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2016高考数学大一轮复习 12.5二项分布及其应用教师用书 理 苏教版

时间:2015-12-03


§12.5

二项分布及其应用

1.条件概率及其性质 (1)对于两个事件 A 和 B,在已知事件 B 发生的条件下,事件 A 发生的概率称为事件 B 发生的 条件下事件 A 的条件概率,用符号 P(A|B)来表示,其公式为 P(A|B)= 在古典概型中,若用 n(A)表示事件 A 中基本事件的个数,则 P(A|B)= (2)条件概率具有的性质: ①0≤P(A|B)≤1; ②如果 B 和 C 是两个互斥事件, 则 P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A). 2.事件的独立性 (1)对于事件 A、B,若 A 的发生与 B 的发生互不影响,则称事件 A、B 独立. (2)若 A 与 B 相互独立,则 P(B|A)=P(B),

P?AB? (P(B)>0). P?B? n?AB? . n?B?

P(AB)=P(B|A)P(A)=P(A)P(B).
(3)若 A 与 B 相互独立,则 A 与 B , A 与 B, A 与 B 也都相互独立. (4)若 P(AB)=P(A)P(B),则 A 与 B 相互独立. 3.二项分布 (1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的, 各次之间相互独立的一种试验, 在这种试 验中每一次试验只有 两 种结果,即要么发生,要么不发生,且任何一次试验中发生的概 率都是一样的. (2)在 n 次独立重复试验中, 用 X 表示事件 A 发生的次数, 设每次试验中事件 A 发生的概率为
k k n-k p, 则 P(X=k)=Cnp (1-p) (k=0,1,2, ?, n), 此时称随机变量 X 服从二项分布, 记为 X~

B(n,p),并称 p 为成功概率.
【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)条件概率一定不等于它的非条件概率.( × (2)相互独立事件就是互斥事件.( × ) )

(3)对于任意两个事件,公式 P(AB)=P(A)P(B)都成立.( × )
1

(4)二项分布是一个概率分布,其公式相当于(a+b) 二项展开式的通项公式,其中 a=p,b =1-p.( × ) (5)(教材习题改编)袋中有 5 个小球(3 白 2 黑), 现从袋中每次取一个球, 不放回地抽取两次, 则在第一次取到白球的条件下,第二次取到白球的概率是 0.5.( √ ) 1 (6)小王通过英语听力测试的概率是 ,他连续测试 3 次,那么其中恰好第 3 次测试获得通过 3 1 1 1 3-1 4 1 的概率是 P=C3·( ) ·(1- ) = .( × ) 3 3 9

n

1.把一枚硬币连续抛两次,记“第一次出现正面”为事件 A,“第二次出现正面”为事件 B, 则 P(B|A)等于 答案 1 2 .

1 P?AB? 4 1 解析 P(B|A)= = = . P?A? 1 2 2 2.如图,用 K、A1、A2 三类不同的元件连结成一个系统.当 K 正常工作且 A1、A2 至少有一个 正常工作时,系统正常工作.已知 K,A1,A2 正常工作的概率依次为 0.9,0.8,0.8,则系统 正常工作的概率为 .

答案 0.864 解析 方法一 由题意知 K,A1,A2 正常工作的概率分别为 P(K)=0.9,P(A1)=0.8,P(A2)= 0.8, ∵K,A1,A2 相互独立, ∴A1 , A2 至少有一个正常工作的概率为 P( A1 A2) + P(A1 A 2) + P(A1A2) = (1 -0.8)×0.8+ 0.8×(1-0.8)+0.8×0.8=0.96. ∴系统正常工作的概率为 P(K)[P( A1 A2)+P(A1 A 2)+P(A1A2)]=0.9×0.96=0.864. 方法二 A1,A2 至少有一个正常工作的概率为 1-P( A 故系统正常工作的概率为 P(K)[1-P( A
1 1

A 2)=1-(1-0.8)(1-0.8)=0.96,

A 2)]=0.9×0.96=0.864.

3.在 100 件产品中有 95 件合格品,5 件不合格品.现从中不放回地取两次,每次任取一件, 则在第一次取到不合格品后,第二次再取到不合格品的概率为 .
2

答案

4 99

解析 方法一 设 A={第一次取到不合格品},

B={第二次取到不合格品},则 P(AB)=
5×4

C5 2 , C100

2

P?AB? 100×99 4 所以 P(B|A)= = = . P?A? 5 99
100 方法二 第一次取到不合格品后还剩余 99 件产品, 其中有 4 件不合格品, 故第二次取到不合 4 格品的概率为 . 99 4. (2014·课标全国Ⅱ改编)某地区空气质量监测资料表明, 一天的空气质量为优良的概率是 0.75,连续两天为优良的概率是 0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量 为优良的概率是 答案 0.8 解析 已知连续两天为优良的概率是 0.6,那么在前一天空气质量为优良的前提下,要求随 0.6 后一天的空气质量为优良的概率,可根据条件概率公式,得 P= =0.8. 0.75 .

题型一 条件概率 例 1 (1)从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,事件 A 为“取到的 2 个数之和为偶数”,事件

B 为“取到的 2 个数均为偶数”,则 P(B|A)=

.

(2)如图所示,EFGH 是以 O 为圆心,半径为 1 的圆的内接正方形,将一 粒豆子随机地扔到该圆内, 用 A 表示事件“豆子落在正方形 EFGH 内”,

B 表示事件“豆子落在扇形 OHE(阴影部分)内”, 则 P(B|A)=
思维点拨 弄清 A,B 同时发生的事件,并求出其概率. 1 1 答案 (1) (2) 4 4 C3+C2 2 C2 1 解析 (1)P(A)= 2 = ,P(AB)= 2= , C5 5 C5 10
2 2 2

.

P?AB? 1 P(B|A)= = . P?A? 4
(2)AB 表示事件“豆子落在△OEH 内”,P(B|A)=

P?AB? △OEH的面积 1 = = . P?A? 正方形EFGH的面积 4

3

思维升华 条件概率的求法: (1)利用定义,分别求 P(A)和 P(AB),得 P(B|A)=

P?AB? .这是通用的求条件概率的方法. P?A?

(2)借助古典概型概率公式,先求事件 A 包含的基本事件数 n(A),再在事件 A 发生的条件下 求事件 B 包含的基本事件数,即 n(AB),得 P(B|A)=

n?AB? . n?A?

某市准备从 7 名报名者(其中男 4 人,女 3 人)中选 3 人参加三个副局长职务竞 选. (1)设所选 3 人中女副局长人数为 X,求 X 的概率分布; (2)若选派三个副局长依次到 A,B,C 三个局上任,求 A 局是男副局长的情况下,B 局为女副 局长的概率. 解 (1)X 所有可能的取值为 0,1,2,3,且

P(X=0)= 3= , P(X=1)=
C3C4 18 , 3 = C7 35
2 1 1 2

C4 4 C7 35

3

C3C4 12 P(X=2)= 3 = , C7 35

P(X=3)= 3= ,
所以随机变量 X 的概率分布是

C3 1 C7 35

3

X P

0 4 35

1 18 35

2 12 35

3 1 35
1 2

C4A6 4 (2)设事件 A 为“A 局是男副局长”,事件 B 为“B 局为女副局长”,则 P(A)= 3 = , A7 7

P(AB)=

C4C3C5 2 3 = , A7 7

1 1 1

则所求概率为 P(B|A)=

P?AB? 1 = . P?A? 2

题型二 相互独立事件的概率 例2 (2014·陕西)在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为 1 000 元,此作物的市场

价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表: 作物产量(kg) 概率 300 0.5 500 0.5

4

作物市场价格(元/kg) 概率

6 0.4

10 0.6

(1)设 X 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润,求 X 的概率分布; (2)若在这块地上连续 3 季种植此作物, 求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2 000 元的概率. 思维点拨 (1)分别求出对应的概率,即可求 X 的概率分布; (2)分别求出 3 季中有 2 季的利润不少于 2 000 元的概率和 3 季中利润不少于 2 000 元的概率, 利用概率相加即可得到结论. 解 (1)设 A 表示事件“作物产量为 300 kg”,B 表示事件“作物市场价格为 6 元/kg”,由 题设知 P(A)=0.5,P(B)=0.4, ∵利润=产量×市场价格-成本. ∴X 所有可能的取值为 500×10-1 000=4 000,500×6-1 000=2 000, 300×10-1 000=2 000,300×6-1 000=800. 则 P(X=4 000)=P( A )P( B )=(1-0.5)×(1-0.4) =0.3,

P(X=2 000)=P( A )P(B)+P(A)P( B )
=(1-0.5)×0.4+0.5×(1-0.4)=0.5,

P(X=800)=P(A)P(B)=0.5×0.4=0.2,
所以 X 的概率分布为

X P

800 0.2

2 000 0.5

4 000 0.3

(2)设 Ci 表示事件“第 i 季利润不少于 2 000 元”(i=1,2,3),由题意知 C1,C2,C3 相互独立, 由(1)知,

P(Ci)=P(X=4 000)+P(X=2 000)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3),
3 季的利润均不少于 2 000 元的概率为

P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=0.83=0.512;
3 季中有 2 季的利润不少于 2 000 元的概率为

P( C 1C2C3)+P(C1 C2 C3)+P(C1C2 C3 )
=3×0.8 ×0.2=0.384, 所以,这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2 000 元的概率为 0.512+0.384=0.896. 思维升华 解答此类问题:(1)首先判断几个事件的发生是否相互独立; (2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有 ①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.
5
2

②正面计算较繁或难以入手时,可从其对立事件入手计算. (2014·湖南改编)某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率 2 3 分别为 和 .现安排甲组研发新产品 A,乙组研发新产品 B.设甲、乙两组的研发相互独立. 3 5 (1)求至少有一种新产品研发成功的概率. (2)若新产品 A 研发成功,预计企业可获利润 120 万元;若新产品 B 研发成功,预计企业可获 利润 100 万元.求该企业可获利润的概率分布. 2 解 记 E={甲组研发新产品成功},F={乙组研发新产品成功}.由题设知 P(E)= ,P( E ) 3 1 3 = ,P(F)= , 3 5

P( F )= ,且事件 E 与 F,E 与 F , E 与 F, E 与 F 都相互独立.
(1)记 H={至少有一种新产品研发成功},则 H = E 2 = , 15 2 13 故所求的概率为 P(H)=1-P( H )=1- = . 15 15 (2)设企业可获利润为 X 万元,则 X 的可能取值为 0,100,120,220.因为 P(X=0)=P( E 1 2 2 = × = , 3 5 15

2 5

F ,于是 P( H )=P( E )P( F )= ×

1 3

2 5

F)

P(X=100)=P( E F)= × = , P(X=120)=P(E F )= × = , P(X=220)=P(EF)= × = ,
故所求的概率分布为 2 3 2 3 5 5 2 2 3 5 4 15

1 3 1 3 5 5

X P

0 2 15

100 1 5

120 4 15

220 2 5

题型三 独立重复试验与二项分布 例 3 (2014·四川)一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出 现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得 10 分,出现两次音 乐获得 20 分,出现三次音乐获得 100 分,没有出现音乐则扣除 200 分(即获得-200 分).设
6

1 每次击鼓出现音乐的概率为 ,且各次击鼓出现音乐相互独立. 2 (1)设每盘游戏获得的分数为 X,求 X 的概率分布. (2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少? (3)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比.分数没有增加反而减 少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因. 思维点拨 击鼓游戏为独立重复试验,“击鼓出现音乐”发生的概率服从二项分布. 解 (1)X 可能的取值为 10,20,100,-200. 根据题意,有
1 2 P(X=10)=C1 3×( ) ×(1- ) = ,

1 2 1 2

1 2 1 2

3 8 3 8

2 1 P(X=20)=C2 3×( ) ×(1- ) = ,

3 0 P(X=100)=C3 3×( ) ×(1- ) = ,

1 2

1 2

1 8

0 3 P(X=-200)=C0 3×( ) ×(1- ) = .

1 2

1 2

1 8

所以 X 的概率分布为

X P

10 3 8

20 3 8

100 1 8

-200 1 8

(2)设“第 i 盘游戏没有出现音乐”为事件 Ai(i=1,2,3),则

P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)= .
所以“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为 1 3 1 511 1-P(A1A2A3)=1-( ) =1- = . 8 512 512 511 因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是 . 512 (3)X 的均值为

1 8

E(X)=10× +20× +100× -200× =- .
这表明,获得分数 X 的均值为负, 因此,多次游戏之后分数减少的可能性更大. 思维升华 利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程,但需要注意检查该概率模型 是否满足公式 P(X=k)=Cnp (1-p)
k k n-k

3 8

3 8

1 8

1 8

5 4

的三个条件: ①在一次试验中某事件 A 发生的概率是一

个常数 p; ②n 次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验, 而且各次试验的结果是相
7

互独立的;③该公式表示 n 次试验中事件 A 恰好发生了 k 次的概率. (2013·山东)甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜 3 局者获得比赛的胜利, 1 2 比赛随即结束. 除第五局甲队获胜的概率是 外, 其余每局比赛甲队获胜的概率都是 .假设各 2 3 局比赛结果相互独立. (1)分别求甲队以 3∶0,3∶1,3∶2 胜利的概率; (2)若比赛结果为 3∶0 或 3∶1,则胜利方得 3 分,对方得 0 分;若比赛结果为 3∶2,则胜利 方得 2 分,对方得 1 分.求乙队得分 X 的概率分布及均值. 解 (1)设“甲队以 3∶0,3∶1,3∶2 胜利”分别为事件 A,B,C, 2 2 2 8 则 P(A)= × × = , 3 3 3 27
2 P(B)=C2 , 3? ? ×?1- ?× = 3 3

?2? ? ? ?2? ? ?

? ? ? ?

2? 2 ? 3 2?

8 27

2 2 P(C)=C2 . 4? ? ×?1- ? × = 3 3

?

1 2

4 27

(2)X 的可能的取值为 0,1,2,3. 16 则 P(X=0)=P(A)+P(B)= , 27

P(X=1)=P(C)= ,
2 2 P(X=2)=C2 , 4×?1- ? ×? ? ×?1- ?= 3 3 2

4 27

? ?

2?

?

?2? ? ?
2 3

? ?

1?

4

? 27

2 P(X=3)=? ?3+C2 3? ? × × = . 3 3

?1? ? ?

?1? ? ?

1 1 3 9

∴X 的概率分布为

X P

0 16 27

1 4 27

2 4 27

3 1 9

16 4 4 1 7 ∴E(X)=0× +1× +2× +3× = . 27 27 27 9 9

独立事件概率求解中的易误点 2 典例:(14 分)某射手每次射击击中目标的概率是 ,且各次射击的结果互不影响. 3 (1)假设这名射手射击 5 次,求恰有 2 次击中目标的概率; (2)假设这名射手射击 5 次,求有 3 次连续击中目标,另外 2 次未击中目标的概率;
8

(3)假设这名射手射击 3 次, 每次射击, 击中目标得 1 分, 未击中目标得 0 分. 在 3 次射击中, 若有 2 次连续击中,而另外 1 次未击中,则额外加 1 分;若 3 次全击中,则额外加 3 分.记 ξ 为射手射击 3 次后的总分数,求 ξ 的概率分布. 易错分析 解本题第(2)问易因不明独立事件与独立重复试验的区别, 误认为是 n 次独立重复 1 2 80 3 2 3 试验,可导致求得 P=C5( ) ×( ) = 这一错误结果. 3 3 243 规范解答 解 (1)设 X 为射手在 5 次射击中击中目标的次数,

? 2? 则 X~B?5, ?.在 5 次射击中,恰有 2 次击中目标的概率为 ? 3?
2 3 P(X=2)=C2 5×? ? ×?1- ? = 3 3

?2? ? ?

? ?

2?

?

40 .[3 分] 243

(2)设“第 i 次射击击中目标”为事件 Ai(i=1,2,3,4,5),“射手在 5 次射击中,有 3 次连 续击中目标,另外 2 次未击中目标”为事件 A,则

P(A)=P(A1A2A3 A 4 A 5)+P( A 1A2A3A4 A 5)
+P( A
1

A 2A3A4A5)

?2?3 ?1?2 1 ?2?3 1 ?1?2 ?2?3 8 =? ? ×? ? + ×? ? × +? ? ×? ? = .[6 分] ?3? ?3? 3 ?3? 3 ?3? ?3? 81
(3)设“第 i 次射击击中目标”为事件 Ai(i=1,2,3). 由题意可知,ξ 的所有可能取值为 0,1,2,3,6.[8 分]

P(ξ =0)=P( A 1 A 2 A 3)=? ?3= ; 3 P(ξ =1)=P(A1 A 2 A 3)+P( A 1A2 A 3)+P( A 1 A 2A3)
2 ?1?2 1 2 1 ?1?2 2 2 = ×? ? + × × +? ? × = ; 3 ?3? 3 3 3 ?3? 3 9

?1? ? ?

1 27

P(ξ =2)=P(A1 A 2A3)= × × = ; P(ξ =3)=P(A1A2 A 3)+P( A 1A2A3)

2 1 3 3

2 3

4 27

?2?2 1 1 ?2?2 8 =? ? × + ×? ? = ; ?3? 3 3 ?3? 27
P(ξ =6)=P(A1A2A3)=? ?3= .[12 分] 3
所以 ξ 的概率分布是 ξ 0 1 2 3 6

?2? ? ?

8 27

9

P
[14 分]

1 27

2 9

4 27

8 27

8 27

温馨提醒 (1)正确区分相互独立事件与 n 次独立重复试验是解决这类问题的关键. 独立重复 试验是在同一条件下,事件重复发生或不发生. (2)独立重复试验中的概率公式 P(X=k)=Cnp (1-p)
k k n-k

表示的是 n 次独立重复试验中事件 A

发生 k 次的概率,p 与 1-p 的位置不能互换,否则该式子表示的意义就发生了改变,变为事 件 A 有 k 次不发生的概率了.

方法与技巧 1. 古典概型中, A 发生的条件下 B 发生的条件概率公式为 P(B|A)= 在实际应用中 P(B|A)=

P?AB? n?AB? = , 其中, P?A? n?A?

n?AB? 是一种重要的求条件概率的方法. n?A?

2.相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响,计算式为 P(AB)=P(A)P(B).互斥事件是 指在同一试验中,两个事件不会同时发生,计算公式为 P(A+B)=P(A)+P(B). 3.n 次独立重复试验中,事件 A 恰好发生 k 次可看做是 Cn个互斥事件的和,其中每一个事件 都可看做是 k 个 A 事件与 n-k 个 A 事件同时发生,只是发生的次序不同,其发生的概率都 是 p (1-p) 失误与防范 1.运用公式 P(AB)=P(A)P(B)时一定要注意公式成立的条件,只有当事件 A、B 相互独立时, 公式才成立. 2.独立重复试验中,每一次试验只有两种结果,即某事件要么发生,要么不发生,并且任何 一次试验中某事件发生的概率相等.注意恰好与至多 (少)的关系,灵活运用对立事 件 .
k n-k k

.因此 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率为 Cnp (1-p)

k k

n-k

.

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 1.已知 A,B 是两个相互独立事件,P(A),P(B)分别表示它们发生的概率,则 1-P(A)P(B) 表示的是下列哪个事件的概率 .
10

①事件 A,B 同时发生; ②事件 A,B 至少有一个发生; ③事件 A,B 至多有一个发生; ④事件 A,B 都不发生. 答案 ③ 解析 P(A)P(B)是指 A,B 同时发生的概率,1-P(A)·P(B)是 A,B 不同时发生的概率,即至 多有一个发生的概率. 3 2.已知某人每天早晨乘坐的某一班次公共汽车准时到站的概率为 ,则他在 3 天乘车中,此 5 班次公共汽车至少有 2 天准时到站的概率为 答案 81 125 .

2 3 3 3 81 2 3 2 解析 这个概率是 C3( ) · +C3( ) = . 5 5 5 125 3.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上”为事件 A,“骰子向上的 点数是奇数”为事件 B,则事件 A,B 中至少有一件发生的概率是 答案 3 4 .

1 1 1 1 解析 P(A)= ,P(B)= ,P( A )= ,P( B )= . 2 2 2 2

A,B 中至少有一件发生的概率为
1 1 3 1-P( A )·P( B )=1- × = . 2 2 4 1 2 4 .设随机变量 X 服从二项分布 X~ B(5 , ) ,则函数 f(x) =x +4x+ X 存在零点的概率 2 是 答案 31 32
2



解析 ∵函数 f(x)=x +4x+X 存在零点, ∴Δ =16-4X≥0,∴X≤4. 1 ∵X 服从 X~B(5, ), 2 1 31 ∴P(X≤4)=1-P(X=5)=1- 5= . 2 32 2 3 5.两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为 和 ,两个零件是否加工为一 3 4 等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 .
11

答案

5 12

解析 设事件 A:甲实习生加工的零件为一等品; 事件 B:乙实习生加工的零件为一等品, 2 3 则 P(A)= ,P(B)= , 3 4 所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为

P(A B )+P( A B)=P(A)P( B )+P( A )P(B)
2 3 2 3 5 = ×(1- )+(1- )× = . 3 4 3 4 12 6.先后掷骰子(骰子的六个面上分别标有 1,2,3,4,5,6)两次落在水平桌面后,记正面朝上的 点数分别为 x,y.设事件 A 为“x+y 为偶数”,事件 B 为“x,y 中有偶数,且 x≠y”,则概 率 P(B|A)= 答案 1 3 .

1 1 1 1 解析 由题知 P(A)=P(x 是偶数)·P(y 是偶数)+P(x 是奇数)·P(y 是奇数)= × + × = 2 2 2 2 1 .记事件 AB 表示“x+y 为偶数,x,y 中有偶数,且 x≠y”即 x、y“都是偶数且 x≠y”, 2 1 所以 P(AB)= , 6 故 P(B|A)=

P?AB? 1 = . P?A? 3
.

5 7.设随机变量 X~B(2,p),随机变量 Y~B(3,p),若 P(X≥1)= ,则 P(Y≥1)= 9 答案 19 27

解析 ∵X~B(2,p), 5 0 2 ∴P(X≥1)=1-P(X=0)=1-C2(1-p) = , 9 1 解得,p= . 3 又 Y~B(3,p), 19 0 3 ∴P(Y≥1)=1-P(Y=0)=1-C3(1-p) = . 27 8.一个病人服用某种新药后被治愈的概率为 0.9,服用这种新药的有甲、乙、丙 3 位病人, 且各人之间互不影响,有下列结论:

12

①3 位病人都被治愈的概率为 0.9 ; ②3 人中的甲被治愈的概率为 0.9; ③3 人中恰有 2 人被治愈的概率是 2×0.9 ×0.1; ④3 人中恰好有 2 人未被治愈的概率是 3×0.9×0.1 ; ⑤3 人中恰好有 2 人被治愈,且甲被治愈的概率是 0.9 ×0.1. 其中正确结论的序号是 答案 ①②④ 9.(2013·陕西)在一场娱乐晚会上,有 5 位民间歌手(1 至 5 号)登台演唱,由现场数百名观 众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选 3 名歌手,其中观众甲是 1 号 歌手的歌迷,他必选 1 号,不选 2 号,另在 3 至 5 号中随机选 2 名.观众乙和丙对 5 位歌手 的演唱没有偏爱,因此在 1 至 5 号中随机选 3 名歌手. (1)求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率; (2)X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求 X 的概率分布及均值. 解 (1)设 A 表示事件“观众甲选中 3 号歌手”,B 表示事件“观众乙选中 3 号歌手”, C2 2 C4 3 则 P(A)= 2= ,P(B)= 3= . C3 3 C5 5 ∵事件 A 与 B 相互独立, ∴观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率为
1 2 2 2 2

3

.(把正确的序号都填上)

P(A B )=P(A)·P( B )=P(A)·[1-P(B)]
2 2 4 = × = , 3 5 15 C2·C4 4 (或 P(A B )= 2 ). 3= C3·C5 15 (2)设 C 表示事件“观众丙选中 3 号歌手”, C4 3 则 P(C)= 3= , C5 5 ∵X 可能的取值为 0,1,2,3,且取这些值的概率分别为
2 1 3

P(X=0)=P( A P(X=1)=P(A B

B

C )= × × = , C )+P( A B C )+P( A B C)

1 3

2 2 5 5

4 75

2 2 2 1 3 2 1 2 3 4 = × × + × × + × × = , 3 5 5 3 5 5 3 5 5 15

P(X=2)=P(AB C )+P(A B C)+P( A BC)
2 3 2 2 2 3 1 3 3 11 = × × + × × + × × = , 3 5 5 3 5 5 3 5 5 25
13

P(X=3)=P(ABC)= × × = ,
∴X 的概率分布为

2 3 3 5

3 5

6 25

X P

0 4 75

1 4 15

2 11 25

3 6 25

4 4 11 6 ∴X 的均值 E(X)=0× +1× +2× +3× 75 15 25 25 28 = . 15 10.现有 4 个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味 性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏,掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏. (1)求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率; (2)求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率; (3)用 X,Y 分别表示这 4 个人中去参加甲,乙游戏的人数,记 ξ =|X-Y|,求随机变量 ξ 的概率分布与均值 E(ξ ). 1 2 解 依题意知,这 4 个人中,每个人去参加甲游戏的概率为 ,去参加乙游戏的概率为 . 3 3 设“这 4 个人中恰有 i 人去参加甲游戏”为事件 Ai(i=0,1,2,3,4).
i?1?i?2?4-i 则 P(Ai)=C4? ? ? ? . ?3? ?3?

(1)这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率为
2 2 P(A2)=C2 . 4? ? ? ? = ?3? ?3? 27

?1? ?2?

8

(2)设“这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件 B,则 B=A3∪A4. 由于 A3 与 A4 互斥,故
3 4 4 P(B)=P(A3)+P(A4)=C3 4? ? × +C4? ? = . ?3? 3 ?3? 9

?1?

2

?1?

1

1 所以,这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为 . 9 (3)ξ 的所有可能取值为 0,2,4. 由于 A1 与 A3 互斥,A0 与 A4 互斥,故

P(ξ =0)=P(A2)= , P(ξ =2)=P(A1)+P(A3)= ,
40 81

8 27

14

P(ξ =4)=P(A0)+P(A4)= .
所以 ξ 的概率分布是 ξ 0 8 27 2 40 81 4 17 81

17 81

P

8 40 17 148 故随机变量 ξ 的均值 E(ξ )=0× +2× +4× = . 27 81 81 81 B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟) 1.某种元件的使用寿命超过 1 年的概率为 0.6,使用寿命超过 2 年的概率为 0.3,则使用寿 命超过 1 年的元件还能继续使用的概率为 答案 0.5 解析 设事件 A 为“该元件的使用寿命超过 1 年”,B 为“该元件的使用寿命超过 2 年”, 则 P(A)=0.6,P(B)=0.3. 因为 B? A,所以 P(AB)=P(B)=0.3,于是 P(B|A)= .

P?AB? 0.3 = =0.5. P?A? 0.6

2.口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球,每次有放回地摸取一个球,定义数列{an},

an=?
答案

? ?-1,第n次摸取红球, ?1,第n次摸取白球, ?

如果 Sn 为数列{an}的前 n 项和, 那么 S7=3 的概率为



28 729

解析 由 S7=3 知,在前 7 次摸球中有 2 次摸取红球,5 次摸取白球,而每次摸取红球的概 2 1 ?2?2 ?1?5 28 2 率为 ,摸取白球的概率为 ,则 S7=3 的概率为 C7×? ? ×? ? = . 3 3 ?3? ?3? 729 3.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球将自由下 落. 小球在下落的过程中, 将 3 次遇到黑色障碍物, 最后落入 A 袋或 B 袋中. 已 1 知小球每次遇到黑色障碍物时,向左、右两边下落的概率都是 ,则小球落入 A 2 袋中的概率为 答案 3 4 .

解析 记“小球落入 A 袋中”为事件 A, “小球落入 B 袋中”为事件 B, 则事件 A 的对立事件 为 B,若小球落入 B 袋中,则小球必须一直向左落下或一直向右落下,

?1?3 ?1?3 1 故 P(B)=? ? +? ? = , ?2? ?2? 4
15

1 3 从而 P(A)=1-P(B)=1- = . 4 4 3 4.现有甲、乙两个靶,某射手向甲靶射击一次,命中的概率为 ,命中得 1 分,没有命中得 4 2 0 分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为 ,每命中一次得 2 分,没有命中得 0 分.该射手 3 每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击. (1)求该射手恰好命中一次的概率; (2)求该射手的总得分 X 的概率分布及均值 E(X). 解 (1)记:“该射手恰好命中一次”为事件 A,“该射手射击甲靶命中”为事件 B,“该射 手第一次射击乙靶命中”为事件 C,“该射手第二次射击乙靶命中”为事件 D. 3 2 由题意知 P(B)= ,P(C)=P(D)= , 4 3 由于 A=B C

D∪BCD∪B

C D,

根据事件的独立性和互斥性,得

P(A)=P(B C
=P(B C

D∪BCD∪B

C D) C D)

D )+P( B C D )+P( B

=P(B)P( C )P( D )+P( B )P(C)P( D )+P( B )P( C )P(D) 3 ? 2? ? 2? ? 3? 2 ? 2? ? 3? ? 2? 2 = ×?1- ?×?1- ?+?1- ?× ×?1- ?+?1- ?×?1- ?× 4? 3 ? 3? ? 4? ? 3? 3 4 ? 3? ? 3? ? 7 = . 36 (2)根据题意知,X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,5. 根据事件的独立性和互斥性,得

P(X=0)=P( B

C

D)

=[1-P(B)][1-P(C)][1-P(D)]

? 3? ? 2? ? 2? =?1- ?×?1- ?×?1- ? ? 4? ? 3? ? 3?
1 = . 36

P(X=1)=P(B C

D )=P(B)P( C )P( D )

3 ? 2? ? 2? = ×?1- ?×?1- ? 4 ? 3? ? 3?

16

1 = , 12

P(X=2)=P( B C D ∪ B

C D)=P( B C D )+P( B

C D)

? 3? 2 ? 2? ? 3? ? 2? 2 =?1- ?× ×?1- ?+?1- ?×?1- ?× ? 4? 3 ? 3? ? 4? ? 3? 3
1 = , 9

P(X=3)=P(BC D ∪B C D)=P(BC D )+P(B C D)
3 2 ? 2? 3 ? 2? 2 = × ×?1- ?+ ×?1- ?× 4 3 ? 3? 4 ? 3? 3 1 = , 3

P(X=4)=P( B CD)=?1- ?× × = , P(X=5)=P(BCD)= × × = .
故 X 的概率分布为 3 2 4 3 2 1 3 3

? ?

3? 4?

2 2 3 3

1 9

X P

0 1 36

1 1 12

2 1 9

3 1 3

4 1 9

5 1 3

1 1 1 1 1 1 41 所以 E(X)=0× +1× +2× +3× +4× +5× = . 36 12 9 3 9 3 12 5.(2013·辽宁)现有 10 道题,其中 6 道甲类题,4 道乙类题,张同学从中任取 3 道题解答. (1)求张同学至少取到 1 道乙类题的概率; 3 (2)已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题,1 道乙类题.设张同学答对每道甲类题的概率都是 , 5 4 答对每道乙类题的概率都是 ,且各题答对与否相互独立.用 X 表示张同学答对题的个数,求 5

X 的概率分布.
解 (1)设事件 A 为“张同学所取的 3 道题至少有 1 道乙类题”,则有 A 为“张同学所取的 3 道题都是甲类题”. C6 1 5 因为 P( A )= 3 = ,所以 P(A)=1-P( A )= . C10 6 6 (2)X 所有的可能取值为 0,1,2,3.
0 2 P(X=0)=C0 2·? ? ·? ? · = 5 5 3

?3? ? ?

?2? ? ?

1 4 ; 5 125

17

1 1 0 0 2 P(X=1)=C1 2·? ? ·? ? · +C2? ? ·? ? · = 5 5 5 5

?3? ? ? ?3? ? ? ?3? ? ?

?2? ? ? ?2? ? ? ?2? ? ?

1 5 1 5

?3? ? ? ?3? ? ?

?2? ? ? ?2? ? ?

4 28 ; 5 125 4 57 ; 5 125

2 0 1 1 1 P(X=2)=C2 2·? ? ·? ? · +C2? ? ·? ? · = 5 5 5 5

2 0 P(X=3)=C2 2·? ? ·? ? · = 5 5

4 36 . 5 125

所以 X 的概率分布为

X P

0 4 125

1 28 125

2 57 125

3 36 125

18


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