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高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用课件新人教A版必修4_图文

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1.6 三角函数模型的简单应用 三维目标 1.知识与技能 根据已知建立三角函数模型,掌握利用三角函数模型解决实际问题的方法. 2.过程与方法 经历根据实际问题选择数学模型、研究数学模型、解决实际问题的数学建模过程,体会“数形结合”与“函数与方程”的数学思想的应用. 3.情感、态度与价值观 培养学生的观察、分析、探究、归纳、概括能力以及运用图形、计算器等信息技术手段解决实际问题的能力,增强学生的应用意识. 重点难点 [重点] 精确模型的应用——由图像求解析式,由解析式研究图像及性质. [难点] 分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型,并调动相关学科的知识来解决问题.由图像求解析式时φ的确定. 教学建议 通过几何画板、动画等技术制作的媒体课件,直观说明生活中的三角函数例子, 并用多媒体反映图形的变化过程. 新课导入 [导入一] 生活中普遍存在着周期性变化的现象,如昼夜交替、四季轮回、潮涨潮落等,一切都 逃不过数学的眼睛!这节课我们就来学习如何用数学的眼睛洞察我们身边存在的周期 现象. [导入二] 在前面我们已经学习了三角函数的概念、图像与性质,特别研究了三角函数的周期 性.在现实生活中,如果某种变化着的现象具有周期性,那么它是否可以借助三角函 数来描述呢?面临一个实际问题,应当如何选择恰当的函数模型来刻画它呢? 预习探究 知识点 解答三角函数应用题的基本步骤 应用三角函数模型解决实际问题时,首先要把实际问题抽象为数学问题,通过分析它 的变化趋势确定它的周期,从而建立起适当的三角函数模型.解答三角函数应用题的 步骤可分为四步:审题、建模、解模、还原评价. (1)审题:先审清楚题目条件、要求,理解数学关系. (2)建模:在细心阅读与深入理解题意、分析题目条件(如周期性等)的基础上,引进数 学符号, 将试题中的非数学语言统统转化为数学语言, 然后根据题意, 列出数量关系, 即建立三角函数模型,这时要注意三角函数的定义域应符合实际问题要求,这样便将 实际问题转化成了数学问题. (3)解模:对建立的三角函数模型进行分析研究,运用三角函数的有关知识进行推理、 运算,使问题得到解决. (4)还原评价:把数学结论还原为实际问题的解答. 备课素材 运用三角函数模型解决问题的几种类型 (1)由图像求解析式.首先由图像确定解析式的基本形式,例如:y=Asin(ωx +φ),然 后根据图像特征确定解析式中的参数,在求解过程中还要结合函数性质与实际意义决 定判断数据是否满足要求. (2)由图像研究函数性质.观察分析函数图像,能解决单调性、奇偶性、对称性、周期 性、最值等问题. (3)利用三角函数研究实际问题.首先分析、归纳实际问题,抽象概括出数学模型,再 利用图像及性质解答数学问题,最后解答出实际问题. 考点类析 考点一 例1 三角函数模型在日常生活中的应用 [基础夯实型] 心脏在跳动时, 血压在增加或减小. 血压的最大值和最小值分别称为收缩压 和舒张压, 血压计上的读数就是收缩压和舒张压, 读数 120/80 mmHg 为标准值. 设 某人的血压满足函数关系式 P(t)=115+25sin 160π t,其中 P(t)为血压(mmHg),t 为时间(min). (1)求函数 P(t)的周期; (2)求此人每分钟心跳的次数; (3)求出此人的血压在血压计上的读数,并与标准值进行比较.(健康成年人的收缩 压和舒张压一般为 120~140 mmHg 和 60~90 mmHg) 考点类析 2π 2π 1 解:(1)根据公式 T= ,可得 T= =80. ω 160π 1 (2)根据公式 f=T,可得 f=80,即此人每分钟心跳的次数是 80. (3)函数 P(t)=115+25sin 160π t 的最大值是 115+25=140,最小值是 115-25 =90,即此人的血压为 140/90 mmHg,与标准值相比较偏高一点. 考点类析 例2 温州市区有一著名景点——江心屿,江心屿上面有座寺庙——江心寺,江心寺 中题着一副非常知名的对联.上联:云朝朝 朝朝朝 朝朝朝散;下联:潮长长 长长 长 长长长消.该对联巧妙地运用了叠字诗展现了瓯江潮水涨落的壮阔画面.下面是 瓯江江心屿码头在某年某个季节每天的时间与水深的关系表: 时间 水深/米 0 5 1 3 6 5 8 9 12 5 15 7.5 18 5 21 2.5 24 5 6.25 7.5 2.84 2.5 (1)仔细观察表格中的数据,你能从中得到什么信息? (2)以时间为横坐标,以水深为纵坐标建立平面直角坐标系,将上面表格中的数据的 对应点描在直角坐标系中,你能得到什么结论? 考点类析 解:(1)观察数据,发现水深最大值是 7.5 米,最小值为 2.5 米.水的深度由 5 米 增加到 7.5 米, 后逐渐减少到 2.5 米,又开始逐渐增加, 增加到 7.5 米后,又 开始减少. (2)如图所示. 由图像知,该图像与三角函数模型 y=Asin(ωx+φ)+k 相似,可求得 k=5,T= π πx 12,ω = 6 ,φ =0,A=2.5,∴水深与时间的函数关系式为 y=2.5sin 6 +5. 考点类析 考点二 例3 三角函数模型在物理学中的应用 [重点探究型] 大风车的叶轮最高顶点离地面 14.5 m,风车叶轮直径为 14 m,叶轮以每分钟 2 周的速度逆时针匀速转动,叶轮顶点从最初点经 16 s 后到达最高点,将叶轮离地面 高度 y(m)与叶轮转的时间 t(s)建立一个数学模型, 用函数 y=asin[ω(t-b)]+c 来表示, 则其解析式为____________________. 考点类析 [答案] ?π ? ? y=7sin? (t-8.5)? ?+7.5 ?15 ? ω 2 1 1 [解析] 风车叶轮每分钟旋转 2 周,即 f=60=30,又 f=T,∴f= ,

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