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高二数学必修五

时间:2015-02-23


高中数学必修五 等差等比数列 基础知识点
(一)知识归纳: 1.概念与公式: ①等差数列:1°.定义:若数列 {an }满足an?1 ? an ? d (常数),则 {an } 称等差数列; 2°.通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d ? ak ? (n ? k )d ; 3°.前 n 项和公式:公式: S n ?

n(a1 ? a n ) n(n ? 1) ? na1 ? d. 2 2

② 等 比 数 列 : 1 ° . 定 义 若 数 列 {an }满足

an?1 , 则 {an } 称 等 比 数 列 ; 2 ° . 通 项 公 式 : ? q (常数) an

an ? a1q

n?1

? ak q

n ?k

a1 ? an q a1 (1 ? q n ) ? (q ? 1), 当 q=1 时 S n ? na1. ; 3°.前 n 项和公式: S n ? 1? q 1? q

2.简单性质: ①首尾项性质:设数列 {an } : a1 , a2 , a3 ,?, an , 1°.若 {an } 是等差数列,则 a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ?; 2°.若 {an } 是等比数列,则 a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ?. ②中项及性质: 1°.设 a,A,b 成等差数列,则 A 称 a、b 的等差中项,且 A ?

a?b ; 2

2°.设 a,G,b 成等比数列,则 G 称 a、b 的等比中项,且 G ? ? ab. ③设 p、q、r、s 为正整数,且 p ? q ? r ? s, 1°. 若 {an } 是等差数列,则 a p ? aq ? ar ? as ; 2°. 若 {an } 是等比数列,则 a p ? aq ? ar ? as ; ④顺次 n 项和性质:
n 2n 3n

1°.若 {an } 是公差为 d 的等差数列, 则

? ak ,
k ?1 n k ?1

k ? n ?1 2n

?

ak ,

k ? 2 n ?1 3n

?a

k

组成公差为 n2d 的等差数列;

2°. 若 {an } 是公差为 q 的等比数列, 则 偶数时这个结论不成立) ⑤若 {an } 是等比数列, 地址:福州市鼓楼区福新路

? ak ,

k ? n ?1

?

ak ,

k ? 2 n ?1

?a

k

组成公差为 qn 的等比数列.(注意:当 q=-1,n 为

1

没有人能让我输,除非我不想赢

则顺次 n 项的乘积: a1a2 ?an , an?1an?2 ?a2n , a2n?1a2n?2 ?a3n 组成公比这 q n 的等比数列. ⑥若 {an } 是公差为 d 的等差数列, 1°.若 n 为奇数,则 S n ? na中且S 奇 ? S 偶 ? a中 (注 : a中指中项,即a中 ? a n?1 , 而 S 奇、S 偶指所有奇数项、所有偶
2

2

数项的和) ; 2°.若 n 为偶数,则 S 偶 ? S 奇 ?

nd . 2

二、巩固习题
一、 选择题 1、如果一个数列既是等差数列,又是等比数列,则此数列 (A)为常数数列 2.、在等差数列 (A) an (B)为非零的常数数列 (C)存在且唯一 (D)不存在 ( (D) an ) ( )

?an ?中, a1 ? 4 ,且 a1 , a5 , a13 成等比数列,则 ?an ?的通项公式为
(B) an

? 3n ? 1

? n?3

(C) an

? 3n ? 1或 an ? 4

? n ? 3 或 an ? 4
( )

3、已知 a, b, c 成等比数列,且 x, y 分别为 a 与 b 、 b 与 c 的等差中项,则

a c ? 的值为 x y

(A)

1 2

(B) ?

2

(C) 2

(D) 不确定

4、互不相等的三个正数 a, b, c 成等差数列, x 是 a,b 的等比中项, (A)成等差数列不成等比数列 (C)既成等差数列又成等比数列 5、已知数列

y 是 b,c 的等比中项,那么 x 2 , b 2 , y 2 三个数(



(B)成等比数列不成等差数列 (D)既不成等差数列,又不成等比数列 ( (D) an )

?an ?的前 n 项和为 S n , S2n?1 ? 4n 2 ? 2n ,则此数列的通项公式为
? 2n ? 2
2

(A) an 6、已知 ( z ? x)

(B) an

? 8n ? 2

(C) an

? 2 n?1

? n2 ? n
( )

? 4( x ? y)( y ? z) ,则
(B) x, y , z 成等比数列 (C)

(A) x, y , z 成等差数列

1 1 1 , , 成等差数列 x y z

(D)

1 1 1 , , 成等比数列 x y z
( )

7、数列

?an ?的前 n 项和 Sn ? a n ? 1 ,则关于数列 ?an ?的下列说法中,正确的个数有
②一定是等差数列,但不可能是等比数列 ⑤可能既是等差数列,又是等比数列 (D)1

①一定是等比数列,但不可能是等差数列 ④可能既不是等差数列,又不是等比数列 (A)4 8、数列 1 (B)3

③可能是等比数列,也可能是等差数列

(C)2

1 1 1 1 ,3 ,5 ,7 ,? ,前 n 项和为 2 4 8 16 1 1 1 2 2 (A) n ? n ? 1 (B) n ? n ?1 ? 2 2 2

( (C) n
2



?n?

1 ?1 2n

(D) n

2

?n?

1 2
n ?1

?

1 2
( )

9、若两个等差数列

?an ?、 ?bn ?的前 n 项和分别为 An

、 Bn ,且满足 2

An 4n ? 2 ? Bn 5n ? 5

,则

a5 ? a13 b5 ? b13

的值为

地址:福州市鼓楼区福新路

没有人能让我输,除非我不想赢

(A) 10、已知数列

7 9

(B)

8 7

(C)

19 20

(D)

7 8
( )

?an ?的前 n 项和为 Sn ? n 2 ? 5n ? 2 ,则数列 ?an ?的前 10 项和为
(B)58 (C)62 (D)60
n

(A)56 11、已知数列

?an ?的通项公式 an ? n ? 5 为, 从 ?an ?中依次取出第 3,9,27,…3 , …项,按原来的顺序排成一个新的数列,则此数列
( (B) 3
n

的前 n 项和为



n(3 n ? 13) (A) 2
12、下列命题中是真命题的是 A.数列

?5

3 n ? 10n ? 3 (C) 2

3 n ?1 ? 10n ? 3 (D) 2
( )

?an ?是等差数列的充要条件是 an ? pn ? q ( p ? 0 ) ?an ?的前 n 项和为 S n ? an2 ? bn ? a ,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列

B.已知一个数列 C.数列

?an ?是等比数列的充要条件 an ? abn?1 ?an ?的前 n 项和 Sn ? abn ? c (a ? 0, b ? 0, b ? 1) ,则此数列是等比数列的充要条件是 a ? c ? 0 ?an ?,公比 q ? 1 a5 , a7 , a8 ,成等差数列,则公比 q =
a1 ? a5 ? a17 a2 ? a6 ? a18
=

D.如果一个数列 二、填空题

13、各项都是正数的等比数列

14、已知等差数列

?an ?,公差 d ? 0 , a1 , a5 , a17 成等比数列,则
4

15、已知数列

?an ?满足 S n ? 1 ? 1 an ,则 an = ?an ?是公差 d 不为零的等差数列,数列 ?ab ?是公比为 q 的等比数列, b1 ? 1, b2 ? 10, b3 ? 46
n

16、在 2 和 30 之间插入两个正数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则插入的这两个数的等比中项为 二、 解答题 17、已知数列 ,求公比 q 及 bn 。

18、已知等差数列

?an ?的公差与等比数列 ?bn ?的公比相等,且都等于 d

(d ? 0, d ? 1) , a1 ? b1

, a3

? 3b3 , a5 ? 5b5 ,求 a n , bn 。

19、有四个数,其中前三个数成等比数列,其积为 216,后三个数成等差数列,其和为 36,求这四个数。

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3

没有人能让我输,除非我不想赢

20、已知

?an ?为等比数列, a3 ? 2, a2 ? a4 ? 20 ,求 ?an ? 的通项式。
3

21、数列

?an ? 的前 n 项和记为 Sn , a1 ? 1, an?1 ? 2Sn ?1? n ? 1? ?an ? 的通项公式;
?bn ? 的各项为正,其前 n 项和为 Tn ,且 T3 ? 15 ,又 a1 ? b1, a2 ? b2 , a3 ? b3 成等比数列,求 Tn

(Ⅰ)求

(Ⅱ)等差数列

22、已知数列

?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ?1(n ? N * ). ?an ? 的通项公式;
?bn ? 满足 4b ?1.4b ?1...4b ?1 ? (an ?1)b (n ? N ? ) ,证明: ?bn ? 是等差数列;
1 2 n n

(I)求数列

(II)若数列

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4

没有人能让我输,除非我不想赢


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