nbhkdz.com冰点文库

第一章 随机事件及其概率_图文

时间:2014-08-06

概率论与数理统计

您知道吗?
如同物理学中基本粒子的运动、生物学中遗传因子和 染色体的游动、以及处于紧张社会中的人们的行为一样,

自然界中的不定性是固有的。这些与其说是基于决定论的
法则,不如说是基于随机论法则的不定性现象,已经成为 自然科学、生物科学和社会科学理论发展的必要基础。

从亚里士多德(公元前384~前322 ,古希腊哲
学家、科学家) 时代开始,哲学家们就已经认识

到随机性在生活中的作用,他们把随机性看作 为破坏生活规律、超越了人们理解能力范围的 东西。 他们没有认识到有可能去研究随机性, 或者是去测量不定性。 概率论是“生活真正的领路人,如果没有对概率的某 种估计,我们就寸步难行,无所作为”。
——Jevons,英国逻辑学家和经济学家,(1835-1882)

将不定性数量化,来尝试回答这些问题,是直到20

世纪初叶才开始的。还不能说这个努力已经十分成功了,
但就是那些已得到的成果,已经给人类活动的一切领域 带来了一场革命。 这场革命为研究新的设想,发展自然科学知识,繁 荣人类生活,开拓了道路。而且也改变了我们的思维方 法,使我们能大胆探索自然的奥秘。

应 用 举 例
——博彩领域 ?15世纪上半叶,数学家试图从理论上思考赌博问题。 ?1494,意大利数学家帕乔利,《算术》,赌注分配问题。

?卡丹,意大利米兰学者 ,(1501-1576),重新就帕乔利赌
注分配问题进行系列的理论探讨。 ?伽利略,近代科学之父,(1564-1642),解决掷骰子问题。 ?帕斯卡和费马用各自不同的方法解决1654年7月29日法国骑士 梅累向帕斯卡提出的赌博问题。

?1657,荷兰数学家,惠更斯,《论赌博中的计算》。

——全概公式的应用
?某次世界女排赛中,中、日、美、古巴四队取得半决赛权

根据以往成绩,假定中国的战胜日本队美国队的概率分别 为0.9和0.4,而日本队战胜美国队的概率为0.5,试问中国队 取得冠军的可能性有多大?

——正态分布的应用
?从南郊某地乘车前往北区火车站搭火车,有两条路可走,

第一条路穿过市区,路程较短,但交通拥挤,所需时间(分
钟)服从正态分布N(50,100),第二条路线沿环城公路走, 路线较长,但意外阻塞交通,所用时间服从正态分布N (60,16)。 (1)假如有70分钟可用,问应走那条路线?

(2)若只有65分钟可用,又应走那条路线?
?解决应聘者对应聘状况做正确估计。

——数学期望的应用 ?许多数学模型从概率角度利用期望求解最大利润问题。 ?期望的思想可以减少工作量,比如,血液检查的案例可以 很好说明期望的作用。

——中心极限定理的应用
?中心极限定理对保险业具有指导性的意义。

——统计的巨大的应用 数学地质是在地质学与数学互相渗透,紧密结合的基础 上产生的一门边缘学科。它是运用数学的理论和方法研究地 质学基础理论和解决地质学中实际问题的地质学分支。电子 计算技术是数学地质研究的主要技术手段。

内 容 构 成
基础部分---概 率 论: 古典概率 随机变量及其分布 分布函数 数字特征等 应用部分---数理统计: 统计量构造 参数估计 假设检验 回归分析等 深入部分---随机过程: 马尔可夫过程 平稳过程 随机分析等 本课程只介绍基础部分和应用部分。

?自然界中的现象分为两大类: (1)确定现象:将来可以预知,条件一定、结果一定 (2)不确定现象: 将来不可以预知,条件一定、结果不定 ?在一定条件下,并不总是出现相同结果,但又有一定统计

规律的现象称为随机现象。
?概率统计是一门研究随机现象统计规律性的学科。

随机现象背后有着怎样的统计规律?
1. 火车站旅客的到达流、出发流有规律吗? 2. 在一个容器内有许多气体分子,大量分子的平均活动 能否呈现出某种稳定性? 3. 咱们班有两人在同一天过生日吗? 4. 你能解释为什么“十赌九输”,“久赌必输”吗?

第一章 随机事件及其概率
随机事件及其运算 频率与概率 等可能概型

条件概率
事件的相互独立性

第一节

随机事件及其运算

随机试验

随机试验是对随机现象的一次观察、一次 测量、一次统计等等,简称试验,记作E。

样本空间与 随机事件 事件间的关系 及其运算

样本空间是客观的 事件是人为设定的

从“事件发生”的角度来理解 关系和运算在概率论中的含义

1.随机试验
E1:抛一枚硬币,观察正面H 和 反面T 出现的情况。

E2:将一枚硬币抛掷三次,观察正面H和反面T出现的情况。

E3: 抛一颗骰子,观察出现的点数。

E4: 记录一段时间内进入某商场的顾客人数。 E5: 在一批灯泡中任意抽取一支,测试它的寿命。 E6: 将一枚硬币抛掷三次,观察正面H出现的次数。 试验是在一定条件下进行的 试验有一个需要观察的目的

上述随机试验具有那些特点?
(1) 可以在相同情况下重复进行; (可重复性)

(2) 每次试验可能出现的试验结果具有多种可能性, 但能事先知道试验的所有可能结果; ( 多样性)

(3) 每次试验前不能确定会出现哪种结果。 ( 随机性)

具有上述三个特点的试验称为随机试验

2.样本空间与随机事件
定义1 将随机试验E的所有可能结果组成的集合,称为E 的 样本空间,记作Ω(或S)。
S

.
样本点e

样本空间的元素,即E的每个结果,称为样本点。 E1:抛一枚硬币,观察正面H 和反面T 出现的情况。

?1 ? {H, T}
E2:将一枚硬币抛掷三次,观察正面H和反面T出现的情况。

? 2 ? {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}

E3: 抛一颗骰子,观察出现的点数。

? 3 ? {1,2,3,4,5,6}
E4: 记录一段时间内进入某商场的顾客人数。

? 4 ? {0,1,2,3,?}
E5: 在一批灯泡中任意抽取一支,测试它的寿命。

? 5 ? {t t ? 0}
E6: 将一枚硬币抛掷三次,观察正面H出现的次数。

? 6 ? {0,1,2,3}
样本空间的元素是由试验目的决定的。

注意: 实际中,在进行随机试验时,我们往往会关心满足

某种条件的那些样本点所组成的集合。
例如在测试某灯泡的寿命这一试验中,若规定灯泡的 寿命 (小时) 小于500为次品,那么我们关心灯泡的寿命t是

否满足 t ? 500 或者说, 我们关心满足这一条件的样本点组 成的一个集合

{t t ? 500}

这就是随机事件

定义2 称试验E的样本空间Ω的子集为随机事件,简称为事件, 可用 A , B , C , D等表示。 事件的表示方法:语言定性描述,用集合描述。 如:掷骰子试验中,掷出的点数为偶数可表示为: A={2,4,6} = ―点数为偶数”

样本空间是客观的,事件是人为设定的。

( 1 )什么是事件的发生?

?在试验中,事件A中的一个样本点出现,则称事件A发生。 比如 E3: 抛一颗骰子,观察出现的点数。

?3 ? {1,2,3,4,5,6}
定义3个事件:

A1 ? {1,2,3}

A2 ? {2,4,6}

A3 ? {4,5,6}

如果掷出数字4,则A2、A3发生。

(2)特殊事件
①基本事件

只含有一个样本点的事件,称为基本事件。
②必然事件 在每次试验中总是发生的事件,称为必然事件。

你能举例 说明吗?

由于样本空间Ω 包含所有的样本点,每次试验中它总是

发生的,因此样本空间Ω 是必然事件。
③不可能事件 在每次试验中一定不发生的事件,称为不可能事件, 记为Φ,即为空集Φ,其中不包含任何样本点。

如在掷骰子试验中,观察掷出的点数 。

样本空间 ? 3 ? {1,2,3,4,5,6} 事件 Ai ={掷出i点}, i =1,2,3,4,5,6 基本事件 事件 B={掷出奇数点} B发生当且仅当B中的样本点1,3,5中的某一个出现。 “掷出点数小于7‖是必然事件; “掷出点数8‖则是不可能事件。

3.事件间的关系及其运算
?事件是一个集合 ?事件间的关系和运算按照集合论中集合之间的关系 和运算进行处理 ?从“事件发生”的角度来理解关系和运算在概率论 中的含义

①事件的包含与相等
事件的包含:A发生必导致B发生,即A中的样本点一定属 于B,记为A?B,也称A是B的子事件。

等价的说法是:B不发生,则A也不发生。
事件相等:A=B ? A?B且B?A。

A
S

B

② 事 件的 和
和事件 :“事件A与B至少有一个发生”,记作A∪B ?n个事件A1, A2,…, An中至少有一个发生称 为n个事件的和事件。记为:
n i ?1

A1

A2 ? An ,简记为

Ai

—有限并

?可列个事件 A1、A2、 ? 中至少有一个发生, 记为: A1

A2 ?,

?

简记为

i ?1

Ai —可列并

③事件的积
积事件 : A与B同时发生,记作 A∩B=AB ?n个事件A1, A2,…, An同时发生,记作

? A ? A A ?A
i 1 2 i ?1

n

n

—有限交

?可列个事件A1, A2, …同时发生,记作

? A ? A A ?A ?
i 1 2 n n ?1

?

—可列交

④ 事 件 的 差
差事件 :A-B称为A与B的差事件,表示事件A发生而B不 发生,它是由属于A而不属于B的样本点所构成的事件。

⑤互不相容事件
互斥事件:若两个事件A、B不可能同时发生,即 AB=Φ,则

称事件A与B互斥(互不相容)。
注:(1)基本事件是两两互不相容的(互斥)。 (2)必然事件与不可能事件互斥; (3) A1,A2,…,An是同一样本 空间的随机事件,若它们之间 任意两个事件互斥的,则称 A1,A2,…,An是两两互斥的。

⑥对立事件
互逆事件:若两个事件满足 A∪B= ?, 且AB=? ,
B

则称A 与 B为对立事件(互逆)。记为:

A
S

B?A

A?B

注:(1)A与B对立表示事件A与B既不能同时发生,又不能

同时不发生。即在每次试验中,A与B有且仅有一个发生。
(2)若E只有两个互不相容的结果,那么这两个结果构 成对立事件。 (3)对立事件必为互不相容事件;互不相容事件未必为 对立事件。

(4)?? ? ?, ? ? ? ? ?? ? ? ? ??

⑦事件的运算规律
1. 交换律:A∪B=B∪A,AB=BA

2. 结合律:(A∪B)∪C=A∪(B∪C),
(AB)C=A(BC) 3. 分配律:(A∪B)C=(AC)∪(BC), (AB)∪C=(A∪C)(B∪C) 4. 德.摩根律(De Morgan) :

A ? B ? A B,
n n n i ?1 ? i ?1 ? i ?1 ?

A B?A B
n i ?1 ?

? Ai ? ? Ai , ? Ai ? ? Ai ? Ai ? ? Ai , ? Ai ? ? Ai
i ?1 i ?1 i ?1

i ?1

5. A ? B ? AB ? A ? AB 6.

7.

A ? A ? A, AA ? A

例1.1 从一批产品中每次取出一个产品进行检验,事件 Ai表示第i次取到合格品(i=1,2,3)。用事件的运算表示下列

事件:三次都取到合格品,三次中至少有一次取到合格
品,三次中恰有两次取到合格品,三次中最多有一次取 到合格品。 解:三次全部取到合格品:A1A2A3 三次中至少有一次取到合格品A1+A2+A3

三次中恰有两次取到合格品 A1A 2 A 3 ? A1 A 2A 3 ? A1A 2A 3 三次中至多有一次取得合格品 A A ? A A ? A A
1 2 1 3 2 3

例1.2

以A表示“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则



(A) 甲滞销,乙畅销 (B) 甲乙两种产品均畅销
(C) 甲种产品畅销 解 则 (D) 甲滞销或乙畅销

设B=―甲产品畅销”,C=―乙产品畅销” ,故选(D)

研究随机现象,不仅关心试验中会出现哪些事件, 更重要的是想知道事件出现的可能性大小,也就是

问题: 如何求得某事件的概率呢?

第二节 频率和概率

研究随机现象,不仅关心试验中会出现哪些事件, 更重要的是想知道事件出现的可能性大小,这就是事件 的概率。 概率是随机事件 发生可能性大小 的度量 事件发生的可能性 越大,概率就 越大!

了解事件发生的可能性即概率的大小,对人们的 生活有什么意义呢?

例如,了解发生意外人身事故的可能性大小,确 定保险金额。

了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小, 合理配置服务人员。

了解每年最大洪水超警戒线可能性大小,合理 确定堤坝高度。

一、 频率
定义1 设 E,S,A为E中某一事件,在相同条件下做n次试验,

事件A发生的次数为nA ,则

f n ? A? ?

nA

n

称为A的频率。(frequency)

性质: (1)对任一事件A,0? fn(A) ??1; (2)对必然事件S,fn(S)=1;而 fn(S )=0 (3)有限可加性:若事件A、B互不相容,即 AB=?,则 fn(A∪B)= fn(A) +fn(B)。 注:若事件A1, A2 ,…, An两两互不相容,则

? n ? n fn ? ? ? A? ? ? ? f n ( Ai ) ? i ?1 ? i ?1

频率有什么规律?
在“抛硬币”试验中,据表格表明 试验者 蒲丰 次数 4040 12000 正面的次数 2048 6019 12012 正面的频率 0.5069 0.5016 0.5005

皮尔逊
皮尔逊

24000

① 频率有随机波动性,每次试验频率不一定相等 ; ﹋﹋﹋ 称为事件A ② 稳定性 n充分大时, ﹋﹋﹋ 的概率(probability), 记为P(A).

二、概率的公理化定义
定义2 设 E, S,对于E的每一事件A,赋予一实数P(A),
如果满足以下三个公理: ① 非负性:对于每一个事件 A,有P(A) ≥0 概率 三公 理 ② 归一性: P(S) =1 ③ 可列可加性:设A1, A2,…两两互不相容

P ? A1

(i ? j , Ai Aj ? Φ) 则

A2

???? ? P ? A1 ? ? P ? A2 ? ? ???

则称P(A)为事件 A 的概率。

三、概率的性质
1. P ? ? ? ? 0 2. 有限可加性

P ? A1
其中 3. 如果 ①

A2

???

Ak ? ? P ? A1 ? ? P ? A2 ? ? ??? ? P ? Ak ?
两两互不相容。 则



② P ? B ? A? ? P ? B ? ? P ? A?

4.

,0≤ P ? A ?≤1

5. 6. (加法公式)

推广: P ? A1

A2

A3 ? ? P ? A1 ? ? P ? A2 ? ? P ? A3 ?

例1.3

某人外出旅游两天,据天气预报,第一天降水概率

为0.6,第二天为0.3,两天都降水的概率为0.1,试求: (1)“第一天下雨而第二天不下雨”的概率P(B), (2)―第一天不下雨而第二天下雨”的概率P(C),

(3)―至少有一天下雨”的概率P(D),
(4)―两天都不下雨”的概率P(E), (5)―至少有一天不下雨”的概率P(F)。 解 设Ai表示事件“第i天下雨”,i=1,2,由题意

P(A1)=0.6,P(A2)=0.3,P(A1 A2)=0.1

B ? A1 A2 ? A1 ? A2 ? A1 ? A1 A2 且 A1 A2 ? A1 (1)

P ( B ) ? P ( A1 ? A1 A2 ) ? P ( A1 ) ? P ( A1 A2 ) ? 0.6 ? 0.1 ? 0.5
(2) P (C ) ? P ( A2 ? A1 A2 ) ? P ( A2 ) ? P ( A1 A2 ) ? 0.3 ? 0.1 ? 0.2
(3) D ? A1 ? A2

P ( D ) ? P ( A1 ? A2 ) ? P ( A1 ) ? P ( A2 ) ? P ( A1 A2 )
=0.6+0.3-0.1=0.8 (4)E ? A1 A2 ? A1 ? A2

P( E ) ? P( A1 ? A2 ) ? 1 ? P( A1 ? A2 ) ? 1 ? 0.8 ? 0.2
(5) P( F ) ? P( A1 ? A2 ) ? 1 ? P( A1 A2 ) ? 1 ? 0.1 ? 0.9

例1.4 已知P(A)= P(B)= P(C)=0.25, P(AC)=0.125 ,

P(AB)= P(BC)= 0,求A, B, C 中至少有一个发生的概率。


P( A) ? P( B) ? P(C )
? P( AB ) ? P( AC ) ? P( BC )

? ABC ? AB ? P( ABC ) ? P( AB) ? 0 ? P( ABC ) ? 0

? P( A ? B ? C ) ? 0.75 ? 0.125 ? 0.625

例1.5 解

P ? A B ? ? 0.6, P ? B ? ? 0.3 ,求 P ? AB ?

AB ? ? A B ? ? B

?B ? ? A

B ??

? P AB ? P ? A B ? ? P ? B ?

? ?

? 0.3

A

B

S

第三节 等可能概型

试验结果 e1, e2, …,eN

你认为哪个 结果出现的 可能性大?

常常把这样的试验结果称为“等可能的”。

例如,一个袋子中装有10 个大小、形

状完全相同的球。将球编号为1-10。
把球搅匀,蒙上眼睛,从中任取一球。

8 5 1 9 4 6 7 2 3 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10个球中的任一个被取 因为抽取时这些球是完全平等的, 出的机会都是1/10

我们没有理由认为10个球中的某
一个会比另一个更容易取得。也 就是说,10个球中的任一个被取 出的机会是相等的,均为1/10。 8 5 1 9 4 6 7 2 3 10

我们用 i 表示取到 i号球, i =1,2,…,10。 则该试验的样本空间 S={1,2,…,10} , 且每个样本点(或者说基本事件) 出现的可能性相同。 称这样一类随机试验为古典概型。 5 8 19 4 6 7 3 10 如 i =2 2

一、

等可能概型的定义

设随机实验E满足下列条件 1.有限性:试验的样本空间只有有限个样本点,即

Ω ={e1, e 2 , … , e n };
2.等可能性:每个样本点的发生是等可能的,即 P(e1)=P(e2)= … =P(en)。 则称此试验E为古典概型,也叫等可能概型。 P({ei})=1/n

二、 计算公式
定理 古典概型中,设事件 A 中所含样本点个数为

N(A) ,以N(Ω)记样本空间Ω中样本点总数,则有

A所包含的样本点的个数 N ( A) P( A) ? ? ?中样本点的个数 N ( ?)
A所包含的基本事件数 N ( A) 或P( A) ? ? ?中基本事件总数 N ( ?)
P(A)具有如下性质: (1) 0? P(A) ??1; (2) P(Ω)=1; P(? )=0; (3) AB=?,则P( A∪B )=P(A)+P(B)。

记 A={摸到2号球} P(A)=? P(A)=1/10 记 B={摸到红球} P(B)=? P(B)=6/10

2

1 2 3 4 5 6 8 5 1 9 4 6 7 2 3 10

记 B={摸到红球}

, P(B)=6/10 静态

这里实际上是从“比例”
转化为“概率” 动态 8 5 1 9 4 6 7 2 3 10

当我们要求“摸到红球”的概率时, 只要找出它在静态时相应的比例。

三、 计算方法
1. 构造A和S的样本点(当样本空间S的元素较少时,先

一一列出S和A中的元素,直接利用下式求解

k P ? A? ? n
2. 用排列组合方法求A和S的样本点数

预备知识 Ⅰ. 加法原理:完成一项工作m种方式,第i种方式有ni种方 法,(i=1,2, …, m),且完成该项工作只需选择这m种方式 中的一种,则完成这项工作一共有 种方法。 Ⅱ.乘法原理:完成一项工作有m个步骤,第i步有ni种方法 ,且完成该项工作必须依次通过这m个

步骤,则完成该项工作一共有

种方法。

Ⅲ.排列: 从n个元素中取出r个元素,按一定顺序排成一列, 称为从n个元素里每次取r个元素的排列。(n,r均为整数)

①(无放回选取 ) 对于无重复排列(这n个元素全不相同 ﹏﹏﹏﹏﹏ 时,上述排列即是),当r<n时称为选排列; 当r=n时称为全排列。
②(有放回选取 )从n个不同元素中有放回地抽取r个,依 ﹏﹏﹏﹏﹏ 次排成一列,称为可重复排列,排列数记

四、古典概率计算举例
例1.6 随意拨一个六位电话号码,正好找到朋友张

某的概率。
解:为简便,每位数字有10种选择。 基本事件总数是106。 事件A表示找到张某,则A只有一个基本事件。 1 故 P( A ) ? 6 ? 0.000001 10

例1.8

将两封信随机的投入四个邮筒,

求: 1) 前两个邮筒中没有信的概率, 2) 第一个邮筒中只有一封信的概率。

解:

设 A = ―前两个邮筒中没有信” B = ―第一个邮筒中只有一封信”

1 2 ? 2 ? 1) P( A) ? 4? 4 4

1 1 3 ? C3 C2 2) P( B) ? ? 4? 4 8

例1.9 投两枚骰子,事件A=―点数之和为3‖,求P(A) 答: 1/18
例1.10

投两枚骰子,求点数之和为奇数的概率。 答: 1/2

例1.11

一口袋中装有10只球,其中6只蓝球,4只红球现

从袋中取球两次, 每次随机的取一只,分别按有放回和无 放回两种方式取球,就以上两种情况求: 1) 取到的两只都是蓝球的概率 ;

2) 取到两只球颜色相同的概率;
3) 取到的两只球中至少有一只是蓝球的概率; 解 设 A= {两只球都是蓝球}, B= {两只球都是红球},

9 6 ? 6 a) 有放回抽样 1 ? ; )P( A) 10 ? 10 25 4 4 ? 4 P( B) ? ? ; P( AB) ? 0; 10 ? 10 25

2) 3)

13 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? P( AB ) ? ; 25 21 P( B ) ? 1 ? P( B) ? . 25

b) 无放回抽样

1 4?3 6 ? 5 1) P( A) ? ? , P( B) ? 10 ? 9 10 ? 9 3

2 ? ; 15

7 2) P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? P( AB ) ? ; 15 13 3) P(C ) ? P( B ) ? 1 ? P( B) ? . 15

例1.13

设有N件产品,其中有M件次品,现从这N件

中任取n件,求其中恰有k件次品的概率. 解 令B={恰有k件次品} 次品 正品 M件次 品

P(B)=?

? M ?? N ? M ? ? ?k? ?? ? n?k ? ? ? P ( B ) ? ? ?? ?N ? ? ?n? ? ? ?
这是一种无放回抽样。

N-M件
正品

……

例1.15

设有n个颜色互不相同的球,每个球都以概率1/N落

在N(n≤N)个盒子中的每一个盒子里,且每个盒子能容纳的球 数是没有限制的,试求下列事件的概率: A={某指定的一个盒子中没有球}

B={某指定的n个盒子中各有一个球}
C={恰有n个盒子中各有一个球} D={某指定的一个盒子中恰有m个球}(m≤n) 解 把n个球随机地分配到N个盒子中去(n≤N),总共有Nn种 放法。即基本事件总数为Nn。

事件A:指定的盒子中不能放球,因此, n个球中的每一个

球可以并且只可以放入其余的N-1个盒子中。总共有(N–1)n
种放法。因此

( N ? 1) n P( A) ? Nn

事件B:指定的n个盒子中,每个盒子中各放一球,共有n!种 放法,因此

n! P( B ) ? n N

事件C:恰有n个盒子,其中各有一球,即N个盒子中任选出

n个,选取的种数为CNn 在这n个盒子中各分配一个球,n个盒中各有1球(同上),n!种
n 放法;事件C的样本点总数为 C N ? n! n n CN ? n! PN P (C ) ? (? ) n n N N 事件D:指定的盒子中,恰好有m个球,这m个球可从n个球

中任意选取,共有Cnm种选法,而其余n-m个球可以任意分配

到其余的N-1个盒子中去,共有(N-1)n-m种,所以事件D所包
含的样本点总数为Cnm· (N-1)n-m m n ?m m n ?m Cn ( N ? 1) 1? m? 1 ? ? P( D ) ? ( ? Cn ? ? ? 1 ? ? ) n N N? ?N? ?

(生日问题) 设每个人的生日在一年365天中的任一 天是等可能的,即都等于 ,那么随机选取n(≤365)

人。 (1) 他们的生日各不相同的概率为多少? (2) n个人中至少有两个人生日相同的概率为多少? 解 (1) 设 A= ―n个人的生日各不相同”

(2) 设 B = ―n个人中至少有两个人生日相同”

当 n 等于64时,在64人的班级中,B发生的概率 接近于1,即 B 总是会出现,不妨作调查。 经计算可得下述结果: 20 23 30 40 50 64 100

n p

0.411 0.507 0.706 0.891 0.970 0.997 0.9999997

五、几何概型
样本空间的基本事件数为无限的几何概率。
例1.16 某十字路口自动交通信号的红、绿灯,其周期为

60秒,其中由南至北方向红灯为 15 秒,求随机到达( 由南至北)该路口的一辆汽车恰遇红灯的概率。

例1.17 一片面积为S 的树林中有一块面积为 S0 的空地。

一架飞机随机地往树林内空投一只包裹。求这包裹落

在空地上的概率。

在上述问题中,样本空间分别是一维、二维、三维空间,

它们通常用长度、面积、体积来度量大小。另一方面,这三个
例子中的样本点是等可能出现的。这里“等可能性”的确切含 义是当A是样本空间的一个子集时,P(A) 与 A 的位置与形状均 无关,而只与A 的长度(面积、体积)成正比。 我们规定A的概率定义为

u ?S ? 为样本空间的度量。

为构成 A 的子区域的度量。

此为几何概率,其满足概率的三个公理及性质。

第四节 条件概率

一、条件概率
Ⅰ 定义

引例:取一副牌,随机地取一张
(1) 问抽中的是K的概率 (2) 若已知抽中的是红桃,问抽中的是K的概率 解 (1) B——抽中的是K

4 P( B) ? 54

(2) A——抽中的是红桃
B——抽中的是K

定义 即求 P ? B | A ? —— 条件概率 1 P ? B | A? ? 13 4 P ? B | A? ? P ? B ? ? 54
分析:

1 1 54 P ? AB ? P ? B | A? ? ? ? 13 13 54 P ? A?

? P ? A? ? 0 ?

结论:对一般古典概型问题,设 ns , nAB , nA 分别表示 试验E,事件AB,事件A所包含的基本事件数,则有:

P ? AB ? nAB ns P ? B | A? ? ? nA ns P ? A?

? nA ? 0 ?

定义:(严格的数学定义)设A,B为两事件,且 P ? A ? ? 0

P ? AB ? 称 P ? B | A? ? P ? A?

为事件A发生条件下事件B发生的条件概率。

二、条件概率的计算
1) 用定义计算:

P ( AB ) P ( A | B) ? , P ( B)

P(B)>0 掷骰子

2)从加入条件后改变了的情况去算
例:A={掷出2 点}, B={掷出偶数点}

1 P(A|B)= 3
B发生后的缩减 样本空间所含样 本点总数 在缩减样本空 间中A所含样 本点个数

例1.18 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出

点数之和不小于10‖的概率是多少? 解 设 A={掷出点数之和不小于10} B={第一颗掷出6点} 解法1 应用定义

P( AB ) 3 36 1 ? ? P( A | B ) ? P( B ) 6 36 2

解法2

3 1 P( A | B ) ? ? 6 2

在B发生后的缩减样本 空间中计算

例1.19 设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8,

活到25年以上的概率为0.4。问现年20岁的这种动物,它能活 到25岁以上的概率是多少? 解: 设A={能活20年以上},B={能活25年以上} 所求概率为P(B|A)。 依题意,P(A)=0.8, P(B)=0.4

P ( AB ) P( B ) 0.4 ? ? ? 0.5 P( B | A) ? P( A) 0.8 P ( A)

三、乘法公式
由条件概率的定义: P ( A | B ) ?

P( AB ) P( B )

若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB)。



若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B)
若P(A)>0 , 则 P(AB)=P(A)P(B|A)

(2)
(3)

乘法公式可以推广到多个事件的积事件的情况。

例1.22

一场精彩的足球赛将要举行,5个

球迷好不容易才搞到一张入场券。大家都想
去,只好用抽签的方法来解决。
入场 券

5张同样的卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的什么也 没写。将它们放在一起,洗匀,让5个人依次抽取。 “先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大? ”

后抽比先抽的确实吃亏吗?

“大家不必争先恐后,你们一个一个
按次序来,谁抽到‘入场券’的机会都 一样大。”

到底谁说的对呢?让我们用概率论的知
识来计算一下,每个人抽到“入场券” 的概率到底有多大? “先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”

解: 我们用Ai表示“第i个人抽到入场券”
则 A表示“第 i个人未抽到入场券” i 显然,P(A1)=1/5,P( A1)=4/5

i=1,2,3,4,5。

也就是说, 第1个人抽到入场券的概率是1/5。 由于 A2 ? A1 A2 由乘法公式

P ( A2 ) ? P ( A1 ) P ( A2 | A1 )
也就是要想第2个人抽到入场券,

因为若第2个人抽到 了入场券,第1个人 肯定没抽到。

必须第1个人未抽到,计算得: P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5

同理,第3个人要抽到“入场券”,必须第1、第2个人都没有

抽到。因此
P ( A3 ) ? P ( A1 A2 A3 ) ? P ( A1 ) P ( A2 | A1 ) P ( A3 | A1 A2 )

=(4/5)(3/4)(1/3)=1/5 ?继续做下去会发现,每个人抽到“入场券” 的概率都是1/5 。

这就是有关抽签顺序问题的正确解答。 抽签不必争先恐后

例1.23

设袋中有5个红球,3个黑球,2个白球,试按(1)有放

回抽样;(2)不放回抽样,摸球三次,每次摸得一球,求第三
次才摸到白球的概率。

解 设A={第一次没有摸到白球},
B={第二次没有摸到白球}, C={第三次摸到白球}, 则所求事件可表示为ABC。
2 8 8 16 (1) 有放回抽样 P ? ABC ? ? P ?C | AB ?P ? B | A?P ? A? ? 10 ? 10 ? 10 ? 125 .

8 P ? A? ? , 10

8 P ? B | A? ? , 10

2 P ?C | AB ? ? , 10

(2) 不放回抽样
8 P ? A? ? , 10 7 P ? B | A? ? , 9 2 P ?C | AB ? ? , 8

P ? ABC ? ? P ?C | AB ?P ? B | A?P ? A?
2 7 8 7 ? ? ? ? . 8 9 10 45

四、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式
1.引例 有三个箱子,分别编号为1 , 2 , 3 , 箱内所放东

西如图所示。 某人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一
球,求取得红球的概率。

解 记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3;
B ={取得红球} 其中 A1、A2、A3两两互斥 1 2 3

B发生总是伴随着A1,A2,A3 之一同时发生。

即 且

B= A1B+A2B+A3B, A1B、A2B、A3B 两两互斥 1 2 3

运用加法公式得到

P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B) 对求和中的每 一项运用乘法 公式得

P ( B) ? ? P ( Ai ) P ( B|Ai )
i ?1

3

代入数据计算得:P(B)=8/15 将此例中所用的方法推广到一般的情形,就得到在概 率计算中常用的全概率公式。

2. 事件的划分 定义 设 S 是随机试验E 的样本空间
B1,B2,…Bn是E一组事件 若: (1) Bi B j ? ?(互斥性)

B1

A

B4

S

B2

B3

(2) B1 ? B2 ? ? ? Bn ? S(完备性)

则称 B1,B2,…Bn是样本空间 S 的一个划分。
例如 设试验 E 为“掷骰子观察其点数”。样本空间为

S ? {1,2,3,4,5,6} 其中 B1 ? {1,2}
B2 ? { 3} B3 ? {4,5,6}
是 S 的一个划分。

3. 全概率公式 定理 设随机试验 E 的样本空间 S, A 为 E 的任意一

个事件, B1,B2,…Bn为 S 的一个划分,且P(Bi)>0(i=1,2,…,n), 则有

P ( A) ? P ( A B1 ) P ( B1 ) ? P ( A B2 ) P ( B2 ) ? ? ? P ( A Bn ) P ( Bn )
称为全概率公式。

全概率公式的理论和实用意义在于: 在较复杂情况下计所以适当地算P(A)不易, 但 A 总是 伴随着某个Bi 出现,去构造这一组 Bi 往往可以简化 计算。

我们可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”,

每个原因对结果的发生有一定的“作用”,即结果发生的
可能性与各种原因的“作用”大小有关。全概率公式表达 了它们之间的关系 。

B3
B1 A B5
诸Bi是原因

B4
B2 B7 B8

B6

A是结果

例 假设有甲、乙两袋,甲袋中有3个白球2个红球,乙 袋中有2个白球3个红球,今从甲中任意取一只放入乙中, 再从乙中任取一球,问取到白球的概率为多少? 解 设 A 表示从乙中取到白球, B1 表示从甲中取到白 球, B2 表示从甲中取到红球 , B1 ,B2 为S的一个划分,

由全概率公式得

P( A) ? P( A | B1 ) P ( B1 ) ? P ( A | B2 ) P ( B2 ) 4 3 3 2 3 ? ? ? ? ? 6 5 6 5 5

某厂生产的仪器每台以 0.7 的概率可以出厂, 例 以 0.3 的概率需要进一步调试, 经调试后以 0.8 的概率 可以出厂, 以 0.2 的概率为不合格品,不能出厂。 求每 台仪器能出厂的概率。
解 设 B ―仪器能出厂”

A1 ―仪器需要调试” A2 ―仪器不需要调试”

P ?B / A1 ? ? 0.8

P?A1 ? ? 0.3 P?A2 ? ? 0.7

P ( B ) ? P ? A1 ?P ( B | A1 ) ? P ? A2 ?P ( B | A2 )
P ?B / A2 ? ? 1

P ( B ) ? 0.3 ? 0.8 ? 0.7 ? 1 ? 0.94

4. 贝叶斯公式 某人从任一箱中任意摸出一球,发现是红球,

求该球是取自1号箱的概率。
或者问: 该球取自哪号箱的可能性最大? ?这一类问题是“已知结果求原因”。 在实际中更为常见, 1 2 3

它所求的是条件概率,是已知某结果发生条件下,探求各原
因发生可能性大小。

某人从任一箱中任意摸出一球,发现 是红球,求该球是取自1号箱的概率。 记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3; 1
P ( A1 ) P ( B | A1 )

B ={取得红球}
P ( A1 | B) ?
运用全概率公式 计算P(B)

2

3

P ( A1 B) ? P ( B)

? P ( A ) P ( B|A )
k ?1 k k

3

将这里得到的公式一般化,就得到

定理 设随机试验 E 的样本空间为S , A 为 E 的任意
一个事件, B1,B2,…Bn为S 的一个划分, 且 称此式为 贝叶斯公式

P ( A) ? 0, P ( Bi ) ? 0( i ? 1, 2,..., n)
P ( A Bi ) P ( Bi ) P ( ABi ) 则 P ( Bi A) ? ? n P ( A) P ( A Bi ) P ( Bi ) ? i ?1 运用全概率 公式计算P(A)

?该公式于1763年由贝叶斯 (Bayes) 给出。它是在观察到事 件B已发生的条件下,寻找导致B发生的每个原因的概率。

贝叶斯公式在实际中有很多应用。

它可以帮助人们确定某结果(事件 B)发生的最可能原因。

例1.25 某一地区患有癌症的人占0.005,患者对一种试验反

应是阳性的概率为0.95,正常人对这种试验反应是阳性的概

率为0.04,现抽查了一个人,试验反应是阳性,问此人是癌
症患者的概率有多大? 解: 设 C={抽查的人患有癌症}, A={试验结果是阳性}, 则 C 表示“抽查的人不患癌症”。 已知 P(C)=0.005,P( C )=0.995, P(A|C)=0.95, P(A| C )=0.04 由贝叶斯公式,可得
P (C ) P ( A | C ) P(C | A) ? ? 0.1066 P (C ) P ( A | C ) ? P (C ) P ( A | C )

现在来分析一下结果的意义。 1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义? 2.检出阳性是否一定患有癌症? 先回答第一个问题:

如果不做试验,抽查一人,他是患者的概率
P(C)=0.005 患者阳性反应的概率是0.95,若试验后得阳性反应 则根据试验得来的信息,此人是患者的概率为 P(C|A)= 0.1066

从0.005增加到0.1066,将近增加约21倍。

2. 即使你检出阳性,尚可不必过早下结论你有癌症,这种 可能性只有10.66% (平均来说,1000个人中大约只有107人 确患癌症),此时医生常要通过再试验来确认。 试验结果为阳性 , 此人确患癌症的概率为 P(C|A)=0.1066

在贝叶斯公式中,P(Ai)和P(Ai |B)分别称为原因的先验概 率和后验概率。 P(Ai) (i=1,2,…,n) 是在没有进一步信息(不知道事件B是否 发生)的情况下,人们对诸事件发生可能性大小的认识。 当有了新的信息(知道B发生),人们对诸事件发 生可能性大小P(Ai | B)有了新的估计。

贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化

第五节 事件的独立性

一 、两个事件相互独立
先看一个例子: 将一颗均匀骰子连掷两次, 设 A={第二次掷出6点}, B={第一次掷出6点}, 显然 P(A|B)=P(A)

这就是说, 不论事件B 是否发生, 都不影响事件A发 生的概率, 这时称事件A与B相互独立。

定义1

设A、B是两个事件,如果有如下等式成立

P ( AB) ? P ( A) P ( B)
则称事件A、B相互独立。 定理1 设 A、B是两个事件

⑴ 若 P ( A) ? 0 ,则A、B 相互独立的充分必要条件 为 P ( B A) ? P ( B ) ⑵ 若A、B 相互独立,

A与B, A与B, A与B 都相互独立。

定理2

当 P ( A) ? 0, P ( B) ? 0 时,互不相容与相互独立

不能同时成立。 证 A、B互不相容 P ( AB ) ? 0 ? P ( AB ) ? P ( A) P ( B)

反之 A、B 相互独立 P ( AB ) ? P ( A) P ( B) ? 0 则 AB ? ? ,故A、B不可能互不相容。 注:区分互不相容、相互独立

例1.26 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记

A={抽到K },

B={抽到的牌是黑色的}

问事件A与B是否相互独立?



由于 P(A)=4/52=1/13, P(AB)=2/52=1/26。 =>P(AB)=P(A)P(B)

P(B)=26/52=1/2,

因此 事件A与B相互独立。

二 、多个事件相互独立
定义2 设A,B,C为三个事件,如果满足下列等式
? P ? AB ? ? P ? A?P ? B ? ? ? P ? AC ? ? P ? A?P ?C ? ? P ? BC ? ? P ? B ?P ?C ? ?

则称三个事件A,B,C 两两独立。 注: 当事件A,B,C 两两独立时,等式
P ? ABC ? ? P ? A?P ? B ?P ?C ?

不一定成立。

例1.27 现有四张卡片,如图所示。现从中

1
3

2
1,2,3

任取一张, 设A,B,C分别表示抽到写有数字

1,2,3的卡片,试判定事件A,B,C之间的关系。



甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率

分别为0.4、0.5、0.7. 飞 机被一人击中而击落的概率为0.2,被两 人击中而击落的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落, 求 飞机被击落的概率。 解 设A={飞机被击落} Bi={飞机被i人击中}, i=1,2,3



A=B1A+B2A+B3A
P(A)=P(B1)P(A |B1)+ P(B2)P(A|B2) + P(B3)P(A|B3)

依题意, P(A|B1)=0.2,

由全概率公式

P(A|B2)=0.6,
P(A|B3)=1

为求P(Bi ) , 设 Hi={飞机被第i人击中}, i=1,2,3 可求得
P ? B1 ? ? P H 1 H 2 H 3 ? H 1 H 2 H 3 ? H 1 H 2 H 3
2 1 2 3

? P?B ? ? P?H H H

? H1 H 2 H 3

? ?H H H ?
1 2 3

P ? B3 ? ? P ? H 1 H 2 H 3 ?

将数据代入计算得 P(B1)=0.36;P(B2)=0.41;P(B3)=0.14。 于是

P(A)=P(B1)P(A |B1)+ P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)
= 0.36×0.2+0.41 ×0.6+0.14 ×1 = 0.458

即飞机被击落的概率为0.458。

⑴ 区分事件的互斥性和独立性;
⑵ 相互独立事件至少发生一次的概率计算 若事件 A1,A2,…,An 相互独立, 则

P ( B ) ? P ( A1 ? A2 ? ? ? An ) ? 1 ? P ( A1 ? A2 ? ? ? An ) ? 1 ? P ( A1 A2 ? An ) ? 1 ? P ( A1 ) P ( A2 ) ? P ( An )

⑶ 一般根据实际背景判断事件的独立性。

例1.28

三人独立地去破译一份密码,已知各人能译出的

概率分别为1/5,1/3,1/4,问三人中至少有一人能将密码 译出的概率是多少? 解 将三人编号为1,2,3,记

Ai ={第i个人破译出密码}, i=1 , 2 , 3
所求为
P ? A1 A2 A3 ?

已知, P(A1)=1/5 , P(A2)=1/3 , P(A3)=1/4
P ? A1 A2 A3 ? ? 1 ? P A1

?

A2

A3

?

1

P ? A1

A2

A3 ? ? 1 ? P A1 ? A2 ? A3

?

?

? 1 ? P ( A1 A2 A3 )
? 1 ? P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 )
2 =1 -[1-P(A1)][1-P(A2)][1-P(A3)]

4 2 3 3 ? 1 ? ? ? ? ? 0.6 5 3 4 5
3

例 甲乙两人乒乓球比赛,每局甲胜的概率为p (p≥0.5), 对甲而言, 采用三局两胜制有利, 还是采用五局三胜制有 利?(各局胜负相互独立) 解 ⑴ 三局两胜 “甲乙甲” 甲获胜: ―甲甲”、 “乙甲甲”、 所以甲最终获胜的概率为

p 1 ? p 2 ? 2 p 2 (1 ? p )
⑵ 五局三胜

⑵ 五局三胜 甲获胜:“甲甲甲” “乙甲甲甲”、“甲乙甲甲”、“甲甲乙甲”

“甲乙甲乙甲”、“乙甲甲乙甲”、“乙甲乙甲甲”
“乙乙甲甲甲”、“甲乙乙甲甲”、“甲甲乙乙甲” 所以甲最终获胜的概率为

p 2 ? p 3 ? 3 p 3 (1 ? p ) ? 6 P 3 (1 ? p ) 2

比较⑴和⑵

p 1 ? p 2 ? 2 p 2 (1 ? p ) p 2 ? p 3 ? 3 p 3 (1 ? p ) ? 6 P 3 (1 ? p ) 2 p 2 ? p1 ? p 2 (6 p 3 ? 15 p 2 ? 12 p ? 3)

? 3 p 2 ( p ? 1) 2 (2 p ? 1)


p ? 1/ 2 ,p2 ? p1 ,对甲采用五局三胜制有利;



p ? 1/ 2 ,p2 ? p1 ? 1/ 2 时,
两种赛制甲乙最终获胜的概率相同。


第一章 随机事件及其概率_图文.ppt

第一章 随机事件及其概率 - 《概率论与数理统计》袁荫棠 中国人民大学出版社... 第一章 随机事件及其概率_理学_高等教育_教育专区。《概率论与数理统计》袁荫棠 中...

第一章随机事件及其概率_图文.ppt

第一章随机事件及其概率 - 第一章 随机事件及其概率 1 概率论与数理统计是从数

第一章_随机事件及其概率_图文.ppt

第一章_随机事件及其概率 - 随机事件及概率 ? ? ? ? ? 随机事件 随机事件的概率 古典概率模型(等可能概率模型) 条件概率 随机事件的独立性 §1.1 随机事件...

第一章随机事件及其概率概述_图文.ppt

第一章随机事件及其概率概述 - 第一章 随机事件及其概率 概率论的简史 ? 概率

概率论第一章 随机事件及其概率_图文.ppt

概率论第一章 随机事件及其概率 - 概率论与数理统计 统计学院 汪家义 第一章 随机事件及其概率 §1.1随机事件 一、 概率论的诞生及应用 二、 随机现象 三、...

概率与统计 第一章 随机事件及其概率_图文.ppt

概率与统计 第一章 随机事件及其概率 - 概率与统计 序 言 概率论是研究什么的

第一章 随机事件及其概率-精品文档_图文.ppt

? ? ? 第一章 随机事件及其概率 第二章 随机变量及其概率分布 第三章 二维随机变量及其分布 第四章 随机变量的数字特征 第一章 ? ? ? ? ? ? 随机事件...

1第一章随机事件与概率_图文.ppt

1第一章随机事件与概率 - 概率论与数理统计 (2010级) 第一章 随机事件与概率 ? 随机事件及其运算 ? 概率的定义 ? 概率的性质 ? 条件概率和乘法公式 ? 独立...

概率论第一章随机事件与概率_图文.ppt

概率论第一章随机事件与概率 - 概率论 第一章 随机事件与概率 概率论起源: 合

第1章 随机事件及其概率_图文.ppt

第1章 随机事件及其概率 - 概率论与数理统计 开课学院:理学院 教师: 罗纯

第一章随机事件及其概率1_图文.ppt

第一章随机事件及其概率1 - 概率论与数理统计 第一章 随机事件及其概率 1 序

1第一章 随机事件及其概率_图文.ppt

第一章 随机事件及其概率§1.1 随机事件及其运算§1.2 频率与概率 §1.3

第一章 随机事件及概率_图文.ppt

第一章 随机事件及概率 - 第一章 概率论的基本概 念 1 理解随机事件的概念,

第一章随机事件及其概率_图文.ppt

第一章随机事件及其概率 - 第一章 随机事件及概率 ? ? ? ? ? 随机事件 随机事件的概率 古典概率模型(等可能概率模型) 条件概率 随机事件的独立性 §1.1 ...

第一章随机事件及其概率_图文.ppt

第一章随机事件及其概率 - 概率论与数理统计 1 概率论与数理统计是研究随机现象 数量规律的一门学科。 2 目录 ? ? ? ? ? ? ? 第一章 随机事件及其概率 ...

第1章随机事件及其概率_图文.ppt

第1章随机事件及其概率 - 概率论 Probability 教材:《概率论与数理

第一章 随机事件及其概率_图文.ppt

第一章 随机事件及其概率 第二章 随机变量及其概率分布 第三章 二维随机变量及其

第一章随机事件及其概率_图文.ppt

第一章随机事件及其概率 - 赌徒数学家概率论初步gamble theor

2第一章 随机事件及其概率_图文.ppt

2第一章 随机事件及其概率 - §1.2 概率的定义及计算 历史上概率的三次定义

第一章随机事件及其概率_图文.ppt

第一章随机事件及其概率 - 赌徒数学家概率论初步gamble theory 概率论是统计学的理论基础 统计是以概率论为基础发展出来的一门新生科学。 ? 第1章 随机...