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平面向量复习题

时间:2014-04-10

平 面 向 量
向量思想方法和平面向量问题是新考试大纲考查的重要部分,是新高考的热点问题。题型多为选择或填空题,数量为 1-2 题,均属容易题,但是向量作为中学数学中的一个重要工具在三角、函数、导数、解几、立几等问题解决中处处闪光。 最近几年的考试中向量均出现在解析几何题中,在解析几何的框架中考查向量的概念和方法、考查向量的运算性质、考查向 量几何意义的应用,并直接与距离问题、角度问题、轨迹问题等相联系。近年考纲又新增“平面向量在几何中的应用”试题 进一步要求我们具备多角度、多方向地分析,去探索、去发现、去研究、去创新,而不是去做大量的模仿式的解题。一个问 题解决后,不能匆匆而过,回顾与反思是非常有必要的,以充分发挥每一道题目的价值。除了要重视一题多解外,更要重视 一题多变,主动探索:条件和结论换一种说法如何?变换一个条件如何?反过来又会怎么样?等等。只有这样才能做到举一 反三,以不变应万变。

一、高考考纲要求
1.理解向量的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念. 2.掌握向量的加法与减法. 3.掌握实数与向量的积,理解两个向量共线的充要条件. 4.了解平面向量的基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算. 5.掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量 垂直的条件. 6.掌握平面两点间的距离公式,掌握线段的定比分点和中点公式,并且能熟练运用;掌握平移公式.

二、高考热点分析
在高考试题中,对平面向量的考查主要有三个方面: 其一是主要考查平面向量的概念、性质和运算法则,理解和运用其直观的几何意义,并能正确地进行计算。 其二考查向量坐标表示,向量的线性运算。 其三是和其他知识结合在一起,在知识的交汇点设计试题,考查向量与学科知识间综合运用能力。 数学高考命题注重知识的整体性和综合性,重视知识的交互渗透,在知识网络的交汇点设计试题.由于向量具有代数 和几何的双重身份,使它成为中学数学知识的一个交汇点,成为联系多项知识的媒介.因此,平面向量与其他知识的结合特 别是与解析几何的交汇、融合仍将是高考命题的一大趋势,同时它仍将是近几年高考的热点内容.

附Ⅰ、平面向量知识结构表
向量的概念 向量的加、减法 向量 向量的运算 实数与向量的积 向量的数量积 定比分点公式 向量的运用 平移公式 在物理学中的应用 在几何中的应用 在地
1

两个向量平行的充要条件 件件 两个向量垂直的充要条件 件件

1. 考查平面向量的基本概念和运算律

此类题经常出现在选择题与填空题中,主要考查平面向量的有关概念与性质,要求考生深刻理解平面向量的相关概念, 能熟练进行向量的各种运算,熟悉常用公式及结论,理解并掌握两向量共线、垂直的充要条件。 1.(北京卷)| a |=1,| b |=2,c = a + b,且 c⊥a,则向量 a 与 b 的夹角为 A.30° 2.(江西卷)已知向量 a A.30° B.60° C.120° D.150° ( )

? (1,2), b(?2,?4), | c |?
B.60°

5 , 若(a ? b) ? c ?
C.120°

5 , 则a与c的夹角为 2





D.150°

3.(重庆卷)已知 A(3,1) ,B(6,1) ,C(4,3) ,D 为线段 BC 的中点,则 A.

AC 与 DA 的夹角为(



4 4 4 4 B. arccos C. arccos( ? ) D.- arccos( ? ) 2 5 5 5 5 ? ? ? ? ? ? ? 4.(浙江卷)已知向量 a ≠ e ,| e |=1,对任意 t∈R,恒有| a -t e |≥| a - e |,则 ? arccos
A. a ⊥ e

?





?

?

B. a ⊥( a - e )

?

?

?

C. e ⊥( a - e )

?

?

?

D.( a + e )⊥( a - e ) .

?

?

?

?

5 .(上海卷)在△ ABC 中,若 ?C

??? ? ??? ? ? 90? , AC ? BC ? 4 ,则 BA ? BC ?

2. 考查向量的坐标运算
1.(湖北卷)已知向量 a=(-2,2) ,b=(5,k).若|a+b|不超过 5,则 k 的取值范围是 A.[-4,6] B.[-6,4] C.[-6,2] D.[-2,6] ( D. (-2,-2) ( ) ) ( )

2.(重庆卷)设向量 a=(-1,2) ,b=(2,-1) ,则(a·b) (a+b)等于 A. (1,1) B. (-4,-4) C.-4

3.(浙江卷)已知向量 a =(x-5,3), b =(2,x),且 a ⊥ b ,则由 x 的值构成的集合是 A.{2,3} B.{-1,6} C.{2} D.{6}

?

?

?

?

例 4. (2005 年高考· 天津卷· 理 14)在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,1)和点 B(-3,4), 若点 C 在∠AOB 的平分线上且| OC |=2, 则 OC = 。

5.(全国卷)已知向量 OA ? (k ,12), OB ? (4,5), OC 6.(湖北卷)已知向量 a 7.(广东卷)已知向量 a

??? ?

??? ?

??? ?

? (?k ,10) ,且 A、B、C 三点共线,则 k=
.

.

? (?2,2),b ? (5, k ).若 | a ? b | 不超过 5,则 k 的取值范围是

? (2,3),b ? ( x,6),且a // b, 则 x=

.

3. 平面向量在平面几何中的应用

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB AC ? ? ??? ? ), ? ?[0, ??), 则 1. O 是平面上一定点,A, B, C 是平面上不共线的三个点, 动点 P 满足 OP ? OA ? ? ( ??? | AB | | AC |
P 的轨迹一定通过△ ABC
A.外心 的 ( B.内心 ) C.重心 D.垂心

2. (辽宁卷)已知四边形 ABCD 是菱形,点 P 在对角线 AC 上(不包括端点 A, C ) ,则 AP 等于(

??? ?



2

A. ? ( AB ? AD), ? ? (0,1)

??? ? ??? ?

B.

? ( AB ? BC ), ? ? (0,
? ( AB ? BC ), ? ? (0,
?
?
??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

2 ) 2 2 ) 2

C.

?( AB ? AD), ? ? (0,1)
? ?

??? ? ??? ?

D.

3.已知有公共端点的向量 a , b 不共线, | a | =1, | b | =2,则与向量 a , b 的夹角平分线平行的单位向量是 4. 已知直角坐标系内有三个定点 则点 P 的轨迹方程

?

?

.

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 若动点 P 满足: A(?2, ?1)、B(0,10)、C(8,0), OP ? OA ? t ( AB ? AC), t ? R ,



4. 平面向量与三角函数、函数等知识的结合
当平面向量给出的形式中含有未知数时,由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式。在此基础上, 可以设计出有关函数、不等式、 三角函数、数列的综合问题。此类题的解题思路是转化为代数运算,其转化途径主要有两种: ①利用向量平行或垂直的充要条件, ②利用向量数量积的公式和性质. 1.(江西卷)已知向量 a

? (2 cos

x x ? x ? x ? , tan( ? )), b ? ( 2 sin( ? ), tan( ? )), 令f ( x) ? a ? b . 2 2 4 2 4 2 4

求函数 f(x)的最大值,最小正周期,并写出 f(x)在[0,π ]上的单调区间.

2.(山东卷)已知向量

?? m ? (cos? ,sin? )



? n?

?

2 ? sin ? ,cos? ,? ? ?? , 2? ?

?

,且

?? ? 8 2 m?n ? , 5



?? ? ? cos ? ? ? 的值. ?2 8?
3.(上海卷)已知函数

f ( x) ? kx ? b 的图象与 x, y 轴分别相交于点

A、B,

AB ? 2i ? 2 j ( i, j 分别是与 x, y 轴正半

轴同方向的单位向量) ,函数 g ( x)

? x2 ? x ? 6 .
f ( x) ? g ( x) 时,求函数

(1)求 k , b 的值; (2)当 x 满足

g ( x) ? 1 的最小值. f ( x)

【反思】这类问题主要是以平面向量的模、数量积、夹角等公式和相互知识为纽带,促成与不等式知识的相互迁移,有效地 考查平面向量有关知识、不等式的性质、不等式的解法、不等式的应用及综合解题能力。

5. 平面向量与解析几何的交汇与融合
由于向量既能体现“形”的直观位置特征,又具有“数”的良好运算性质,是数形结合与转换的桥梁和纽带。而解析 几何也具有数形结合与转换的特征,所以在向量与解析几何知识的交汇处设计试题,已逐渐成为高考命题的一个新的亮点。 平面几何与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理,解决此类问题基本思路是将几 何问题坐标化、符号化、数量化,从而将推理转化为运算;或者考虑向量运算的几何意义,利用其几何意义解决有关问题。 主要包括以下三种题型: 1、 运用向量共线的充要条件处理解几中有关平行、共线等问题 运用向量共线的充要条件来处理解几中有关平行、共线等问题思路清晰,易于操作,比用斜率或定比分点公式研究这类问 3

题要简捷的多。 2、运用向量的数量积处理解几中有关长度、角度、垂直等问题 运用向量的数量积,可以把有关的长度、角度、垂直等几何关系迅速转化为数量关系,从而“计算”出所要求的结果。 3、运用平面向量综合知识,探求动点轨迹方程,还可再进一步探求曲线的性质。

1.(江西卷)以下同个关于圆锥曲线的命题中 ①设 A、B 为两个定点,k 为非零常数, |

PA | ? | PB |? k ,则动点 P 的轨迹为双曲线;
? 1 (OA ? OB ), 则动点 P 的轨迹为椭圆; 2

②设定圆 C 上一定点 A 作圆的动点弦 AB,O 为坐标原点,若 OP ③方程 2 x
2

? 5x ? 2 ? 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;

④双曲线

x2 y2 x2 ? ? 1与椭圆 ? y 2 ? 1 有相同的焦点. 25 9 35
(写出所有真命题的序号)

其中真命题的序号为

2.平面直角坐标系中, O 为坐标原点,已知 且?

A(3,1), B(?1,3) ,若点 C 满足 OC ? ? 0 A ? ? OB ,其中 ? , ? ? R ,
)

??? ?

???

??? ?

? ? ? 1 ,则点 C 的轨迹方程为
A. C.

(

3x ? 2 y ? 11 ? 0 2x ? y ? 0

B. D.

( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 5
x ? 2y ? 5 ? 0

2.已知平面上一个定点 C(-1,0)和一条定直线 l:x=-4,P 为该平面上一动点,作 PQ⊥l,垂足为 Q , ( PQ +2 PC ) ? ( PQ -2 PC )=0. (1)求点 P 的轨迹方程;

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

PC 的取值范围. (2)求 PQ ·

? ??? ? ???

4


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