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河南省南阳市2013届高三年级上学期期终质量评估文科数学试题

时间:2014-06-18


南阳市 2013 届高三年级期终质量评估

数学试题(文)
第Ⅰ卷(选择题共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项 是符合题目要求的. 、 1.复数 z=

1-3i 的虚部是 1+ i
D.-2

A.2 B.2i C.-2i 2.一个几何体的三视图及其尺寸如右图所示,其中正 (主)视图是直角三角形,侧(左)视图是半圆, 俯视图是等腰三角形,则这个几何体的体积是 (单位 cm3) A.π C. B.

? 3

? 2 ? D. 4

? x≥1, ? 3.设实数 x,y 满足 ? x-2y+3≥0, 则 x+2y 的最小值等于 ? y≥x, ?
A.3 B.6 C.9 D.12 4.有下列命题: ①设集合 M={x|0<x≤3}, N={x|0<x≤2},则“a∈M”是“a∈N”的充分而不必 要条件; ②命题“若 a∈M,则 b ? M”的逆否命题是:若 b∈M,则 a ? M; ③若 p 且 q 是假命题,则 p,q 都是假命题;
2 ④命题 P: “存在 x0∈R, x0 - x0 -1>0”的否定 ? P: “任意 x∈R, x -x-1≤0”
2

则上述命题中为真命题的是 A.①②③④ B.①③④

C.②④

D.②③④

5.已知公差不为 0 的等差数列{ an }满足 a1,a3,a4 成等比数列, Sn 为{ an }的前 n 项和,则

S3-S2 的值为 S5-S3
A.

1 5

B.2

·1 ·

C.3 6.如图给出的是计算

D.4

1 1 1 1 + + +??+ 的值的一个程 2 4 6 20

序框图,其中判断框内应填入的条件是 A.i>10? B.i<10? C.i>20? D.i<20?

x 2 y2 b 2+1 7 1 (a>0,b>0)的离心率是 7.双曲线 2 - 2 = ,则 的最 3a a b 2
小值为 A.

2 3 3

B.1
2 2

C.

3 3

D.2

1 上不同的三个点,且 OA · OB =0,存在实数λ ,μ 使 OC =λ OA 8.设 A、B、C 是圆 x +y =
+μ OB ,实数λ ,μ 的关系为 A. ? 2+? 2= 1 B.

1

?

1 + =1

?

1 C. ? ? ?=

D. ?+?= 1

9. 将函数 y=f (x) cosx 的图像向左平移 -1 的图像,则 f(x)= A.-2cosx B.2cosx

? 2 个单位后, 再作关于 x 轴的对称变换得到函数 y=2 cos x 4
C.-2sinx D.2sinx

10.在三棱锥 P-ABC 中,AB=BC= 2 ,AC=AP=2,PA⊥底面 ABC,若 P,A,B,C 落在以 O 为球心的球面上,那么球 O 的体积为 A.8π B.

8 2? 3

C.

8? 3

D. 6 π

11. 已知[x]表示不超过 x 的最大整数, 如: [-0.1]=一 1, [0. 5]=0, 现从[ log 3 1 ], [ log3 2 ], [ log3 3 ], [ log3 4 ],?,[ log3 81 ]中任取一个数,其中该数为奇数的概率为 A.

2 5
x

B.

7 27

C.

17 27

D.

20 27

12.设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,对 x∈R,都有 f(x+4)=f(x) ,且当 x∈[-2,0]时,f(x) = ( ) -1,若在区间(-2,6]内关于 x 的方程 f(x)- log a ( x+2) =0(a>1)恰有 3 个不 同的实数根,则 a 的取值范围是 A. (1,2) B. (2,+∞) C. (1, 3 4 )
·2 ·

1 2

D. ( 3 4 ,2)

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填在答题纸相应位置. 13.一支田径队有男女运动员 98 人,其中男运动员有 56 人。按男女比例用分层抽样的方 法, 从全体运动员中抽出一个容量为 28 的样本,那么应抽取女运动员人数是____________. 14.已知函数 f(x)= ?
3

?-log 2 x? x>0,
2 ?1-x , x≤0,

则不等式 f(x)>0 的解集为_____________.

15.设 f(x)= x + ax -bx+1 的导函数 f ?( x ) 满足 f ?(1) =1, f ?(2) =2,其中常数 a,b∈R,则
2

曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程为______________. 16.已知斜率为 2 的直线 L 过抛物线 y =px(p>0)的焦点 F,且与 y 轴相交于点 A,若 △OAF(O 为坐标原点)的面积为 l,则 P=______________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本题满分 10 分) 设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 a=1,b=2,cosC= (1)求△ABC 的周长; (2)求 cos(A+C)的值.
2

1 , 4

18. (本题满分 12 分) 数列{ an }是等差数列,a1=-2,a3=2. (1)求通项公式 an ; (2)若 bn = ( 2)
2+an

,求数列{(4+ an )· bn }的前 n 项和 Sn .

18. (本小题满分 12 分)

某企业员工 500 人参加“学雷锋”志愿活动,按年龄分组:第 1 组[25,30),第 2 组[30,35),第 3 组[35,40),第 4 组 [40,45),第 5 组[45,50],得到的频率分 布直方图如右图所示.

·3 ·

(1)上表是年龄的频数分布表,求正整数 a , b 的值; (2)现在要从年龄较小的第 1,2,3 组中用分层抽样的方法抽取 6 人, 年龄在第 1,2,3 组的人数分别是多少? (3)在(2)的前提下,从这 6 人中随机抽取 2 人参加社区宣传交流活动,求至少有 1 人年龄在第 3 组的概率.
19. (本小题满分 12 分) 四棱锥 P-ABCD 中, ,底面 ABCD 为正方形, PD⊥平面 ABCD,PD=AB=2,E,F,G 分别 为 PC、PD、BC 的中点. (Ⅰ)求证:PA∥面 EFG; (Ⅱ)求三棱锥 P-EFG 的体积. 21. (本题满分 12 分) 已知圆 C 的圆心为 C(m,0) ,m<3,半径为 5 ,圆 C 与

1 x 2 y2 1 (a>b>0)的其中一个公共点为 A(3,1) 离心率 e> 的椭圆 E: 2 + 2 = ,F1,F2 分别 2 a b
是椭圆的左、右焦点. (1)求圆 C 的标准方程; (2)若点 P 的坐标为(4,4) ,试探究直线 PF1 与圆 C 能否相切,若能,求出椭圆 E 和直线 PF1 的方程;若不能,请说明理由. 22. (本题满分 12 分) 已知函数 f(x)=ln( e +a) (a 为常数)是实数集 R 上的奇函数,函数 g(x)= λ f(x)+sinx 是区间[-1,1]上的减函数. (1)求 a 的值; (2)求关于 x 的方程
x

1 ln x 2 2 = x -2ex+e + 的根的个数; e f ( x)

(3)若 g(x)≤ t +?t +1 在 x∈[-1,1]上恒成立,求 t 的取值范围.
2

·4 ·

数学(文)参考答案
一、选择题:1-5 DBACB 6-10 ACACB 11-12 DD 二、填空题: 13. 12 14. (-1,1) 15. x-y+3=0 16.___4___ 三、解答题 17.解: (1)由余弦定理得,c=2,∴△ABC 的周长为 5. LL 5分 (2)由(1)得,cos(A+C)=-cosB=-cosC= ? 18.解: (1)an=2n-4 (2) bn ? 2
n?1

1 . 4

L L 10 分 LL 6分

, (4 ? an ) ? bn ? n ? 2

n

利用错位相减法得, S n ? (n ? 1) ? 2 n?1 ? 2 19.解: (1)由于 x ?

L L 12 分

1 ( x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? x6 ) ? 8.5 , 6

y?

1 ( y1 ? y2 ? y3 ? y4 ? y5 ? y6 ) ? 80. 6

所以 a ? y ? bx ? 80 ? 20? 8.5 ? 250, 从而回归直线方程为 y ? ?20 x ? 250 。 (2)设工厂获得的利润为 L 元,依题意得

LL 6分

L ? x(?20x ? 250) ? 4(?20x ? 250) ? ?20x 2 ? 330x ? 1000 33 ? ?20( x ? ) 2 ? 361.25 4
当且仅当 x ? 8.25 时,L 取得最大值。 故当单价定为 8.25 元时,工厂可获得最大利润。 20.证明:(1)因为点 F,M 分别是 C1D,C1B 的中点, 所以 FM∥BD. 又 FM?平面 EMF,BD ? 平面 EMF, LL 4分 所以 BD∥平面 EMF. (2)在菱形 ABCD 中,设 O 为 AC,BD 的交点, 则 AC⊥BD. 所以在三棱锥 C1-ABD 中,C1O⊥BD,AO⊥BD.
·5 ·

L L 12 分

又 C1O∩AO=O, 所以 BD⊥平面 AOC1, 又 AC1?平面 AOC1,所以 BD⊥AC1. LL 8分 (3)连接 DE,C1E,在菱形 ABCD 中,DA=AB,∠BAD=60°, 所以△ABD 是等边三角形. 所以 DA=DB. 因为 E 为 AB 中点,所以 DE⊥AB. 又 EF⊥AB,EF∩DE=E, 所以 AB⊥平面 DEF,即 AB⊥平面 DEC1. 又 C1E?平面 DEC1, 所以 AB⊥C1E. 因为 AE=EB,AB=4,BC1=AB, 所以 AC1=BC1=4. L L 11 分 由此知,三棱锥 C1 ? ABD 是正四面体。

L L 12 分

21. 解: (1)由已知可设圆 C 的方程为 ( x ? m)2 ? y2 ? 5(m ? 3) , 将点 A 的坐标代入圆 C 的方程,得 (3 ? m)2 ? 1 ? 5 . 即 (3 ? m)2 ? 4 ,解得 m ? 1,或m ? 5 , ∵ m ? 3, ∴ m ? 1. ∴圆 C 的方程为 ( x ? 1) ? y ? 5 .
2 2

??4 分

(2)直线 PF1 能与圆 C 相切, 依题意设直线 PF1 的方程为 y ? k ( x ? 4) ? 4 ,即 kx ? y ? 4k ? 4 ? 0 ,

? 5. k 2 ?1 11 1 2 ∴ 4k ? 24k ? 11 ? 0 ,解得 k ? ,或 k ? . ??7 分 2 2 36 11 当k ? 时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为 ,不合题意,舍去. 11 2 1 当 k ? 时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为 ? 4 , 2 ∴ c ? 4,F1 (?4,0),F2 (4,0) .
若直线 PF1 与圆 C 相切,则 ∴由椭圆的定义得:

k ? 0 ? 4k ? 4

2a ? AF1 ? AF2 ? (3 ? 4) 2 ? 12 ? (3 ? 4) 2 ? 12 ? 5 2 ? 2 ? 6 2 ,
∴a ? 3 2 , ∴e ?
4 3 2 ? 2 2 1 ? ,故直线 PF1 能与圆 C 相切.??10 分 3 2

直线 PF1 的方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0 ,椭圆 E 的方程为 22.解: (1) f ( x) ? ln(e ? a) 是奇函数,则 ln(e
x ?x

x2 y2 ? ? 1 . ???12 分 18 2 ? a) ? ? ln(e x ? a) 恒成立.

·6 ·

? (e ? x ? a)(e x ? a) ? 1. 即 1 ? ae? x ? aex ? a 2 ? 1,? a(e x ? e ? x ? a) ? 0,? a ? 0. ln x 1 ? x 2 ? 2ex ? e 2 ? , (2)由(1)知 f ( x ) ? x,? 方程为 x e ln x 1 , f 2 ( x ) ? x 2 ? 2ex ? e 2 ? , 令 f1 ( x ) ? x e
x 当 x ? (0, e)时, f1?( x) ? 0,? f1 ( x)在(0, e] 上为增函数; x , Q f1?( x ) ? 1 ? ln 2

2分

x ?[e, ??)时, f1?( x) ? 0,? f1( x)在[e, ??) 上为减函数, 1 当 x ? e 时, f 1 ( x ) max ? f 1 (e) ? . e 1 2 而 f 2 ( x ) ? ( x ? e) ? , e 1 ? f 2 ( x ) min ? f 2 (e) ? . e ln x 1 ? x 2 ? 2ex ? e 2 ? 只有一个根. ∴ 方程 6分 f ( x) e (3)又 Q g ( x ) 在[-1,1]上单调递减,? g ( x) max ? g (?1) ? ?? ? sin 1, 且 g?( x) ? ? ? cos x ? 0对x ?[-1,1]恒成立 ∴ ? ? ?1 ?只需 ? ? ? sin 1 ? t 2 ? ?t ? 1, ? (t ? 1)? ? t 2 ? sin 1 ? 1 ? 0(其中? ? ?1)恒成立 . ?t ? 1 ? 0 2 令 h(? ) ? (t ? 1)? ? t ? sin 1 ? 1(? ? ?1), 则 ? 2 ?? t ? 1 ? t ? sin 1 ? 1 ? 0, ?t ? ?1 ?? 2 而t 2 ? t ? sin1 ? 0恒成立, ?t ? t ? sin1 ? 0 ? t ? ?1 . 12 分

·7 ·


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