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江苏省2012届高考数学二轮复习教学案:第5讲 不等式及其应用

时间:2012-10-25


第5讲 不等式及其应用

1. 理解并掌握不等式的基本性质及解法. 2. 掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理, 并能灵 活运用其解决问题.

? x+1 ? >0?,集合 B={x|y=lg(x2+x-2)},则 A∩B=________. 1. 已知集合 A=?x 2-x ? ?

1 2.设 0<a<b,a+b=1,则 ,b,2ab,a2+b2 中的最大的是________. 2

3.点 P(x,y)是直线 x+3y-2=0 上的动点,则代数式 3x+27y 有最小值是________.

4.已知函数 f(x)=|lgx|.若 a≠b 且 f(a)=f(b),则 a+b 的取值范围是________.

【例 1】 设函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R). a (1) 已知 f(1)=- , 2 ①若 f(x)<1 的解集为(0,3),求 f(x)的表达式; ②若 a>0,求证:函数 f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点. (2) 已知 a=1,若 x1,x2 是方程 f(x)=0 的两个根,且 x1,x2∈(m,m+1),其中 m∈R, 求 f(m)f(m+1)的最大值.

【例 2】 若关于 x 的不等式(2x-1)2<ax2 的解集中整数恰好有 2 个,求实数 a 的取值 范围.

【例 3】 某建筑的金属支架如图所示,根据要求 AB 至少长 2.8 m,C 为 AB 的中点, B 到 D 的距离比 CD 的长小 0.5 m,∠BCD=60° ,已知建筑支架的材料每米的价格一定,问 怎样设计 AB,CD 的长,可使建造这个支架的成本最低?

【例 4】 (1) 已知函数 f(x)=lnx-x+1,x∈(0,+∞),求函数 f(x)的最大值; (2) 设 ak,bk(k=1,2?,n)均为正数,证明: ①若 a1b1+a2b2+?+anbn≤b1+b2+?+bn,则 ab11ab22?abnn≤1; 1 ②若 b1+b2+?+bn=1,则 ≤bb11bb22?bbnn≤b2+b2+?+b2. 1 2 n n

1 1 2 2 1. (2011· 湖南)设 x,y∈R 且 xy≠0,则?x +y2??x2+4y ?的最小值为________. ? ?? ?

?x+y≥2, ? 2.(2011· 福建)已知 O 是坐标原点,点 A(-1,1),若点 M(x,y)为平面区域?x≤1, ?y≤2 ?
→ → 上的一个动点,则OA· 的取值范围是________. OM

3.(2010· 江苏)将边长为 1 m 的正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中 ?梯形的周长?2 一块是梯形,记 S= ,则 S 的最小值是________. 梯形的面积

4.(2011· 重庆)若实数 a,b,c 满足 2a+2b=2a ________.

+b,

2a+2b+2c=2a

+b+c

,则 c 的最大值是

5.(2011· 四川)某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人,有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡 车和 7 辆载重量为 6 吨的乙型卡车.某天需运往 A 地至少 72 吨的货物,派用的每辆车需满 载且只运送一次.派用的每辆甲型卡车需配 2 名工人,运送一次可得利润 450 元;派用的每 辆乙型卡车需配 1 名工人, 运送一次可得利润 350 元, 该公司合理计划当天派用两类卡车的 车辆数,可得最大利润为多少元?

6.(2010· 江苏)设各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn, 已知 2a2=a1+a3, 数列{ Sn} 是公差为 d 的等差数列. (1) 求数列{an}的通项公式(用 n,d 表示); (2) 设 c 为实数,对满足 m+n=3k 且 m≠n 的任意正整数 m,n,k,不等式 Sm+Sn>cSk 9 都成立.求证:c 的最大值为 . 2

(2010· 江苏)(本小题满分 14 分)某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位:m),如图所 示,垂直放置的标杆 BC 的高度 h=4 m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β.

(1) 该小组已经测得一组 α、β 的值,tanα=1.24,tanβ=1.20,请据此算出 H 的值; (2) 该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离 d(单位:m),使 α 与 β 之差较大,可以提高测量精确度.若电视塔的实际高度为 125 m,试问 d 为多少时, α-β 最大? 解:(1) H H H h =tanβ? AD = ,同理,AB= ,BD= .(2 分) AD tanβ tanα tanβ 4×1.24 H H h htanα - = ,解得 H= = =124.因此, tanβ tanα tanβ tanα-tanβ 1.24-1.20

AD-AB=DB,故得

算出电视塔的高度 H 是 124 m.(5 分) H H h H-h (2) 由题设知 d=AB,得 tanα= ,tanβ= = = ,(7 分) d AD DB d H H-h - d d tanα-tanβ hd h tan(α-β)= = = 2 = ,(9 分) 1+tanα·tanβ H?H-h? H H-h d +H?H-h? 1+ · d+ d d d π π π 函数 y=tanx 在?0,2?上单调增,0<β<α< ,则 0<α-β< , (11 分) ? ? 2 2 H?H-h? 因为 d+ ≥2 H?H-h?,(当且仅当 d= H?H-h?= 125×121=55 5时,取等 d 号),故当 d=55 5时,tan(α-β)最大,(13 分) 所以当 d=55 5时,α-β 最大.故所求的 d 是 55 5 m.(14 分)

第 5 讲 不等式及其应用

1 x ?1 1 1. 若函数 f(x)=?x,x<0,??3? ,x≥0, 则不等式|f(x)|≥ 的解集为________. ? ? 3 ? 【答案】 [-3,1] 解析:本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基 础知识、基本运算的考查. 1 1 1 ? ① 由|f(x)|≥ ??x<0,??x?≥3 ?-3≤x<0. ? ? 3 ? 1 x 1 x 1 ? 1 1 ? ② 由|f(x)|≥ ??x≥0,???3? ?≥3 ??x≥0,??3? ≥3 ? 0 ≤x≤1. ?? ? ? ? ? 3 ? ? 1 ∴ 不等式|f(x)|≥ 的解集为{x|-3≤x≤1}. 3

2. 设函数 f(x)=x3+3bx2+3cx 有两个极值点 x1、x2,且 x1∈[-1,0],x2∈[1,2]. (1) 求 b、c 满足的约束条件,并在下面的坐标平面内,画出满足这些条件的点(b,c) 的区域; 1 (2) 证明:-10≤f(x2)≤- . 2 (1) 解:f′(x)=3x2+6bx+3c 由题意知方程 f′(x)=0 有两个根 x1、x2. 且 x1∈[-1,0],x2∈[1,2].则有 f′(-1)≥0,f′(0)≤0,f′(1)≤0,f′(2)≥0 ≤0,? 2b +c+1≤0,? 4b +c+4≥0. 故有{2b-c-1≤0,? c 图中阴影部分即是满足这些条件的点(b,c)的区域. (2) 证明: 由题意有 f′(x2)=3x2+6bx2+3c=0, ① 2 又 f(x2)=x3+3bx2+3cx2, ② 2 2 1 3c 消去 b 可得 f(x2)=- x3+ x2. 2 2 2 1 又∵ x2∈[1,2],且 c∈[-2,0],∴ -10≤f(x2)≤- . 2 基础训练 1. (1,2) 解析:A=(-1,2),B=(-∞,-2)∪(1,+∞),∴ A∩B=(1,2). 1 1 2. b 解析:0<a<b,a+b=1,得 0<a< , <b<1,b-(a2+b2)=b-b2-(1-b)2= 2 2 (2b-1)(1-b)>0.

3. 6 解析:3x+27y≥2 3x· y=2 3x 27

+3y

=2 32=6.

1 4. (2,+∞) 解析:(解法 1)因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以 a=b(舍去)或 b= , a 1 1 所以 a+b=a+ , 0<a<b, 又 所以 0<a<1<b, f(a)=a+ 由“对数”函数的性质知函数 f(a) 令 a a 在 a∈(0,1)上为减函数,所以 f(a)>f(1)=1+1=2,即 a+b 的取值范围是(2,+∞). <b,? ab =1, 利用线性规划得: (解法 2)由 0<a<b,且 f(a)=f(b)得:{0<a<1,? 1 {0<x<1,? 1<y,? xy=1. 1 1 化为求 z=x+y 的取值范围问题,z=x+y? y =-x+z,y= ? y ′=- 2<-1?过点 x x (1,1)时,z 取最小值为 2. 例题选讲 a b 2 ? ? =1,?- =3 ??a= ,? b =-2,? c =1, 例 1 解: (1)①?a+b+c=-2,? c a 3
? ?



2 f(x)= x2-2x+1. 3 a a ② 证明:a+b+c=- ,f(0)=c,f(1)=- <0,f(2)=4a+2b+c=a-c,若 c>0,则 2 2 f(0)>0,f(1)<0,函数 f(x)在(0,1)上连续,则 f(x)在(0,1)内必有一实根;若 c≤0,a>0, 则 f(2)=a-c>0,f(1)<0,函数 f(x)在(1,2)上连续,∴ f(x)在(1,2)内必有一实根,综上,函数 f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点. (2) f(x)=(x-x1)(x-x2),x1,x2∈(m,m+1),m-x1<0,m-x2<0,m+1-x1>0,m +1-x2 >0, ∴ f(m)· f(m+1)=(m-x1)(m-x2)(m+1-x1)(m+1-x2)=[(x1 -m)(m+1- x1)][(x2-m)(m+1-x2)]≤? x1-m+m+1-x1?2 ?x2-m+m+1-x2?2 1 2 2 ? ?· ? ? =16,当且仅当 x1=x2

2m+1 1 = 时取等号,∴ f(m)f(m+1)的最大值为 . 2 16 3 变式训练 已知 f(x)=x2-x+k,k∈Z,若方程 f(x)=2 在?-1,2?上有两个不相等的 ? ? 实数根. (1) 确定 k 的值; [f?x?]2+4 (2) 求 的最小值及对应的 x 值. f?x? 解: (1) 设 g(x)=f(x)-2=x2-x+k-2, 由题设有
? -1 3 5 9 5 ?3 ?g?-1?=k>0,? g ?=k- >0,? Δ =9-4k>0,?- ∈?-1,2? ?4<k<4, ?2? ? 4 2 ? ?

又 k∈Z,∴ k=2. 1 7 (2) ∵k=2,∴ f(x)=x2-x+2=?x-2?2+ >0, ? ? 4 [f?x?]2+4 4 ∴ =f(x)+ ≥2 f?x? f?x? 当且仅当 f(x)= 4 f?x?· =4, f?x?

4 ,即[f(x)]2=4 时取等号. f?x?

∵ f(x)>0,∴ f(x)=2 时取等号. [f?x?]2+4 即 x2-x+2=2,解得 x=0 或 1.当 x=0 或 1 时, 取最小值 4. f?x? 例 2 解: (解法 1)显然 a≤0 时, 不等式解集为?, a>0.因此不等式等价于(-a+4)x2 故 -4x+1<0,易知 a=4 不合题意,所以二次方程(-a+4)x2-4x+1=0 中的 Δ=4a>0,且 1 1 1 1 1 有 4-a>0,故 0<a<4,不等式的解集为 <x< , < < 则一定有{1,2} 2+ a 2- a 4 2+ a 2 为所求的整数解集,所以 2< 9 25 1 ≤3 时,解得实数 a 的取值范围为?4, 9 ?. ? ? 2- a

(解法 2)在同一个坐标系中分别作出函数 f(x)=(2x-1)2,g(x)=ax2 的图象,显然 a≤0 9 25 ?3?≤f?3? 即可,求得 <a≤ . 不合要求,从图象可知{g?2?>f?2?,? g 4 9

例 3 解:设 BC=a m(a≥1.4),CD=b m,连结 BD. 1 则在△CDB 中,?b-2?2=b2+a2-2abcos60° . ? ? 1 1 a2- a2- 4 4 ∴ b= . ∴ b+2a= +2a. a-1 a-1 2.8 设 t=a-1,t≥ -1=0.4, 2 1 ?t+1?2- 4 3 则 b+2a= +2(t+1)=3t+ +4≥7, t 4t 等号成立时 t=0.5>0.4,a=1.5,b=4. 答:当 AB=3 m,CD=4 m 时,建造这个支架的成本最低. 变式训练 如图, 为处理含有某种杂质的污水, 要制造一底宽为 2 m 的无盖长方体沉淀

箱.污水从 A 孔流入,经沉淀后从 B 孔流出.设箱体的长度为 a m,高度为 b m.已知 流出的水中该杂质的质量分数与 a,b 的乘积成反比.现有制箱材料 60 平方米.问当 a,b 各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.(A、B 孔的面积忽略不计) 解:(解法 1)设 y 为流出的水中杂质的质量分数,则 y=k/ab,其中 k 为比例系数且 k> 0,依题意,即所求的 a,b 值使 y 值最小. 根据题设,有 4b+2ab+2a=60(a>0,b>0),得 b =(30-a)/(2+a) (0<a<30), ① 于是 y=k/ab=k/[(30a-a2)/(2+a)] =k/[-a+32-64/(a+2)]=k/[34-(a+2+64/(a+2)]

≥ 34-2

k 64 ?a+2?· a+2

k = . 18

当且仅当 a+2=64/(a+2)时取等号,y 取最小值. 此时 a=6,a=-10(舍). 将 a=6 代入①式 得 b=3. 故当 a 为 6 米,b 为 3 米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小. (解法 2)依题意,即所求的 a,b 的值使 ab 最大. 由题设知 4a+2ab+2a=60 (a>0,b>0), 即 a+2b+ab=30(a>0,b>0). ∵ a+2b≥2 2ab, ∴ 2 2ab+ab≤30, 当且仅当 a=2b 时,上式取等号. 由 a>0,b>0,解得 0<ab≤18.即 当 a=2b 时,ab 取得最大值,其最大值为 18. ∴ 2b2=18.解得 b=3,a=6. 故当 a 为 6 米,b 为 3 米时,经沉淀后流出的水中该杂质 的质量分数最小. 例4 1 (1) 解:f(x)的定义域为(0,+∞),令 f′(x)= -1=0? x =1, x

f(x)在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减,故函数 f(x)在 x=1 处取得最大值 f(1)=0. (2) 证明:①由(1)知当 x∈(0,+∞)时有 f(x)≤f(1)=0 即 lnx≤x-1,
n k 1 n k 1

∵ ak,bk 均为正数, ∴ bk· k≤bk(ak-1),(k=1,2,?,n)?∑ lnabkk≤∑ bk(ak-1), lna = =
n k 1 n k 1 n k 1

b ∵ ∑ akbk≤∑ bk,∴ ∑ lnabkk≤0 即 ln(ab11ab22?abnn)≤0? a 11ab22?abnn≤1, = = = 1 1 1 n ② (ⅰ) 先证 bb11bbnn≥ ,令 ak= ,(k=1,2,?,n),则 akbk= ?∑ akbk=1, n nbk n k=1 1 1 1 1 由(ⅰ)知?nb ?b1?nb ?b2??nb ?bn≤1? ≤nb1+b2+?+bn=n, ? 1? ? 2? ? n? b11bb22?bbnn b 1 ∴ bb11bb21?bbn1≥ ; n
n bk (ⅱ) 再证 bb11bb22?bbnn≤b2+b2?+b2,记 S=∑ b2,ak= (k=1,2,?n), 1 2 n k S k=1 n n 1 n 则∑ akbk= ∑ b2=1=∑ bk 于是由(1) 得 k Sk=1 k=1 k=1

?b1?b1?b2?b2??bn?bn≤1? bb11bb22?bbnn≤Sb1+b2+?bn=S, ?S? ?S? ?S?
2 所以 bb11bb22?bbnn≤b2+b2?+bn.综上可得证. 1 2 高考回顾

1 1 1 2 2 1. 9 解析:?x +y2??x2+4y ?=5+ 2 2+4x2y2≥5+2· 2=9. ? ?? ? xy → → 2. [0,2] 解析:区域为三角形区域,三个顶点坐标分别为(0,2),(1,1),(1,2),OA· = OM -x+y∈[0,2]. 3. 32 3 3 解析:设梯形的上底边长为 x,则 0<x<1,梯形面积为 3 (1-x2),梯形的 4

2 4 3?x -6x+9? 1 32 3 周长为 3-x,S= (0<x<1),用导数求得 x= 时,S 取最小值 . 3 ? 1-x2 ? 3 3 ? ?

4. 2-log23 解析: ∵ 2a b=2a+2b≥2 2a b,∴ 2a b≥4, 2c 2c + + + + + 又∵ 2a+2b+2c=2a b c,∴ 2a b+2c=2a b·c,∴ c 2 =2a b≥4,即 c ≥4,即 2 -1 2 -1 4-3×2c 4 4 ≥0,∴ 2c≤ ,∴ c≤log2 =2-log23,∴ c 的最大值为 2-log23. 3 3 2c-1 5. 解:设派用甲型卡车 x(辆),乙型卡车 y(辆),获得的利润为 u(元),u=450x+350y, 由题意,x、y 满足关系式 {x+y≤12,? 2x+y≤19,? 10x+6y≥72,? 0≤x≤8,? 0≤y≤7, 作 出相 应的 平 面区域,u=450x+350y=50(9x+7y). +y≤19 确定的交点(7,5)处取得最大值 4 900 元, 在由{x+y≤12,? 2x 答:派甲型卡车 7 辆,乙型卡车 5 辆,可得最大利润为 4 900 元. 6. (1)解:由题意知:d>0, Sn= S1+(n-1)d= a1+(n-1)d, 2a2=a1+a3? 3a =S3? 3(S -S1)=S3,3[( a1+d)2-a1]2=( a1+2d)2, 化简得: 1-2 a1· a d 2 2 2 2 +d =0, a1=d,a1=d , Sn=d+(n-1)d=nd,Sn=n2d2, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2d2-(n-1)2d2=(2n-1)d2,适合 n=1 情形. 故所求 an=(2n-1)d2(n∈N*). m2+n2 2 2 (2) 证明:Sm+Sn>cSk? m d2+n2d2>c·2d2? m +n2>c·2,c< k k 恒成立.又 m+ k2 m2+n2 9 n=3k 且 m≠n,2(m +n )>(m+n) =9k ? > , k2 2
2 2 2 2







9 9 故 c≤ ,即 c 的最大值为 . 2 2


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