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上海市徐汇区2012届高三上学期期末学习能力诊断数学(理)试题

时间:2012-01-21


上海市徐汇区 2012 届高三上学期期末学习能力诊断数学 (理)试题
(考试时间:120 分钟,满分 150 分) 2012.1 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的 空格内直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分。
1、函数 y = log 2 ( x ? m) + 1 的反函数的图象经过点 (1,3) ,则实数 m = 2、若全集 U = x | x ? 1 < 3, x ∈ Z , A = {1, 2,3} , CU B = {?1,3} ,则 A ∩ B = 3、从一堆苹果中任取 5 只,称得它们的质量分别为(单位:克) 125 、 124 、

{

}

122 、 123 、 126 ,则该样本方差 s 2 =
4、已知 tan( x +

π
4

) = 2 ,则

tan x 的值为 tan 2 x

5、根据右图所示的程序框图,输出结果 i = 6、投掷两颗骰子,得到其向上的点数分别为 m 和 n ,则复数

z = ( m + ni )( n ? 4mi ) ( i 是虚数单位)为实数的概率为
(结果用最简分数表示) 7、若 ( x + 系数为 8、已知函数 f ( x) = x 2 ? 1 的定义域为 D ,值域为 {?1, 0,1,3} ,试确定这样的集合 D 最多有 个 9、已知ΔABC 的角 A,B,C 所对的边分别是 a , b, c ,向量 m = ( a, b) , p = (b ? 2, a ? 2) , 若 m ⊥ p ,边长 c = 2 ,角 C =

1 n ) 的展开式中前三项的系数依次成等差数列,则展开式中 x 4 项的 2x

π
3

,则ΔABC 的面积是

10、已知函数 f ( x) = log a x + x ? b(a > 0, a ≠ 1) ,当 2 < a < 3 < b < 4 时,函 数 f ( x ) 的零点 x0 ∈ ( n, n + 1) ( n ∈ N * ) ,则 n =

A

N
11、已知各项为正数的等比数列 {an }满足 : a7 = a6 + 2a5 , 若存在两项 a 、an 使 m 得 am ? an = 2 2a1 ,则 1 + 4 的最小值为 m n 12、如图所示: ?ABC 中,点 O 是 BC 中点。过点 O 的直线分别交直线 AB 、

B

O

C

M

AC 于不同两点 M 、 N 。若 AB = m AM , AC = n AN ,则 m + n 的值为
对任意 x ∈ R , 都有 f ( x ? 2 ) = f ( x + 2), 且当 x ∈ [ ? 2 , 0 ] 13、 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数, 设

1 2 同的零点,则 a 的取值范围是

时, f ( x ) = ( ) x ? 1 。若函数 g ( x) = f ( x) ? log a ( x + 2) (a > 1) 在区间 ( ?2, 6] 恰有 3 个不

14、如图所示:矩形 An Bn Pn Qn 的一边 An Bn 在 x 轴上,另两个顶 点 Pn , Qn 在函数 f ( x) =

y 1

2x ( x > 0) 的图像上(其中点 Bn 的坐 1 + x2
*

Qn
1

Pn Bn

,矩形 An Bn Pn Qn 的面积记为 S n ,则 标为 ( n, 0 ) (n ≥ 2, n ∈ N ) )

O An

x

lim S n =
n →∞

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案, 考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一 律得零分。 1 15、设 a , b 为实数,则“ 0 < ab < 1 ”是“ b < ”的 ( ) a
(A)充分不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分又不必要条件

最小值为 0, 最小正周期为 16、 已知函数 y = A sin(ω x + ? ) + m 的最大值为 4, 是其图象的一条对称轴,则符合条件的函数解析式可以是 ( (A) y = 4sin(4 x + )

π π , 直线 x = 2 3

π ) 6 π (C) y = 2sin(2 x + ) + 2 3

π )+2 6 π (D) y = 2sin(4 x + ) + 2 3
(B) y = 2sin(4 x +

17、正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1,线段 B1 D1 上有两个动点 E , F ,若 EF = 则下列结论中错误的是( (A) AC ⊥ BE (C)三棱锥 A ? BEF 的体积为定值 ) (B) EF // 平面 ABCD

2 , 2

(D)直线 AE 与平面 A1 B1C1 D1 所成角为定值

? a11 ? 18 、 由 9 个互不相等的正数组成的矩阵 ? a 21 ?a ? 31

a12 a 22 a32

a13 ? ? a 23 ? 中,每行中的三个数成等差数列,且 a33 ? ?

a11 + a12 + a13 、 a 21 + a 22 + a 23 、 a 31 + a32 + a33 成 等 比 数 列 , 下 列 四 个 判 断 正 确 的
有……………………( ) ①第 2 列 a12 , a 22 , a32 必成等比数列 ③ a12 + a32 > a21 + a23 ②第 1 列 a11 , a 21 , a31 不一定成等比数列 ④若 9 个数之和等于 9,则 a22 < 1

(A)4 个

(B)3 个

(C)2 个

(D)1 个

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸 相应编号的规定区域内写出必要的步骤。 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 3 已知复数 z1 = 。 + ( a 2 ? 3) i , z2 = 2 + (3a + 1)i ( a ∈ R , i 是虚数单位) a+2
(1)若复数 z1 ? z2 在复平面上对应点落在第一象限,求实数 a 的取值范围; (2)若虚数 z1 是实系数一元二次方程 x 2 ? 6 x + m = 0 的根,求实数 m 的值.

20.(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分.
如 图 , 已 知 PA ⊥ 平 面 ABC , AC ⊥ AB , AP = BC = 2 , ∠CBA = 30° , D , E 分别是 BC , AP 的中点. (1)求异面直线 AC 与 ED 所成的角的大小; (2)求 ?PDE 绕直线 PA 旋转一周所构成的旋转体的体积. P

E

A

B

C

D

21、 (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6

分.
为保护环境,某单位采用新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品。已知该单 位每月的处理量最多不超过 300 吨,月处理成本 y (元)与月处理量 x (吨)之间的函数关 系式可近似的表示为: y = x 2 ? 200 x + 40000 ,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工 产品价值为 300 元。 (1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?

(2)要保证该单位每月不亏损,则每月处理量应控制在什么范围?

22、(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 8 分, 第 3 小题满分 6 分.
2 3 1 设 a ∈ R , 把三阶行列式 x + a 4 4 2 1 5 0 中第一行第二列元素的余子式记为 f ( x ) ,且关 x

于 x 的不等式 f ( x ) < 0 的解集为 ( ?2, 0) 。 各项均为正数的数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 点列

( an , S n ) n ∈ N * ) 在函数 y = f ( x) 的图象上。 (
(1)求函数 y = f ( x) 的解析式; (2)若 bn = k 2 (k > 0) ,求 lim
an

n →∞

2bn ? 1 的值; bn + 2

(3)令 cn = ?

?an , n为奇数 ? ,求数列 {cn } 的前 2012 项中满足 cm = 6 的所有项数之和. ?c2 , n为偶数 ? n

23、 (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 6

分, 第 3 小题满分 7 分.
对定义在区间 D 上的函数 f ( x ) ,若存在闭区间 [ a, b ] ? D 和常数 C ,使得对任意的

x ∈ [ a, b] 都有 f ( x ) = C ,且对任意的 x ? [ a, b] 都有 f ( x ) > C 恒成立,则称函数 f ( x ) 为
区间 D 上的“U 型”函数。 (1)求证:函数 f ( x) = x ? 1 + x ? 3 是 R 上的“U 型”函数; (2)设 f ( x ) 是(1)中的“U 型”函数,若不等式 t ? 1 + t ? 2 ≤ f ( x) 对一切的 x ∈ R

恒成立, 求实数 t 的取值范围; (3)若函数 g ( x) = mx +

x 2 + 2 x + n 是区间 [ ?2, +∞ ) 上的“U 型”函数,求实数 m 和

n 的值.

流水号

上海市徐汇区 2012 届高三上学期期末学习能力诊断数学 (理) 答题卷 2012.1

题号 满分 得分

一 56

二 20

19 12

20 12

21 14

22 18

23 18

总分 150

请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 一、填空题(本大题共 14 题,每题 4 分,满分 56 分) 1. 4. 7. 10. 13. 2. __ 5. __ 8. 11. 14. _ _ 3. 6. 9. 12.

二、选择题(本大题共 4 题,每题 5 分,满分 20 分)本大题必须使用 2B 铅笔填涂 15.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 16.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 17.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 18.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 三、解答题(本大题共 5 题,满分 74 分)

19.[解] (1)

(2)

20.[解] (1)

P

E

A

B

(2)

C

D

21.[解] (1)

(2)

22.[解] (1)

(2)

(3)

23.[解] (1)

(2)

(3)

参考答案及评分标准(2012.1)
一、
1、2 8、27

填空题:
2、 {1, 2} 9、 3 3、 10、2

5 2

4 9 11 11、 6
4、 18、A

5、8 12、2

6、

1 12

7、7 14、2

3 13、 ( 4 , 2)

二、选择题:
15、D 16、B 17、D

三、解答题:
? 3 ? 19、解: (1)由条件得, z1 ? z2 = ? ? 2 ? + ( a 2 ? 3a ? 4 ) i ……………………2 分 ?a+2 ?
? 3 ? 2 > 0, ? 因为 z1 ? z2 在复平面上对应点落在第一象限, 故有 ? a + 2 …………………………4 ? a 2 ? 3a ? 4 > 0 ?


1 ? 2a + 1 ? < 0, ? ? ?2 < a < ? , ?? ?? a+2 2 ? ?2 < a < ?1 …………………………6 分 ?( a ? 4)( a + 1) > 0, ?a < ?1或a > 4 ? ?
(2)因为虚数 z1 是实系数一元二次方程 x 2 ? 6 x + m = 0 的根 所以 z1 + z1 =

6 = 6 ,即 a = ?1 ,…………………………8 分 a+2

把 a = ?1 代入,则 z1 = 3 ? 2i, z1 = 3 + 2i ,…………………………10 分 所以 m = z1 ? z1 = 13 …………………………12 分 P

20、 (1)解法一:取 AB 中点 F ,连接 DF , EF ,则 AC // DF ,
所以 ∠EDF 就是异面直线 AC 与 PB 所成的角.…2 分 由已知, AC = EA = AD = 1 , AB = 3 , PB = 7 , ∵ AC ⊥ EF , ∴ DF ⊥ EF .…………………………4 分

E

A F 1 2 在 Rt?EFD 中, DF = , ED = 2 , cos ∠EDF = . D 2 4 C 2 所以异面直线 AC 与 ED 所成的角为 arccos ( arctan 7 ) .………………6 分 4

B

1 3 解法二:如图所示建立空间直角坐标系, C (1 , 0 , 0) , D ( , ,) , 0 2 2 1 3 E (0 , 0 , 1 ) , AC = (1 , 0 , 0 ) , ED = ( , , ? 1) ………2 分 2 2
P E
A B

1 2 cos θ = 2 = , …………………………………4 分 4 2
所以异面直线 AC 与 ED 所成的角为 arccos

2 .………6 分 4

(2) ?PDE 绕直线 PA 旋转一周所构成的旋转体,是以 AD 为底面半径、 AP 为高的 圆锥中挖去一个以 AD 为底面半径、 AE 为高的小圆锥, 1 1 1 体积 V = π ? 1 ? 2 ? π ? 1 ? 1 = π .……………………12 分 3 3 3

21、 (1) 解: 由题意可知, 二氧化碳的每吨平均处理成本为
……………………4 分 因为 x +

y 40000 = x+ ? 200, x ∈ ( 0,300] x x

40000 40000 ? 200 ≥ 2 x ? ? 200 = 200 ,…………………………6 分 x x
40000 ,即 x = 200 时,才能使每吨的平均处理成本最低。………8 分 x

当且仅当 x =

(2)设该单位每月获利为 S(元) ,则

S = 300 x ? y = 300 x ? ( x 2 ? 200 x + 40000) = ? x 2 + 500 x ? 40000 ≥ 0 ………10 分
即 100 ≤ x ≤ 400 ……………12 分 由题意可知 0 < x ≤ 300 ,所以当 100 ≤ x ≤ 300 时,该单位每月不亏损……………14 分

22、解: (1)由条件可知, f ( x) =

1 2 x + ax ……………2 分 4 1 因为关于 x 的不等式 f ( x ) < 0 的解集为 ( ?2, 0) ,所以 a = ……………3 分 2 1 1 即函数 y = f ( x) 的解析式为 f ( x) = x 2 + x ……………4 分 4 2 1 1 (2)因为点列 ( an , S n ) n ∈ N * ) 在函数 y = f ( x) 的图象上,所以 S n = an 2 + an ( 4 2 1 2 1 1 2 1 n = 1 代入,a1 = S1 = a1 + a1 , a1 ? a1 = 0, 因为 a1 > 0 , 即 所以 a1 = 2 ; …………… 4 2 4 2 1 2 1 1 1 an + an ? an ?12 ? an ?1 , 4 2 4 2

6分 当 n ≥ 2 时, an = S n ? S n ?1 =

化简得: ( an + an?1 )(an ? an ?1 ? 2) = 0 ……………7 分 因为 an > 0, 所以 an ? an ?1 = 2 , 即数列 {an } 为等差数列, an = 2 n ( n ∈ N * ) 。 且 …………… 9分

则 bn = k

an 2

? 1 ?? 2 , 0 < k < 1 ? 2bn ? 1 2k n ? 1 ? 1 n = lim n = ? ,k =1 。……………12 分 = k ,所以 lim n →∞ b + 2 n →∞ k + 2 n ?3 ?2, k > 1 ? ?

(3)在数列 {cn } 的前 2012 项中

n 为奇数时, cm = am = 2m = 6 ,所以 m = 3 ……………14 分

n 为偶数时,要满足 cm = 6 ,则 m = 3 ? 2t (t ≤ 9, t ∈ N * ) ……………16 分
2 9 所以,满足 cm = 6 的所有项数之和为 3 + 3 ? 2 + 3 ? 2 + ? + 3 ? 2 = 3069 ……………18 分

23、解: (1)当 x ∈ [1,3] 时, f1 ( x) = x ? 1 + 3 ? x = 2
当 x ? [1,3] 时, f1 ( x) =| x ? 1| + | x ? 3 |>| x ? 1 + 3 ? x |= 2 故存在闭区间 [ a, b ] = [1,3] ? R 和常数 C=2 符合条件,…………………………4 分 所以函数 f1 ( x) = x ? 1 + x ? 3 是 R 上的“U 型”函数…………………………5 分 (2)因为不等式 t ? 1 + t ? 2 ≤ f ( x) 对一切的 x ∈ R 恒成立, 所以 t ? 1 + t ? 2 ≤ f ( x) min …………………………7 分 由(1)可知 f ( x)min = ( x ?1 + x ? 3)min = 2 …………………8 分 所以 t ? 1 + t ? 2 ≤ 2, …………………………9 分 解得:

1 5 ≤ t ≤ …………………………11 分 2 2

(3)由“U 型”函数定义知,存在闭区间 [ a, b] ? [ ?2, +∞ ) 和常数 C ,使得对任意的

x ∈ [ a, b ] ,
都有 g ( x ) = mx +
2

x2 + 2x + n = C

即 x + 2 x + n = C ? mx 所以 x 2 + 2 x + n = (C ? mx ) 2 = m 2 x 2 ? 2Cmx + C 2 对任意的 x ∈ [ a, b] 成立…………… 13 分

?m2 = 1 ?m = 1 ?m = ?1 ? ? ? 所以 ??2Cm = 2 ? ?C = ?1或 ?C = 1 …………………………14 分 ?C 2 = n ?n = 1 ?n = 1 ? ? ?
①当 m = 1, C = ?1, n = 1 时, g ( x) = x + x + 1 当 x ∈ [ ?2, ?1] 时, g ( x) = x + x + 1 = x ? ( x + 1) = ?1 当 x ? [ ?2, ?1] ,即 x ∈ ( ?1, +∞ ) 时, g ( x) = 2 x + 1 > ?1 由题意知, m = 1, n = 1 符合条件…………………………16 分 ②当 m = ?1, C = 1, n = 1 时, g ( x) = ? x + x + 1 当 x ∈ [ ?2, ?1] 时, g ( x) = x + x + 1 = ? x ? ( x + 1) = ?2 x ? 1 > 1 当 x ? [ ?2, ?1] ,即 x ∈ ( ?1, +∞ ) 时, g ( x ) = ? x + x + 1 = 1 由题意知, m = ?1, n = 1 不符合条件 综上所述, m = 1, n = 1 …………………………18 分


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