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推理与证明解读优秀课件1_图文

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推理与证明解读

内容结构
推理

归纳 合情推理 演绎推理 综合法 类比

推理与证明 直接证明 分析法 数学归纳法 间接证明 思维方法 数学文化 反证法

证明

考试大纲
2、能力要求 (1)思维能力:会对问题或资料进行观察、比较、分析、 综合、抽象与概括;会用类比、归纳和演绎进行推理; 能合乎逻辑地、准确地进行表述。 数学是一门思维的科学,思维能力是数学学科能力的 核心。数学思维能力是以数学知识为素材,通过空间想 象、直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎 证明和模式构建诸方面,对客观事物中的空间形式、数 量关系和数学模式进行思考和判断,形成和发展理性思 维,构成数学能力的主体。

(5)创新意识:它是理性思维的最高层次表现。对数学问 题的“观察、猜测、抽象、概括、证明”,是发现问题和解决 问题的重要途径。

地位与作用
推理与证明贯穿于高中数学的 整个体系,它的学习是新课标教材 的一个亮点,是对以前所学知识与

方法的总结、归纳,并对后继学习
起到引领的作用。

合情推理 合情推理是根据已有的事实和正确的结 论(包括定义、公理、定理等)、实验和实践 的结果,以及个人的经验和直觉等推测某些结 果的推理过程。归纳、类比是合情推理常用的 思维方法。

推理过程为:
从具体问 题出发 观察、分析、 比较、联想 归纳、 类比 提出 猜想

归纳: 由某类事物的部分对象具有某些特征,

推出该类事物的全部对象都具有这些特
征的推理, 或者由个别事实概括出一般结

论的推理。

归纳是部分到整体、个别到一般的推理。
类比:由两类对象具有某些类似特征和其中一 类对象的某些已知特征,推出另一类也具 有这些特征的推理。

类比是特殊到特殊的推理。

例:类比实数的加法和乘法,列出它们相似的运算性质。

类比角度
运算结果 运算律 (交换律 和结合律)

实数的加法 若 a, b ? R, 则a ? b ? R
a? b? b ? a ( a? b )? c?a? ( b ? c )
加法的逆运算是减法, 使得方程 a ? x? 0 有唯一解 x ? ? a

实数的乘法
若 a, b ? R, 则 ab ? R

ab ? ba (ab)c ? a(bc)
乘法的逆运算是除 法,使得方程ax?1 有唯一解

逆运算

单位元

a ? 0 ? a

1 x? (其中 a?0 ) a

a?1?a

?

演绎推理 演绎推理是根据已有的事实和正确的 结论(包括定义、公理、定理等),按照 严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。
它是从一般到特殊的推理.演绎推理的主要形式就 是由大前提、小前提、推出结论的三段论式推理.
例 大前提:马有四条腿; 小前提:白马是马; 结论:白马有四条腿.

用三段论证明

n

1

三段论证明中需注意事项:
1、证明过程应表述清楚,防止随心所欲; 2、避免大前提、小前提或推理形式之一错误, 而导致结论错误。
例: 因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形,……… 大前提 而菱形是所有边长都相等的凸多边形, …………………小前提 所以菱形是正多边形. …………………………………… 结论 (1)上面的推理形式正确吗? (2)推理的结论正确吗?为什么?

?

合情推理与演绎推理的作用

合情推理具有猜测和发现新结论、
探索和提供解决问题的思路和方法的作

用;演绎推理则具有证明结论,整理和
建构知识体系的作用,是公理体系中的

基本推理方法。

?

合情推理与演绎推理的关系

合情推理和演绎推理之间联系紧密、
相辅相成。数学中数学结论、证明思路

等的发现,主要靠合情推理;而证明数
学结论、建立数学体系主要通过演绎推

理 , 数学结论的正确性必须通过逻辑证
明来保证,即在前提正确的基础上,通

过正确使用推理规则得出结论。

二、省教学指导意见解读

课标要求
(1)合情推理与演绎推理 ①了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进 行简单的推理,体会并认识合情推理在数学发现 中的作用. ②体会演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本 方法和一般方法,并能运用它们进行一些简单的 推理. ③了解合情推理与演绎推理的之间的联系与差别 .

(2)直接证明与间接证明 ①了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合 法;了解分析法与综合法的思考过程与特点。 ②了解间接证明的一种基本方法——反证法;了解 反证法的思考过程与特点。 (3)数学归纳法 (选修2-2) 了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一 些简单的数学命题。 (4)数学文化 ①通过对实例的介绍(如欧几里得《几何原本》、 马克思《资本论》、杰弗逊《独立宣言》、牛顿三 定律),体会公理化思想。 ②介绍计算机在自动推理领域和数学证明中的作用。

省教学指导意见解读
合情推理与演绎推理
1.了解合情推理的含义、结构、和基本类型。 2.结合已学过的数学实例和生活中的实例,了解合情推理的含义 ,能利用归纳和类比等进行简单的推理,体会并认识合情推理在数 学发现中的作用。 基本要 3.结合已学过的数学实例和生活中的实例,体会演绎推理的重要 求 性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理; 4.通过具体实例,了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。 1、了解不完全归纳法,并根据不完全归纳法猜想一些结论 发展要 2、了解一般意义下的类比与归纳 求 3、能回顾整理一些已学的典型数学结论 说明 类比推理注意避免“机械类比”,即仅从表面相似或偶然相似的情 况进行类比。导致错误。利用合情推理开展一些数学探究。

直接证明与间接证明
1.了解直接证明的两种基本方法:分析法 和综合法;了解分析法与综合法的思考过 程与特点。 2.了解间接证明的一种基本方法——反证 法;了解反证法的思考过程与特点。 了解综合法和分析法、比较法、反证法的 联系和区别,了解放缩法。

基本 要求

发展 要求 说明

2.3数学归纳法(选修2-2)
1.了解数学归纳法的原理, 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 基本 要求

发展 要求

1.了解其它数学归纳法的原理 2.灵活掌握数学归纳法在解决较复杂的与自 然数n有关命题中的应用。

说 明 让学生经历 归纳、猜想、证明的数学探究过程

三、教学定位
通过对已学知识的回顾,进一步体 会合情推理、演绎推理以及二者之间的 联系与差异;体会数学证明的特点,了 解数学证明的基本方法,包括直接证明 的方法(如分析法、综合法、数学归纳 法)和间接证明的方法(如反证法); 感受逻辑证明在数学以及生活中的作用, 养成严谨习惯。

四、课时分配(13课时)
2.1.1 合情推理

(选修1-2)
2课时

2.1.2 演绎推理
2.2.1 综合法和分析法

3课时
3课时

2.2.2 反证法
小结

2课时
3课时

课时分配(8课时) (选修2-2)
2.1.1 合情推理 2.1.2 演绎推理 2.2.1.1综合法 2.2.1.2分析法 2.2.2 反证法 2.2.3 数学归纳法 小结 1课时 2课时 1课时 1课时 1课时 1课时 1课时

2、重难点确立
2.1节重点是了解合情推理的含义,能利用归纳和类比进行简 单的推理;了解演绎推理的含义,能利用“三段论”进行简 单的推理。 难点是用归纳和类比进行推理,作出猜想,用三 段论作出简单的推理。 2.2节重点是结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种 基本方法——综合法、分析法,了解间接证明的一种方法— —反证法;了解综合法、分析法和反证法的思考过程、特点。 难点是根据问题特点,结合综合法、分析法和反证法的思考 过程、特点,选择适当的证明方法或把不同的证明方法结合 使用。

3、对几个重要知识板块教学思考

归纳推理
归纳推理是针对一类事物S而言的,如 图所示: S 的部分事物A和B共同具有的某 种特性,是否可以推广到整个S?这就是一 个从局部到整体的推理过程。

平面几何中归纳法
代数中的归纳法

1、观察下列式子,可以 1?1 ,
2

发现:

1? 3 ? 4 ? 2 ,
2

1? 3? 5 ? 9 ? 3 ,
2

1 ? 3 ? 5 ? 7 ? 16 ? 4 ,
2

1 ? 3 ? 5 ? 7 ? 9 ? 25 ? 5 2 , ?? 由上述具体事实能得出 怎样的结论?

2 、观察: 5? 1?24 , 7? 1?48 , 11? 1? 120 ,
2 2 2 2

13? 1? 168 , ? 所得的结果都是 24 的倍数 继续试验,你能得到什 么猜想?

2 a n ? 3 、在数列 a 中, a 1 ,a , n? 1? n? 1? a n ?2 试猜想这个数列的通项 公式 .

4、如图,在圆内画1条线段,将圆分割成两部分; 画2条相交线段,彼此分割成4条线段,将圆分割 成4部分;画3条线段,彼此最多分割成9条线段, 将圆最多分割成7部分;画4条线段,彼此最多分割成 16条线段,将圆最多分割成11部分。那么 (1)在圆内画5条线段,它们彼此最多分割成多少 条线段,将圆最多分割成多少部分? (2)猜想:圆内两两相交的n条线段,它们彼此最多 分割成多少条线段,将圆最多分割成多少部分?

类比推理
类比推理是针对的两类事物,如图所示,在A和B两类事 物中,A类中有性质P成立,B类中也有性质P成立,A类中还 有性质Q成立,那么B类中是否也具有性质Q成立呢?通过两 类事物的类比可以对事物的性质有更深刻的理解,并且可以 帮助进行逻辑推理。

a2 准线 x?? c

长轴长2a 短轴长2b

实轴 虚轴

类比的风险
类比 “平面内,两组对边分别相等的四边形是平行四边形”

“平面内,同时垂直于一条直线的两条直线互相平行”
得到猜想 “空间中,两组对边分别相等的四边形是平行四边形” “空间中,同时垂直于一条直线的两条直线互相平行”

类比的风险


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