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2.2.3直线与平面平行的性质

时间:2011-03-23


学校:临清实验高中 学科:数学 编写人:于凌云 审稿人:邢玉兰 王桂强

2、2、3
【教学目标】

直线与平面平行的性质教案

1、探究直线与平面平行的性质定理; 2、体会直线与平面平行的性质定理的应用; 3、通过线线平行与线面平行转化,培养学生的学习兴趣. 【教学重难点】 重点 通过直观感知、提出猜想进而操作确认,获得直线与平面平行的性质定理. 难点 综合应用线面平行的判定定理和性质定理进行线线平行与线面平行的相互转化. 【教学过程】 1、提出问题:木工小罗在处理如图所示的一块木料时,发现该木料表面 ABCD 内有一 条裂纹 DP,已知 BC∥平面 AC.他打算经过点 P 和 BC 将木料锯开,却不知如何画线,你 能帮助他解决这个问 题吗? D′ A′ D A B P· B ′ C C′

2、探索: 1) 两条直线平行的条件是什么? 2) 平行于平面的一条直线与该平面内的直线的位置关系有几种可能? 3) 平行于平面的一条直线与该平面内一条直线平行,需附加什么条件? 4) 平面内的这条直线具有什么特殊地位?
[来源:学&科&网]

3、发现: 1) 两直线平行的条件是: ?在同一平面内; ? ?无公共点 2) 平行于平面的一条直线与该平面内的直线无公共点,位置关系有两种:平行或异面; 3) 平行于平面的一条直线与该平面内一条直线平行, 需附加条件: 它们在同一平面 ? ) ( 内; 4) 平面内的这条直线是这个平面与过已知直线的平面( ? )的交线. 4、提出猜想: 1) 由以上的探索与发现你能得出怎样的结论? 2) 你能否用数学符号语言描述你所发现的结论? 3) 可否画出符合你的结论的图形? 4) 你能否对你发现的结论给出严格的逻辑证明? 5、直线与平面平行的性质定理: 1)文字叙述 一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.

2)符号语言描述

? ? a?? ? ? a // b ? ? ? ? b? ?
3)图形语言描述 如右图.

a // ?

β

a

α

b

定理探微: 1)定理 可以作为直线与直线平行的判定方法; 2)定理中三个条件缺一不可; 3)提供了过已知平面内一点作与该平面的平行线相平行的直线的方法,即:辅助平面 法. 6、定理应用举例: 例 1.引入问题解决: 探索: 1)怎样确定截面(由哪些条件确定)? 2)过 P 点所画的线有什么特殊意义,具有什么性质,具体应怎样画?
[来源:学科网 ZXXK]

D′
[来源:学科网 ZXXK]

A′ D A

P· D B

B ′ C

C′

解:如图所示 变式训练 1: 如图:四面体 A-BCD 被一平面所截,截面 EFGH 是一个矩形, (1)求证:CD//平面 EFGH; A (2)求异面直线 AB、CD 所成的角。 证明: (1)∵截面 EFGH 是一个矩形, E ∴EF//GH,又 GH ? 平面 BCD H F B D ∴EF//平面 BCD,而 EF ? 平面 ACD,面 ACD∩面 BCD=CD G ∴EF// CD,∴CD//平面 EFGH C 解: (2)则(1)知 EF// CD,同理 AB//FG, 由异面直线所成角的定义知∠EFG 即为所求的角。 ∴AB、CD 所成的角为 90 ° 例 2.已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面,求证:另一条也平行于这 个平面。 探索: 1)已知是何种位置关系,结论又是何种位置关系? 2)证明线面平行的方法与关键是什么?

变式训练 2: .求证:如果一条直线和两个相交平面平行,那么这条直线和它们的交线 平行. 分析: 1)用数学符号语言描述上述命题,写出已知和求证; γ 2)用图形语言描述上述命题,即画出相应图形; δ a β 3)综合利用线面平行的性质 定理与判定定理解答本题. d α α α b c 已知:如图:a//α ,a//β ,α ∩β =b,求证:a//b α α α 解析: 证明: 本题可利用线面平行的性质定理来证明线线平行。 如图 2-28,过 a 作平面γ 、δ ,使得γ ∩α =c,δ ∩β =d,那么有

? ?? ? ? d ? ?? c ?? ? ? ? ? ? ? ? a // ? ? ? a // c ? ? c // d ? ? c // ? ? ? c // b ? ? a // b ? 同理a // d ? c ? ? ? ? ? ? ? b ? 同理a // c ? a ??? ? ? ? ?
点评: 本题证明过程,实际上就是不断交替使用线面平行的 判定定理、性质定理及公 理 4 的过程。这是证明线线平行的一种典型的思路。 结合例题探究发现: 直线与平面平行的性质定理和直线与平面平行的判定定理经常要综合使用,亦即是通 过线线平行推出线面平行, 再通过线面平行推出新的线线平行, 复杂的题目还可以继续推下 去. 反思总结:在使用中要注意一种思想和一种方法: 1) 转化的数学 思想 即线线平行与线面平行之间的相互转化,亦即空间问题与平面问题之间的相互转 化,这 也是解决立体几何问题的重要思想方法. 转化的关系如下: 判定 性质 线面平行 线线平行 线线平行 定理 定理

2) 辅助平面法 即构造辅助平面,以实现线线平行与线面平行间的相互转化. 【板书设计】 一、直线与平面平行的性质定理 二、例题 例1 变式 1 例2 变式 2 【作业布置】 教材 P68 1.习题 2.2(A 组)第 5、6 题;

2、2、3 直线与平面平行的性质学案
课前预习学案
一、预习目标: 探究直线与平面平行的性质定理; 二、预习内容: 阅读教材,结合思考内容,然后回答问题 思考: (1)如果一条直线 与平面平行,那么这条直线是否与这个平面内的所有直线平 行? (2)教室内日光灯管所在的直线与地面平行,如何在地面上作一条直线与灯管所 在的直线平行? 回答:<1>我们知道空间两直线的位置关系是平行、相交、异面,那么若一条直线与一 个平面平行,这条直线与平面内直线的位置关系如何呢? <2>用三种语言描述直线与平面平行的性质定理,并试着证明直线与平面平行的性质定 理. 三、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

课内探究学案
一、 学习目标 1、探究直线与平面平行的性质定理; 2、体会直线与平面平行的性质定理的应用;

3、通过线线平行与线面平行转化,培养学生的学习兴趣. 学习重点 通过直观感知、提出猜想进而操作确认,获得直线与平面平行的性质定理. 学习难点 综合应用线面平行的判定定理和性质定理进行线线平行与线面平行的相互 转化. 二、学习过程 提出问题:木工小罗在处理如图所示的一块木料时,发现该木料表面 ABCD 内有一条 裂纹 DP,已知 BC∥平面 AC.他打算经过点 P 和 BC 将木料锯开,却不知如何画线,你能 帮助他解决这个问题吗? D′ A′ D A B P· B ′ C C′

探索: 5) 两条直线平行的条件是什么? 6) 平行于平面的一条直线与该平面内的直线的位置关系有几种可能? 7) 平行于平面的一条直线与该平面内一条直线平行,需附加什么条件? 8) 平面内的这条直线具有什么特殊地位? 发现: 提出猜想: 5) 由以上的探索与发现你能得出怎样的结论? 6) 你能否用数学符号语言描述你所发现的结论? 7) 可否画出符合你的结论的图形? 8) 你能否对你发现的结论给出严格的逻辑证明? 形成经验 9) 直线与平面平行的性质定理: ①文字叙述: ②符号语言描述: ③图形语言描述 定理应用举例: 例 1.引入问题解决: 探索: 1)怎样确定截面(由哪些条件确定)? 2)过 P 点所画的线有什么特殊意义,具有什么性质,具体应怎样画? D′ A′ D A 解: P· D B B ′ C C′

变式训练 1: 如图:四面体 A-BCD 被一平面所截,截面 EFGH 是一个矩形, (1)求证:CD//平面 EFGH; A (2)求异面直线 AB、CD 所成的角。 E B
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H G

F C

D

例 2. .已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面,求证:另一条也平行于 这个平面。 探索: 1)已知是何种位置关系,结论又是何种位置关系? 2)证明线面平行的方法与关键是什么? 解: (略)

变式训练 2: .求证:如果一条直线和两个相交平面平行,那么这条直线和它们的交线 平行. 分析: 1)用数学符号语言描述上述命题,写出已知和求证; γ 2)用图形语言描述上述命题,即画出相应图形; δ a β 3)综合利用线面平行的性质定理与判定定理解答本题. d α 证明: α α b c α α α

结合例题探究发现: 反思总结:在使用中要注意一种思 想和一种方法: 1) 转化的数学思想 即线线平行与线面平行之间的相互转化,亦即空间问题与平面问题之间的相互转化,这 也是解决立体几何问题的重要思想方法. 转化的关系如下: 判定 性质 定理 定理 2) 辅助平面法 即构造辅助平面,以实现_____平行与_____平行间的相互转化. 当堂检测: 一、判断题: 1、如果 a 、b 是两条直线,并且 a∥b,那么 a 平行于过 b 的任何平面。( ) 2、如果直线 a 和平面 α 满足 a∥α,那么 a 与平面 α 内的任何直线平行。 ) ( 3、如果直线 a、b 和平面 α 满足 a∥α,b∥α,那么 a∥b。 ) ( 二、 .如图,已知异面直线 AB、CD 都与平面 ? 平行,CA、CB、DB、DA 分别交 ? 于 点 E、F、G、H.求证:四边形 EFGH 是平行四边形.
A B

α

E F

H

G

D C



课后练习与提高
一、选择题. 1.若直线 a 不平行于平面 α,则下列结论成立的是( A.α 内的所有直线都与直线 a 异面 B.α 内不存在与 a 平行的直线 C. α 内的直线都与 a 相交 D.直线 a 与平面 α 有公共点 2.直线 a∥平面 α,P∈α,过点 P 平行于 α 的直线( A.只有一条,不在平面 α 内 B.有无数条,不一定在 α 内
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)

)

C.只有一条,且在平面 α 内 D.有无数条,一定在 α 内 3.下列判断正确的是( ) A.a∥α,b α,则 a∥b B.a∩α=P,b α,则 a 与 b 不平行 C.a α,则 a∥α D.a∥α,b∥α,则 a∥b 二、填空题. 4、过平面外一点作一平面的平行线有 条. 5、 .若直线 a,b 都平行于平面 α,那么 a 与 b 的位置关系是



三、解答题. 6、三个平面两两相交有三条交线,如果其中两条交线平行,则第三条交线也和它们分 别平行. α a β b γ

c

参考答案:一、1、D 2、C 3、B 二、4、无数条 5、平行 相交 异面 三、6、略


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