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江苏省无锡市2011届高三期中考试数学

时间:2012-12-12


江苏省无锡市 2010—2011 学年度高三上学期期中考试
一、解答题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.命题“ ? a ? b ,都有 a
2

? b ”的否定是
2

. . .

2. 已知全集 U ? {1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } , 集合 A ? {1, 3 , 5} , ? {1, 2 } , ( C U A ) ? B ? 则 B 3.已知 a ? (1, ? 2 ), b ? ( 2 , k ), c ? ( 2 , ? 1) ,若 ( a ? b ) ? c ,则 k=
? ? ? ? ? ?

4.设等差数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,若 a 1 ? ? 1 1 , a 4 ? a 6 ? ? 6 ,则当 S n 取最小值时,n 等于 ___________. 5.已知椭圆
x
2

+

y

2

4

9

= 1 的上.下两个焦点分别为 F1 . F 2 ,点 P 为该椭圆上一点,若

P F1 . P F 2 为方程 x + 2 m x + 5 = 0 的两根,则 m =
? 6.在△ ABC 中,A= 6 0 ,b=1,其面积为 3 ,则 ? A B C 外接圆的半径为

2

. .

7.函数 y ? lo g 2 x ? lo g x ( 2 x ) 的值域是______________. 8.设 ? ? 0 ,函数 y ? sin( ? x ?
? 的最小值是
?
3 ) 的图像向右平移 4? 5

个单位后与原图关于 x 轴对称,则



9.给定下列四个命题: ①如果一个平面内的两条直线都与另一个平面平行,那么这两个平面相互平行; ②垂直于同一直线的两直线相互平行; ③如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ④如果两个平面垂直, 那么在一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不 垂直. 则其中真命题的序号是 . 10.设某商品一次性付款的金额为 a 元,以分期付款的形式等额分成 n 次付清,每期期末所 付款是 x 元,每期利率为 r,则 x= .
?1 1 3 ? ? ? x ( x ? 1) 2 11.已知函数 f ( x ) ? ? 3 ,则 f ( 3 ) ? f ( 5 ? 3 4 ) ? 2 ? ( x ? 5 ) ? 3 ( x ? 1) ?



12.对于函数 f ( x ) 定义域中任意的 x1 . x 2 ( x1 ≠ x 2 ),?有如下结论:? ① f ( x1 ? x 2 ) = f ( x1 ) f ( x 2 ) ;? ② f ( x 1 ? x 2 ) = f ( x1 ) + f ( x 2 ) ;?



f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2
x

? 0;

④f(

x1 ? x 2 2

) ?

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 2

?

当 f ( x ) = 2 时,上述结论中正确结论的序号是



2 1 13.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,对任意 n∈N*都有 Sn= an- ,若 1<Sk<9(k∈N*) ,则 3 3 k 的值为____________. 14.二次函数 f ( x ) 的二次项系数为负,且对任意实数 x ,恒有 f ( x ) ? f ( 4? x ),若
f (1 ? 3 x ) ? f (1 ? x ? x ) ,则 x 的取值范围是
2 2



二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分 14 分) 已知集合 A =

{x

y=

x - 5 x - 1 4 ,集合 B ? { x | y ? lg( ? x
2

}

2

? 7 x ? 12 )} ,集

合 C ? { x | m ? 1 ? x ? 2 m ? 1} . (1)求 A ? B ; (2)若 A ? C ? A ,求实数 m 的取值范围.

16. (本小题满分 14 分) 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1+ 2,S3=9+3 2 (1)求数列{an}的通项 an 与前 n 项和 Sn; (2)设 b n ?
Sn n

,求证:数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.

17. (本小题满分 15 分) 设 函 数 f ( x ) 是 定 义 在 [ ? 1, 0 ) ? ( 0 ,1] 上 的 奇 函 数 , 当 x ? [ ? 1, 0 ) 时 ,
f ( x ) ? 2 ax ? 1 x
2

(a 为实数) .

(1)当 x ? ( 0 ,1] 时,求 f ( x ) 的解析式; (2)当 a ? ? 1 时,试判断 f ( x ) 在 ( 0 ,1 ] 上的单调性,并证明你的结论.

18. (本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x ) ? 2 sin x co s x ? 2 3 co s x ?
2

3?2

(1)求函数 f ( x ) 的对称轴方程; (2)当 x ? (0 ,
?
2 ) 时,若函数 g ( x ) ? f ( x ) ? m 有零点,求 m 的范围; 2 5

(3)若 f ( x 0 ) ?

, x0 ? (

? ?
, 4 2

) ,求 sin ( 2 x 0 ) 的值.

19. (本小题满分 16 分) 设数列 { b n } 满足: b 1 ? (1)求证:
1 bn ? 1
1 b1 ? 1
1 2

, b n ?1 ? b n ? b n ,
1 b n ?1
1 bn ? 1

2

?

1 bn
1

?



(2)若 T n ?

?

b2 ? 1

?? ?

,对任意的正整数 n , 3T n ? log

2

m ?5 ? 0恒

成立.求 m 的取值范围.

20. (本小题满分 16 分) 设 x 1 、 x 2 ( x1 ? x 2 ) 是函数 f ( x ) ? ax ? bx
3 2

? a x ( a ? 0 ) 的两个极值点.
2

(1)若 x1 ? ? 1, x 2 ? 2 ,求函数 f ( x ) 的解析式; (2)若 | x1 | ? | x 2 |? 2 2 ,求 b 的最大值; (3)设函数 g ( x ) ? f ' ( x ) ? a ( x ? x1 ) , x ? ( x1 , x 2 ) ,当 x 2 ? a 时, 求证: | g ( x ) |?
1 12 a (3 a ? 2 ) .
2

参考答案
一、填空题: 1. ? a ? b ,使得 a ? b ;
2 2

2. { 2 } ; 3.8; 4.6; 5.
39 3



6.-3; 7. ( ?? , ? 1] ? [ 3 , ?? ) ; 8.
5 4



9.③④; 10.
ar (1 ? r ) (1 ? r )
n n

?1



11.3; 12.①③④; 13.4; 14. ( ?? , ?
1 2 ) ? ( 0 , ?? ) .

二.解答题: 15.解: (1)∵ A ? ( ?? , ? 2 ] ? [ 7 , ?? ) ,………………………………………………2 分
B ? ( ? 4 , ? 3 ) ,………………………………………………4 分

∴ A ? B ? ( ? 4 , ? 3 ) .………………………………………………6 分 (2) ∵ A ? C ? A ∴ C ? A .………………………………………………8 分 ① C ? ? , 2 m ? 1 ? m ? 1 ,∴ m ? 2 .……………………………………9 分
? m ? 2 ? m ? 2 ?m ? 1 ? 7

② C ? ? ,则 ?

?2m ? 1 ? ?2

或?

.……………………………12 分

∴ m ? 6 .………………………………………………13 分 综上, m ? 2 或 m ? 6 …………………………14 分 16.解: (1)∵S3=9+3 2,∴a2=3+ 2,∴d=2…………………………………2 分

∴an= 1 ?

2 ? ( n ? 1) ? 2 ? 2 n ?
2 ? 2n ? 2
Sn n

2 ? 1 ,………………………4 分

Sn ?

n ? (1 ?

2 ? 1)

? n

2

?

2 n .…………………6 分

(2)∵ b n ?

? n?

2 …………………7 分

假设数列{bn}存在不同的三项 b p , b q , b m 成等比数列 ∴ b q = b p ? b m ,…………………9 分 ∴ (q ?
2

2

2)

2

? (p ?

2 ) ? (m ?

2)

∴ q ? 2 2 q ? pm ?

2 ? ( p ? m ) …………………10 分

? q 2 ? pm ∴? ,…………………………………12 分 ?2q ? p ? m

∴ ( p ? m ) ? 0 ,即 p ? m 与 p ? m 矛盾,
2

∴ 数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.…………………14 分 17.解:(1)设 x ? ( 0 ,1] ,则 ? x ? [ ? 1, 0 ) ,…………………1 分
f ( ? x ) ? ? 2 ax ? 1 x
2

…………………3 分

∵ f ( x ) 是奇函数 ∴ f ( x ) ? ? f ( ? x ) …………………5 分 ∴ f ( x ) ? 2 ax ?
1 x
2

, x ? ( 0 ,1] …………………7 分

(2) f ( x ) 在 ( 0 ,1 ] 上单调递增…………………8 分 ∵ f (x) ? 2a ?
/

2 x
3

…………………10 分

∵ a ? ? 1 , x ? ( 0 ,1] ∴a ?
/

1 x
3

? 0 …………………13 分

∴ f (x) ? 0 ∴ f ( x ) 在 ( 0 ,1 ] 上单调递增. …………………15 分

18.解: (1) ∵ f ( x ) ? sin 2 x ? ∴对称轴方程为 x ? (2) ∵ x ? ( 0 ,
?
3

3 co s 2 x ? 2 = 2 s in ( 2 x ?

?
3

) ? 2 ………………3 分

?
12

?

k? 2

, k ? Z .………………………………4 分
?(

?
2

)

2x ?

?
3

?
3

,

4? 3

)

∴ s in ( 2 x ?

) ? (?

3 2

,1]

∴ 2 sin( 2 x ?

?
3

) ? 2 ? (?

3 ? 2 , 4 ] ……………………………7 分

∵函数 g ( x ) ? f ( x ) ? m 有零点,即 f ( x ) ? ? m 有解.……………8 分 即 ? m ? ( ? 3 ? 2,4 ] (3) f ( x 0 ) ? 即 s in ( 2 x 0 ? ∵ x0 ? (
, 2 5 3 ) 2

m ? [?4,

3 ? 2 ) . ……………9 分
2 5

即 2 s in ( 2 x 0 ?
4 5

?
3

)?2 ?

?

)? ?

……10 分 ∴ 2 x0 ?
?
3 ?( 5? 6 , 4? 3 ) 4? 3 ) ……11 分

? ?
4

又∵ s in ( 2 x 0 ? ∴ co s(2 x0 ?
?
3

?
3

)? ? 3 5

4 5



∴ 2 x0 ?

?
3

? (? ,

)? ?

………………………………………………12 分
?
3 )?

∴ sin ( 2 x 0 ) = s in [( 2 x 0 ? = s in ( 2 x 0 ?
4 5 3 3 ?4 10 1 2

?
3

] …………………………………13 分

?
3

) cos

?
3

? co s(2 x0 ?
3 2

?
3

) s in

?
3

= (?

)?

? (?

3 5

)?

=

.………………………………………………15 分
1 2

19.解: (1)∵ b 1 ? ∴
1 b n ?1 ? 1

, b n ? 1 ? b n ? b n ? b n ( b n ? 1) ,∴对任意的 n ? N *, b n ? 0 .
2

b n ( b n ? 1) 1 b1 1 b2
2

?

1 bn 1 b2

?

1 bn ?1 1

,即

1 bn ?1 1 bn

?

1 bn

?

1 b n ?1

.…………4 分

(2) T n ? (

?

)? (

?

)?? ? (

?

1 b n ?1

) ?

1 b1

?

1 b n ?1

? 2?

1 b n ?1

.…7 分

b3

∵ b n ? 1 ? b n ? b n ? 0 , ? b n ? 1 ? b n , ∴数列 { b n } 是单调递增数列.

∴数列{ T n }关于 n 递增. ∴ T n ? T 1 .……………………………10 分 ∵ b1 ?
1 2

,∴ b 2 ? b 1 ( b 1 ? 1) ?
1 b2 ? 2 3

3 4

∴ T1 ? 2 ?
2 3

……………………………12 分

∴Tn ?

∵ 3T n ? log ∴ log

2

m ? 5 ? 0 恒成立,∴ log

2

m ? 3T n ? 5 恒成立,

2

m ? ? 3 ……………………………14 分
1 8

∴0 ? m ?

.……………………………16 分

20.解: (1)∵ f ( x ) ? ax ? bx
3

2

? a x (a ? 0) ,
2

∴ f ? ( x ) ? 3 ax

2

? 2 bx ? a ( a ? 0 )
2
2

依题意有-1 和 2 是方程 3 ax

? 2 bx ? a

2

? 0 的两根

2b ? 1? ? ? ? 3a ∴? , ……………………………3 分 . ?? 2 ? ? a ? 3 ?
?a ? 6 ?b ? ? 9

解得 ? 分

,∴ f ( x ) ? 6 x ? 9 x ? 36 x . (经检验,适合) ……………………4 .
3 2

(2)∵ f ? ( x ) ? 3 ax

2

? 2 bx ? a ( a ? 0 ) ,
2

依题意, x 1 , x 2 是方程 f ? ( x ) ? 0 的两个根,∵ x 1 x 2 ? ? ∴ ( x 1 ? x 2 ) ? 8 .……………………………6 分
2

a 3

? 0 且 | x1 | ? | x 2 |? 2

2 ,

∴ (?

2b 3a

) ?
2

4a 3

? 8 ,∴ b

2

? 3a (6 ? a ) .
2

2 ∵ b ≥ 0 ∴ 0 ? a ≤ 6 .……………………………7 分

设 p ( a ) ? 3 a (6 ? a ) ,则 p ? ( a ) ? ? 9 a ? 3 6 a .
2
2

由 p ? ( a ) ? 0 得 0 ? a ? 4 ,由 p ? ( a ) ? 0 得 a ? 4 .………………………8 分

即:函数 p ( a ) 在区间 ( 0 , 4 ] 上是增函数,在区间 [ 4 , 6 ] 上是减函数, ∴当 a ? 4 时, p ( a ) 有极大值为 96,∴ p ( a ) 在 ( 0 , 6 ] 上的最大值是 96, ∴ b 的最大值为 4 6 . ……………………………9 分 (3)证明:∵ x 1 , x 2 是方程 f ' ( x ) ? 0 的两根, ∴ f ' ( x ) ? 3 a ( x ? x1 )( x ? x 2 ) . .………………………10 分 ∵ x1 ? x 2 ? ?
a 3

, x 2 ? a ,∴ x 1 ? ?
1 3

1 3


1 3 ) |? | a ( x ? 1 3 1 3 )( ? 3 x ? 3 a ? 1 ) ………13 分 )[ 3 ( x ? a ) ? 1] | ………12 分

∴ | g ( x ) |? | 3 a ( x ?

)( x ? a ) ? a ( x ? 1 3

∵ x 1 ? x ? x 2 ,即 ?

? x ? a . ∴ | g ( x ) |? a ( x ?

| g ( x) | ? ?3a ( x ?

1 3

)( x ?

3a ? 1 3

) ? ?3a ( x ?

a 2

) ?
2

3a 4

3

?a ?
2

1 3

a ……14 分



3a 4

3

?a ?
2

1 3

a ?

a (3 a ? 2 ) 12

2



∴| g ( x) | ≤

a 12

(3 a ? 2 ) 成立. ……………………………16 分
2


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