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高一数学教案:48正弦函数、余弦函数的图象和性质(2).doc

时间:2014-06-09




题:4 8
王新敞
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正弦函数、余弦函数的图象和性质(2)

教学目的: 1 理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义; 2 会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间; 3 掌握正弦函数 y=Asin(ω x+φ )的周期及求法 教学重点:正、余弦函数的性质 教学难点:正、余弦函数性质的理解与应用 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程:
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一、复习引入: 1. 正弦线、余弦线:设任意角 α 的终边与单位圆相交于点 P(x,y),过 P 作 x 轴的垂 线,垂足为 M,则有

sin ? ?

y x ? MP , cos ? ? ? OM r r

向线段 MP 叫做角α 的正弦线,有向线段 OM 叫做角α 的余弦线. 2.用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数 y=sinx,x∈[0,2π ]、余弦函数 y=cosx,x ∈[0,2π ]的图象(几何法) :

把 y=sinx,x∈[0,2π ]和 y=cosx,x∈[0,2π ]的图象,沿着 x 轴向右和向左连续地平 行移动,每次移动的距离为 2π ,就得到 y=sinx,x∈R 和 y=cosx,x∈R 的图象,分别叫做正 弦曲线和余弦曲线.
1 -6 ? -5 ? -4 ? -3 ? -2 ? -? -1 y 0 ? 2? 3? 4? 5? 6? x

f?x? = sin?x?

1 -6 ? -5 ? -4 ? -3 ? -2 ? -? -1

y 0 ? 2? 3? 4? 5? 6? x

f?x? = cos?x?
3.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法) : 正弦函数 y=sinx,x∈[0,2π ]的图象中,五个关键点是:

(0,0) (

? ,1) 2

(?,0)

(

3? ,-1) 2

(2?,0)
x?R 的图象相同

(1)y=cosx, x?R 与函数 y=sin(x+ (2)将 y=sinx 的图象向左平移

? ) 2

? 即得 y=cosx 的图象 2 (3)也同样可用五点法作图:y=cosx x?[0,2?]的五个点关键是 ? 3? ,0) (?,-1) ( ,0) (2?,1) 2 2 4.用正弦函数和余弦函数的图象解最简单的三角不等式 二、讲解新课: (1)定义域: 正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集 R[或(-∞,+∞)] , 分别记作: y=sinx,x∈R y=cosx,x∈R (2)值域 因为正弦线、 余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度, 所以|sinx|≤1, |cosx| ≤1,即 -1≤sinx≤1,-1≤cosx≤1 也就是说,正弦函数、余弦函数的值域都是[-1,1] 其中正弦函数 y=sinx,x∈R
(0,1) (
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? +2kπ ,k∈Z 时,取得最大值 1 2 ? ②当且仅当 x=- +2kπ ,k∈Z 时,取得最小值-1 2
①当且仅当 x=
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而余弦函数 y=cosx,x∈R ①当且仅当 x=2kπ ,k∈Z 时,取得最大值 1 ②当且仅当 x=(2k+1)π ,k∈Z 时,取得最小值-1 (3)周期性 由 sin(x+2kπ )=sinx,cos(x+2kπ )=cosx (k∈Z)知: 正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的 一般地,对于函数 f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时, 都有 f(x+T)=f(x),那么函数 f(x)就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期 由此可知,2π ,4π ,??,-2π ,-4π ,??2kπ (k∈Z 且 k≠0)都是这两个函数的 周期 对于一个周期函数 f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正
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数就叫做 f(x)的最小正周期 注意: 1?周期函数 x?定义域 M,则必有 x+T?M, 且若 T>0 则定义域无上界;T<0 则定义域无 下界; 2?“每一个值”只要有一个反例,则 f (x)就不为周期函数(如 f (x0+t)?f (x0)) 3?T 往往是多值的 (如 y=sinx 2?,4?,?,-2?,-4?,?都是周期) 周期 T 中最小的正数叫做 f (x)的最小正周期(有些周期函数没有最小正周期) 根据上述定义,可知:正弦函数、余弦函数都是周期函数,2kπ (k∈Z 且 k≠0)都是它的 周期,最小正周期是 2π (4)奇偶性 由 sin(-x)=-sinx cos(-x)=cosx 可知:y=sinx 为奇函数 y=cosx 为偶函数 ∴正弦曲线关于原点 O 对称,余弦曲线关于 y 轴对称 (5)单调性
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从 y=sinx,x∈[- 当 x∈[-

? 3?
2 , 2

]的图象上可看出:

? ? , ]时,曲线逐渐上升,sinx 的值由-1 增大到 1 2 2 ? 3? 当 x∈[ , ]时,曲线逐渐下降,sinx 的值由 1 减小到-1 2 2
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结合上述周期性可知:

? ? +2kπ , +2kπ ](k∈Z)上都是增函数,其值从-1 2 2 ? 3? 增大到 1;在每一个闭区间[ +2kπ , +2kπ ](k∈Z)上都是减函数,其值从 1 减小 2 2
正弦函数在每一个闭区间[- 到-1 余弦函数在每一个闭区间[(2k-1)π ,2kπ ](k∈Z)上都是增函数,其值从-1 增加到 1;在每一个闭区间[2kπ ,(2k+1)π ](k∈Z)上都是减函数,其值从 1 减小到-1 三、讲解范例: 例 1 求使下列函数取得最大值的自变量 x 的集合,并说出最大值是什么 (1)y=cosx+1,x∈R; (2)y=sin2x,x∈R 解:(1)使函数 y=cosx+1,x∈R 取得最大值的 x 的集合,就是使函数 y=cosx,x∈R 取得最大值的 x 的集合{x|x=2kπ ,k∈Z} 函数 y=cosx+1,x∈R 的最大值是 1+1=2 (2)令 Z=2x,那么 x∈R 必须并且只需 Z∈R,且使函数 y=sinZ,Z∈R 取得最大值的 Z
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的集合是{Z|Z= 由 2x=Z= 得 x=

? +kπ 4

? +2kπ , 2

? +2kπ ,k∈Z} 2

即 使函数 y=sin2x,x∈R 取得最大值的 x 的集合是{x|x= 函数 y=sin2x,x∈R 的最大值是 1 例 2 求下列函数的定义域: (1)y=1+
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? +kπ ,k∈Z} 4

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1 sin x

(2)y= cos x

解:(1)由 1+sinx≠0,得 sinx≠-1 即 x≠

3? +2kπ (k∈Z) 2

∴原函数的定义域为{x|x≠ (2)由 cosx≥0 得-

? ? +2kπ ≤x≤ +2kπ (k∈Z) 2 2 ? ? ∴原函数的定义域为[- +2kπ , +2kπ ](k∈Z) 2 2
例 3 求函数 y=-cosx 的单调区间 解:由 y=-cosx 的图象可知: 单调增区间为[2kπ ,(2k+1)π ](k∈Z) 单调减区间为[(2k-1)π ,2kπ ](k∈Z)
例 4 求下列三角函数的周期:1? y=sin(x+

3? +2kπ ,k∈Z} 2

? ) 3

2? y=cos2x 3? y=3sin( 解:1? 令 z= x+

x ? + ) 2 5

? 而 sin(2?+z)=sinz 3 ? ? ]=f (x+ ) 3 3

即:f (2?+z)=f (z) ∴周期 T=2?

f [(x+2?)+

2?令 z=2x ∴f (x)=cos2x=cosz=cos(z+2?)=cos(2x+2?)=cos[2(x+?)] 即:f (x+?)=f (x) ∴周期 T=? 3?令 z=
x ? + 则 2 5 x ? x ? 4? ? + +2?)=3sin( ? )=f (x+4?) 2 5 2 5

f (x)=3sinz=3sin(z+2?)=3sin( ∴周期 T=4? 四、课堂练习: 1.求下列函数的周期: 1?y=sin(2x+

? ? )+2cos(3x- ) 4 6

2? y=|sinx|

3? y=2 3 sinxcosx+2cos2x-1

解:1? y1=sin(2x+

? ) 最小正周期 T1=? 4

y2=2cos(3x-

? 2? ) 最小正周期 T2= 6 3

∴T 为 T1 ,T2 的最小公倍数 2? ∴T=2? 2? T=?

3? y= 3 sin2x+cos2x

∴T=?

2. 直接写出下列函数的定义域、值域: 1? y=
1 1 ? sin x

2? y= ? 2 cos x

解:1?当 x?2k?2 ?x?[2k?+

? 1 k?Z 时函数有意义,值域:[ , +∞] 2 2
2]

? 3? , 2k?+ ] (k?Z)时有意义, 值域[0, 2 2 3. 求下列函数的最值:
1? y=sin(3x+

? )-1 4

2? y=sin2x-4sinx+5

3? y=

3 ? cos x 3 ? cos x

解:1? 当 3x+ 当 3x+

? ? 2k? ? =2k?+ 即 x= (k?Z)时 ymax=0 ? 4 2 3 12

? ? 2k? ? =2k?- 即 x= (k?Z)时 ymin=-2 ? 4 2 3 4 ? k?Z 时 ymax=10 2

2? y=(sinx-2)2+1 ∴当 x=2k?当 x=2k?3? y=-1+

? k?Z 时 ymin= 2 2

1 当 x=2k?+? k?Z 时 ymax=2 3 ? cos x
当 x=2k? k?Z 时 ymin=
? k ?b ? 2 ?k ?3 ?? ? k ? b ? ? 4 ? ?b ? ?1

1 2
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4.函数 y=ksinx+b 的最大值为 2, 最小值为-4,求 k,b 的值 解:当 k>0 时 ? 当 k<0 时 ?

?? k ? b ? 2 ? k ? 3 ?? (矛盾舍去) ? k ? b ? ?4 ?b ? ?1

∴k=3

b=-1

5.求下列函数的定义域: 1? y= 3 cos x ?1 ? 2 cos2 x 2? y=lg(2sinx+1)+ 2 cos x ? 1 解:1? ∵3cosx-1-2cos2x≥0 ∴定义域为:[2k?∴
1 ≤cosx≤1 2

3? y= cos(sinx)

? ? , 2k?+ ] (k?Z) 3 3

? 7? 1 ? ? ?2k? ? 6 ? x ? 2k? ? 6 ?sin x ? ? 2 2? ? ?? (k ? Z ) 1 ? ? ? cos x ? ? 2k? ? ? x ? 2k? ? 2 3 3 ? ?
? 2k? ?

?
6

? x ? 2k? ?

?
3

(k ? Z )

∴定义域为: (2k? ?

?

,2k? ? ](k ? Z ) 6 3

?

3? ∵cos(sinx)≥0 ∴ 2k?∵-1≤sinx≤1

? ? ≤x≤2k?+ (k?Z) 2 2
cos1 ≤y≤1
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∴x?R

五、小结 正、余弦函数的性质、以及性质的简单应用,解决一些相关问题 六、课后作业: 七、板书设计(略) 八、课后记:


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