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1.1.3 导数的几何意义

时间:2018-05-23


1.1.3 导数的几何意义

1.平均变化率 函数y=f(x)从x1到x2平均变化率为:

?y f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? x2 ? x1 ?x
2.平均变化率的几何意义: 割线的斜率
y f(x2)

y=f(x)

B

f(x2)-f(x1)=△y
f(x1) A x2-x1=△x x x1 x2

?y f ( x2 ) ? f ( x1 ) k? ? x2 ? x1 ?x

O

3.导数的概念 函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ? ( x 0 )

或 y ? | x ? x0 , 即
f (x ? Δ x ) ? f ( x ) 0 0 f ?( x ) ? lim 0 ?x ? 0 ?x

4.求函数y=f(x)在x=x0处的导数的一般步骤是:
(1 ) 求 函 数 的 增 量 ? y ? f ( x 0 ? ? x ) ? f ( x 0 );

f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ?y ( 2 )求 平 均 变 化 率 ? ; ?x ?x

?y ( 3 )取 极 限 , 得 导 数 f ? ( x 0 ) ? lim . ?x ? 0 ? x

练习

1.函数y ? 3 x 在x ? 3处的导数为(B A. 6 B.18 C.54 D. 81
2



f?x0-k?-f?x0? 2.若 f ′(x0)=2,则lim 等于( 2k k →0 A.-1 B.-2 C.1 1 D.2

)

[错解] 选 C. f?x0+k?-f?x0? ∵f ′(x0)=2,∴lim =2, k k→0 f?x0-k?-f?x0? 1 f?x0?-f?x0-k? 1 ∴lim= =2lim =2×2=1. 2k -k k→0 k→0

[正解]

f?x0-k?-f?x0? 1 f(x0-k)-f?x0? lim =-2lim 2k -k k→0 k →0 1 1 =-2f ′(x0)=-2×2=-1,故应选 A.

f (1 ? ?x) ? f ?1? 3.设函数 y ? f ( x)可导,则 lim 等于?C? ?x?0 3?x 1 ' A. f ?1? B.3 f ' ?1? C. f ' ?1? D. f ' ?3? 3

如图,曲线C是函数y=f(x) 的图象,P(x0,y0)是曲线C 上的任意一点, 点

y

y=f(x)

Q

Q(x0+Δ x,y0+Δ y)为点P
附近一点, PQ为曲线C

P
O
x

的割线,

思考:当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线

PQ怎样变动?

我们发现,当点Q 沿着曲线无限接 近点P即Δ x→0 时,割线PQ趋向 于确定位置PT.我 们把这个确定位 置的直线PT称为 曲线在点P处的
o
P

y

y=f(x) Q

割线

T

切线

x

切线.

在上面的研究过程中,某点的割线斜率和 切线斜率与某点附近的平均变化率和某点的

瞬时变化率有何联系?
?x ? 0

平均变化率
?x ? 0

瞬时变化率(导数)

割线的斜率

切线的斜率

新课:导数的几何意义
函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数就是曲线

在点(x0,f(x0))处的切线的斜率

k , 即:

f ? x0 ? ?x ? ? f ( x0 ) k ? lim ? f ?( x0 ) ?x ?0 ?x
曲线在点(x0,f(x0))处的切线的方程为:

y ? f ( x 0 ) ? f ?( x 0 )( x ? x 0 ).

例1

求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
y
Q

f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) 解: k ? lim ?x ? 0 ?x (1 ? ?x )2 ? 1 ? (1 ? 1) y = x 2 +1 ? lim ?x ? 0 ?x 2?x ? ( ?x )2 ? lim ? 2. ?x ? 0 ?x

?y

P
?x

M

因此,切线方程为y-2=2(x-1),

1 -1 O

j

x

即y=2x.

1

【总结提升】
求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:

①确定切点P的坐标(x0,f(x0));
②求切线的斜率,即函数y=f(x)在x=x0处 的导数;

③利用点斜式写出切线方程.

1.求曲线y=x -1在点(-2,3)处的切线的斜率, 并写出切线方程。

2

1.求曲线y=x 2 -1在点(-2,3)处的切线的斜率, 并写出切线方程。
解 : ?y ? f ( ?2 ? ?x ) ? f ( ?2) ? [( ?2 ? ?x ) 2 ? 1] ? [( ?2) 2 ? 1] ? ?x 2 ? 4?x ?y ?x 2 ? 4?x ? ? ?x ? 4 ?x ?x ?y f ?( ?1)= lim ? lim ( ?x ? 4) ? ?4 2 ?x ? 0 ?x ?x ? 0 ? k ? ?4 ? 切线方程为y ? 3 ? ?4( x ? 2) 即4 x ? y ? 5 ? 0

解 : 设这点的坐标为(x0 ,y0 )

π 2.求在曲线y=x 上切线倾斜角为 的点的坐标。 4
2

?y ? f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ? ( x0 ? ?x ) 2 ? x0 2 ? ?x 2 ? 2 x0 ?x ?y ?x 2 ? 2 x0 ?x ? ? ?x ? 2 x0 ?x ?x ?y f ?( x0 )= lim ? lim ( ?x ? 2 x0 ) ? 2 x0 ?x ? 0 ?x ?x ? 0 ? 1 k ? tan ? 1? 2 x0 ? 1解得x0 ? 4 2 1 2 1 ? y0 ? ( ) ? 2 4 1 1 ? 这点的坐标为( , ) 2 4

12 3 32.曲线 y=2x -2 在点(1,-2)处切线的倾斜角为 ( B ) A. 1 5π C. 4 π B. 4 π D.- 4

4.曲线y=x3在点P处的切线斜率为3,则点P的

坐标为( B )
A.(-2,-8) C.( 2 , 8) B.(1,1),(-1,-1)
1 1 D. (- ,- ) 2 8

思考:f '(x0)与f '(x)有什么区别?
从求函数 f ? x ? 在 x ? x0 处导数的过程可以 看到, 当 x ? x0 时, f 样, 当 x 变化时,

? x0 ? 是一个确定的数.这 ' f ? x ? 便是 x 的一个函数, 我
'

们称它为f ? x ? 的 导 函 数 (derivative function) (简称 导 数 ). y ? f ? x ? 的导函数有时也记作 y ,即 f
' '

? x? ? y

'

? lim

f ? x ? ?x ? ? f ? x ? ?x

?x ? 0

.

1.函数 f

( x ) 在 x ? x 0 处的导数 f / ? x 0 ? 的几何意义,

就是函数 f ( x ) 的图象在点 P ? x 0 , f ( x 0 ) ? 处的切线的斜
率(数形结合)
f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) f ( x 0 ) ? lim ?x ? 0 ?x
/

=切线的斜率k

2.利用导数的几何意义解释实际生活问题,体会
“数形结合”,“以直代曲”的数学思想方法. 以简单对象刻画复杂的对象

f ( x ? ?x ) ? f ( x ) lim 3.导函数(简称导数) f ( x ) ? ? x?0 ?x
'

作业:
1.已知函数f ( x) ? x ? 2 x, 求曲线f ( x)在点(1,3)处的
2

切线的斜率,并写出切线方程。
26.P 是抛物线 y=x 上一点,若过点 P 的切线与直线
2

1 求 y=- x+1 垂直,则过点 P 的切线方程为________. 2


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