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2018版高中数学第一章解三角形1.1.1正弦定理(二)学案新人教B版必修5

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1.1.1 学习目标 正弦定理(二) 1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.2.能根据条件, 判断三角形解的个数.3.能利用正弦定理、三角变换解决较为复杂的三角形问题. 知识点一 正弦定理的常见变形 1.sin A∶sin B∶sin C=________; 2. b c a+b+c = = = =______; sin A sin B sin C sin A+sin B+sin C a 3.a=__________,b=____________,c=__________; 4.sin A=__________,sin B=________,sin C=__________. 知识点二 判断三角形解的个数 思考 1 在△ABC 中,a=9,b=10,A=60°,判断三角形解的个数. 梳理 已知三角形的两边及其中一边的对角,三角形解的个数并不一定唯一. 例如在△ABC 中,已知 a,b 及 A 的值.由正弦定理 = ,可求得 sin B= sin A sin B a b bsin A . a 在由 sin B 求 B 时,如果 a>b,则有 A>B,所以 B 为锐角,此时 B 的值唯一;如果 a<b,则有 A<B,所以 B 为锐角或钝角,此时 B 的值有两个. 思考 2 已知三角形的两边及其夹角,为什么不必考虑解的个数? 梳理 解三角形 4 个基本类型: (1)已知三边;(2)已知两边及其夹角;(3)已知两边及其一边对角;(4)已知一边两角. 1 其中只有类型(3)解的个数不确定. 知识点三 正弦定理在解决较为复杂的三角形问题中的作用 思考 1 在△ABC 中,已知 acos B=bcos A.你能把其中的边 a,b 化为用角表示吗(打算怎 么用上述条件)? 梳理 一个公式就是一座桥梁,可以连接等号两端.正弦定理的本质就是给出了三角形的边 与对角的正弦之间的联系. 所以正弦定理的主要功能就是把边化为对角的正弦或者反过来. 简 称边角互化. 思考 2 什么时候适合用正弦定理进行边角互化? 类型一 判断三角形解的个数 例 1 在△ABC 中,已知 a=1,b= 3,A=30°,解三角形. 引申探究 若 a= 3,b=1,B=120°,解三角形. 反思与感悟 已知两边和其中一边的对角解三角形时,首先求出另一边的对角的正弦值,根 据该正弦值求角时,要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值.或者根据 该正弦值(不等于 1 时)在 0°~180°范围内求角,一个锐角,一个钝角,只要不与三角形内 2 角和定理矛盾,就是所求. 跟踪训练 1 已知一三角形中 a=2 3,b=6,A=30°,判断三角形是否有解,若有解,解 该三角形. 类型二 利用正弦定理求最值或取值范围 例 2 在锐角△ABC 中,角 A,B,C 分别对应边 a,b,c,a=2bsin A,求 cos A+sin C 的 取值范围. 反思与感悟 解决三角形中的取值范围或最值问题: (1)先利用正弦定理理清三角形中元素间的关系或求出某些元素.(2)将所求最值或取值范围 的量表示成某一变量的函数(三角函数),从而转化为函数的值域或最值问题. 跟踪训练 2 在△ABC 中,若 C=2B,求 的取值范围. c b 类型三 正弦定理与三角变换的综合 例 3 已知△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a+c=2b,2cos 2B-8cos B +5=0,求角 B 的大小并判断△ABC 的形状. 3 反思与感悟 借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化,转化为角的关系后,常利用 三角变换公式进行变形、化简,确定角的大小或关系,继而判断三角形的形状、证明三角恒 等式. 跟踪训练 3 已知方程 x -(bcos A)x+acos B=0 的两根之积等于两根之和,其中 a、b 为 △ABC 的两边,A、B 为两内角,试判断这个三角形的形状. 2 1.在△ABC 中,AC= 6,BC=2,B=60°,则角 C 的值为( A.45° B.30° C.75° D.90° ) 2.在△ABC 中,若 = = ,则△ABC 是( cos A cos B cos C A.直角三角形 C.钝角三角形 B.等边三角形 D.等腰直角三角形 a b c ) 2sin A-sin B 3.在△ABC 中,若 a∶b∶c=1∶3∶5,求 的值. sin C 4 1.已知两边和其中一边的对角,求第三边和其他两个角,这时三角形解的情况可能无解,也 可能一解或两解.首先求出另一边的对角的正弦值,当正弦值大于 1 或小于 0 时,这时三角 形解的情况为无解;当正弦值大于 0 小于 1 时,再根据已知两边的大小情况来确定该角有一 个值还是两个值. 2. 判断三角形的形状, 最终目的是判断三角形是不是特殊三角形, 当所给条件含有边和角时, 应利用正弦定理将条件统一为“边”之间的关系式或“角”之间的关系式. 5 答案精析 问题导学 知识点一 1.a∶b∶c 2.2R 3.2Rsin A 2Rsin B 4. 2Rsin C a b c 2R 2R 2R 知识点二 b 10 3 5 3 思考 1 sin B= sin A= × = , a 9 2 9 而 3 5 3 < <1,所以当 B 为锐角时, 2 9 5 3 满足 sin B= 的角有 60°<B<90°, 9 故对应的钝角 B 有 90°<B<120°, 也满足 A+B<180°,故三角形有两解. 思考 2 如果两个三角形有两边及其夹角分别相等,则这两个三角形全等.即三角形的两边 及其夹角确定时,三角形的六个元素即可完全确定,故不必考虑解的个数的问题. 知识点三 思考 1 可借助正弦定理把边化成角: 2Rsin Acos B=2Rsin Bcos A,移项后就是一个三角恒等变换公式 sin Ac

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