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江苏省南通第一中学2012-2013学年高一上学期期中考试数学试卷

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江苏省南通第一中学 2012—2013 学年度第一学期期中考试卷

14.已知函数 f ( x) ? ?

高一数学
说明 1.本试卷满分 160 分,考试时间 120 分钟; 2.在答题纸的密封线内填写班级、姓名、考号,在右下角填上座位号,密封线内不要答题; 3.请将所有答案按照题号填写在答题纸相应的答题处,否则不得分. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请把答案填写在答题 纸 相应的位置上 .. . ...... 1.若 1?{x, x2? ,则 x ? 2.函数 y ? ▲ . ▲ .

?(3a ? 1) x ? 5a,??x ? 1 y ? a x (a ? 0且a ? 1) ,现给出下列命题: ? log a x,?????????????? x≥1 1 ① 当其图象是一条连续不断的曲线时,则 a = ; 8 ② 当其图象是一条连续不断的曲线时,能找到一个非零实数 a 使 f ( x ) 在 (??, ??) 上是增函数;
③ 当 a ? ( , ) 时,不等式 f (1 ? a) ? f (1 ? a) ? 0 恒成立; ④ 函数 y ? f (| x ? 1|) 是偶函数. 其中正确命题的序号是 ▲ . (填上所有你认为正确的命题的序号)

1 1 8 3

x 的定义域是 1? x

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题 纸 相应的位置上 作答,解答时应写出文字说 .. . ......

3.已知幂函数 ...y ? f ( x) 的图象过点 (2, ) ,则 f ( ) ?
2

1 4

1 3



. ▲ .

明、证明或演算步骤 15. (本小题满分 14 分) 设全集 U ? R,集合 A ? ?x | ?1 ≤x ? 3? , B ? ?x | 2x ? 4≥x ? 2? .

4.设函数 f ( x ) 满足 f (2 x ?1) ? 4 x ,则 f ( x ) 的表达式是 5.函数 f ( x) ? x ? x,??x ?[?2,1] 的值域是
2


0.3

. ▲ .

( ,2 ) 6. 若 m?1

, a ? 0.3 ,?b ? log0.3 m,?c ? m ,则用 “>” 将 a, b, c 按从大到小可排列为
m

( A ? B) ; (1)求 ? UM
(2)若集合 C ? {x | 2 x ? a ? 0} ,满足 B ? C ? C ,求实数 a 的取值范围

7.已知函数 f ( x) ? ?

?2 x,?????????x ? 0 5 5 ,则 f ( ) ? f ( ? ) ? 3 3 ? f ( x ? 1),?x≤?




2

8.若函数 f ( x) ? a x ? loga ( yx? a x (a ? 0且a ? 1) 在区间 [0, 2] 上的最大值与最小值之和为 a , ?1) 则 a 的值为 ▲ .

16. (本小题满分 14 分) (1)计算

2 lg 8 ? lg 2 5 ? lg 2 ? lg 50 ? lg 25 的值; 3
?1

9.给定函数:① y ?

x ,② y ? log 1 ( x ? 1) ,③ y ? 2x?1 ,④ y ? ? x | x ? 2 | ,其中在区间 (0,1) 上是
2

(2)已知 a ? a

? 5 ,求 a ? a 和 a ? a
2 ?2

1 2

?

1 2

的值.

单调减函数的序号是



. (填上所有你认为正确的结论的序号)
?

10.已知方程 log3 x ? 6 ? x 的解所在区间为 (k , k ? 1)?(k ? N ) ,则 k =
2



. ▲ . 17. (本小题满分 15 分) 已知 f ( x ) 为定义在 R 上的奇函数, 当 x ? 0 时, f ( x ) 为二次函数, 且满足 f (2) ? 1 , f ( x ) 在

11.已知函数 f ( x) ? ax ? 2 x ? 3 在区间 (1, 2) 上是减函数,则 a 的取值范围是

12.定义在实数集 R 上的奇函数 f ( x ) 满足:① f ( x ) 在 (0, ??) 内单调递增,② f (?1) ? 0 ,则不 等式 ( x ? 1) f ( x) ? ? 的解集 为 .. ▲ .

(0, ??) 上的两个零点为1 和 3 .
1 恒成立,则实数 a 的 2
(1)求函数 f ( x ) 在 R 上的解析式; (2)作出 f ( x ) 的图象,并根据图象讨论关于 x 的方程 f ( x) ? c ? 0 (c ? R ) 根的个数.

2 13.已知函数 f ( x) ? x y ? ?a axx (a ? 0且a ? 1) ,当 x ? (?1,1) 时, f ( x ) ?

取值范围是





18. (本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? loga (1 ? x) ? loga ( x ? 3) ,其中 0 ? a ? 1 ,记函数 f ( x) 的定义域为 D. (1)求函数 f ( x) 的定义域 D; (2)若函数 f ( x ) 的最小值为 ?4 ,求 a 的值; (3)若对于 D 内的任意实数 x ,不等式 ? x 2 ? 2mx ? m2 ? 2m < 1 恒成立,求实数 m 的取值范围.

19. (本小题满分 16 分)

a ? 2x ? 2 ? a 已知函数 f ( x) ? ( a ?R) . 2x ? 1
(1)试判断 f ( x) 的单调性,并证明你的结论; (2)若 f ( x) 为定义域上的奇函数, ① 求函数 f ( x ) 的值域; ② 求满足 f (ax) ? f (2a ? x ) 的 x 的取值范围.
2

20. (本小题满分 16 分) 若函数 f ( x ) 满足下列条件:在定义域内存在 x 0 , 使得 f ( x0 ? 1) ? f ( x0 ) ? f (1) 成立,则称函 数 f ( x ) 具有性质 M ;反之,若 x0 不存在,则称函数 f ( x ) 不具有性质 M . (1)证明:函数 f ( x) ? 2 具有性质 M ,并求出对应的 x0 的值;
x

(2)已知函数 h( x) ? lg

a 具有性质 M ,求 a 的取值范围; x ?1
2

(3)试探究形如:① y ? kx ? b(k ? 0) ,② y ? ax ? bx ? c(a ? 0) ,③ y ?
2

k (k ? 0) ,④ y ? a x x

y ? a x (a ? 0且a ? 1) ,⑤ y ? loga x(a ? 0且a ? 1) 的函数,指出哪些函数一定具有性质 M ?并说
明理由.

??????????密???????????封??????????线????????

江苏省南通第一中学 2012—2013 学年度第一学期期中考试卷 高一数学答卷纸
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请把答案填写在答题纸相应的位置上 . ......... 1 3 5 7 9 11 13 2 4 6 8 10 12 14

16. (本小题满分 14 分)

姓名______________

考试号_________________

17. (本小题满分 15 分)

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题纸相应的位置上 作答,解答时应写出文字说 ......... 明、证明或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分)

班级__________

y

O

x

座位号

18. (本小题满分 15 分)

20. (本小题满分 16 分)

19. (本小题满分 16 分)

江苏省南通第一中学 2012—2013 学年度第一学期期中考试 高一数学参考答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请把答案填写在答题纸相应的位置上 . ......... 1. ?1 3.9 2. [0,1) ? (1, ??) 4. ( x ? 1) 2 (或写成 x ? 2 x ? 1 )
2

(注:不指出 a

1 2

?a

?

1 2

? 0得a ?a

1 2

?

1 2

? 7 扣 1 分;直接得 a ? a

1 2

?

1 2

? ? 7 扣 2 分)

17. (本小题满分 15 分) 解: (1)由题意,当 x ? 0 时,设 f ( x) ? a( x ? 1)( x ? 3),(a ? 0) ,

? f (2) ? 1 ,∴ a ? ?1 ,∴ f ( x) ? ? x2 ? 4 x ? 3
2

???????????2 分

(注:设 f ( x) ? ax ? bx ? c,(a ? 0) 一样给分) 当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,∵ f ( x ) 为 R 上的奇函数,∴ f (? x) ? ? f ( x) , ∴ f ( x) ? ? f (? x) ? ?[?(? x)2 ? 4(? x) ? 3] ? x2 ? 4x ? 3 即 x ? 0 时, f ( x) ? x2 ? 4x ? 3 当 x ? 0 时,由 f (? x) ? ? f ( x) 得: f (0) ? 0 ???????????5 分 ???????????6 分 ??????????? 7分 y
4 3

1 5. [ ? , 6] 4
7.4 9.②④

6.c>a>b 8.

1 3

10.4 12. (??, ?1) ? (?1,0) ? (1, ??) 14.①③

1 11.a≤ 2 1 13. [ ,1) ? (1, 2] 2
明、证明或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分)

?? x 2 ? 4 x ? 3, x ? 0 ? 0, ?? x ? 0 . 所以 f ( x) ? ? ? x 2 ? 4 x ? 3,?? x ? 0 ?
(2)作出 f ( x ) 的图象(如图所示) ???????10 分 (注: f (0) ? 0 的点或两空心点不标注扣 1 分, 不要重复扣分)

2 1 -1 -4 -3 -2

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题纸相应的位置上 作答,解答时应写出文字说 .........

O
-1 -2

3 1 2

4

x

解: (1)∵ B ? ?x | 2x ? 4≥x ? 2? ? x x≥2 ∴ A ? B ? x 2≤x ? 3

?

?
??????????????4 分 ??????????????7 分 ??????????????9 分

?

∴ CU ? A ? B ? ? x x ? 2或x≥3 (2)由 B ? C ? C 得 B ? C

?

?

?

-3 由 f ( x) ? c ? 0 得: c ? f ( x) ,在图中作 y ? c , -4 根据交点讨论方程的根: 当 c≥3 或 c≤? 3 时,方程有 1 个根; ???????????????11 分

? a 根据数轴可得 ? ? 2 , 2
从而 a ? ?4 16. (本小题满分 14 分)

C ? {x | 2 x ? a ? 0} ? ? x x ? ? ?
??????????????12 分 ??????????????14 分

?

a? 2?

当 1 ? c ? 3 或 ?3 ? c ? ?1 时,方程有 2 个根; 当 c ? ?1 或 c ? 1 时,方程有 3 个根; 当 0 ? c ? 1 或 ?1 ? c ? 0 时,方程有 4 个根; 当 c ? 0 时,方程有 5 个根. 18. (本小题满分 15 分) 解: (1)要使函数有意义:则有 ?

???????????????12 分 ???????????????13 分 ???????????????14 分 ???????????????15 分

解: (1)原式 =2lg 2 ? lg 5 ? lg 2( ? 1+lg5) ?2lg5
2

?1 ? x ? 0 ,解得 ? 3 ? x ? 1 ?x ? 3 ? 0 ∴ 函数的定义域 D 为 (?3,1) ???????????????2 分

=2(lg 2 ? lg5) ? lg5(lg5 ? lg 2) ? lg 2 =2 ? lg 5 ? lg 2 =3
(2) a ∵ (a
1 2
2

?????????????4 分 ?????????????7 分 ?????????????10 分

2 (2) f ( x) ? log a (1 ? x)( x ? 3) ? log a ( ? x 2 ? 2 x ? 3) ? log a ? ? ?( x ? 1) ? 4 ? ?

? a ? (a ? a ) ? 2 ? 23
1 ? 2 2
1 ? 2

?2

?1 2

? ?3 ? x ? 1 ∴0 < - ( x ? 12 ) ? 4? 4
2 ? 0 ? a ? 1 ,∴ log a ? ? ?( x ? 1) ? 4 ? ? ? log a 4 ,即 f ( x)min ? log a 4 , ????5 分

? a ) ? a ? a ?1 ? 2 ? 7
1 2

∴由 a

?a

? 0得a ?a

1 2

1 ? 2

由 loga 4 ? ?4 ,得 a ?????????????14 分

?4

? 4 ,∴ a ? 4

?

1 4

?

? 7

2 . 2

???????????7 分

21 2 (注: 扣 1 分) ∴a ? ∴ 4 a不化简为 ? ?4 4 ? 2 2
? ?

1 4

故 x 的取值范围为 (?2,1) . 20. (本小题满分 16 分) 得: 2
x0 ?1

????????????????????16 分

(3)由题知-x2+2mx-m2+2m<1 在 x∈ (?3,1) 上恒成立,
? x 2 -2mx+m2-2m+1>0 在 x∈ (?3,1) 上恒成立,

???????????8 分

解: (1)证明: f ( x) ? 2x 代入 f ?x0 ? 1? ? f ?x0 ? ? f ?1? ,

令 g(x)=x2-2mx+m2-2m+1,x∈ (?3,1) , 配方得 g(x)=(x-m)2-2m+1,其对称轴为 x=m, ①当 m≤-3 时, g(x)在 (?3,1) 为增函数,∴g(-3)= (-3-m)2-2m+1= m2+4m +10≥0, 而 m2+4m +10≥0 对任意实数 m 恒成立,∴m≤-3. ?????????10 分 ②当-3<m<1 时,函数 g(x)在(-3,-1)为减函数,在(-1, 1)为增函数, 1 1 ∴g(m)=-2m+1>0,解得 m< . ∴-3<m< ???????12 分 2 2 ③当 m≥1 时,函数 g(x)在 (?3,1) 为减函数,∴g(1)= (1-m)2-2m+1= m2-4m +2≥0, 解得 m≥ 2 ? 2 或 m≤ 2 ? 2 , ∴-3<m<
1 )∪[ 2 ? 2 1 2

? 2 x0 ? 2 ,即 2 x0 ? 2 , ??????????????2 分 x M 解得 x0 ? 1 ,∴函数 f ( x) ? 2 具有性质 . ?????????????3 分 (2) h( x) 的定义域为 R,且可得 a ? 0 ,]∵ h( x) 具有性质 M , a a a ∴存在 x0 ,使得 h( x0 ? 1) ? h( x0 ) ? h(1) ,代入得 lg 2 ? lg ? lg , x0 ? 1 2 x0 ? 2
2 化为 2( x0 ? 1) ? a( x0 ? 1) 2 ? a ,

2 整理得: (a ? 2) x0 ? 2ax0 ? 2a ? 2 ? 0 有实根,

???????????5 分

???????14 分 ???????15 分

综上可得,实数 m 的取值范围是 (-∞, 19. (本小题满分 16 分)

2 ,+∞)

1 ,满足题意; ?????????????????6 分 2 2 ②若 a ? 2 ,则要使 (a ? 2) x0 ? 2ax0 ? 2a ? 2 ? 0 有实根,只需满足 ? ? 0 ,
①若 a ? 2 ,得 x 0 ? ? 即 a ? 6a ? 4 ? 0 ,解得 a ?[3 ? 5,3 ? 5] ,∴ a ?[3 ? 5, 2) ? (2,3 ? 5] ,
2

2 解: (1)函数 f ( x) 为定义域(-∞,+∞),且 f ( x) ? a ? x , 2 ?1 任取 x1 , x2 ? (-∞,+∞),且 x1 ? x 2

2 2 2(2 x2 ? 2 x1 ) ??????3 分 ? a ? ? 2 x2 ? 1 2 x1 ? 1 (2 x2 ? 1)(2 x1 ? 1) ∵ y ? 2 x 在 R 上单调递增,且 x1 ? x 2 x x x x x x ∴ 0 ? 2 1 ? 2 2 , 2 2 ? 2 1 ? 0 , 2 1 ? 1 ? 0 , 2 2 ? 1 ? 0 ,∴ f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 , 即 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ,∴ f ( x) 在(-∞,+∞)上的单调增函数. ???????5 分 (2)∵ f ( x) 是定义域上的奇函数,∴ f (? x) ? ? f ( x) , 2 2 ? (a ? x ) ? 0 对任意实数 x 恒成立, 即 a ? ?x 2 ?1 2 ?1 x 2?2 2 ? x ) ? 0 ,∴ 2a ? 2 ? 0 ,即 a ? 1 , 化简得 2a ? ( x ??????8 分 2 ?1 2 ?1 (注:直接由 f (0) ? 0 得 a ? 1 而不检验扣 2 分) 2 1 x ? ?, ①由 a ? 1 得 f ( x) ? 1 ? x ,∵ 2 ? 1 ? 1 ,∴ ? ? x ?????10 分 2 ?1 2 ?1 2 2 ? ? ,∴ ?? ? 1 ? x ?? ∴ ?2 ? ? x 2 ?1 2 ?1 故函数 f ( x ) 的值域为 (?1,1) . ??????????????????12 分 2 ②由 a ? 1 得 f ( x) ? f (2 ? x ) ,
则 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? a ? 且 f ( x) 在(-∞,+∞)上单调递增,∴ x ? 2 ? x ,
2

综合①②,可得 a ? [3 ? 5,3 ? 5 ] ???????????????8 分 (3)解法一:函数 y ? f ( x) 恒具有性质 M ,即关于 x 的方程 f ( x ? 1) ? f ( x) ? f (1) (*) 恒有解. ???????????????9 分 ①若 f ( x) ? kx ? b ,则方程(*)可化为 k ( x ? 1) ? b ? kx ? b ? k ? b 整理,得 0 ? x ? b ? 0 ,当 b ? 0 时,关于 x 的方程(*)无解, ∴ f ( x) ? kx ? b 不恒具备性质 M ; ???????????????10 分 ②若 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) ,则方程(*)可化为 2ax ? a ? b ? 0 ,解得 x ? ?
2

a?b , 2a

∴函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 一定具备性质 M ;
2

???????12 分

③若 f ( x) ? ∴ f ( x) ?

k (k ? 0) ,则方程(*)可化为 x2 ? x ? 1 ? 0 无解, x
?????????????????13 分
x ?1

k (k ? 0) 不具备性质 M ; x
x

④若 f ( x) ? a ,则方程(*)可化为 a 当 0 ? a ? 1 时,方程(*)无解,
xx

? a x ? a ,化简得 (a ? 1)a x ? a即a x ?

a , a ?1

∴ f ( x) y? ?a a (a ? 0且a ? 1) 不恒具备性质 M ; 显然方程无解, ∴ y ? loga x(a ? 0且a ? 1) 不具备性质 M ;
2 2

??????????14 分

⑤若 f ( x) ? loga x ,则方程(*)可化为 loga ( x ? 1) ? log a x ,化简得 x ? 1 ? x , ??????????15 分 ????16 分

综上所述,只有函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 一定具备性质 M .

??????????14 分

解得 ?2 ? x ? 1 ,

(注:第(3)问直接得 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 一定具备性质 M 而不说明理由 只给 1 分)


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