,1] 上的最大值---------------------3 分 调递减,

| a ? ln x |? ? ln
(2)

3 1 1 x ?[ , ] 2 ? 3x 对 6 2 恒成立

ln


3 1 1 ? 0, x ? [ , ) 2 ? 3x 6 3 ,恒成立 即
a ? ln x ? ln 3 3 a ? ln x ? ln 2 ? 3x 或 2 ? 3x

? 由 | a ? ln x | ? ln[ f ( x ) ? 3 x ] ? 0 得

h( x ) ? ln x ? ln


3 2x ? 3x2 3 3 ? ln , g ( x ) ? ln x ? ln ? ln 2 ? 3x 3 2 ? 3x 2 ? 3x

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1 1 x ?[ , ] 3 2 上恒成立 依题意知 a ? h( x ) 或 a ? g ( x ) 在
? g ?( x ) ? 2 2 ? 6x 1 1 ? 0, h?( x ) ? ? 0,? g ( x ), f ( x ) [ , ] 2 x( 2 ? 3 x ) 2x ? 3x 都在 3 2 上递增

1 1 1 7 a ? ln ? a ? h( ) a ? g ( ) a ? ln 3 ,即 3 ------------------------------7 分 2 或 12 或
(3)由 f ( x ) ? ?2 x ? b 知

ln( 2 ? 3 x ) ?

3 2 x ? 2x ? b ? 0 2 ,

? ( x ) ? ln( 2 ? 3 x ) ?


3 2 3 7 ? 9x2 x ? 2x ? b ? ?( x ) ? ? 3x ? 2 ? 2 2 ? 3x 2 ? 3x ,则

x ? [0,


7 7 7 ] [0, ] x ?[ ,1] ?( x ) ? 0 ,于是 ? ( x ) 在 ? 3 时,? 3 上递增;当 3 时,? ( x ) ? 0 ,

7 7 7 [ ,1] ? ( ) ? ? (0) ? ( ) ? ? (1) ? ( x) 在 3 3 3 于是 上递减,而 ,
? f ( x ) ? ?2 x ? b 即 ? ( x ) ? 0 在 [0,1] 上恰有两个不同实根等价于

? ?? (0) ? ln 2 ? b ? 0 ? 7 7 2 7 ? ?b?0 ?? ( ) ln( 2 ? 7 ) ? ? 3 6 3 ? 1 ? ?? (1) ? ln 5 ? 2 ? b ? 0 ?
ln 5 ?
解得

1 7 2 7 ? b ? ln( 2 ? 7 ) ? ? 2 6 3 ----------12 分

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